85
考试试卷(一)
一、填空
1.设c b a
,,为单位向量,且满足0=++c b a ,则a c c b b a ?+?+?=
2.x
x e 10
lim +→= ,x
x e 10
lim -→=
,x
x e 1
lim →=
3.设2
11)(x x F -=
',且当1=x 时,π2
3)1(=F ,则=)(x F
4.设=
)(x f ?
dt t x
2sin 0
,则)(x f '= 5.???>+≤+=0
,0
,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导,则=a ,=b
二、选择
1.曲线???==-0
1
22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为( )。
(A )12222=+-z y x ; (B )122222=--z y x ;
(C )12222=--z y x ; (D )122222=+-z y x
2.2
)1
1(lim x
x x x -∞→-+=( )
。 (A )1
(B )2
1
e (C )0 (D )1-e
3.设函数)(x f 具有连续的导数,则=+'?
dx x f x f x )]()([( ) (A )c x xf +)(; (B )c x f x +')(; (C )c x f x +'+)(; (D )c x f x ++)(
4.设)(x f 在],[b a 上连续,则在],[b a 上至少有一点ξ,使得( ) (A )0)(='ξf (B )a
b a f b f f --=
')
()()(ξ
86
(C )0)(=ξf (D )a
b dx
x f a b
f -=?)()(ξ
5.设函数x x a y 3sin 3
1sin +=在x =
3
π
处取得极值,则=a ( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 三、计算题
1. 求与两条直线??
?
??+=+==2
11
t z t y x 及112211-=
+=+z y x 都平行且过点(3,-2,1)的平面方程。 2.求下列极限 (1)12cos 1lim
21
+-+→x x x x π; (2)1
arctan lim 30--→x x e x
x
3.计算下列积分
(1)?dx x sin ; (2)
?
+dx x
sin 21
(3)?+dx x x e ln 11
2; (4)?--+2/12/111dx x x
4.求下列导数或微分 (1) 设3
2
)
1)(21()2(x x x y +--=,求dy 。
(2)?
??+=+-=2
3)1ln(t t y t t x ,求22dx y
d 。 (3)x
x
x y sin )1(
+=,求dy 。 (4)设a y x =+,求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx
y
d 。
四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈,且1)2
1(,0)1()0(===f f f ,证明: (1)存在)1,2
1(∈η,使ηη=)(f
(2) 对任意实数λ,必存在),0(ηξ∈,使1])([)(=--'ξξλξf f
87
高等数学(上册)考试试卷(二)
一、填空
1、已知2)3(='f ,则=--→h
f h f h 2)
3()3(lim
2、设?
--=x
dt t t y 0
2
)2()1(,则
=x dx
dy =
3、设)(x f 的一个原函数为x x -3
,则
?=xdx x f cos )(sin
4、)(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是)(lim 0
0x f x x -→和)(lim 0
0x f x x +→
5、若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直,则k = 二、选择
1、 点M (2,-3,-1)关于yoz 坐标面的对称点M 1的坐标为
88
A 、(-2,3,-1)
B 、(-2,-3,-1)
C 、(2,3,-1)(
D )、(-2,-3,1) 2、下列命题不正确的是
A 、非零常数与无穷大之积是无穷大。
B 、0与无穷大之积是无穷小。
C 、无界函数是无穷大。
D 、无穷大的倒数是无穷小。 3、设?
===dx x f x f f x f )(')(,1)0(,2)('则且
A 、c x ++)12(2
B 、c x ++)12(21
C 、c x ++2)12(2
D 、c x ++2)12(2
1
4、x x f =)(,则)(x f 在x =0处
A 、)0('+f 存在,)0('-f 不存在
B 、)0('-f 存在,)0('+f 不存在
C 、)0('+f ,)0('-f 均存在但不相等
D 、)0('+f ,)0('-f 存在且相等 5、
?-=-2
/2
/2cos 1ππ
dx x
A 、0
B 、1
C 、2
D 、4
二、计算题 1、求下列极限
(1)x
e e bx
ax x -→0lim (2))11ln 1(
lim 1--→x x x 2、求下列导数或微分 (1) 设)(x f =)0('0
),1ln(0
,f x x x x 求??
?≥+<
(2) 求由椭圆方程
12
22
2=+
b y a x 所确定的函数y 的二阶导数。
(3) 已知2
9
6
3
,,2dx dy dx dy x x x y 求--= (4) 设n
n dx
y d x x y 求
,2
312
++=
3、计算下列积分 (1)dx e x
?-2ln 01 (2)?2
1
ln xdx x
(3)
?
∞+-0
dx e x (4)?dx x x sin cot
4、求曲线x y x y ==2
2
和所围图形绕轴旋转一周所成立体的体积。 三、证明:当ex e x x
>>,1时
89
高等数学(上册)考试试卷(三)
一、填空
1.设)(lim ,1][)(0
x g x x g x +
→+=则= ,)(lim 0
x g x -→= ,)(lim 0
x g x →= 。 2.设=+?+?+=??)()]()[(,2)(a c c b b a c b a
则 。
3.过两点(4,0,-2)和(5,1,7)且平行于ox 轴的平面方程为 。 4.设=++=dy x a x y x x a 则, 。 5.由曲线x y x y cos ,sin ==以及直线2
,0π
==x x 所围图形的面积由积分可表示为
。
二、选择
1.若?
?'=',)()(dx x g dx x f 则必有 。 (A ))()(x g x f = (B )
dx x g dx x f )()(?
?
=
(C )c x g x f +=)()( (D )0)()(=-x g x f
2.设函数0)(x x x f =在处连续,若)(0x f x 为的极值点,则必有 。 (A )0)(0='x f (B )0)(0≠'x f (C ))(0)(00x f x f '='或不存在 (D ))(0x f '不存在
3.设==-=a prj b a b
则},1,2,2{},4,3,4{ 。
(A )1 (B )
2
1
(C )2 (D )3 4.若l x ax x x =+++-→1
4
lim
31,则 。 (A )3,6==l a (B )3,6=-=l a (C )6,3==l a (D )6,3-=-=l a
5.函数x
x
y ln =
的单调增加区间为 。 (A )(0,e ) (B )(1,e ) (C )(e ,∞+) (D )(0,∞+)
三、计算题
1.求下列导数或微分
(1) 设)()(x x x f ?=,其中)(x ?在0=x 处连续,求)0(f '
90
(3) 已知02|,0
1sin 23=???=+-+=t y
dx dy
y t e t t x 求 (4) 设2222
,,sin dx
dy
dx y d x y 求=
2.计算下列极限
(1)?
?-+→x x x dt
t t t dt
t 0
2
30
)sin (lim
2 (2))(lim x x x x x -+++∞
→
3.计算下列积分 (1)
?
--11
2
45x
xdx (2)
?
++330
2
2
1)51(x
x dx
(3)
?dx x
x ln (4)?-dx x x
3 4.求函数x e x x f |2|)(-=在[0,3]上的最大、最小值。
四、若)(x f 在[0,1]上有二阶导数,且)()(,0)0()1(2x f x x F f f ===,
证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使得0)(=''ξF
高等数学(上册)考试试卷(四)
一、填空
1、x = 是函数1
1
--=
x x y 的第 类间断点,且为 间断点。 2、=??
???-==??dx
dy
du u y du
u x t
t 则002)cos 1(sin 2
3、若a 与b
垂直且=+==b a b a 则,12,5 , =-b a
4、设,1)('x e f x +=则)(x f =
91
5、曲线x xe y -=的拐点为 ,下凸区间为 二、选择
1、 设22
,2
,2
1)(2
=?????>+≤=x x b ax x x x f 在处可导,则必有 A 、==b a 2 B 、a =2,2-=b C 、a =1, b =2 D 、a =3, b =2
2、 已知三点A (1,0,-1),B (1,-2,0),C (-1,2,-1)
=
A 、62
B 、63
C 、26
D 、36
3、 若22
lim 2
21=-+++→x x b
ax x x ,则 A 、a =2,b =4 B 、a =4, b =-5 C 、a =1, b =-2 D 、a =-4, b =5 4、 已知
?
+=++)(,)1(1x f c xe dx x f x 则
A 、x
xe B 、1
+x xe C 、x e x )1(+ D 、1)1(++x e x
5、 设?
+=
22,2)(x
dt t x f 则)1(f '=
A 、-3
B 、3
C 、36-
D 、63-
三、计算题 (1)
?
4/0
3
cos sin πdx x
x
x (2)求抛物线及其在点342-+-=x x y (0、-3),(3,0)处的切线所围图形的面积。
(3)设???-='=)
()(')(t f t tf y x f x ,)(t f ''存在且不为0,求2
2dx y d (4)设2
34x x y +=,求y 的单调区间,凸区间,极值及拐点。
(5)
?+x
e
dx
1
(6)?
+dx e
x 1
2
(7)A 、B 为何值时,平面π:053=-++Z By Ax 垂直于直线L :t z t y t x 22,35,23--=-=+=?
92
(8) 设??
?
??>+=<=-2,42,2,)(2x ax x k x e x f x ,(i)a 为何值时,)(x f 在x =2处的极限存在?(ii )k 为何
值时,)(x f 在x =2处连续?
(9)设???????≥<+=?0
,sin 10,)
3/1ln()(0
23x dt t x x x
x x f x ,求)(lim 0x f x →
四、设)(),(x g x f 在),(b a 内可微,0)(≠x g ,且),(,0)()()()(b a x x g x f x g x f ∈≡'-'。
证明:存在常数k ,使),(),()(b a x x kg x f ∈?=
高等数学(上册)考试试卷(五)
一、填空
1、
?-=+1
122)1(arctan dx x x
__________
2、设)(x f 的一个原函数是x sin ,则?
=dx x xf )('
3、方程xy =1在平面解析几何中表示 ,在空间解析几何中表示
4、内有且仅有在)1,1()(-+=x e x x f 个零点。
5、曲线处的切线方程为在213
2=?????=+=t t
y t
x
二、选择
1、 设)(x f 在0x 处可导,则=--+→h
h x f h x f h )
()(lim
000
A 、)('0x f
B 、)('20x f
C 、0
D 、)2('0x f 2、 若则,)(lim c x f x =∞
→
A 、)(x f y =有水平渐近线c y =
B 、)(x f y =有铅直渐近线c x =
C 、c x f =)(
D 、)(x f 为有界函数
93
3、已知,5,3==b a 当=λ 时,相互垂直与b a b a
λλ-+。
A 、53-
B 、53±
C 、53
D 、1 4、已知
??
=++=dx x
f c x F dx x f )12
(,)()(则
A 、c x F +)(2
B 、c x F +)2(
C 、c x F ++)12(
D 、c x
F ++)12
(2
5、设?='''='='''b
a
dx x x b a a b b a )()(,)(,)(],[?????则
上连续且在
A 、b a -
B 、)(21b a -
C 、22b a -
D 、)(2
1
22b a -
三、计算题
1、 求下列极限
(1)2)31(x
x x Lim +∞→ (2)2
tan )1(1x
x Lim x π-→
2、 求下列导数或微分 (1)dy x x y 求),1ln(2++
=
(2)设函数)(x y y =由方程?
?=+-20
20cos y a
x
t dt t dt e 确定,求
dx
dy
3、 计算下列积分 (1)
?
+2
1
ln 1e x
x dx (2)?++x dx
11
4、 设 0,0,1sin )(??
?
??≤+>=x e x x
x x f x βα
,讨论)(x f 在0=x 处的连续性。 5、 求曲线???
?
???==??t t du
u u y du u u x 11sin cos 自1=t 至2π=t 一段弧的长度。
四、证明题
1、 证明:当x x e x x
cos 1)1(,0->+->时
2、 设)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且0)1(,1)0(==f f ,求证在(0,1)
94
内至少有一点ξ,使ξ
ξξ)
()('f f -=
高等数学(上册)考试试卷(六)
一、填空
1、 抛物线24x x y -=在其顶点处的曲率为_______________
2、 a c b b c b a c c b a
?-+?+++?++)()()(=______________________
3、
?+x
dt t t
dx d 0sin 1cos =____________________
4、 已知)()(x f x F =',则
?
=+
dx x f )2
2
(
π
π
_______________
5、 若0lim =∞
→n n x ,则=∞
→n n x lim ________;若A x n n =∞
→lim ,则=∞
→n n x lim __________
二、选择
1、 若a x f x x =→)(lim 0
,则必有_____
A 、)(x f 在0x 点连续;
B 、)(x f 在0x 点有定义;
C 、)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义;
D 、)(0x f a = 2、 设有直线1
8
2511:
1+=--=-z y x l 与??
?=+=-3
26
:2z y y x l ,则1l 与2l 的夹角为____ A 、6/π; B 、4/π; C 、3/π; D 、2/π
3、???
??=≠=0
,00,1sin )(x x x
x x f 在0=x 处____ A 、 不连续; B 、连续但不可导;
C 、可导,但导数在该点不连续;
D 、导函数在该点连续 4、 已知
?+=c x
dx x f 2
)(,则?=-dx x xf )1(2____
A 、c x +-2
2)1(2; B 、c x +--)1(22
; C 、
c x +-22)1(21; D 、c x +--22)1(2
1
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
高等数学下册试题库 一、选择题(每题4分,共20分) 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 的模是:( A ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 解 ={1-1,2-0,1-2}={0,2,-1}, |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( B ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2},求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; ( A ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:(C ) A )2π B )4π C )3 π D )π 解 由公式(6-21)有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α, 因此,所求夹角 32 1 arccos π α= =. 5. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:(D ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0 C )x+y+1=0 D )01=-+y x . 解 由于平面平行于z 轴,因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点,所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,,以此代入所设方程并约去)0(≠D D ,便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A .3 B .4 C .5 D . 2
习题 1—2 1.确定下列函数的定义域: (1)91 2 -=x y ; (2)x y a arcsin log =; (3)x y πsin 2 = ; (4))32(log 213-+-=x x y a ;(5))4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2.求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同? (1)2)(,)(x x g x x f ==; (2)2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ; (3)1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ; (4)0)(,)(x x g x x x f == 。 4.设x x f sin )(=证明: ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定b a ,的值。 6.下列函数中哪些是偶函数?哪些是奇函数?哪些是既非奇函数又非偶函数? (1))1(22x x y -= (2)3 23x x y -=; (3)2211x x y +-=; (4))1)(1(+-=x x x y ; (5)1cos sin +-=x x y (6)2 x x a a y -+=。 7.设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数,证明: (1))()()(1x f x f x F -+= 偶函数; (2))()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8.证明:定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9.设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增,证明:)(x f 在)0,(L -上也单增。 10.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期: (1))2cos(-=x y (2)x y 4cos =; (3)x y πsin 1+=; (4)x x y cos =; (5)x y 2sin = (6)x x y tan 3sin +=。 11.下列各组函数中哪些不能构成复合函数?把能构成复合函数的写成复合函数,并指出其定义域。 (1)t x x y sin ,3== (2)2,x u a y u ==; (3)23,log 2+==x u u y a ; (4)2sin ,-==x u u y (5)3,x u u y == (6)2,log 2-==x u u y a 。 12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1)321)1(++=x y (2)2 )1(3+=x y ;
0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
微积分试题及答案
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(, )的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分) 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若,就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题(每题6分)1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知),求 3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算( 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-(,总成本函数为2 ()20050C x x x =++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分) 2、描绘函数21 y x x =+的图形(12分) 六、证明题(每题6分) 1、用极限的定义证明:设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间()内有且仅有一个实数 一、 选择题
1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+(( 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解: 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-
(3343).微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455).过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507).微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508).设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解,且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312,则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081).设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相 应齐次方程的一个解为x y =3,则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725).设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476).微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474).微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477).函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532).若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ,则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808).设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶 连续导数,且0)0(=f ,则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。
第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
微积分(上)期末考试试题(B)
对外经济贸易大学 2003-2004学年第一学期 《微积分》(上)期末考试试卷(B) 课程课序号CMP101??(1~14) 学号:___________ 姓名:___________ 班级:___________ 成绩:___________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 成 绩 一、 选择题 (选出每小题的正确答案,每小题2分,共计8分) 1. 下列极限正确的是 _________。 (A )1 0lim 20x x + →= (B ) 10lim 20 x x - →= (C )1lim(1) x x e x →∞ -=- (D ) 01lim (1)1x x x +→+= 2.若()(),f x x a x x φφφ=-≠其中()为连续函数,且(a )0,() f x 在 x a =点_________。 (A ) 不连续 (B ) 连续 (C )可导 (D ) 不可导
3. 设f (x )有二阶连续导数,且 2 () (0)0,lim 1,_______x f x f x →'''==则。 () 0()A x f x =是的极大值点 ()0(0)B f (,)是f(x)的拐点 ()0()C x f x =是的极小值点 ())0D f x x =(在处是否取极值不确定 4.下列函数中满足罗尔定理条件的是 。 ()ln(2) [0,1] A f x x x =-() 2 01()0 1 x x B f x x ?≤<=? =?() ()sin sin [0,] C f x x x x π=+() 2 1 ()1[1,1] D f x x =- -() 5.若()(),f x x φ''=则下列各式 成立。 () ()()0A f x x φ-= () ()()B f x x C φ-= () ()()C d f x d x φ=?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题(每小题3分,共18分) 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →-===-在处可导,且,那么曲线() y f x =在原点处的切线方程是__________。 2.设函数f (x )可导,则2 (4)(2)lim 2 x f x f x →--=-_________。 3.设ln ,()x xf x dx x '=?为f(x)的一个原函数那么 。 4 . 设 2121,2ln 3x x y a x bx x a b ===++均是的极值点,则、的值为 。 5. 设某商品的需求量Q是价格P的函数
《微积分Ⅱ》课外练习题 一、选择: 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的. ( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.无关条件 2. 二元函数定义域是. ( ) B. D. 比较大小:. ( ) B. C. D.不确定 4.微分方程的阶数是. ( ) A.5 B.3 C.2 D.1 5.下列广义积分发散的是. ( ) A. B. C. D. 6.是级数收敛的条件. ( ) A.必要非充分 B.充分非必要 C.充分必要 D.无关7.如果点为的极值点,且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的. ( ) 最大值点 B.驻点 C.最小值点 D.以上都不对 微分方程是微分方程. ( ) A.一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域,而且。记,,,则的大小顺序是 . ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是. ( ) B. D.
1. . ( ) B. C. D. 12.下列广义收敛的是. ( ) A. B. C. D. .下列方程中,不是微分方程的是. ( ) A. B. C. D. .微分方程的阶数是. ( ) A.5 B.3 C.2 D.1 .二元函数的定义域是. ( ) A. B. C. D. .设,则 ( ) A. B. C. D. .= 其中积分区域D为区域:. ( ) A. B. C. D. 18.下列等式正确的是. ( ) A.B. C.D. 19.二元函数的定义域是. ( ) A. B. C. D. 20.曲线在上连续,则曲线与以及轴围成的图形的面积是.( ) A.B.C.D.|| .. ( ) A. B. C. D. 22.= 其中积分区域D为区域:. ( ) A. B. C. D.
高等数学试题及答案文件排版存档编号:[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、2arctan 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、C bx bx x +-sin cos B )、C bx bx x +-cos cos
数学试题 热工二班 温馨提示:各位同学请认真答题,如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉,请不要激动也不要紧张,沉着冷静的面对,诚实作答,相信自己,你可以的。祝你成功! 一、填空题(共5小题,每题4分,共20分) 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=(2x-1)e x 1 的斜渐近线方程是( ) 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =( ) 4、 设y=x e x 1si n 1t an ,则'y =( ) 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ,求( ) ()x y 1001 二、选择题(共5小题,每题4分,共20分) 6、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →=( ) A.ln a B.Aln a C2Aln a D.A 7、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤=?-<≤?的连续区间为( ) A.[)0,1 B.[]0,2 C.[)(]0,11,2? D(]1,2 8、()f x 是连续函数,()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是
( ) A.当()f x 是偶函数时,()F x 必是偶函数 B.当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 C.当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 D.当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数 9、设函数()f x 连续,则下列函数中必为偶函数的是( ) A.2 0()x f t dt ? B.2 0()x f t dt ? C[]0 ()()x t f t f t - -?dt D.[]0 ()()x t f t f t + -?dt 10、设函数y=()f x 二阶导数,且 () f x 的一阶导数大于0, ()f x 二阶导数也大于0,x 为自变量x在0x 处得增量,y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分,若x >0,则( ) A.0<dy < y B.0<y <dy C.y <dy <0 D.dy < y <0 三、计算,证明题(共60分) 11、求下列极限和积分 (1)222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+(5分) (2)3 5 sin sin x xdx π -? (5分) (3)lim (cos 1cos x x x →∞ +-)(5分) 12.设函数()f x 具有一阶连续导数,且 " (0)f (二阶)存在,(0) f
微积分期末测试题及答 案 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分) 1.1 lim 2x x - →=_________。 (A ) - (B ) + (C ) 0 (D ) 不存在 2.当0x →时,()x x f x x += 的极限为 _________。 (A ) 0 (B ) 1 (C )2 (D ) 不存在 3. 下列极限存在,则成立的是_________。 0()()() lim ()x f a x f a A f a x - ?→+?-'=?0()(0) ()lim (0) x f tx f B tf x →-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()() ()lim ()x f x f a D f a a x →-'=- 4. 设f (x )有二阶连续导数,且()0 () (0)0,lim 1,0()_______x f x f f f x x →'''==则是的。 (A ) 极小值 (B )极大值( C )拐点 (D ) 不是极值点也不是拐点 5.若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。 ()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-= () ()() C d f x d x φ= ?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题(每小题3分,共18分) 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →===-在处可导,且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。 2.函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理,则定理中的= 。 3.设1 (),()ln f x f x dx x '=?的一个原函数是 那么 。 4.设(),x f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5.设某商品的需求量Q是价格P的函数5Q =-,那么在P=4的水平上,若价格 下降1%,需求量将 。 6.若,1 1),(+-= =x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx = 。 三、计算题(每小题6分,共42分): 1、 求 11ln (ln ) lim x x e x -→
85 考试试卷(一) 一、填空 1.设c b a ,,为单位向量,且满足0=++c b a ,则a c c b b a ?+?+?= 2.x x e 10 lim +→= ,x x e 10 lim -→= ,x x e 1 lim →= 3.设2 11)(x x F -= ',且当1=x 时,π2 3)1(=F ,则=)(x F 4.设= )(x f ? dt t x 2sin 0 ,则)(x f '= 5.???>+≤+=0 ,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导,则=a ,=b 二、选择 1.曲线???==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为( )。 (A )12222=+-z y x ; (B )122222=--z y x ; (C )12222=--z y x ; (D )122222=+-z y x 2.2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=( ) 。 (A )1 (B )2 1 e (C )0 (D )1-e 3.设函数)(x f 具有连续的导数,则=+'? dx x f x f x )]()([( ) (A )c x xf +)(; (B )c x f x +')(; (C )c x f x +'+)(; (D )c x f x ++)( 4.设)(x f 在],[b a 上连续,则在],[b a 上至少有一点ξ,使得( ) (A )0)(='ξf (B )a b a f b f f --= ') ()()(ξ
86 (C )0)(=ξf (D )a b dx x f a b f -=?)()(ξ 5.设函数x x a y 3sin 3 1sin +=在x = 3 π 处取得极值,则=a ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 三、计算题 1. 求与两条直线?? ? ??+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点(3,-2,1)的平面方程。 2.求下列极限 (1)12cos 1lim 21 +-+→x x x x π; (2)1 arctan lim 30--→x x e x x 3.计算下列积分 (1)?dx x sin ; (2) ? +dx x sin 21 (3)?+dx x x e ln 11 2; (4)?--+2/12/111dx x x 4.求下列导数或微分 (1) 设3 2 ) 1)(21()2(x x x y +--=,求dy 。 (2)? ??+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ,求22dx y d 。 (3)x x x y sin )1( +=,求dy 。 (4)设a y x =+,求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。 四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈,且1)2 1(,0)1()0(===f f f ,证明: (1)存在)1,2 1(∈η,使ηη=)(f (2) 对任意实数λ,必存在),0(ηξ∈,使1])([)(=--'ξξλξf f
《微积分(1)》练习题 一.单项选择题 1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A . ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B .()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C .()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D .()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2.下列极限不存在的有( ) A .201 sin lim x x x → B .12lim 2+-+∞→x x x x C . x x e 1 lim → D .() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3.设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A .x e 22-- B .x e 2- C .x e 24- D . x xe 22-- 4.函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。 A .跳跃间断点; B .无穷间断点; C .可去间断点; D .振荡间断点 5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A . 当()()0微积分考试试题
《微积分》试题 一、选择题(3×5=15) 1、.函数f (x)=1+x3+x5,则f (x3+x5)为(d) (A)1+x3+x5(B)1+2(x3+x5) (C)1+x6+x10(D)1+(x3+x5)3+(x3+x5)5 2、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续,则以下结论正确的是(b) (A)f (x)可能存在,也可能不存在,x∈[a,b]。 (B)f (x)在[a,b] 上必有最大值。 (C)f (x)在[a,b] 上必有最小值,但没有最大值。 (D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。 3、函数的弹性是函数对自变量的( C ) A、导数 B、变化率 C、相对变化率 D、微分 4、下列论断正确的是( a ) A、可导极值点必为驻点 B、极值点必为驻点 C、驻点必为可导极值点 D、驻点必为极值点 5、∫e-x dx=(b) (A)e-x+c(B)-e-x+c (C)-e-x(D)-e x +c 二、填空题(3×5=15) 1.设,则。 [答案: ] 2.函数y=x+ex上点(0,1) 处的切线方程是_____________。[答案:2x-y+1=0] 任课教师:系主任签字:
3、物体运动方程为S=1 1+t (米)。则在t=1秒时,物体速度为V=____,加速度 为a=____。[答案:41-,4 1 ] 4.设,则 。 [答案: 3 4] 5.若? +=c e 2dx )x (f 2 x ,则 f(x)=_________。[答案:2 x e ] 三、计算题 1、设x sin e y x 1tan = ,求dy 。 (10分) 解:dy=d x sin e x 1tan =dx x sin x 1sec x 1x cos e 22x 1tan ?? ? ??- 2.计算 ?+2x )e 1(dx 。 (15分) 解:原式=?+-+dx )e 1(e e 12x x x =??++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx =?+++-+x x x x e 11 dx e 1e e 1 =x -ln(1+e x )+x e 11 + +c 3.求 (15分) 解: 4.设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度( 比例常数为k)0 )求速度与时间的关系。 (15分)