高数练习册答案

参 考 答 案 第一章 函数与极限

1.1

1. );2()24(∞+--，，

Y 2. ;],22[Z k k k ∈+πππ，

????

?

>≤<-=;

21

,,210],1[a a a a D φ，

3. ];31[，

- 4. ]10[， 5. ]13[--， 6. B; 7. D; 8. A; 9. B; 10. C; 11. ;.60,))((;

40,

))((≤≤=≤≤=x x x f g x x x g f

12. 奇函数; 13. x x

y +-=

11; ;21

-=-x e y 14. ;)(2

x x x ---=? 15. ;)(a b x y -=? 16. 1.

1.2

1. B;

2.略;

3. (1)0; (2)

;5-e (3)0; (4)1; (5)2; (6)不存在; 4. 2; 5. 1; 6. B; 7. ;

21

8. 证明略；反之不成立。反例：n

n x ）（1-=.

1.3

1. D;

2. b; 1; 1;

3. 不存在;

4.

?????=≠=;0;0;0,1

)(x x x

x f 5. 当2=k 时，;2)(lim 0=→x f x 当2≠k 时，)

(lim 0x f x →不存在;

6. 不存在;

7. (1)2; (2)0cos x ; (3);21

- (4);2

-e (5);62-

8. ;2,1-=-=b a 9. .π

1.4

1. D;

2. C;

3. B;

4. B;

5. (1) 否; (2)否; (3)否;

6. 不存在;

7. (1)4; (2);35 (3)1; (4)1; (5)1; (6)1;

(7) 当m n >时，;0sin sin lim 0=→m n x x x 当m n =时，;1sin sin lim 0=→m n x x x

当m n <时，;sin sin lim 0∞=→m n x x x (8)

;

)1(n m

n m -- 8. -4; 9. 2; 10. ;0>k 11. .32)(2

3

x x x x P ++=

1.5

1. A;

2. C;

3. A;

4.(1)0=x ，跳跃间断点； (2)连续； (3)1=x ，跳跃间断点；

5.(1);e (2);1e (3);3

e (4);2ln 6.-2.

1.6

1. C;

2.B;

3. 提示：设

;2)(2

-=x x f 4. 提示：设

;12)(-=x

x x f 5. 提示：使用介值性质；

6. 提示：设);()()(a x f x f x F +-=

7. 提示：设x x f x F -=)()(.

第一章自测题

一、1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.A;

二、1.2; 2.2; 3.]20[，; 4.

;222+-x x 5.2; 三、1.;61 2.1; 3.;21

-e 4.1; 5.;33

6. ;2

1

e 7. 不存在;

8. 当0=k 时，;

0)

1ln(tan lim

20=+→x kx

x

当0≠k 时，;)

1ln(tan lim 20∞=+→x kx x

四、0=x ，跳跃间断点； 32ln

1=

x ，无穷间断点；

五、略；

六、0=x ，可去间断点； Λ，，

ππ2±±=x ，无穷间断点； 七、2; 八、;4,1-==b a 九、0.

第二章 一元函数的导数与微分

2.1 1.

)(0x m '; 2. k ; 3.D; 4.D; 5.(1))(0x f '; (2)-)(0x f ';

6.

e x

y =

; 7.连续，不可导； 8. 2

00,2x b x a -==

9. 可导，;0)0(='f 10.提示：用导数的定义证明；

11．2个. 提示：讨论101

==-=x x x ，，点. 2.2

1. ;82ln 2+

2.1;

3.1;

4.1;

5. (1) ;33-

(2)

);1(2sin 22

+-='q q p (3) );1(sec 2222+-=''--x

x e e y (4) ;21

(5) ;12

v v u +-=' (6)0; (7);21-

(8) ));

21

1(211(1x x x x x x y +++++='

(9)

;2ln 1log 2+='x y (10) ;111122x x y ++--=' (11) ;tan x

6.

dx dy

);(cos )(sin (2sin 22x f x f x '-'= 7. ;!99101?-

8.

];1)(2)[()]()([)(2

+'+'='x x x x f x F ???? 9. (1));()]([)]}([{x f x f f x f f f y '?'?'='

(2)

)];()([22

2

2

2

x

x x x e f e e f xe y '+=' 10.

;0,10,112)(222

?????=≠+-='x x x

x e x f x ）（ 11. )(2)(a g a a f ?='.

2.3

1. (1)

;2cos 2sin 4ln 2cos 42x x

x x x x y --

-=''

(2) ;

)

1(232-+-=''x x y

2.

)]()(2)][([)]()()][([2

x x x x x f x x x x x f ??????''+''+'+'' 3. );9520(22220)

20(++=x x e y

x 4. );

)1(1

)2(1(

!)1(11)(++----=n n n n x x n y

5. );24cos(41)(πn x y n n +

=-

6.

;0,1,21

==-

=c b a

7.

???<-≥='';0,12,0,

12)(2

x x x x x f 8.略。

2.4

1. ;11

y

e + 2. ;1-=x y 3. 0; 4. ;73-=x y

5.(1);cos cos y

x e xy x xy y e dx dy +-= (2);)()(2)()(22y f x x yf x f y y f x dx dy '+'--=

(3);y x y

x dx dy -+=

6. (1)

);sin ln (cos sin x x

x x x y x +

='

(2)

)2(52

11()5()4()3()2()1(5

4

32-+------='x x x x x x x y );)5(51)4(54)3(53-----+x x x 7. ;)2()

3(3222y y e dx y d y --=

;

220

22

e dx y d x ==

8. (1)；3 (2)

;)(1

;

t f t ''

9. ;121+=

x y 10. ;22a a x y +-=π 11. ;2126s m 12. min

1;min 212m m π.

2.5 1. ;4.00;

401.00 2. 0; 3. 必要

4.(1);11

2

+x (2) );2sin(x -

5.B;

6.A;

7.D;

8.B;

9. ;cot 2

ydx dy = 10. ;

21

11. ;)2()]2([22

2x x x f x dy ?-Φ'?-Φ'-=

12. 0052

.2;11n x

x n

+≈+.

第二章自测题

一、1.;2- 2.充要； 3. 5;

4. ;

31

2sin 21arctan 3C e x x x +++

5.

);

3

sin

3

3

cos

2

ln

(

2x

x

x-

-

-

二、1.D; 2.C; 3.A; 4.D;

三、1.

;

2

)

(

2

)

(22

2

y

y

y

xe

y

y

xe

y

e

y

y

+

'

+'

+

'

-

=''

2.

;

4

12

2

2

t

t dx

y

d+

=

3.

;

,

1

1

,

1

,

2

sin

1

sin

1

)

(

2

2

?

?

?

?

?

?

?

>

+

=

<

+

-

=

'

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

4.

);

(

)

(0

x

f

x

x

f'

-

5.;

)

(

)

()(x

n e

n

x

x

f+

=

6.

)];

(sin

[

)

(sin

)

(sin

cos

22x

f

f

x

f

x

xf'

'

7.

;1

;1-

=

-

=b

a

;

,

,

1

,

cos

)

(

?

?

?

?

?

>

-

=

-

<

-

=

'

-x

e

x

x

x

x

f

x

8.

;

)

9

9

3

3

(arctan

2

2

dx

x

x

x

x

x

dy

-

-

+

+

=

9.

;

)

sin

tan

cos

ln

(cos

)

(cos sin dx

x

x

x

x

x

dy x-

=

10.

;2

四、（1）

;

8

3

s

m

-

（2）

s

弧度

.2

0.

第三章微分中值定理与导数的应用

3.1

1.否；是

2.是；

3.

;1 4.B; 5.D; 6.C;

7.提示：构造辅助函数

x

x

x

F arccos

arcsin

)

(+

=;

8.

;

2

1 =

c

9. 提示：构造辅助函数

=

)

(x

F x

a

x

a

x

a n

n

n

1

1

1

0-

-+

+

+Λ

;

10.提示：构造辅助函数

x

x

f

x

F2

sin

)

(

)

(=;

11.提示：构造辅助函数

)

(

)

(

)

(0x

xf

x

f

x

F-

=

，分

)

(0=

x

F

和

)

(0≠

x

F

两种情况分别

讨论;

12.略；

13.提示：构造辅助函数

x

x

g ln

)

(=.

3.2

1.

;

6

1

2.

;

2

1

-

3.

;1 4. ;1

5. ;1

6. ;2

7.

;

2

1

8.

;1

9. ;1 10. ;1 11.

;

6

1

-

12. n

n

a

a

a

aΛ

3

2

1; 13.

;

4

1

14.

;1-e

15. 连续。

3.3

1.

1

4

3

2

)!

1

(

)

1

(

)!

1

(

!3

!2

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

+

=n

n

x x

n

n

n

x

x

x

x

x

xe

ξ

Λ

（ξ介于0和x之间）

或

);

(

)!

1

(

!3

!2

4

3

2n

n

x x

o

n

x

x

x

x

x

xe+

-

+

+

+

+

+

=Λ

2.（1）

;

6

1

（2）

;

2

1

（3）

;

3

1

3.

;

36 4.

!

2

11

n

n

n

-

--

）

（

.

3.4

1.(1) 单调增区间：

);

1,0(单调减区间：);

1(∞

+，

(2) 单调减区间：

); (∞

+

-∞，

2.(1) 上凸区间：

);

2

(-

-∞，下凸区间：);

2

(∞

+

-，

拐点：

);

2 2

(

2

e

--，

(2) 上凸区间：

);

3

5

(，

-∞

下凸区间：

);

3

5

(∞

+，

拐点：

);

27

20 3

5

(，

3. (1)略； (2)略；

(3)构造辅助函数：

x

x

x

f ln

)

(=利用函数的凸性定义证明。

(4)略。

4. 当

1

0-

<

a

时，2个实根；

当

1-

=e

a

时，1个实根；

当

1-

>e

a

时，无实根；

5.

;

2

9

,

2

3

=

-

=b

a

6. 略；

7.是。

3.5

1.(1)极大值：

)0(=

f; 极小值：1

)1(-

=

f;

(2)极小值：0)0(=f ; (3)无极值；

2. 最大值：45)4

3(=

f ; 最小值：56)5(-=-f ; 3. 2=a ，极大值：3

)3(=π

f ； 4.82

L 平方米;

5.提示：利用极限的局部保号性及极值的定义证明。 3.6

1. 1；

2.0；

3.

;23

),22ln ,22(

-

4. 铅直渐近线：;3-=x ;1=x

斜渐近线：;2-=x y

5. 斜渐近线：

;

1

e x y += 6. 略； 7. 略。

第三章自测题

一、1.B; 2.A; 3.D; 4.B;

二、1.;1 2.;3; 3. );

26,23( 4.下凸，;> 5.3条； 三、1.;61 2.;1 3.;2 4.n a a a a Λ3

21 四、提示：构造辅助函数)()(x xf x F =;

五、略； 六、;33

七、略；

八、;321332???

????±==b a μ 九、略; 十、1.)0(g a '=;

2. ;

,21)0(210

],cos )()sin )([(1

)(2?????=+''≠+-+'='x g x x x g x x x g x x f

3.连续。

2010—2011学年第一学期期中试卷

一、1. -5； 2.5

5; 3.2

1-+y ;

4. 1

)]([!+n x f n ; 5.-1; 6.2;

二、1.A; 2.B; 3.C; 4.D;

三、1.1; 2. 21

; 3.1;

4. 3

)cos (sin 2

t t e t

+-;

5. 1

112)1)(1()7()1()7()1(2)7(7)71ln(++-++-+-++-=+n n n

n

n n x n x x x x ξΛ

;70之间和在x ξ

四、1. ;1-==b a ???

?

?>-≤-='-0

,0

,cos )(x e x x x f x ;

2. 0=x 是极大值点，极大值)10(=f ;

上凸区间

]23,23[-

，下凸区间]23,(--∞和),23

[+∞;

两个拐点)

25,23(),25,23(23

23

---e e ;

3. 3cm/s;

五、1.提示：作辅助函数

,1]0[),()(2在x f x x F =区间上应用罗尔中值定理； 2.略。

第四章 不定积分

4.1

1.B

2.D

3.C

4.(1) ;522

5

C x + (2) ;arctan 3

C x x ++

(3)

;3

4222

32

12

1

C x x

x ++

+-- (4) C x x

+--3ln 2ln )32(52;

(5) C

e x

x ++3ln 13; (6) C x x ++sec tan ;

(7) C x x +--arctan 1

; (8) C x x +-cot tan ;

(9) C

x x x x +-+-sin 2ln 725

62;

4.2

1. C x +-3cos 31;

2. C x +--9)21(181

;

3.

C p +ln ln ; 4. C x +arcsin ln ;

5. C x 3312--;

6. C

x +2arctan 21; 7. C s +1cos ; 8. C

x +-cos ln 2; 9. C x +--3sin 31

; 10.

C x x ++cos ln ; 11. ;)ln(ln ln C u + 12. ;

arctan 2111ln 41C x x x +-+- 13. ;sin ln ln C x + 14. ;)1ln(212C e x

++

15. ;arctan 2C x + 16.

;

2

arctan 2C +-θ

θ

17. ;23ln 43

21C x x +---

18. ;12ln 71

32ln 71C x x +++-- 19. ;cot 515C x +- 20. ;2sin 4121C x x ++ 21. ;cos 71

cos 5175C x x ++- 22. ;cos sin C x x ++

23.

;)(arctan 2

C E + 24. ;2sin 41

12sin 241C x x ++- 25. ;

1

arccos C x + 26. ;4ln 24166C x x ++

27. ;)9ln(29212

2C l l ++- 28. ;12

C y y + 29. ;

)32(27232943C x x +-+--

30. ;)212ln(22

C e e x

x +++--- 31. ;

121

arcsin 212C x x x +--

32. ;

2arcsin 42C x x x +--- 33. .)tan 23arctan(63C x +

4.3

1. ;sin cos C x x x ++-

2. ;

9ln 33

3C x x x +-

3. ;

2cos ln tan 2

C x x x x +-+

4. ;

)1ln(21

arctan 2C x x x ++-

5. ;ln C x x x +-

6. ;

)]sin(ln )[cos(ln 2C x x x

++

7. ;)12(24

2

C x x e x +++-- 8.

;)2(2

C x e x ++-- 9. ;

913ln 61

91222C x x x x +++++

10.

;ln ln 22

C x x +- 4.4

1. ;

11arctan )1ln(211ln 22C x x x x +++-+--

2. ;)1(cos 411cos 1cos ln 81C x x x +---+

3. ;

)4cot()4csc(ln 42)cos sin 21C x x x x ++-+--π

π（

4. ;)11(433

2

C x x +-+-

5. ;

1222C x x x ++++- 6.;)1(991)1(983)1(973)1(96199989796C x x x x +--------

7. ;)1ln(4424

4C x x x +++-

8. ;

1ln 72

ln 7C x x ++- 9.;2sin C t t ++

10.;tan sec C t t t ++-

11. +

+-++-1tan tan ln 61

1tan ln 312x x x

;)33

tan 332arctan(33C x +-

12. +

+--++)]12ln()12[ln(82

22x x x x

;)]12arctan()12[arctan(42

C x x +-++

13. ;

)21ln(8523ln 834444

84C x x x x x ++++++-

14.

cos x

15.

;1)1ln(2

2C x x x x ++-++ 16. ;

12arctan 242422C e e e x x x

x

+-+---

第四章自测题

1.(1) ;2C x + (2) );2(x f (3) ;

14ln 14C x

+

(4) ;)21sin(21

C x +-- (5)

;C e xe x

x ++-- (6) ;)(C e F x

+-- (7) ;21

- (8) ;)(ln 212C x +

(9) ;33

2

C x x x ++- (10) ;ln 2

2C x x ++

2.(1) ;

3cot 3tan cot 3tan 333C x x x x +-+-

(2) ;

2)(2

C x x x f +-= (3) ;2ln 2ln 2C x x x x x +---

(4) ;

cos 41

7cos 2813cos 61C x x x +-+-

(5) ;

45174513105

4

1517

1013

C x x x +++

(6) ;arctan 2C r r ++- (7) ;

24)2(32

23

C x x +---

(8) ;

)2sin 22(cos 102C x x e e x

x ++-

(9) ;

1ln 22

C x x x +++-

(10) ;

)1(31

)1(312323C x x +--+ (11) ;1C e x xe x x

+++-

(12) ;2arctan 212arctan 2C e e e e x x x

x +---

(13) ；

C e x +2

241 (14) ;)(C x xf +

(15) ;

sin 1sin ln

C x x

++

(16)

;cos 1ln 2cos ln 22tan

C x x

x x ++--

3. 164

第五章 定积分及其应用

5.1

1.(1) ;> (2) ;< (3) ;> (4) ;<

2. C;

3. B;

4. C;

5. ;1-e

6.(1) ;412a π (2) ;0 (3) ;1

7.提示：用反证法； 8.略。

5.2

1. ;0 ;sin 2a -

;sin 2

b 2.;

12138

12

2

x

x x

x +-

+ 3.

;

4cos 2cos 2220

22x x dt t x x

-?

4. ;1-

5. ;2x y =

6. ;0)0(=?

7.(1) ;1 ( 2) ;1 (3) ;

6π

8. D;

9.(1) ;0 (2);2- (3) ;1 (4) ;2ln (5) ;

65

10.

;

310

3)(2-=x x f 11.

,;

1,43211,

421,41)(2

2?????

????>+-≤≤---<+=x x x x x x x x x F

12.(1) ;

4π

(2) ;

11

+p 13.略；

14. ??????

?≥-<≤+-=;1,312,10,3123)(2x x x x x x f

15.略。

5.3

1.C;

2.B;

3.(1);

323

a (2);22e - (3);!)!12(!)!2()1(2+-n n n (4);34

(5)?

?

???????==≠-≠-;1,,02,0,2!!!)!1(,1,!

!!

)!1(2

2m m m m m m m m m m ππππ，为偶数且为奇数且

(6) ;22 (7) ;

32π

(8) ;82ln 2- (9) ;2e (10) ;163π (11) ;8π (12) ;4π (13)

;

41π- 4.;0 5. .sin x -

5.4

1.;

12

-π

2.;23ln -

3.发散；

4.;2π

5.;1-

6.;

2π

7.发散；

8. ,

2,

020,41

0,21)(??

?????>≤<≤=x x x e x f x

5.5

1.(1);

332

(2);4 (3);2ln 23- (4);21

2. ;2e

3. ;24522

a a -π 4. .0;6;4==-=c

b a

5.

;

2

2h

R π 6. ;2π 7. ;64π

8.(1) );

11010(278

- (2) ;8a

(3) );

412ln(24122ππππ++++a

a (4) .4

5.6

1.;12cm -

2.;18375kJ π

3. ;213223R ga gR πρρ+

4. ;2sin

2R km ?

ρ 5. );

sin 21

(αρb h gab + 6. ./12s m

第五章自测题

1.(1)D; (2)C; (3)B; (4)A; (5)A;

2.(1);1 (2);0 (3);

32

(4);1-x (5);0 (6);2e

3.(1) ;31 (2) ;222

+e (3)

);21arctan(π+ (4) ;22π

(5)

;)1(1022

66

x x y +-='' (6) ;2333arcsin 9- (7) ;

21

4-π

4.;21

5.(1) ;32gbh ρ (2) ;322

gbh ρ

6.(1);832a π (2);105323

a π (3).6a

第六章 微分方程与差分方程初步

6.1

1.D;

2.B;

3.C;

4.C;

5.A;

6.02=+'x y y . 6.2

1.Cx x y +=23;

2.

)(sin C x e y x

+=-; 3.)2121ln(2+=x e y ; 4.1

)2(22=+C x y x ;

5.C ye x y

x =+2; 6.x

e xy =;

7.km 5.01.

6.3

1.2

12)1ln(21

arctan C x C x x x y +++-=; 2.

2

12

1

1)1(1C x C C e y x C +-=

+; 3.)1ln(+-=x y ;

4.2

ln 21

1)4cos(ln ++-=x y π; 5.(1)3

3)(,1

)(-=-=x x f x x ψ; (2) 2

211

C x C x y ++=.

6.4

1.2

21x e C x C y x ++=；

2.

34314+

-=x e y ；

3.

x e C e C y x x 21811421-+

+=--； 4.x

x e x e x C C y 2222123

)(--++=； 5.)

cos (sin 21

221x x e e C e C y x x x +-+=---；

6.)

sin (cos 21

)(x e x x x ++=?； 7.略。

6.5

1.

22ln arctan 2)ln(22π

+

=++x y y x ； 2.

t

y 310

sin 36.0=； 3.2

)

1004(25ππt V -=；min 400π； 4.

)ln(22b b a a g a t -+=

；

6.6

1.

823+?-=t

t y ； 2.

)

61

(125)5(-+-=t C y t t ； 3.

13+=t

t y ； 4. 6

)2sin()2cos(5+-=x x y x π

π

.

第六章自测题

1.D;

2.A;

3.C x x x u ++=

221)(; 4.x e x C y --+=1;

5.C x y +=arcsin arcsin ;

6.1

21

2++=x x y ; 7. x x e e

C C y 312

521-+=; 8.042

2=-+x y x ;

9.

x x x y cos 21

sin 21+=

.

高等数学(上) 期末模拟试卷(一)

一、1. ;81 2.

;

21π-

3.432)1(15)1(20)1(15)1(61-+-+-+-+x x x x ;)1()1(66

5-+-+x x

4. 0cos sin =+y x ;

5. ;

23

二、1.D; 2.B; 3.D; 4.D; 5.A.

三、1. ;8π 2. ;

81-

四、1. ;sin cos dx y x y x dy --= 2. ;)1(22

3

t --

五、1. ;arctan 2

C x + 2. ;2)1cos 1(sin 1-+e 3. ;

22

ln

六、1.

;+

∈N n 2.+∈N n 且;2≥n 3.+∈N n 且;2>n 七、1. 单调增区间：，，

)1(-∞);3(∞+， 单调减区间：);31(， 极小值：

427)3(=

f ; 2.上凸区间：);0(，

-∞下凸区间：),10(，);1(∞+，拐点：);00(， 3. 铅直渐近线： ;1=x 斜渐近线：;2+=x y

八、略；

九、2

13

-6C x C x e y x

++-=;

十、;316π 十一、;

21- 十二、43.

高等数学(上) 期末模拟试卷(二)

一、1. ;1;1- 2. 2962

3++-x x x ;

3. ;

4π

4. x

C e y =; 5. a x a

arctan 1; 二、1.D; 2.A; 3.A; 4.C; 5.C;

三、1.;61- 2. 21-

e ;

四、1.43π

; 2. 32)2)3(y y e y --（

; 五、1. π

1213+; 2. 3π

;

六、b a A +=; 七、e 1

; 八、略；

九、1. 极小值：0)0(=F ; 2.

22

±

;

3. )(21

1681----e e ;

十、3; 十一、略； 十二、250.

2010—2011学年第一学期期末试卷

一、1.1; 2.2π

; 3.

)2,2(2

-e ; 4.C x +--2

3

2)1(31; 5.

e x y 1+

=; 二、1.D; 2.B; 3.A; 4.B;

三、1. 32

; 2.3;

3.

)ln (sin C x x x e y x

+-=-; 4. 2=a ; 3)3(=π

f 为极大值。

5.

)cos(1)cos(3xy x xy y y -+=

'; 6. 10-==a a 或; 7. 3

R πγ; 8. π64;

四、1.略； 2.略；2π

.

第七章 空间解析几何与向量代数

7.1

1.),,(z y x --； ),,(z y x -； ),,(z y x ---；

2.)0,0,(0x ； )0,,(00y x ； 0z z =；

3.

)

914,0,0(； 4.26+； 5.)2,1,0(-； 7.2

1.)3,1,5(--；

2.)1,0,0(±；

3.(1))4,1,9(； (2) )13,11,4(--；

4.)17,17,18(-.

7.3

1.(1)15-； (2)1-； (3)9；

2.

1511

arccos

； 3.22；

2=; ;21

cos ;22cos ,21cos =-=-=γβα

;3;43,32πγπβπα===

5.22;

6.332;

7.23

-

;

8.3πγ=或32π; 9.b a ρρ=或0=?b a ρρ;

10.38; 11.)1,0,0(-或)

0,22

,22(

;

12.μλ2=.

7.4

1.(1))5,7,3(--; (2))15,21,9(--;

2.29

; 3.)

32,32,3

1(-±; 4.230. 7.5

1.(1))3,2,6(-; 7; (2))(32

2y x z +=; (3)2224y z x =+; (4)

1222

22=++z y x ; (5)19422=+z x ; x ; (6)1

422

=-y x ; y ;

(7)y a z =-（或y z a =-）; z ; 2.

21)1()1()3(2

22=-+++-z y x ; 3.

9116)34()1()32(222=

+++++z y x ; 7.6

1.

016--32

2=z y ; 2.??

?==+02

2

2

z a y x ; ?????

==0sin x b z a y ;

3.??

?==+-082222z y x x ;

4.

??

??

??

?

?

?===，，，t z t y t x sin 3cos 223cos 223

5.ax y x ≤+22;

)0(2a x ax a z ≤≤-≤; 7.7

1.(1)1; (2)3π

; (3)2;

(4)1; (5) 270±

; (6) 1867;

2. B;

3.0325617=---z y x ;

4.032=+-+z y x ;

5.(1)03=+y x ; (2)029=--z y ;

6.

214arccos

; 7.03-2=-z y x ;

8.0122283

=±++z y x ;

9.7236±=++z y x ; 7.8

1.??

?

??+=+==;3112-1t z t y t x ，， 2.0; 3. C; 4. C;

5.)32,32,35(-;

6.1343

1+=

-=-z y x ; 7.065111416=+++-z y x ;

8.0237=---z y x ;

9.??

?=+-=--+;14,0117373117z y x z y x

10.25; 11.42

73;

7.9 略。

第七章自测题

1.(1))0,0,1017

(-

; (2))4,2,1(-;)2,4,8(--;

(3)4-; 2

32-; )4,9,7(---;

(4)25

; (5) 5=++z y x ;

(6)

134z y x ==; (7))3,2,1(; )

3140

,315,3150(

-;

(8)?????==+-;2,14259222x z y x

(9)310-

; 6; (10) 3π

; 2.33

; 3.01135=+-z x ;

4.14322

-=

-=-z y x ; 5.45

; 6. ??

?=+--=++-;072,083z y x z y x

第八章 多元函数微分学

8.1

1. 0; x ln ;

2. {}

0,0),(>+≥y x x y x ;

3.(1)86; (2)2; (3)0; (4)3; (5)1; (6)不存在; (7)不存在; (8)0;

4.连续。 8.2

1.D;

2. 1; 0;

3.(1) 323y y x x z -=??; (2)

4212y x xy y z +=??; (3) 2

2y x x x z +=??; (4) =??z u x x z y z y ln 2-;

4. 6π

; 5. z 2或

2

2sin 2x y xy 6. 0; 2

1y -; 7.略。

8.3

1.(1)0; (2)dy e dx e )1()2(+++; (3)>;

2.

dz z y x z

dy z y x y dx z y x x dw 2

22222222++++++++=

3.(1) 连续、可偏导、可微分； (2) 连续、可偏导、不可微；

4.

)0,0(x f '不存在; 0)0,0(='y f ; )0,0(dz 不存在;

5.π.617.

8.4

1.

232

)43(1123t t t dt dz ---=

;

2.dy x y x dx y x y x dz )22()322(3

2+++++=;

3. 2

2e π;

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

高数一试题(卷)与答案解析

《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0

8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

最新高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞=?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）.

A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.

大学高等数学高数期末考试试卷及答案

大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

高等数学(下)练习题和答案

高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.

高数B试题及答案

高等数学B （上）试题1答案 一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. （ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡. 二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2 )1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin x x x →∞ ＝1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5．设0()f x A '=，则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--＝ 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ，则=')1(F 1 . 三、计算题（每题6分，共42分） 1．求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解： 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ 234lim 111n n n n →+∞ ?????? =+++ ??????????? （3分）

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

大学高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =． 【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ． 【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)