《微积分（1）》练习题
一?单项选择题
1 ?设广（心）存在，则下列等式成立的有（）
A.
B . liin /（Vo-Ax ）-/（A o ） =
AD Ax AtO zkv 07
C ?亦/仇+2力）-/仇）
D .曲心+2"）-/仇）=丄 D h
? h 2 2?下列极限不存在的有（）
丄 C . lim e x
.YT U
3 ?设/（Q 的一个原函数是厂二贝IJ/W =（）
A . —2E 亠
B .广”
C ? 4水"
D . - 2xe^lx
2y ［x. 0 < X < 1
4 ?函数/（A-）= 1, X = 1在［O,P ）上的间断点兀=1为（）间断点。
1 +X. X > 1
A.跳跃间断点；
B.无穷间断点；
C.可去间断点；
D.振荡间断点 5 .设函数/⑴在［o,b ］上有定义，在b ）内可导 则下列结论成立的有（）
A .当 f （a ）f （b ）< 0 时，至少存在一点
使/（^） = 0 ；
B . 对任何壮（“）,有lim ［/M-/（^）］ = O ； C. 当/⑷=/0）时，至少存在一点歹5）,使/W=o ；
D .至少存在一点弘（“）,使 ；A . lim xsin XT （）
B . lim 亘女 VTg X + 1 1
(1)
七?单项选择题
(3) lim ln(1 + A -2) i (> xsin 3x
(5) e xy + y 3-5x = O 又x = 0=> y = —1
. 亠 一。\ 「b(l + sinx) + o + 2, xhO 亠 —
九.试确疋"，》使函数f(x) = \ 心 在x = 0处连续且可导。
e -1, x < 0
(8分)
解:/(0 + 0)= liin [/?(1 + sin x)+a + ?] = a + h + 2 /(o-o)= lim 『_lj = o, 函数/(x)在x = 0处连续/(O + O )= /(O-O) a + b + 2 = 0,
函数/(x)在龙=0处可导昇(O) = /J(o).故a = b
⑵ 由(1) (2)知“="=一1 十.试证明不等式：当兀>1时，e-x 1 1 r ".1) arcsin — k x) 1 \x\ylx 2 -1 J 2 . y ⑹=0 3 . y = 2x +1 4 . y = 一2 , X = 0 5 . 广(x)=l + * /(x) = x + e x +c 三,计算题：⑴吧 lim x-2 (4) y = [in (1 一 2x)]2 求 dy 求加 1 T -1 证：(法一)设f(t) = e'则由拉格朗曰中值定理有 整理得：e x 2 法二：设/(A)=e x-ex f\x) = e x -e>0(x > 1)故f(x)=e x -ex在x>l 时，为增函数， f(x)= e x -ex> /(1) = 0,即e x > ex 设= " - ￡(加+e) f z(x) = e x - -(6?1 + xe x ) = - ^v (1 - x) < 0 (x > 1)故/(兀)=『一丄(xe，+e)在x>l 时，为 2 2 2 减函数， f(x) = e x --(e x +xe x)< /(l) = 0,即e51 2 2 综上，e-x H■—?设F(x)=丿⑴二2"(工>a),其中/⑴在［"，代)上连续，广'⑴在仏也) x-a 内存在且大于零，求证F⑴在仏加3)内单调递増。(5分) 证.尸,(打_广(*_“)_m) 故F(x)在(匕七)内单调递增。
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