数学建模如何进行人员分
配问题
Revised by Jack on December 14,2020
数学建模竞赛试题
B题：如何进行人员分配
“A公司”是一家从事建筑工程的公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示：
表1 人员结构及工资情况
前，
公司承接4个工程项目，其中2项是现场施工，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2：
表2 不同项目和各种人员的收费标准
为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：
表3 各项目对专业技术人员结构的要求
说明：
（1）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；
（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；
（3）各项目客户对总人数都有限制；
（4）由于C，D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支；
由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是
10+16+11+18=55，多于公司现有人数41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大
题目如何进行人员分配
目录
一、问题重述
二、问题分析
三、问题假设
四、模型建立
五、模型求解
六、结果分析
七、模型评价
八、模型改进
一、问题重述
企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。在这个问题中，A建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了A、B、C、D 四个不同的工程项目。公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。那么，为了获得最大收益，A公司到底应该如何把这四种不同级别的技术人员安排到四个不同的项目中去呢本文中，我们将重点对该问题进行分析。
二、问题分析
该问题的任务是，通过合理分配人员，使公司每天的直接收益最大。公司的主要收入来源是对各项目所收取的费用，支出主要有两项：四种不同级别的技术人员的工资和项目期间的办公费用。公司的直接收益是总收入减去总支出。A公司对各个项目的不同技术人员的收费标准都高于对应技术人员的总支出费用。我们可以得出不同项目对应不同级别技术人员的利润表如下：
注：该表中的利润值是已经减去办公费用的值
同时，技术人员的分配受到不同项目对技术人员结构要求的约束，由于公司人员有限，各项目的技术人员安排不可能同时达到所需的最大数量，我们要将现有的41名技术人员对最大55个可用岗位进行安排。
从以上分析结果，我们可以确定这是一个线性规划问题，对公司现有的各级别技术人员进行合理的任务安排，可以使公司获得一个最大利润。接下来，我们就将问题转化到如何将A公司各级别技术人员安排到55个岗位上来，使公司获得最大利润。
三、问题假设
1、公司的现有技术人员数量和结构保持不变，即公司不会再临时招聘专业技术人员；
2、一旦任务分配好之后，不会再出现人员变动的情况，并且不可能出现同一个技术人员同时担任两个项目的工作；
3、对项目的收费标准和专业技术人员的工资水平保持不变；
4、排除人员因生病、请假等不能正常工作的情况，排除天气对项目进行的影响；
四、模型建立
1、决策变量：
对各项目分配的技术人员数目设如下变量：
2、目标函数：
设公司每天的利润为M元，根据利润表和人员分配表，公司每天的总利润可以表示为：
M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+
600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+
430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+
390*x41+490*x42+240*x43+340*x44
3、约束条件：
（1) 各项目的不同技术人员数量约束如下：
1≤x11≤3
2≤x12≤5
x13=2
1≤x14≤2
x21≥2
x22≥2
x23≥2
2≤x24≤8
x31≥2
x32≥2
x33≥2
x34≥1
x41≥1
x42≥3
x43≥1
x44=0
（2）各项目安排的总人员约束如下：
x11+x21+x31+x41≤10
x12+x22+x32+x42≤16
x13+x23+x33+x43≤11
x14+x24+x34+x44≤18
（3）各级别技术人员总数约束如下：
x11+x12+x13+x14≤9
x21+x22+x23+x24≤17
x31+x32+x33+x34≤10
x41+x42+x43+x44≤5
五、模型求解
对于这种整数规划类型的问题，可以用分支定界法来进行求解。但是由于该模型的变量比较多，用分支定界法进行手工求解是比较麻烦的，而lingo软件求解整数规划问题时，正是基于这种方法，所以我们可以借助lingo软件进行求解。编写lingo程序如下：
model:
max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+
600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+
430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+
390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;
x11+x12+x13+x14<=9;
x21+x22+x23+x24<=17;
x31+x32+x33+x34<=10;
x41+x42+x43+x44<=5;
x11+x21+x31+x41<=10;
x12+x22+x32+x42<=16;
x13+x23+x33+x43<=11;
x14+x24+x34+x44<=18;
x11>=1;
x11<=3;
x12>=2;
x12<=5;
x13=2;
x14>=1;
x14<=2;
x21>=2;
x22>=2;
x23>=2;
x24>=2;
x24<=8;
x31>=2;
x32>=2;
x33>=2;
x34>=1;
x41>=1;
x42>=3;
x43>=1;
x44=0;
End
运行程序（运行结果见附录一），求得最优解为27150 元，即为公司每天最大直接收益。
各项目的专业技术人员最优分配表如下：
六、结果分析
从运行结果（详见附录一）可以看出，公司的41名技术人员都能分配到任务，且完全符合各项目对技术人员结构的要求。而且，从其“影子价格”一栏可得知，在其他条件不变的情况下，每增加一名高级工程师，公司的最大直接收益就增加700元；每增加一名工程师，公司的最大直接收益就增加550元；每增加一名助理工程师，公司的最大直接收益增加480元；每增加一名技术员，公司的最大直接收益增加440元。因此，在不影响公司正常业务的情况下，应减少助理工程师和技术员的人数，增加高级工程师和工程师的人数，以使公司获得最大的直接收益。
七、模型评价
1．模型优点：
（1）该模型对问题用线性规划进行分析，而且列出了利润表对问题进行简化，使得问题变得简单，也减少了模型变量的数量，使得分析问题变得简单；
（2）结果分析了各级别技术人员数量增加时对企业利润的影响，给人力资源结构调整作了一个参照，以及今后公司扩展业务时应该招聘的人员比例。
2．模型缺点：
（1）本模型忽略了实际作业时的多种因素，例如天气、人员缺勤等不确定因素；（2）本模型未对公司实际作业时的其他支出进行考虑，如购买工具、设备折旧等；
八、模型改进
四个项目同时要求的总人数为55人，而公司实际人口为41人，如果公司招聘更多的技术人员会使利润增加，但应该招多少高级工程师、工程师、助理工程师和技术员，才能使公司的直接收益最大呢下面我们对此问题进行求解。假设其他条件不变，新招聘的技术人员的工资标准和现有人员的相同。我们编写如下lingo程序并进行求解：
model:
max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+ 600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+
430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+
390*x41+490*x42+240*x43+340*x44; x11+x21+x31+x41<=10;
x12+x22+x32+x42<=16;
x13+x23+x33+x43<=11;
x14+x24+x34+x44<=18;
x11>=1;
x11<=3;
x12>=2;
x12<=5;
x13=2;
x14>=1;
x14<=2;
x21>=2;
x22>=2;
x23>=2;
x24>=2;
x24<=8;
x31>=2;
x32>=2;
x33>=2;
x34>=1;
x41>=1;
x42>=3;
x43>=1;
x44=0;
End
结果（详见附录二）显示：当招录高级工程师3人，工程师7人，助理工程师4人时，公司的直接收益最大，且最大收益为35020元。
各项目的专业技术人员最优分配表如下：
表中的各级别的技术人员比例是最优的人员配置，当A公司保持这种人员比例时，会使公司的利润最大化。这就给今后公司的进行人员招聘提供了一个比较科学的参照。
名额公平分配问题 问题的提出 名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。。。。。’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。 设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。现有25个学生代表名额， 赢如何分配较为合理。 5个系的学生人数 系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设 1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生 代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在 名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。 2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。 3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成 整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。 名额占有率=总名额数÷总人数 名额占有量=名额占有率×学生数 模型建立 模型一名额占有率分配 =1%，即每一百人才有一个名额。根据名额占有率可以算出全校名额占有率=25 2500 分配： 系别一二三四五总和 人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124 显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分， 无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。所以需
数 学 建 模 论 文 系部——— 班级—— 组员—— —— ——2010年1月7日
摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。 关键词： Q值法公平席位
问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34. （1）问20席该如何分配。 （2）若增加21席又如何分配。 问题的分析： 一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即： 某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这样最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20 （1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
对公平的席位分配问题解法的一点补充 222008314011010 刘欢 08数统一班 为叙述简单，仍然采用书中的例子如下 一．提出问题： 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。 由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。 请问：如何分配才算是公平？ 二．书中模型 用Q 值法求解如下 设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。但人数为整数，通常1122≠p n p n 。这时席位分配不公平，且 /p n 较大的一方吃亏。 当1122>p n p n 时，定义 1122 1222 -= (,)A p n p n r n n p n （1） 为对A 的相对不公平值。
当1122
p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： (1) 当 22 1>+11p p n n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当 22 1<+11p p n n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 211212 11-1 ++= () (,)B p n r n n p n （3） (3)当 221 >+11p p n n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为 121221 11-1 ++= () (,)A p n r n n p n （4） 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果 121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5） 则这1席给A 方，反之这1席给B 方. 由(3)(4)可知，(5)等价于 2 1222211< 11++() () p p n n n n （6） 不难证明上述的第(1)种情况 22 1>+11p p n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。 若记 2, =1,2 1= +() i i i i p Q i n n
公平的席位分配问题 ——数学建模报告 20094865，陈天送 20094862，陈铁忠 20094854，朱海
公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。 符号设定： N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） i Q ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） Z ：目标函数 方法一，比例分配法：即： 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例?总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。 方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若 2211n p n p > 则称 1122122221 1-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 121121 1 11 22-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 确定分配方案： 使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设1 1 n p > 2 2n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席 位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22 n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为 1)1(11),1(21211111 222 1-?+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B 3. 1 1 n p > 1 22+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为
各宿舍分配委员模型 （参考阿） 摘要：学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住 在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会 （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法 试用上述办法分配各宿舍的委员数 关键词：比例加惯例 Q 值 d ’Hondt 法 一、问题的重述 学校有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。再进一步讨论：如果人数增至15人，依照10个的过程检验一下。 二、问题分析 模型1中，先建立一个简单的“比例加惯例模型”简单分析。 在模型2中，再用Q 值法进一步讨论。然后，在模型3中，用书中给出的d ’Hondt 计算后进行比较 三、模型假设 （1）各个宿舍之间是独立的，且人数始终保持不变； （2）几个委员是平等的。 四、模型的建立与求解 先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321===p p p ∑ ==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配）
, 35.23 1 11== ∑ =i i p N p q , 33.33 1 22== ∑ =i i p N p q 32 .43 1 33== ∑ =i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 , 17.92043 2235 2 1=?= Q ,75.92404 3333 2 2=?= Q 2 .93315 4432 2 3=?= Q 3 Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的原理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可 使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 五，模型的检验、评价与推广 现在当人数为15人时，依照10人时的情况，来检验各个模型的公平性：
第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式
【最新整理，下载后即可编辑】 公平席位的分配 系别：机电工程系模具班学号：1号 摘要： 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。而当代表的人数在总和没有发生变化的情况下，所占比例却发生了变化时，一个如何分配才能使分配公平的问题就摆在了我们的面前。因此，我们要通过建立数学模型来确定一种能够使分配公平的方法来分配 关键字：理想化原则; 整数规划; 席位公平分配
问题的提出： 某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。 如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。 但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？ 问题重述 学院的最初人数见下表，此系设20个席位代表。 甲乙丙 总人数 １００６０４０ ２００ 学生人数比例：100/200 60/200 40/200 按比例分配方法：分配人数=学生人数比例初
按比例分配席位：甲乙丙共 10 6 4 20 若出现学生转系情况： 甲乙丙总人数 103 63 34 200 学生人数比例：103/200 63/200 34/200 按例分配方法：比例分配出现最小数时，先按整数分配席位，余下的按小数的大小分配席位 按比例分配席位：甲乙丙 10.815 6.615 3.57 按比例分配席位,丙系却缺少一席的情况,按比例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配方法.
公平席位的分配 系别：机电工程系模具班学号：1号 摘要： 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。而当代表的人数在总和没有发生变化的情况下，所占比例却发生了变化时，一个如何分配才能使分配公平的问题就摆在了我们的面前。因此，我们要通过建立数学模型来确定一种能够使分配公平的方法来分配 关键字：理想化原则; 整数规划; 席位公平分配 问题的提出： 某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。 如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。
但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？ 问题重述 学院的最初人数见下表，此系设20个席位代表。 甲乙丙总人数 １００６０４０２００学生人数比例：100/200 60/200 40/200 按比例分配方法：分配人数=学生人数比例初 按比例分配席位：甲乙丙共 10 6 4 20 若出现学生转系情况： 甲乙丙总人数 103 63 34 200 学生人数比例：103/200 63/200 34/200
按例分配方法：比例分配出现最小数时，先按整数分配席位，余下的按小数的大小分配席位 按比例分配席位：甲乙丙 10.815 6.615 3.57 按比例分配席位,丙系却缺少一席的情况,按比例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配方法. 模型假设 分配席位的情况 单位人数席位数 A单位X n m B单位Y n。m。 若公平分配，则会出现的情况应当是m=m1，即X/n=Y/m1
数学建模论文（席位公平分配问题）
席位公平分配问题 摘要 本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。 首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。 其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。 最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。 关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型
目录 一、问题重述与分析： (3) 1.1问题重述： (3) 1.2问题分析： (3) 二、模型假设 (4) 三、符号说明 (4) 四、模型建立： (5) 4.1公平的定义： (5) 4.2不公平程度的表示： (5) 4.3相对不公平数的定义： (5) 4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6) 4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6) 五、模型求解 (8) 5.1模型一求解： (8) 5.2模型二的求解： (8) 六、模型分析与检验 (9) 七、模型的评价： (11) 7.1、优点： (11) 7.2、缺点： (11) 7.3、改进方向： (11) 八、模型优化 (11) 九、参考文献 (12)
班级：数学131班小组成员：胡瑶、马美玲、翁春娇 题目：数学与信息科学系共有三个专业（数学，计算机，电信），每个专业四个年级具体人数如下： 数111 数112 数121 数122 数131 数132 数141 数142 48人43人47人41人42人38人71人73人 计111 电111 计121 电121 计131 电131 计141 电141 29人25人30人30人48人30人24人24人 在各个学期，学院（系）对表现优秀的学生进行考察，吸收为入党积极分子，现系学生党支部有30个入党积极分子名额合理安排到各班。如果学院为我系临时增加3个名额，应安排到哪些班？ 比例分配法【四舍五入】我系各班总人数：643人 数111 数112 数121 数122 数131 数132 数141 数142 0.075 0.067 0.073 0.063 0.065 0.059 0.110 0.114 计111 电111 计121 电121 计131 电131 计141 电141 0.045 0.039 0.047 0.047 0.075 0.047 0.037 0.037 利用比值法分配的入党积极分子的名额： 数111 数112 数121 数122 数131 数132 数141 数142 2 2 2 2 2 2 3 3 计111 电111 计121 电121 计131 电131 计141 电141 1 1 1 1 2 1 1 1 按比值法分配后还剩下3个名额。 Q值法：相对不公平度的公式：Q=Mi^2/i(i+1) 数111 数112 数121 数122 数131 数132 数141 数142 384 308.2 368.2 280.2 294 240.7 420.1 444.1 计111 电111 计121 电121 计131 电131 计141 电141 420.5 312.5 450 450 380 450 288 288 根据不公平度比较得到：计121，电121，电131相对不公平度很大，若把一个名额分配给计121，它的相对不公平度Q=150；若把另一个名额分给电121，他的相对不公平度Q=150； 把第三个名额分给电131，它的相对不公平度Q=150.
数学建模典型例题 某学校有三个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20各级席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位,现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示,仍按比例(表中第三列)分配席位时出现了小数(表中第四列),在将取得整数的19席分配完毕后,三席同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的系,于是三系分别占有10,6,4席(表中第5列) 因为有20个代表会议在表决的时候可能出现10:10的局面,会议决定下一届增加一席,他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6,7列,显然这个结果对丙系太不公平了.因为总席位增加一席,而丙系却由4席减为3席. 按照比例并参照惯例的席位分配
系别学生学生人数 20个席 20个席位 21个席位 21个席位人数的比例(% 的分配的分配的分配的分配 比例分配参照惯例比例分配参照惯例 的席位的结果的席位的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21 要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配分配方法
解答: Pī/Nī表示第ī个单位每个代表名额代表的人数 采用相对标准,引入相对不公平概念.如果P1/n1>P2/n2,则说明A方是吃亏的,或说对A方不公平. 对A的相对不公平度: rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=(p1n2)/(p2n1)-1 对B的相对不公平度: rB(n1,n2)=(p2n1)/(p1n2)-1 情形1: P1/(n1+1)>p2/n2,表明即使A方再增加一个名额,仍然对A方不公
习 题 课 一、初等模型与常用的建模方法 1. 奇偶校验法 例1 在如图所示的44?方格纸上已填写1，9，8，6四个数字，问能否在 余下的方格内各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列？ 解 考察左下角格中所填之数，设为p ，由于所填方格中都为整数，且 p p p ? ???? 与1同列 与1的奇偶性相同应为奇数， 该列四个数成等差 p p p ? ???? 与8同行 与8的奇偶性相同应为偶数， 该行四个数成等差 这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在. 例2 利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每个面又都有奇数条边的多面体”. 证 用反证法. 假设存在具有题设性质的多面体，它有m 个面数，各个面分别有m n n n ,,,21Λ条边，这里m ，12,,,m n n n L 均为奇数，从而 12m n n n n =+++L 必为奇数. 另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多面体的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，因此在求得n 时，每一条棱都被重复地计算
了一次，所以12m n n n n =+++L 又应为偶数，于是产生了矛盾. 故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，且每个面又都有奇数条棱的多面体. 例3 已知多项式32x bx cx d +++的系数都是整数，且bd cd +为奇数. 证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证 用反证法. 假设满足条件“bd cd +为奇数”的多项式32x bx cx d +++能分解为两个整系数多项式的乘积，则必有 ()()322x bx cx d x a x px q +++=+++， 其中,,,,,a b c d p q 都是整数. 令0x =代入上式，得 d aq =； （1） 令1x =代入上式，得 ()()111b c d a p q +++=+++. （2） 由条件“()bd cd b c d +=+为奇数”知b c +与d 必皆为奇数，进而知（2）式左端1b c d +++为奇数. 另一方面，由(1)及d 为奇数立知,a q 必为奇数，因而（2）右端 ()()11a p q +++为偶数，于是产生了矛盾. 因此由奇偶校验法知满足条件 “bd cd +为奇数”的多项式32x bx cx d +++不能分解为两个整系数多项式的乘积. 2. 席位分配问题 例4 比利时的d ’Hondt 曾提出过如下一种席位分配方案：将甲、乙、丙三
。 例1差分方程——资金的时间价值 问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记； 月利率(贷款通常按复利计)用R记； 每月还多少钱用x记； 借期记为N个月。 b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数，则一 个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为 k=0，1，2，3， 而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由
(2) 这就是之间的显式关系。 d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月， 已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下 的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得 (3) A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0 A。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出0 53946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝ 123946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或 Mathematica这样的 数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑 下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用 某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款 期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这 对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢?
第2章初等数学建模方法示例 2.1公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20
按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：
宿舍委员会席位的公平分配 摘要 学校中宿舍委员会委员数的确定，可由不同的相对公平的方法来确定，运用不同的方法分配出的席位个数稍有不同。 问题一三用比例，惯例分配，得出的A，B，C三个宿舍分别获得的席位数为3,3,4。 问题二采用Q值法分配，Q值法相对于比例惯例的方法更为公平，分配结果为三个宿舍分别获得2,3,5个席位。 问题三采用了d’Hondt的方法，分配的结果为A，B，C三个宿舍分别获得2,3,5个席位。 问题四是当席位增加至15个时，采用上述三种方法分配的结果： （1）采用比例惯例分配三个宿舍分别获得4,5,6个席位； （2）采用Q值法分配三个宿舍分别获得4,5,6个席位； （3）采用d’Hondt方法分配，A，B，C三个宿舍分别获得3,5,7个席位。 关键字：
一 问题描述 某学校共有1000名学生，三栋宿舍楼A 、B 、C 。其中235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会。是分别用不同方法进行各宿舍的委员数分配： （1） 按比例分配取整然后按惯例分配； （2） Q 值法分配； （3） D’Hondt 方法分配。 （4） 若委员会从10人增加至15人，再次利用上述方法分配，讲两次分配结果 比较。 二 问题分析 对于宿舍委员会的人数分配，三种方法得出的结果各不相同。Q 值法在惯例分配的基础上，考虑了不公平度的影响，相对来讲，更加的公平一些。D’hondt 方法也考虑到了不公平度，下面详细介绍。 三 模型假设 1 假设学校苏宿舍近期无学生转入或转出； 2 三个宿舍之间无互相变动； 3 委员会中无职位差别。 四 量与符号化说明 i p 第i 个宿舍的人数，其中，i 分别为1,2,3对应宿舍A ，B ，C ； i n 第i 个宿舍分得的委员会席位个数； i Q 第i 个宿舍对应的Q 值。 五 模型建立与求解 设第i 方人数i p （i=1,2，···m ），总人数1m i i p p ==∑，待分配席位N ，分配结 果为12(,,,...,)i i m n n N p p p =。记/i i q Np P =，显然若i q 不全为整数时，记[],[]i i q q -+分别为i q 向下取整和向上取整。 1按比例惯例分配 即按照人口比例进行名额分配。若各部门所得恰好是正整数，分配完毕； 否则，把小数部分对应的名额分给尾数最大的。 首先要求出每栋宿舍楼人数占总人数的比例，求出如下