指数函数
[核心必知]
1.指数函数的定义
函数y =a x
(a >0且a ≠1)叫作指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 2.指数函数y =a x
(a >0,a ≠1,x ∈R )的图像和性质 (1)指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图像和性质,如下表所示.
y =a x a >1 0<a <1
图像
性质
定义域 R 值域
(0,+∞)
定点 恒过(0,1)点,即x =0时,y =1
函数值 的变化 x >0时,y >1;x <0时,0<y <1 x >0时,0<y <1;x <0
时,y >1; 单调性
是R 上的增函数
是R 上的减函数
(2)函数y =a x
与函数y =? ??
??1a
x (a >0且a
≠1)图像关于y 轴对称.
[问题思考]
1.对于指数函数y =a x
,为什么要规定底数a >0且a ≠1?
提
示
:如果a =0,
?????
当x >0,a x
恒等于0;
当x ≤0时,a x 无意义.
如果a <0,如y =(-4)x
,当x =14、12等
时,在实数范围内函数值不存在.如果a =1,
y =1x =1,是一个常量,对它就没有研究的
必要.为了避免上述各种情况,所以规定a >0且a ≠1.
2.在同一直角坐标系中画出y =3x
,y
=2x
,y =? ????13x ,y =? ??
??12x 的图像,指出它们的
相对位置与底数大小有何关系?
提示:借助图像可得如下结论:
(1)在y 轴右侧,图像从上到下相应的底数由大变小.
(2)在y 轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小.
(3)无论在y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
3.函数y =3x
的图像关于y 轴对称图像对应的函数是什么?与偶函数图像对称有什么区别?
提示:是y =3-x
=? ??
??13x ;
这是两个函数图像关于y 轴对称,而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y 轴对称.
讲一讲
1.画出函数y =? ??
??12|x |
的图像,并根据图
像写出函数的值域及单调区间.
[尝试解答] ∵y =? ??
??12|x |
=
?????
? ????12x ,x ≥0,2x ,x <0,
∴在平面直角坐标系内画出函数y =
? ??
??12x (x ≥0)及y =2x (x <0)的图像.这两段图像合起来就是所求函数的图像,如图.
由图像可知所求函数的值域是(0,1],递增区间是(-∞,0],递减区间是[0,+∞).
与指数函数有关的指数型函数的图像,一般是根据其解析式的结构特征,利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像,然后利用图像直观地研究其性质.
练一练
1.已知函数y =? ??
?
?13|x +1|.
(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像;
(2)由图像指出该函数的单调区间;
(3)由图像指出当x 取何值时,函数有最值.
解:(1)y =? ??
?
?13|x +1|= ?????
? ????13
x +1,x ≥-1,3x +1,x <-1.
其图像由两部分组成:
①y =? ????13x (x ≥0)――→向左平移1个单位y =? ????13x +1(x ≥-1); ②y =3x
(x <0)――→向左平移1个单位
y =3x +1(x <
-1).
图像如图:
(2)由图像知函数在(-∞,-1]上是增函数,在(-1,+∞)上是减函数.
(3)由图像知当x =-1时,函数有最大值1,无最小值.
讲一讲
2.试比较下列各组数的大小: (1)1.12.5
与;(2)-
与-
; (3)与(a >0且a ≠1);(4)-
与-
. [尝试解答] (1)考查指数函数y =,由于底数>1,所以函数y =在R 上是增函数.
∵<3,∴1.12.5
<.
(2)考查函数y =,由于底数<1, 所以函数y =在R 上是减函数. ∵->-,∴-
<-.
(3)当a >1时,函数y =a x
在R 上是增函数.
∵<,∴<.
当0<a <1时,函数y =a x
在R 上是减函数,∴>.
(4)∵ -
>=1,-<=1, ∴-
>-.
对于指数幂的大小比较,一般规律为: (1)同底数指数幂大小的比较:构造指数函数,利用单调性比较大小.
(2)同指数不同底数的指数幂:在同一坐标中作出不同底数的函数的图像,利用图像比较大小.
(3)既不同底数,又不同指数指数幂:利用中间量法,常借助中间量0或1进行比较,如本讲(4).
练一练
2.比较下列各组数的大小.
(1)与? ????54-;(2),
,? ??
??12-;
(3)-2
与? ????43-23;(4)0.30.4与解:(1)? ???
?54-=? ??
??45=,
∵函数y =在定义域R 上是减函数,
又∵>, ∴, 即-
. (2)∵=,
=,
? ??
??12-=, ∵y =2x
在定义域R 上为增函数,
∴>>,即>? ??
??12-
>.
(3)∵-2
>=1,? ????43-23 ????430=1,
∴-2
>? ????43-23
.
(4)当指数相同且大于0时,底数越大图像越高,
∴0.30.3
<, 又
∵
0.30.4
<
,
∴
讲一讲
3.(1)求函数y = 1-? ??
??13x
的定义域和值域;
(2)求函数y =? ????12-x 2
+2x 的值域;
(3)求函数y =-? ????14x +4·? ??
??12x
+5的值
域;
(4)讨论函数f (x )=a x -1
a x +1
(a >0且a ≠1)
的奇偶性和单调性.
[尝试解答] (1)x 应满足1-? ????13x
≥0,
∴? ????13x ≤1=? ??
??130
,即x ≥0, ∴定义域为{x |x ≥0,x ∈R }.
∵x ≥0,∴? ??
??13x
≤1.
又∵? ????13x >0,∴0<? ????13x
≤1.
∴0≤1-? ??
??13x
<1,∴0≤y <1,∴此函数
值域为[0,1).
(2)设u =-x 2
+2x .
∵y =? ????12u ,u =-x 2+2x 的定义域都是R ,
∴y =? ??
??12-x 2
+2x 的定义域为R ,
∵u =-x 2
+2x =-(x -1)2
+1≤1,
∴? ????12u ≥? ??
??121
, ∴函数的值域为??????12,+∞; (3)∵y =-? ????14x +4·? ??
??12x
+5
=-? ????122x +4·? ????12x
+5
=-????
??? ????12x -22
+9≤9,
∴y ∈(-∞,9];
(4)易得f (x )的定义域为{x |x ∈R }.
∵f (-x )=a -x -1a -x +1=1-a x
1+a x
=-f (x ),且
定义域为R ,
∴f (x )是奇函数.
f (x )=a x +1-2a x
+1=1-2
a x +1
, ①当a >1时,∵a x
+1为增函数,且a x
+1>0,
∴
2
a x
+1
为减函数, ∴f (x )=1-2a x +1=a x -1
a x +1
为增函数.
②当0<a <1时,同理可得f (x )=a x -1
a x
+1
为减函数.
(1)指数型函数y =a
f (x )
的有关性质:
①定义域:与y =f (x )的定义域相同. ②值域:先求f (x )的值域,再根据单调性确定y =a
f (x )
的值域.
(2)对于y =m (a x )2
+na x
+c (m ≠0)的值域,利用换元法转化为二次函数,和用二次函数求值域的方法求解.
(3)与指数函数有关的函数的单调性、奇偶性用定义解决.
练一练 3.若函数y =
a ·2x
-1-a
2x
-1
为奇函数.
(1)确定a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域; (4)讨论函数的单调性. 解:先将函数
y =
a ·2x -1-a
2x
-1
化简为y =a -
12x
-1
. (1)由奇函数的定义,可得f (-x )+f (x )=0,
即a -12-x
-1+a -1
2x -1
=0, ∴2a +1-2x
1-2x
=0.∴a =-12. (2)∵y =-12-12x -1
,∴2x
-1≠0.
∴函数y =-12-1
2x -1的定义域为{x |x
≠0}.
(3)∵x ≠0,∴2x
-1>-1.
又∵2x -1≠0,∴0>2x -1>-1或2x
-1>0.
∴-12-12x -1>12或-12-12x -1<-1
2,
即函数的值域为
.
(4)当x >0时,设0<x 1<x 2,
则y 1-y 2
=
∵0<x 1<x 2,
∴y 1-y 2<0.
因此y =-12-1
2x -1
在(0,+∞)上是增
加的.
由于y =f (x )是奇函数,从而y =-1
2-
1
2x
-1
在(-∞,0)上也是增加的.
关于x 的方程||a x -1+1-2a =0有两
个相等的实数根.则a 的取值范围是________.
[巧思] 将问题转化为直线y =2a 与函
数y =||a x
-1+1(a >0且a ≠1)的图像有两
个交点,利用数形结合法求解.
[妙解] 当a>1时,函数y=||
a x-1+1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图像(实线),
由图可知1<2a<2,
即
1
2
<a<1,与a>1矛盾.
当0<a<1时,同样函数y=||
a x-1+1通过平移变换和翻折变换得到如图所示的图像(虚线),
由图可知1<2a<2,即
1
2
<a<1.
∴当直线y=2a与函数y=||
a x-1+1的图像有两个交点时a的取值范围是
.
[答案]
1.已知以x 为自变量的函数,其中属于指数函数的是( ) A .y =(a +1)x
(其中a >-1,且a ≠0) B .y =(-3)x C .y =-(-3)x D .y =3
x +1
解析:选A 在指数函数y =a x
的定义中,要求①a >0且a ≠1,②a x
,x 的系数均为1,符合以上两点的是选项A.
2.(四川高考)函数y =a x
-a (a >0,且a ≠1)的图像可能是 ( )
解析:选C 法一(图像变换法)当0 -a 是减函数,且其图像可视为是由函数y =a x 的图像向下平移a 个单位长度所得到的,结合各选项知,选C. 法二(特殊点法)由题意可知函数y =a x -a (a >0且a ≠1)必过点(1,0),故只有C 项符合. 3.已知? ????1πa >? ?? ??1πb ,则a 、b 的大小关系是( ) A .1>a >b >0 B .a <b C .a >b D .1>b >a >0 解析:选B 考查指数函数y =? ?? ??1πx , ∵底数1π<1,∴y =? ?? ??1πx 在R 上是减函数. ∵? ????1πa >? ?? ??1πb ,∴a <b . 4.函数y =a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则a =________. 解析:∵指数函数是单调函数,∴函数y =a x 在区间[0,1]端点上取得最值. ∴a 0 +a =3,得a =2. 答案:2 5.若a <0,则函数y =(1-a )x -1的图像必过点________. 解析:a <0,-a >0,1-a >1, ∴y =(1-a )x 为指数函数,过点(0,1), 将y =(1-a )x 的图像向下平移1个单位, 得到函数y =(1-a )x -1的图像,过定点(0,0). 答案:(0,0) 6.设a >0,f (x )=e x a +a e x 在R 上满足 f (-x )=f (x ), (1)求a 的值; (2)证明:f (x )在(0,+∞)上是增函数. 解:(1)依题意,对一切x ∈R 有f (x )=f (-x ), 即e x a +a e x =1a e x +a e x . 所以? ????a -1a ? ????e x -1e x =0对一切x ∈R 成立. 由此可得a -1a =0,即a 2 =1.又因为a >0,所以a =1. (2)证明:设0<x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)= = = 由x 1>0,x 2>0,x 2-x 1>0,得x 1+x 2>0, , ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x )在(0,+∞)上是增函数. 一、选择题 1.(山东高考)函数f (x )= 1-2x +1 x +3 的定义域为 ( ) A .(-3,0] B .(-3,1] C .(-∞,-3)∪(-3,0] D .(-∞,-3)∪(-3,1] 解析:选A 由题意得??? ?? 1-2x ≥0, x +3>0, 所以-3 2.指数函数y =b ·a x 在[b,2]上的最大值与最小值的和为6,则a =( ) A .2 B .-3 C .2或-3 解析:选A ∵y =b ·a x 为指数函数,∴b =1,则[b,2]=[1,2].由于y =a x 为单调函数,∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值,∴a +a 2 =6,解得a =2或a =-3(舍去). 3.已知f (x )=????? f (x -2),x ≥0,2x ,x <0, 则f (8)等于( ) A .4 B .0 D .2 解析:选C f (8)=f (6)=f (4)=f (2)=f (0)=f (-2)=2-2 =14 . 4.定义运算a ×b =? ?? ?? a (a ≤ b ), b (a >b ),则函数f (x )=1×2x 的图像是( ) 解析:选A 当x <0时,2x <1,f (x )=2x ;当x ≥0时,2x ≥1,f (x )=1. 二、填空题 5.函数y =8-2x 的定义域是 ________. 解析:∵8-2x ≥0,即2x ≤23 ,又y =2x 在R 上为增函数.∴x ≤3的定义域为(-∞,3]. 答案:(-∞,3] 6.已知a =0.30.2 ,b =,c =,d =? ????12-,则a ,b ,c ,d 由小到大排列的顺序是________. 解析:∵0.30.2 <=1,同理:,? ?? ??12->1,考查幂函数y =,可知该函数在(0,+∞)上是 增函数. ∴0.30.2 >;考查指数函数y =,可知该函数在R 上是减函数,∴,综上,- ,即c <b <a <d . 答案:c <b <a <d 7.函数f (x )=? ???? -x +3-3a ,x <0, a x ,x ≥0(a >0,a ≠1)是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是________. 解析:当x <0时,函数f (x )=-x +3-3a 是减函数; 当x ≥0时,函数f (x )=a x 是减函数,则0<a <1;且满足0+3-3a ≥a 0 ,解得a ≤23 , 所以a 的取值范围是? ?? ??0,23. 答案:? ?? ??0,23 8.若0<a <1,b <-1,则函数f (x )=a x +b 的图像一定不经过第________象限. 解析:函数f (x )=a x +b 的图像可由函数y =a x 的图像向上(b >0时)或向下(b <0)时,平移|b |个单位得到,∵0<a <1,b <-1,结合图像可知,f (x )=a x +b 的图像一定不经过第一象限. 答案:一 三、解答题 9.已知函数y =a 2x +2a x -1(0<a <1)在区间[-1,1]上的最大值是14,试求a 的值. 解:由y =a 2x +2a x -1(0<a <1), 令t =a x ,∵x ∈[-1,1]∴a ≤t ≤1a , ∴y =t 2+2t -1=(t +1)2 -2. 对称轴为t =-1. ∵0<a <1∴1a >1,∴当t =1 a , 即x =-1时,y 取最大值. y max =1a 2+2a -1=14,解得a =1 3, a =-15 . ∵0<a <1,∴a =13. 10.已知函数f (x )=? ?? ? ?12x -1+12·x 3. (1)求f (x )的定义域; (2)讨论f (x )的奇偶性; (3)证明f (x )>0. 解:(1)由题意,2x -1≠0,即x ≠0, ∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)对任意x ∈(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f (-x )=? ?? ? ?12-x -1+12(-x )3 =2-x +12(2-x -1)·(-x )3 =1+2x 2(1-2x )·(-x )3 =? ?? ? ?12x -1+12·x 3=f (x ), ∴f (x )为定义域上的偶函数. (3)当x >0时,2x >1, ∴2x -1>0. 又∵x 3 >0, ∴f (x )>0. 由偶函数的图像关于y 轴对称,知x <0时,f (x )>0也成立.故对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f (x )>0. 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{>< 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作 logaN=b, 其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式. 练习1 把下列指数式写成对数形式: 练习2 把下列对数形式写成指数形式: 练习3 求下列各式的值: 因为22=4,所以以2为底4的对数等于2. 因为53=125,所以以5为底125的对数等于3. 师:由定义,我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么? 生:a>0且a≠1;b∈R;N∈R. 师:N∈R?(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.) 生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N中N总是正数. 师:要特别强调的是:零和负数没有对数. 师:定义中为什么规定a>0,a≠1? 生:因为若a<0,则N取某些值时,b可能不存在,如b=log(-2)8不存在;若a=0,则当N不为0时,b不存在,如log02不存在;当N为0时,b可以为任何正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b不存在,如log13不存在,N为1时,b可以为任何数,是不唯一的,即log11有无数多个值.因此,我们规定:a>0,a≠1. 师:(板书)对数logaN(a>0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数,简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数,记作lnN,其中e是个无理数,即e≈2.718 28……. 练习4 计算下列对数: lg10000,lg0.01,2log24,3log327,10lg105,5log51125. 师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想. 生:2log24=4.这是因为log24=2,而22=4. 生:3log327=27.这是因为log327=3,而33=27. 生:10lg105=105. 生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125. alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线) 证明:设指数等式ab=N,则相应的对数等式为logaN=b,所以ab=alogaN=N. 师:你是根据什么证明对数恒等式的? 生:根据对数定义. 师:(分析小结)证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知 C 咨询电话:4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ::: a ::: 1两种不同情况。 1、指数函数: 定义:函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数,指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于X 轴上方; (1)X 取任何实数值时,都有 a X A0 ; (2)图象都经过点(0, 1); (2)无论a 取任何正数,X = 0时,y = 1 ; (3) y — 2 , y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 (3)当 a > 1 时,{ →, X 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — [的图象正好相反; 当 0 ca c1 时,< X £ 0 ,贝U a x A 1 k (4) y =2X , y=10X 的图象自左到右逐渐 (4)当a >1时,y =a x 是增函数, 当0cac1时,y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ::;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 , y = 0 a =1 时,y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ,y =Iog a X 在 上升,y = f l]的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y=2x和y=10x相交于(0,1), 的图象在y =2x的图象的上方,当X :::0 ,刚好相反,故有1 0 2. 22及10 ^ ::: 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a tl = N(a . 0且a ■■ 1),那么数b就叫做以a为底的对数,记作b = Iog a N (a是底数,N是 真数,log a N是对数式。) 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成 比较好办。 解:设Iog 0.32 X ■? 0 时,y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象,可以画出任意一个函数y = a 示意图,如y =3x的图象,一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间,且过点(0, 1),从而y = X 也由关于y轴的对称性,可得的示意图,即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 指数函数与对数运算 一、选择题 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .3124 3)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.对数式b a a =--)5(log 2中,实数a 的取值范围是 ( ) A .)5,(-∞ B .(2,5) C .),2(+∞ D . )5,3()3,2( 4.如果c b a x lg 5lg 3lg lg -+=,那么 ( ) A .x =a +3b -c B .c ab x 53= C .53 c ab x = D .x =a +b 3-c 3 5.已知指数函数()y f x =,且35 ()225 f -= ,则函数()y f x =的解析式是( ) A 、32 y x = B 、5x y -= C 、5 y x = D 、5x y = 6.设123()4a -=,144()3b =,3 43 ()2 c -=则,,a b c 的大小顺序是 ( ) A c a b << B c b a << C b a c << D b c a << 7.为了得到函数13()3 x y =?的图象,可以把函数1()3 x y =的图象 ( ) A 向左平移3个单位长度 B 向右平移3个单位长度 C 向左平移1个单位长度 D 向右平移1个单位长度 8.函数13x y =-的定义域是( ) A 、(,0]-∞ B 、(,1]-∞ C 、[0,)+∞ D 、[1,)+∞ 9. 若{} |2x M y y ==,{ } |1N x y x == -则M N = ( ) A {}|1y y > B {}|1y y ≥ C {}|0y y > D {}|0y y ≥ 10.函数?????>≤-=-0 ,0 ,12)(2x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 2020-2021学年高一数学单元知识梳理:指数函数与对数函数 1.指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质,在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化. 2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点,而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重,要熟知a在(0,1)和(1,+∞)两个区间取值时, 函数的单调性及图象特点. 3.比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用,在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正数、负数;再将正数与1比较,分出大于1还是小于1;然后在各类中两两相比较. 4.求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时,首先要考虑指数函数、对数函数的定义域,再由复合函数的单调性来确定其单调区间,要注意单调区间是函数定义域的子集.其次要结合函数的图象,观察确定其最值或单调区间. 5.函数图象是高考考查的重点内容,在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质.在解方程或不等式时,特别是非常规的方程或不等式,画出图象,利用数形结合能快速解决问题. 6.方程的解与函数的零点:方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 7.零点判断法:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 注意:由f(a)f(b)<0可判定在(a,b)内至少有一个变号零点c,除此之外,还可能有其他的变号零点或不变号零点.若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内可能有零点,也可能无零点. 8.二分法只能求出其中某一个零点的近似值,另外应注意初始区间的选择. 9.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下: 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等,其中单调性是高考考查的重点,并且经常以复合函数的形式考查,求解此类问题时,要以已学函数的单 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12 -=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--() 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x =1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1, 但y x =1的反函数不存在,因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210,,的图 象的认识。 对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0 时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ?? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间,且过点()01,,从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =log (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 (2)对数恒等式: 由a N b N b a ==()log ()12 将(2)代入(1)得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算: () 313 2 -log 解:原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 (3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1的对数是零; ③底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则: ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ , ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ , ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 14 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但 y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210,,的图象的 认识。 图象特征与函数性质: 对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ? ? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的 示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间,且过点()01,,从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =l o g (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求lo g .032524?? ? ? ? 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ,再改写为指数式就比较好办。 解:设log .032524?? ? ? ?=x 指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算. 2.理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点. 3.理解对数的概念及其运算性质. 4.重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6.知道指数函数 与对数函数互为反函数(a >0,a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论,我们约定a>0,n ,m ∈N *,且 m n 为既约分数,分数指数幂可如下定义: 3.运算法则 当a >0,b >0时有: (1)n m n m a a a +=?; (2)()mn n m a a =; (3)()0≠>=-a n m a a a n m n m ,; (4)()m m m b a ab =. 要点诠释: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算; (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-; (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1.n 次方根的定义: 若x n =y(n ∈N * ,n>1,y ∈R),则x 称为y 的n 次方根,即x=n y . n 为奇数时, y 的奇次方根有一个,是负数,记为n y ;零的奇次方根为零,记为00=n ; n 为偶数时,正数y 的偶次方根有两个,记为n y ±;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为00n =. 2.两个等式 (1)当1n >且*n N ∈时, ()n n a a =; (2)???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释: ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成||a 的形式,这样能避免出现错误. ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的;无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数(如 ),先要化成假分数(如15/4), 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 指数函数及对数函数重难点 根式的概念: ①定义:若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根.即,若 a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且, 1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ; 2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作 )0(>±a a n . ②性质:1)a a n n =)(; 2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念: ①规定:1)∈???=n a a a a n ( N * , 2))0(10 ≠=a a , n 个 3)∈=-p a a p p (1 Q ,4)m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ), 2)r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ), 3)∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ) (注)上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 (1) 3 28 (2)2 125 - (3)()5 21- (4)() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? (2)a a a (3)32 )(b a - (4)43 )(b a + (5)32 2b a ab + (6)42 33 )(b a + 例.化简求值 (1)0 121 32322510002.08 27)()()()(-+--+---- (2)2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- (3)=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a (4)21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = (5)6323 1.512??= 指数函数的定义: ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R , 2)函数的值域为),0(+∞, 3)当10<a 时函数为增函数. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1)2 2 x y += (2)(2)x y =- (3)2x y =- (4)x y π= (5)2y x = (6)2 4y x = (7)x y x = (8)(1)x y a =- (a >1,且2a ≠) 例:比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例:已知指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1)的图象过点(3,π),求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考:已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(,则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b 精品资料 欢迎下载 第四章《指数函数与对数函数》测试卷 一、填空题 1. ( ) A 、118 4 23? B 、314 4 23? C 、213 4 23? D 、8 4 23? 2. =??4 36482( ) A 、4 B 、8152 C 、2 72 D 、8 3. 函数()f x = ( ) A.(1,3) B. [-∞,3] C. [3,+∞] D. R 4. 3log 81= ( ) A 、2 B 、4 C 、2- D 、-4 5. 指数函数的图象经过点)27,2 3(,则其解析式是 ( ) A 、x y 3= B 、x y )3 1(= C 、x y 9= D 、x y )9 1(= 6. 下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是 ( ) A 、12y x = B 、3 1x y = C 、2y x -= D 、2 y x = 7. 将25628 =写成对数式 ( ) A 、2256log 8= B 、28log 256= C 、8256log 2= D 、2562log 8= 8. 将ln a = b (a >0) 写成指数式 ( ) A 、10 b = a B 、e b = a C 、 a b = e D 、 e a = b 9. 求值2 2ln log 16lg 0.1e +-等于( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 10. 如果32log (log )1x =,那么x =( ) A 、8 B 、9 C 、2 D 、3 11. 函数x x f lg 21)(-= 的定义域为( ) A 、(,10) -∞ -(10,)+∞ B 、(-10,10) C 、(0,100) D 、(-100,100) 12. 3 0.7、3log 0.7、0.7 3 的大小关系是( ) A 、30.730.73log 0.7 << B 、30.730.7log 0.73<< C 、 30.7 3log 0.70.73<< D 、 0.73 3log 0.730.7<< 二、填空题: 1.用不等号连接: (1)5log 2 6l o g 2 ,(2)若n m 33>,则m n ;(3)35.0 36.0 2. 若43x =, 3 4 log 4=y ,则x y += ; 3. 方程x x 28 )3 1 (3 2--=的解集为______________; 4. 若x x f 2)2(=,则=)8(f ; 三、解答题 1.. 解下列不等式: (1)0)3(log 3<-x (2)14 3log 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0=1(a≠0);a-n= 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n=n a m(a>0 , m,n∈N*, 且n>1) (a>0 , m,n∈N*, 且n>1) 当n∈N*时,(n a)n=a 当为奇数时,n a n=a 当为偶数时,n a n=│a│= a (a≥0) -a (a<0) 运算律:a m a n=a m + n (a m)n=a m n (ab)n=a n b n 1.计算: 2-1×6423=. 2. 224282=; 333363= . 3343427=; 393 36 = . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y=a x(a>0,且a≠1) 2、图象: 3、函数y=a x(a>0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ,即(-∞,+∞) 值域:R+ , 即(0,+∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a>1时,在R上是增函数 当0<a<1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a>1时,图象向左与x轴无限接近; 当0<a<1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (-3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =;② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4-0.10.4-0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )- 1 2,( 2 3 )- 1 3,( 1 2 )- 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数, 则a的取值范围( ) A.a<3 B.c C.a>3 D.2<a<3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数,则a适合的条件是( ) A.|a|>1 B.|a|>2 C.a>2 D.1<|a|<2 指数函数与对数函数 一、实数指数幂 1、实数指数幂:如果x n =a (n ∈N +且n >1),则称x 为a 的n 次方根。当n 为奇数时,正数a 的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数。这时,a 的n 次方根只有一个,记作n a 。当n 为偶数时,正数a 的n 次方根有两个,它们互为相反数,分别记作n a ,- n a 。它们可以写成±n a 的形式。负数没有 (填“奇”或“偶”)次方根。 例:填空: (1)、(38)3= ;(38-)3 = 。 (2)33 8= ;33)8(-= 。 (3)、44 5= ;44)5(-= 。 巩固练习: 1、将下列各分数指数幂写成根式的形式: (1)3 2a (2)5 3-b (b ≠0) 2、将下列各根式写成分数指数幂的形式: (1)52 a (2)3 5 1 a (a ≠0) 3、求下列幂的值: (1)、(-5)0; (2)、(a-b )0; (3)、2-1; (4)、(47)4 。 2、实数指数幂的运算法则 ①、β α a a ?=β α+a ②、βαa a =β α-a ③、β α)(a =αβ a ④、α )(ab =α α b a ? ⑤、α)(b a =αα b a 例1:求下列各式的值: ⑴、2 1100 ⑵、3 2 8- ⑶3 23 188? 例2:化简下列各式: ⑴、3a a ⑵、633333?? 巩固练习:1、求下列各式的值: ⑴、4 33 162 ?- ⑵、4482? ⑶553 25.042 ??- 2、化简下列各式: ⑴2 )3(-x ⑵232)(-y x ⑶203 53 2a a a a ???-(a ≠0) 二、幂函数 1、幂函数:形如α x y =(α∈R,α≠0)的函数叫做幂函数,其中x 为自变量,α为常数。 例1、判断下列函数是否是幂函数: ⑴、y =4x ⑵、y =3 -x ⑶、y =2 1 x ⑷、y =x 2 ⑸、s =4t ⑹、y =x x ++2) 1( ⑺、y =2 x +2x+1 巩固练习:观察下列幂函数在同一坐标系中的图象,指出它们的定义域: ⑴、y =x ;⑵、y =2 1x ;⑶y =1 -x ; ⑷y =2 x ;⑸y =41 -x 。 o x 1 1 y y =x y=x -1 y=x 2 高中数学指数与指数函数练习题及答案 2019级数学单元同步试题 (指数与指数函数) 姓名____学号____ 一、选择题(12*5分) 1.()4()4等于() (A)a16 (B)a8 (C)a4 (D)a2 2.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是() (A)(B)(C)a (D)1 3.下列函数式中,满足f(x+1)= f(x)的是( ) (A) (x+1) (B)x+ (C)2x (D)2-x 4.已知ab,ab 下列不等式(1)a2b2,(2)2a2b,(3) ,(4)a b ,(5)( )a( )b 中恒成立的有() (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 5.函数y= 的值域是() (A)(- )(B)(- 0)(0,+ ) (C)(-1,+ )(D)(- ,-1)(0,+ ) 6.下列函数中,值域为R+的是() (A)y=5 (B)y=( )1-x (C)y= (D)y= 7.下列关系中正确的是() (A)()()()(B)()()() (C)()()()(D)()()() 8.若函数y=32x-1的反函数的图像经过P点,则P点坐标是() (A)(2,5)(B)(1,3)(C)(5,2)(D)(3,1)9.函数f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是() (A)(0,+)(B)(5,+) (C)(6,+)(D)(-,+) 10.已知函数f(x)=ax+k,它的图像经过点(1,7),又知其反函数的图像经过点(4,0),则函数f(x)的表达式是()(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+3 11.已知01,b-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过()(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 12.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价值为() (A)na(1-b%) (B)a(1-nb%) (C)a[(1-(b%))n (D)a(1-b%)n 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(4*4分) 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a (1)5 1a = (2)32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)3 4y x = (2))0(2>=m m m 3、求下列各式的值 (1)2 325= (2)32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 (1)13 1 8 x - = (2)151243 =-x 分数指数幂(第 9份)答案 153 ,a a 2、33 2 22 ,x y m 3、(1)125 (2) 8125 4、(1)512 (2)16 指数函数(第 10份) 1、下列函数是指数函数的是 ( 填序号) (1)x y 4= (2)4 x y = (3)x y )4(-= (4)2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数,求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数,那么a 取值范围是 ( ) A 、2a C 、21< 5、下列关系中,正确的是 ( ) A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小: (1)0.5 3.1 2.3 3.1 (2)0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? (3) 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-,2]上的最大值为 ,最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-,2]上的最大值为 ,最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围: (1)82>x (2)2.05 课题: 指数函数及其性质(一) 课 型:新授课 教学目标: 使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质. 教学重点:掌握指数函数的的性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的? 2. 提问:有理指数幂的运算法则可归纳为几条? 二、讲授新课: 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念: ① 探究两个实例: A .细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个,第2次由2个分裂成4个,第3次由4个分裂成8个,如此下去,如果第x 次分裂得到y 个细胞,那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么? B .一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的84%,那么以时间x 年为自变量,残留量y 的函数关系式是什么? ② 讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么? ③ 定义:一般地,函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数(exponential function ),其中x 是自变量,函数的定义域为R . ④讨论:为什么规定a >0且a ≠1呢?否则会出现什么情况呢?→ 举例:生活中其它指数模型? 2. 教学指数函数的图象和性质: ① 讨论:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗? ② 回顾:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. ③ 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: 1 ()2 x y =, 2x y = (师生共作→小结作法) ④ 探讨:函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系?如何由2x y =的图象画出1 ()2 x y =的图 象?根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后? ⑤ 根据图象归纳:指数函数的性质 (书P 56) 3、例题讲解 例1:(P 56 例6)已知指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1)的图象过点(3,π),求(0),(1),(3)f f f -的值. 例2:(P 56例7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73高一数学指数函数知识点及练习题
幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案
对数指数函数公式全集
指数函数与对数运算解读
高中数学指数函数与对数函数
高一数学指数函数经典例题
指数、对数函数公式
对数指数函数公式全集
指数对数幂函数总结归纳
指数函数与对数函数知识点总结
指数对数概念及运算公式
中职数学指数函数与对数函数试卷
高中数学-指数函数对数函数知识点
中职数学指数函数与对数函数
高中数学指数与指数函数练习题及答案
高一数学_指数函数对数函数幂函数练习(含答案)
高中数学指数函数及其性质(一)