2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={x|(x?2)(x+1)>0}则C R A=()

A. {x|?1

B. {x|?1≤x≤2}

C. {x|x2}

D. {x|x≤?1}∪{x|x≥2}

2.已知复数z=1+i，则|z2?1|=()

A. 5

B. 2√5

C. √5

D. 2

3.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分

之一圆弧，该几何体的表面上的两点M，N在正视图上的对应点

分别为A(中点)，B，则一质点自点M沿着该几何体的侧面绕行

一周到达点N的最短路径长为()

A. √(π+4)2+1

B. √π2+1

C. √4π2+1

D. √37

4.函数f(x)=1

3ax3+1

2

ax2?2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()

A. ?4

3

3

B. ?1

2

C. ?6

5

16

D. ?2

5.已知△ABC的三个顶点是A(?a,0)，B(a,0)和C(a

2,√3

2

a)，则△ABC的形状是()

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 直角三角形

D. 斜三角形

6.下列函数图象不是轴对称图形的是()

A. y=1

x

B. y=cosx，x∈[0,2π]

C. y=√x

D. y=lg|x|

7.如图是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为()

y 1 y 2 合计 x 1 a 35 45 x 2 7 b n 合计

m

73

S

A. 10，38

B. 17，45

C. 10，45

D. 17，38

8. 一个圆经过以下两个点B(?3,0)，C(0,?2)，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为( )

A.

B. x 2+(y ±54)2=(13

4)2 C. x 2+(y ?5

4)2=13

4

D. x 2+(y ?5

4)2=(13

4)2

9. 已知F 1(?8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|?|PF 2|=10，则P 点的轨迹是( )

A. 双曲线

B. 双曲线的一支

C. 直线

D. 一条射线

10. 向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概

率为( )

A. 35

18 B. 25

36 C. 25144 D. 2572

11. 如图，直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，且CA =CC 1=√2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角

的余弦值为( )

A. √5

5

B. √53

C. 2√55

D. √1515

12. 已知函数f(x)=k(x ?lnx)?

e x x

，若f(x)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是( )

A. (?e,+∞)

B. (?∞,e)

C. (?∞,e]

D. (?∞,1

e ]

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.f(x)=(2?x)e2x的单调递增区间是__________．

)5的展开式中x4的系数为________．

14.(x2+2

x

15.如图，江岸边有一观察台CD高出江面30米，江中有两条船A和B，

由观察台顶部C测得两船的俯角分别是45o和30o，若两船与观察台

底部连线成30o角，则两船的距离是__________．

16.已知函数f(x)=axlnx?e x(其中e为自然对数的底数)存在唯一的极值点，则实数a的取值范围

是________．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.设f(x)=6cos2x?√3sin2x．

(1)求f(x)的最大值及最小正周期；

α的值．

(2)若锐角α满足f(α)=3?2√3，求tan4

5

18.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：

(1)B1C//平面FAC1；

(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．

19.已知函数

(1)当a=?1时，求f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1,e]时，求f(x)的最小值．

20. 已知函数，f(x)=log 2x ?x +1，(x ∈[2,+∞))，数列{a n }满足a 1=2,

a n+1a n

=2,(n ∈N ?)．

(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ)求f(a 1)+f(a 2)+?+f(a n ).

21. 设M 点为圆C ：x 2+y 2=4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N.动点P 满足2PN

?????? =√3MN ??????? ，动点P 的轨迹为E ． (Ⅰ)求E 的方程；

(Ⅱ)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B(A,B 不是左右顶点)，且满足|DA ????? +DB ?????? |=|DA ????? ?DB

?????? |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．

22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1?√3

2t

y =?√3+1

2t

(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√2

2． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；

(2)设点P(1,?√3)，直线l与曲线C相交于两点A，B，求1

|PA|+1

|PB|

的值．

23.设函数f(x)=|x?a|．

(1)当a=?1时，解不等式f(x)≥7?|x?1|；

(2)若f(x)≤2的解集为[?1,3]，m+2n=2mn?3a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥6．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查一元二次不等式的解法和补集及其运算.化简集合A，结合数轴即可求出结果．

解：由(x?2)(x+1)>0得x>2或x

∴A={x|x2}，

∴C R A={x|?1≤x≤2}．

故选B．

2.答案：C

解析：

本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题.先求出z2?1，再根据复数模的求法即可求得结果．

解：由复数z=1+i，得z2?1=(1+i)2?1=2i?1，

所以|z2?1|=√22+(?1)2=√5．

故选：C．

3.答案：A

解析：

本题考查几何体的三视图和多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，属中档题，关键是根据三视图确定几何体的形状与尺寸，并将空间最短路径问题转化为侧面展开图的直线距离问题

解：如图是由三视图得到的几何体，是有一个棱长为2的正方体去掉以一条棱为轴的底面半径r=2的圆柱的四分之一得到，

×2π×r=π，

圆柱部分的底面弧长为1

4

其展开图如图所示，是长为4+π，宽为2的矩形，

质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为展开图中M、N的直线距离为，

故选A．

4.答案：B

解析：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，

函数的导数f′(x)=ax2+ax?2a=a(x?1)(x+2)．

若a<0，当x1，f′(x)<0，

当?20，

即当x=?2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，

要使函数f(x)=1

3ax3+1

2

ax2?2ax+2a+1的图象经过四个象限，

则有f(?2)<0，且f(1)>0，

∴?6

5

16

，

即函数的图象经过四个象限的充要条件为?6

5

16

，

则对应的充分但不必要条件为(?6

5,?3

16

)的真子集，

则?1

2

满足条件，故选：B．

5.答案：C

解析：

本题主要考查了两点间的距离公式以及勾股定理判断，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键．

解：由坐标可知|AB|=2a，|AC|=a

2)(√3a

2

)=√3a，|BC|=a

2

)(√3a

2

)=a，

所以|AB|2=|AC|2+|BC|2，则△ABC是直角三角形，

故选C．

6.答案：C

解析：解：对于A，y=1

x

为轴对称图形，其对称轴y=x，或y=?x，对于B：y=cosx在x∈[0,2π]为轴对称图形，其对称轴x=π，

对于C：y=√x不是轴对称图形，

对于D：y=lg|x|为轴对称图形，其对称轴x=0，

故选：C．

根据常见函数的图象即可判断

本题考查了函数的图象和性质，属于基础题

7.答案：B

解析：

本题考查2×2列联表，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由联表中数据即可求解．

解：根据2×2列联表可知a +35=45，解得a =10，则m =a +7=17，又由35+b =73，解得b =38，则n =7+b =45，故选B ．

8.答案：D

解析：

本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．

设圆心坐标为(0,b)，半径为r ，可得圆的方程为x 2+(y ?b)2=r 2，把已知点的坐标代入，求解b 与r 值，则圆的方程可求．

解：设圆心坐标为(0,b)，半径为r ， 则圆的方程为x 2+(y ?b)2=r 2， 则{

9+b 2=r 2

(b +2)2=r 2, 解得b =5

4，r 2=

16916

，

∴圆的标准方程为x 2+(y ?5

4)2=(13

4)2． 故选D ．

9.答案：D

解析：F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|=10，所以满足条件|PF 1|?|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D ．

10.答案：C

解析：

根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．

解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，

在直线AB 的方程为6x ?3y ?4=0中， 令x =1得A(1,2

3)， 令y =?1得B(1

6,?1)． ∴三角形ABC 的面积为

S =12AC ×BC =12×(1+23)(1?16)=2536

∵图中正方形的面积为4，

∴飞镖落在阴影部分(三角形ABC 的内部)的概率是：25

364

=

25

144

．

故选：C ．

11.答案：D

解析：

本题考查利用空间向量解决异面直线所成角的问题，向量夹角余弦的坐标公式，要清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．

设CA =1，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点A ，B ，B 1，C 1几点的坐标，从而得到向量BC 1??????? ，AB 1??????? 的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos ，从而便得出直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值．

解：设CA =1，建立空间直角坐标系，如图，

根据条件可求以下几点坐标：

A(1,0，0)，B 1(0,1，√22

)，B(0,0，√2

2

)，C 1(0,1，0)；

∴BC 1??????? =(0,1,?

√22

),AB 1???????

=(?1,1,

√2

2

)；

∴cos =

BC 1???????? ?AB 1

???????? |BC 1???????? |·|AB 1???????? |

=

1?

1

2

√1+2

4×√1+1+

2

4

=√15

15．

∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为√1515

．

故选D ．

12.答案：C

解析：

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是中档题． 求出函数的导数，令f ′(x)=0，解得x =1，或k =e x x

，令?(x)=

e x x

，根据函数的单调性结合?(x)=

e x x

的图象，求出k 的范围即可． 解：函数f(x)=k(x ?lnx)?e x x

(k ∈R )，

∴f ′

(x)=

(x?1)(kx?e x )

x 2

，x ∈(0,+∞)；

令f′(x)=0，解得x =1，或k =e x x

，

设，

则?′

(x)=

e x x?e x

x 2

=

e x (x?1)x 2

，

由?′(x)>0，得x >1； 由?′(x)<0得0

当x =1时，?(x)取得极小值?(1)=e ． 作出函数?(x)=

e x x

的图象如图所示：

结合函数?(x)的图象，

则k

k=e时，函数f(x)也只有一个极值点x=1，满足条件；

k>e时不满足条件，舍去．

综上所述，实数k的取值范围是(?∞,e]．

故选C．

13.答案：(?∞,3

2

)

解析：

f′(x)=?e2x+2(2?x)e2x=e2x(3?2x)，因为e2x>0恒成立，所以令f′(x)=e2x(3?2x)>0得

x<3

2.即f(x)的单调递增区间为(?∞,3

2

)．

本题考察导数的基本计算和函数单调性的求解，属于基础题．

14.答案：40

解析：

本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．

求出二项展开式的通项，计算可得结果．

解：根据题意得，T r+1=C5r(x2)5?r(2

x

)r=C5r2r x10?3r，

令10?3r=4，得r=2，

∴(x2+2

x

)5的展开式中x4的系数为C5222=40．

故答案为40．

15.答案：30米

解析：

本题给出实际应用问题，求观察台旁边两条小船间的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．

利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面△DAB中用余弦定理即可求出两船距离．

解：如图，设C处观测小船A的俯角为45°，

设C处观测小船B的俯角为30°，连接DA、DB，

Rt△CDA中，∠CAD=45°，可得DA=CD=30米，

Rt△CDB中，∠CBD=30°，可得DB=√3CD=30√3米，

在△DAB中，DA=30米，DB=30√3米，∠ADB=30°，

由余弦定理可得：

AB2=DA2+DB2?2DA·DBcos30°=900．

∴AB=30米(负值舍去)．

故答案为30米．

16.答案：

解析：

本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断即可．

解：f′(x)=a lnx+a?e x=a(lnx+1)?e x，

令f′(x)=0，即a(lnx+1)?e x=0，

解得x=0，

∴f(x)在x=0处存在极值为，f(0)=?e0=?1<0，

又∵函数存在唯一的极值点，

∴只需要f′(x)=a(lnx+1)?e x<0即可，

∵e x在R上恒大于0，

则只需a<0即可，

∴a的取值范围为，

故答案为．

?√3sin2x

17.答案：解：(1)f(x)=61+cos2x

2

=3cos2x ?√3sin2x +3 =2√3(√3

2cos2x ?12

sin2x)+3

=2√3cos(2x +π

6

)+3

故f(x)的最大值为2√3+3；最小正周期T =

2π2

=π

(2)由f(α)=3?2√3得2√3cos(2α+π

6)+3=3?2√3， 故cos(2α+π

6)=?1

又由0<α<π

2得π

6<2α+π

6<π+π

6，故2α+π

6=π，解得α=5

12π． 从而tan 4

5α=tan π3=√3．

解析：本题考查三角函数的图象与性质即三角函数的恒等变换，解决问题的关键是：

(1)利用三角函数的二倍角公式及公式asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +θ)化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． (2)列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．

18.答案：解：(1)证明：如图所示取AB 的中点E ，连接CE ，EB 1，

∵F 为A 1B 1的中点，∴C 1F//CE ，AF//B 1E ，且C 1F ∩AF =F ，CE ∩B 1E =E ， ∴面B 1CE//平面FAC 1，∵B 1C ?B 1CE ， ∴B 1C//平面FAC 1

(2)证明：直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，A 1A ⊥面A 1C 1B 1，∵C 1F ?面A 1C 1B 1，∴A 1A ⊥C 1F ， ∵AC =BC ，F 为A 1B 1的中点，∴A 1B 1⊥C 1F ，且AA 1∩A 1B 1，∴C 1F ⊥面AA 1C 1B 1B ，

C1F?面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．

解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．

本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)当a=?1时，，

∴f′(x)=x?1

x =x2?1

x

(x>0)，

由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0

(2)f′(x)=x?(a+1)+a

x =x2?(a+1)x+a

x

=(x?1)(x?a)

x

(x>0)，

当a≤1时，f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=9

2

?a；

当1

；

当a≥e时，f(x)在[1,e]上为减函数，

∴f(x)min=f(e)=e2

2

?(a+1)e+5+a，

综上所述，当a≤1时，f(x)min=9

2

?a；

当1

当a≥e时，f(x)min=e2

2

?(a+1)e+5+a

解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题．

(1)求出导函数，由f′(x)>0解得单调递增区间，由f′(x)<0解得单调递减区间；

(2)求出导函数，由f′(x)=0的两根的的大小，分类讨论，求得函数在[1,e]上的单调性，得到最小值．

20.答案：解：(I)∵a n+1

a n =2，a

1

=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列

∴a n=2×2n?1=2n；

(II)由(I)可得f(a n)=log22n?2n+1=(n+1)?2n，

∴f(a1)+f(a2)+?+f(a n)=[2+3+?+(n+1)]?(2+22+?+2n]

=

n(n+3)2

?2n+1+2．

解析：(I)根据

a n+1a n

=2，a 1=2，利用等比数列的定义可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比

数列，从而可求数列{a n }的通项公式a n ；

(II)由(I)可得f(a n )=log 22n ?2n +1=(n +1)?2n ，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得结论．

本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题．

21.答案：解：(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N (x 0,0)，

∴PN

?????? =(x 0?x,?y )，MN ??????? =(0,?y 0)， ∵2PN ?????? =√3MN ??????? ， ∴x 0=x ，y 0=

2√3y

3

， 代入圆的方程得，x 2+4

3y 2=4， 即

x 24

+

y 23

=1，

故动点P 的轨迹E 的方程为：

x 24

+

y 23

=1；

证明：(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，D (?2,0)， ∵|DA ????? +DB ?????? |=|DA ????? ?DB ?????? |， ∴DA ⊥DB ，

设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24

+y 23

=1

，消去y 得

(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2?12=0， ∴x 1+x 2=?

8km

3+4k 2

，x 1x 2=4m 2?123+4k 2

，…①

∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2，…② 由DA ⊥DB 得：y 1

x 1+2×y 2

x 2+2=?1， 即?y 1y 2=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4，…③

由②③得：(k 2+1)x 1x 2+(2+mk )(x 1+x 2)+m 2+4=0，…④ 把①代入④并整理得：7m 2?16km +4k 2=0，得： (7m ?2k )(m ?2k )=0，

即m =27k 或m =2k ，故直线l 的方程为y =k (x +2

7)，或y =k (x +2)， 当直线l 的方程为y =k (x +2

7)时，l 过定点(?2

7,0)；满足Δ>0

当直线l 的方程为y =k (x +2)时，l 过定点(?2,0)，这与A ，B 不是左右顶点矛盾． 故直线l 的方程为y =k (x +2

7)，过定点(?2

7,0)．

解析：本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．

(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； (2)由向量条件结合矩形对角线相等可得DA ，DB 垂直，斜率之积为?1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．

22.答案：解：(1)因为

，所以，

将

，ρ2=x 2+y 2，代入上式，可得x 2+2y 2=8，

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2=8； 因为直线l 的参数方程为{x =1?√3

2t

y =?√3+1

2t

, 消去参数t 得x +√3y +2=0，

所以直线l 的普通方程为x +√3y +2=0； (2)易知点P(1,?√3)在直线l 上，

将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 可得5t 2?12√3t ?4=0，

设A,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=

12√3

5，t 1t 2=?4

5， 于是1

|PA|+1

|PB|=

|PA|+|PB||PA||PB|

=

|t 1?t 2||t 1t 2|

=√(t 1+t 2)2?4t 1t 2|t 1t 2|

=4√2.

解析：本题考查的知识点是椭圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．

(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得5t 2?12√3t ?4=0，利用参数的几何意义，求1

|PA |+1

|PB |的值．

23.答案：解：(1)a =?1时，f(x)=|x +1|，

f(x)≥7?|x ?1|，即|x +1|+|x ?1|≥7，

故{x ≥1x +1+x ?1≥7或{?1

x ≤?1

?x ?1+1?x ≥7, 解得：x ≥7

2或x ≤?7

2，

故不等式的解集是(?∞,?7

2]∪[7

2,+∞)；

(2)令f (x )≤2，即|x ?a|≤2，解得?2+a ≤x ≤2+a ， 由f (x )≤2的解集是[?1,3]，易得a =1，m +2n =2mn ?3， ∵m >0,n >0，由均值不等式可得m +2n ≥2√2mn ， 当且仅当m =2n =3时“=”成立， 故(

m+2n 2

)2

≥(m +2n)+3，

∴m +2n ≥6．

解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

(1)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出a 的值，根据基本不等式的性质证明即可．