S ←9
i ←1
While S ≥0
S ←S -i i ←i +1
End While
Print i （第4题）
江苏省扬州中学2018-2019学年高二数学12月月考试题
一、填空题（每小题5分共70分）
1．命题“,x R ?∈2
0x >”的否定是 ▲ . 2．若点（1,1）到直线cos sin 2x y αα+=的距离为d ，则
d 的最大值是 ▲ ．
3. 右图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖赛上,某一位选手的部分得分的 茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为
▲ .
4．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ． 5.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋
牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按 000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 ▲ . （下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12
06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62
58 79
73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02
79 54 6．函数2
1()2ln 2
f x x x x =
-+的极值点是____▲_______. 7.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线)0(22
>=p px y 上横坐标为1的点到焦点的距离 为4，则该抛物线的准线方程为 ▲ .
8．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，标准差为2，则xy 的值是 ▲ __. 9. 已知条件a x p >:，条件02
1:>+-x x
q . 若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范 围是 ▲ .
10.若函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则(2)=f ' ▲ .
11．已知直线2y x =-与x 轴交于P 点，与双曲线C :2
2
13
y x -=交于A 、B 两点，则7 8
8 4 4 4 6 7 9 2 4 7 第3题图
||||PA PB += ▲ .
12．已知函数1()sin cos f x x x =+，函数1()n f x +是函数()n f x 的导函数，即
'''*21321()=(),()=(),
,()=(),n n f x f x f x f x f x f x n N +∈，则122019()()()=22
2
f f f ππ
π
++
+
▲ .
13．设F 是椭圆C ：22
1(0)x y m n m n
+
=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ,若C 的右准线上存在点P ,使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ . 14．若函数()x
f x e =，g()ln x a x =的图像关于直线y x =对称. 则在区间),2
1
(+∞上不等式
2)()1(x x g x f <+-的解集为 ▲ ．
二、解答题（共90分）
15．（14分）从扬州中学参加2018年全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．
（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．
（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图； （3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？
分组
频数
频率 [70，80） [80，90） [90，100）
③ [100，110） 16 ① [110，120）
[120，130） ② [130，140]
合计 50
组距
频率040.0036.0032.0028.0024.0020.0016.0012.0008.0004
.0
16. （14分）已知0,1c c >≠且，设p ：函数x
y c =在R 上单调递减；q ：函数
2()21f x x cx =-+在1
(,)2
+∞上为增函数.
（1）若p 为真，q ?为假，求实数c 的取值范围；
（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围.
17．（14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ．
（1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2
＋y 2
=1相切的概率；
（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
18. （16分）某小区为解决居民停车难的问题，经业主委员会协调，现决定将某闲置区域改建为停车场. 如图，已知该闲置区域是一边靠道路且边界近似于抛物线
)11(12≤≤--=x x y 的区域，现规划改建为一个三角形形状的停车场，要求三角形的一边
为原有道路，另外两条边均与抛物线相切.
（1）设AC AB ，分别与抛物线相切于点),(),,(2211y x Q y x P ，试用Q P ,的横坐标表示停车场的面积；
（2）请问如何设计，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小？
19．（16分）如图，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>经过点(0,1)A -，右准线:2l x =，设O 为坐
标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），直线AP 交l 于
M （点M 在x 轴下方）
． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于,C D 两点，若6CD =，求圆H 的方程；
（3）若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．
20．（16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；
（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x ；
（3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的 最大值.
高二数学参考答案
M
l
x y
F
O
A
P
Q
（第19题图）
1．,x R ?∈使得2
0x ≤ 2.2＋ 2 3. 170 4． 5 5. 719，050，717 6. 1 7．3x =- 8. 60 9. 2a ≤- 10. 2 11．62 12．-1 13. 1,12??
????
14. ()1,+∞ 15. 解：（1）；2； （2）如图．
（3）在随机抽取的50名同学中有7名 出线,7
5007050
?
=． 答：在参加的
500名中大概有70名同学出线． 16.解：
函数x
y c =在R 上单调递减，
01c ∴<<即:01p c <<2分
函数2()21f x x cx =-+在1(,)2
+∞上为增函数，12c ∴≤即21
:≤c q 4分
（1）
p 为真，q ?为假
由0110122
c c c <
所以由112c c >???≤??或01
12
c c <??解得112c <<, 所以实数c 的取值范围是1{|1}2c c <<
17．解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．∵直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2
＋y 2
=122
1a b =+即：
a 2＋
b 2
=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a =3,b =4,c =5；或a =4,b =3,c =5两种情况．
∴直线ax ＋by ＋c =0与圆x 2
＋y 2
=1相切的概率是
21
3618
= （2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．
∵三角形的一边长为5 ∴当a =1时，b =5，（1，5，5） 1种 当a =2时，b =5，（2，5，5） 1种 当a =3时，b =3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 当a =4时，b =4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种
当a =5时，b =1，2，3，4，5，6， （5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），
（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种
当a =6时，b =5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种 答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为18
736
14=．
18解（1）因AC AB ，为分别与抛物线)11(12
≤≤--=x x y 相切于),(),,(2211y x Q y x P
不妨设11x ≤-<0<12≤x
则直线AB ：1212
1++-=x x x y 直线AC ：1222
2++-=x x x y
可得)0,21
(),0,21(),1,2(2
221122121x x C x x B x x x x A ++-+
所以停车场的面积ABC S ?=2
22211212122112
11(1)()11()(1)2224x x x x x x x x x x x x ++--=--=
其中[)(]1,0,0,121∈-∈x x
（2）ABC S ?=[][]2
12
21122122121)(1)(41)1)((41x x x x x x x x x x x x --+-+?
=--? []2
12
21)(121x x x x --+?≥，当且仅当021=+x x 时等号成立 令t x x =-21，则t
t t t t t f 1
2)1()(322++=+=（01t <≤）， 2
21
23)(t t t f -
+='，令33,0)(=='t t f 得
当0 3 3 时，)(t f '<0,)(t f 单调递减； 当1>t > 3 3 时，)(t f '>0,)(t f 单调递增 所以9 38),9316)33( )(min mi ===?ABC n S f t f 故（， 所以当AC AB ，分别与闲置区的抛物线的边界相切于点)3 2 33(),3233(，，Q P - 时，既能充分 利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小 19．解（1）由222212b a c a b c =???=?? ?=+? ，解得2,1a b =． 所以椭圆E 的标准方程为2 212 x y +=． （2）设(2,)M m ，由CD OM ⊥得12CD OM k k m =- =- ， 则CD 方程为2 (1)y x m =- -，即220x my +-=． 因为圆心(1,)2m H ，则圆心H 到直线CD 的距离为2 222|22| 2424m d m m +-== ++ 圆半径为242OM m r +==，且62CD =，由22 2()2 CD d r +=，代入得2m =±． 因为点M 在x 轴下方，所以2m =-，此时圆H 方程为22(1)(1)2x y -++=． （3）设PQ 方程为：(1)y kx b b =+≠-，(0,1)A -，令1122(,),(,)P x y Q x y ， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得 1212 11 2y y x x +++=， 由1122,y kx b y kx b =+=+得1212 (1)() 22b x x k x x +++ =，① 联立方程22 12 y kx b x y =+?? ?+=??，得222(12)4220k x kbx b +++-=， 所以122 412kb x x k -+=+，21222212b x x k -=+代入①得，(1)(1)0b b k ++-=， 由1b ≠-得10b k +-=，即1b k =-， 所以PQ 方程为1(1)1y kx k k x =+-=-+，所以直线PQ 过定点，定点为(1,1)． 20解（1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++ ∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根， 令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减. ∵()g x 有3个零点，∴(1)0 (3)0g g ->?? ，∴824t -<<. （2）,,a b c 是()f x 的三个极值点 ∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分 ∴23 9 32a b c ab ac bc t abc a c b ++=??++=-??+=-??+=?，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴13113 8a b c t ?=-?=??=+??=? ， 所以，32()(638)x f x x x x e =-++. （3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. 设2()63x x e x x ?-=-+-，则()26x x e x ?-'=--+. 设()()26x r x x e x ?-'==--+，则()2x r x e -'=-. 因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ?'==. 当01x x ≤<时，有()0x ?'>，当0x x >时，有()0x ?'<. 从而()y x ?=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ?-=+>，2(2)50e ?-=+>，3(3)60e ?-=+>， 4(4)50e ?-=+>，5(5)20e ?-=+>，6(6)30e ?-=-<. 所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ?>；当6x ≥时，恒有()0x ?<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5.
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