一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知：点不在同一条直线， .
（1）求证： .
（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点，，请直接写出 ________.
【答案】（1）证明：过点C作，则，
∵
∴
∴
（2）解：过点Q作，则，
∵，
∴
∵分别为的平分线所在直线∴
∴
∵
∴
（3）:1:2:2
【解析】【解答】解：（3）∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ .故答案为： .
【分析】（1）过点C作，则，再利用平行线的性质求解即可；（2）过点Q作，则，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出
，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可得出，又因为，因此，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，再求答案即可.
2．
（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；
（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .
证明：过点 E 作 EH∥AB，
∴∠FEH=∠BFE（▲），
∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）
∴EH∥CD（▲），
∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .
（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.
【答案】（1）90°
（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE，
证明：过点 E 作 EH∥AB，
∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）
∴EH∥CD（平行线的迁移性），
∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°?∠CGE ，
故答案为：∠BFE＋180°?∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°?∠CGE；
（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，
理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，
∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，
在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，
∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE? ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.
即∠GPQ＋∠GEF＝90°.
【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，
∵∠CGE＝130°，
∴∠HEG＝50°，
∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；
故答案为：90°；
【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°?∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE；（3）如图2，根据角平
分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝
∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.
3．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．
图①图②
（1）若，求的度数；
（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；
（3）当时，请直接写出 + 与的数量关系．
【答案】（1）解：，
∵、分别是和的角平分线，
∴
∴
（2）解：在△中， + ，
，
（3）解：
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可.
（3）本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.
4．如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结并延长交射线于点．
（1）如图1，当时， ________ ，猜想 ________ ；（2）如图2，当点为射线上任意一点时，猜想的度数，并说明理由；
【答案】（1）30；60
（2）解：结论：，
如图：
∵，
∴
在和中，，，
∴
∴．
∴
∴；
【解析】【解答】证明：（1）∵∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠EBF=30°；
猜想：；
理由如下：如图，
∵，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：30；60；
【分析】（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案；（2）先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-
∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案.
5．已知，，，试回答下列问题：
（1）如图1所示，求证： .
（2）如图2，若点、在上，且满足，并且平分 .求 ________度.
（3）在（2）的条件下，若平行移动，如图3，那么的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值.
（4）在（2）的条件下，如果平行移动的过程中，若使，求度数. 【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
（2）40°
（3）解：结论：的值不发生变化．理由为：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（4）解：∵
∴，
由（2）可以设：，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵由（1）可知
∴
∴
∴
【解析】【解答】（2），所以∠BOA=180°-∠B=80°
由，且平分，得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA=40°
【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明即可；（2）由，且平
分，得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA，算出结果；（3），得到，，又，得到
，所以，故（4）结合（2）（3）结果，设出，
，由列出等式，得到，又由（1）得到
，列出等式解出α与β，所以
6．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，∠ABC=50°，
∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°﹣45°=20°；
②如图：
∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）解：有两种情况：
①当M在BC的下方时，如图：
∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=（）°，∠PBG=（）°，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（ +25）°=（）°，
∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°= ；
②当M在BC的上方时，如图：
同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（﹣25）°=（）°，
∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°= ；
综上，∠ABM：∠PBM的值是或．
【解析】【分析】（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM的值即可.
7．如图1，△ABC中，D、E、F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF 的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C.
（1）求证：DE∥BC；
（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，请说明点F 应该满足的位置条件，在图2中画出符合条件的图形并说明理由.
（3）在（2）的条件下，若∠C=α，直接写出∠BFH的大小________.
【答案】（1）证明：如图1.
∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠4.
又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4+∠2=180°.
∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE∥BC
（2）解：如图2.
∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠BFH=∠2+∠C.
当∠1=∠BFH时，∠1=∠2+∠C，②
由①②得：∠3+∠DEF=∠2+∠C.
∵∠3=∠C，∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC，∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立.
（3）90°+
【解析】【解答】（3）∵EF平分∠DEC，∴∠DEF=∠2.
∵DE∥BC，∴∠DEC+∠C=180°，∴2∠2+α=180°，∴∠2= = .
∵∠BFH=∠2+∠C= = .
【分析】（1）欲证明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根据外角性质，将∠1转化为∠3+∠4，再根据∠1与∠2互补，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后将∠3=∠C代入即可得出结论；（2）点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立.（3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出∠2的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.
8．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED =∠ABE +∠EDC.
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，若∠ABE=3∠ABF，且∠BFD=30°时，试求的值；
（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系.
【答案】（1）证明：∵∠BED =∠ABE +∠EDC，∠EBD+∠BED+∠BDE=180°，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴AB∥CD
（2）解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABE=∠EBD，∠EDC=∠EDB.
∵∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BED=∠ABE+∠EDC=90°.
设∠ABF=α，则∠ABE=3α.
如图，
过F作FG∥AB，则有：∠ABF+∠CDF=∠BFD，∴∠CDF=30°-α.
过E作EH∥AB，则有：∠ABE+∠CDE=∠BED，∴∠CDE=90°-3α，∴∠FDE=60°-2α，∴
.
（3）解：分两种情况讨论：
①当H在点D的左边时，如图3.
设∠HBI=∠DBI=x，∠EBH=y，则∠EBD=2x+y，∴∠ABE=∠EBD=2x+y.
∵AB∥CD，∴∠BHD=∠ABH=2x+y+y=2（x+y）=2∠EBI；
②当H在点D右边时，如图4.
设∠HBI=∠DBI=x，∠EBD=y，则∠EBI=x+y，∴∠ABH=2x+2y.
∵AB∥CD，∴∠ABH+∠BHD=180°，∴2x+2y+∠BHD=180°，∴∠BHD+2∠EBI=180°.
综上所述：∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180°
【解析】【分析】（1）由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形内角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°，再由同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；（2）由角平分线定义和∠ABD+∠BDC=180°，得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°.
设∠ABF=α，则∠ABE=3α，过F作FG∥AB，则有∠ABF+∠CDF=∠BFD，得到∠CDF=30°-α.过E作EH∥AB，同理可得：∠CDE=90°-3α，根据角的和差得到∠FDE=60°-2α，即可得到结论；（3）分两种情况讨论：①当H在点D的左边时，②当H在点D右边时.
9．如图①，已知AB//CD， AC//EF
（1）若∠A=75°，∠E=45°，求∠C和∠CDE的度数；
（2）探究：∠A、∠CDE与∠E之间有怎样的等量关系？并说明理由.
（3）若将图①变为图②，题设的条件不变，此时∠A、∠CDE 与∠E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论.
【答案】（1）解：在图①中，
∵AB∥CD
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=75°，
∴∠C=180°-∠A=180°-75°=105°，
过点D作DG∥AC，
∵AC∥EF，
∴DG∥AC∥EF，
∴∠C+∠CDG=180°，∠E=∠GDE，
∵∠C=105°，∠E=45°，
∴∠CDG=180°-105°=75°，∠GDE=45°，
∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，
∴∠CDE=75°+45°=120°；
（2）解：如图①，通过探究发现，∠CDE=∠A+∠E. 理由如下：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
过点D作DG∥AC，
∵AC∥EF，
∴DG∥AC∥EF，
∴∠C+∠CDG=180°，∠GDE=∠E，
∴∠CDG=∠A，
∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，
∴∠CDE=∠A+∠E；
（3）解：如图②，通过探究发现，∠CDE=∠A-∠E.
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∵AC∥EF，
∴∠E=∠CHD，
∵∠CHD+∠C+∠CDE=180°，
∴∠E+∠C+∠CDE=180°，
∴∠E+∠CDE=∠A，
即∠CDE=∠A-∠E.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠C，过点D作DG∥AC，可得DG∥AC∥EF，利用平行线的性质定理可得∠CDG，由∠CDE=∠CDG+∠GDE，代入数值可得结果；
（2）利用平行线的性质和同角的补角相等得∠A=∠CDG，由角的和及等量代换可得；（3）利用平行线的性质定理和三角形的内角和定理可得结论.
10．如图，三角形ABC，直线，CD、BD分别平分和．
（1）图中，，，求的度数，说明理由．
（2）图中，，直接写出 ________．
（3）图中，， ________．
【答案】（1）解：
，
，
如图1过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理
（2）
（3）
【解析】【解答】
如图2过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理，
，
，
即，
，
，
，，
故答案为．
如图3过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理，
，
，
即，
，
，
，
，
故答案为．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，得出，，则，再根据、分别平分和，得出，同理，即可解答；（2）根据（1）的思路即可解答；（3）根据（2）的思路即可解答.
11．已知，，点在射线上， .
（1）如图1，若，求的度数；
（2）把“ °”改为“ ”，射线沿射线平移，得到，其它条件不变（如图2所示），探究的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作，垂足为，与的角平分线交于点，若，用含α的式子表示（直接写出答案）.
【答案】（1）解：∵CD//OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°
（2）解：如图2，过O点作OF//CD，
∴CD//OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，
∴∠OCD+∠BO'E=240°
（3）30°+
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP= ∠OCD，
∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°- ∠OCD
=150°- （240°-∠BO'E）
=30°+
【分析】（1）先求出到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；
（2）过O点作OF//CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系；（3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答.
12．如图1，，点，分别在，上，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度，射线转动的速度是每秒度.
（1）直接写出的大小为________；
（2）射线、转动后对应的射线分别为、，射线交直线于点，若射线比射线先转动秒，设射线转动的时间为秒，求为多少时，直线直线？
（3）如图2，若射线、同时转动秒，转动的两条射线交于点，作，点在上，请探究与的数量关系.
【答案】（1）60°
（2）解：设灯转动t秒，直线直线，
①当时，如图，
七年级数学 上册 培优训练
第一讲 有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？
7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ， b 的形式，求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算：5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求 || abc abc 的值。
初三九年级上册数学压轴题（培优篇）（Word版含解析）一、压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线1l： 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C， 且与直线2l： 1 2 y x =交于点A. （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且COD △的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”． （1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）； （3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．3．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4． （1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相
切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由． 4．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1/ cm s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2/ cm s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2 26cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形． （1）求证△AEF∽△BCE； （2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围； （3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于 点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=3 4 ，CF=8 3 ． （1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．
初中数学七年级上培优 练习册全集(人教版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学练习册七年级（上）人教版 目录： 第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试 第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试 第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题（一） 3.3 列方程解应用题（二） 3.4 单元测试 第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试 期末模拟试卷（一） 期末模拟试卷（二） 期末模拟试卷（三） 有理数 第一章有理数一、全章知识结构 2
3 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0， 2、负数的表示方法：a<0 三、有理数的分类 定义：整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类?????? ???????????????负分数负整数负数零 正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用： （1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小； （3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义； （4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x| 四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数： ?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数..
第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．
七年级上期数学培优试题 1、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于 （ ） A.2a B.2a - D.2b 2、式子||||||a b ab a b ab ++的所有的可能的值有（ ） 个 个 C. 4 个 D.无数个 3、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 4、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值为 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） .3 C 6、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a ，b 的形式，则20062007a b +的值为 7、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，则||||||c a a b b c -+-+-的值为 ￥ 8、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，则321a b +-的值为 9、已知a 、b 是有理数，且a b ，含23a b c +=，23a c x +=，23 c b y +=，请将,,,,a b c x y 按从小到大的顺序排列为 10、已知2a b =；5c a =，代数式624a b c a b c +--+的值为 11、当多项式210m m +-=时，多项式3222006m m ++的值为 12、已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，当1x =-时，代数式31Px qx ++的值为 13、已知,a b 均为正整数，且1ab =，代数式11 a b a b +++的值为 14、已知一个数列2，5，9，14，20，x ，35…则x 的值应为：（ ） 15、在以下两个数串中： 1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…， 1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ） 个。 16、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n 3的公式，并算出13+23+33+…+1003 的值为 '
九年级数学培优提高试卷一 一、选择题 1、Rt△ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，则cos A =（ ） A 、 45 B 、 34 C 、 35 D 、 43 2、下列各组数中，成比例的是（ ） A 、-6，-8，3，4 B 、-7，-5，14，5 C 、3，5，9，12 D 、2，3，6，12 3、下列结论正确的是 （ ） A 、所有直角三角形都相似； B 、所有边长相等的菱形都相似； C 、同弧所对的圆周角相等； D 、当2 40b ac -=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴只有一个交点. 4、已知反比例函数)0(<= k x k y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <， 则21y y -的值 ( ) A 、小于0 B 、等于0 C 、大于0 D 、不能确定 5、如图，以平行四边形ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，若⊙O 过点 C ，且∠AOC =80°，则∠BA D 等于（ ） A 、160° B 、145° C 、140° D 、135° 6、一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（ ） A 、20o B 、40o C 、100o D 、120o 7、将24y x =的图象先向左平移 12个单位，再向下平移3 4 个单位，则所得图象的函数解析式是（ ） A 、2134()24y x =++ B 、 2134()24y x =-- C 、 213(4)24y x =+- D 、 213 4()24 y x =+- D
A B P 第8题 8、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件能保证△ACP∽△ABC的有（） ①∠ACP=∠B②∠APC=∠ACB③ AC AP AB AC =④ AB AC BC PC = A、①② B、①②③④ C、①②④ D、①②③ 9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F 在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形， 则AE的长是（） A．2 B．3 C．5 D．6 10．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交 PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB 的值是（） A．B．C．D． 二、填空题 11、在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半 径OA= . 12、根据下面物体的三视图，填出该几何体的名称：__ __． 13、如图，已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为 直线x=-1，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3) 是直线l上的点，且-1 2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题) 5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内.） 1．在π，﹣2，0.3，﹣，0.1010010001这五个数中，有理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，正确的是（） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．任何有理数的绝对值都不是负数 C．若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点 D．角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大 3．下列说法中，正确的是（） A．2不是单项式B．﹣ab2的系数是﹣1，次数是3 C．6πx3的系数是6 D．﹣的系数是﹣2 4．把方程3x+去分母正确的是（） A．18x+2（2x﹣1）=18﹣3（x+1）B．3x+（2x﹣1）=3﹣（x+1） C．18x+（2x﹣1）=18﹣（x+1） D．3x+2（2x﹣1）=3﹣3（x+1） 5．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，设这个班有学生x人，下列方程正确的是（） A．3x+20=4x﹣25 B．3x﹣25=4x+20 C．4x﹣3x=25﹣20 D．3x﹣20=4x+25 6．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（） A．B．C． D． 7．下列结论： ①若关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解是x=1，则a+b=0； ②若b=2a，则关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣； ③若a+b=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b=1的解． 其中正确的结论是（） A．①②B．②③C．①③D．①②③ 8．按下面的程序计算， 当输入x=100时，输出结果为501；当输入x=20时，输出结果为506；如果开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，那么满足条件的x的值最多有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（） A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90 10．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（） A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．2016年春节期间，在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为． 12．为了倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标准如下： 九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P 5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E 一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________． 七年级数学上册培优计划 在培优班成立后的第一节课，刚开始，焦主任给学生介绍这个班级的情况以及他们自身的情况，看得出来学生是特别重视的，后来由于这些学生来自于三个班级，我便让学生们之间做了简单的熟悉，之后这节课剩下20分钟左右，我便对这20个同学进行了一个摸底测试，本来我是准备了6个题目，第1题（难度最大）和第6题（难度其次）相对较难，中间的2、3、4、5相对来说难度不大，属于强化题。由于时间关系，我便让学生先做中间4个题目，到了下课时间，只有两三个同学完成，因此这次摸底试题我是在课下规定了一个时间让学生上交的，后来的经过我的批改，我发现学生完成情况并不是很乐观，其中有一个题目全班没有一个人正确，而这个题目并不难，只是这个知识点学习的时间有点儿早，因此学生可能有所遗忘。其实这样也说明了，目前在我们这个培优班并没有真正的特别强大的尖子生。 三、具体计划： 因此针对学生的情况，对于培优工作，我目前打算从以下几个方面来入手： （1）培养学生良好的学习习惯。目前学生处于七年级，知识难度还不是特别大，逻辑思维能力以及空间想象能力的差异体现的还不是特别明显，因此从现在开始培养学生良好的学习习惯，有助于学生后期的数学学习。数学是一门考查学生思维能力的学科，需要学生静下心来去思考，因此教 会学生思考，在数学学习中显得尤为重要，当学生碰到不会的题目时，我会先让他们思考，如果实在没有头绪，我会一步步的去引导他们，慢慢的让他们自己去探索，最终体会到成功的乐趣。虽然教会学生思考的这个过程会比较慢，但我一直相信：慢慢来，才比较快。 (2)注重教给学生解题思路的开阔与灵活。数学的巧妙很多时候在于对于同一道题目，会有多种不同的解法，在我看来，有的时候一节课教会学生同一题的5种解法比教会学生5道题更有意义。教会学生举一反三，对于同一道题彻底弄懂弄透，那么下次再碰到类似题目的话学生也能够通过自己的思考解决问题。而目前有相当一部分的学生是教什么会什么，不教就不会，说明学生的变通能力有待提高。 (3)讲练结合，知识内化。对于课堂，一直以来，学生才是主角，课堂是他们的主战场，我的角色其实就是引导他们在正确的道路上越走越坚定，培养他们的自信心。对于培优班的学生，我的想法是刚开始慢慢的培养他们、教他们，到后期慢慢的变成我看着他们上课，给他们出示问题，把课堂留给他们，让他们自己讨论、解决、分享知识的获得。这样的话，回到自己的班级，他们都能够成为一个个数学课堂的顶梁柱。 在培优的路上，其实我的经验也并不丰富，不过我会尽自己最 大的努力用心去做这个事情，希望在以后的课堂中我能够和学生共同学习、共同成长、一起成就最好的我们! 九年级数学上册全册期末复习试卷培优测试卷 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．43 B ．42 C ．6 D ．4 2．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ） A ．3 B ．31+ C ．31- D ．23 3．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴 C ．圆的每一条直径都是它的对称轴 D ．圆的对称中心是它的圆心 4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这 组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9 C ．8，9 D ．9，10 5．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．10x =，23x =- D ．10x =，23x = 6．在六张卡片上分别写有 1 3 ，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．56 7．如图在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相似的条件是（ ） A ．∠AED=∠ B B ．∠ADE=∠ C C ． AD DE AB BC = D ． AD AE AC AB = 8．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（） A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大 9．已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若 70 ADB? ∠=，则ABC ∠的度数是（） A．20?B．70?C．30?D．90? 11．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（） A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72 13．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（） A．（20 3 ，10 3 ）B．（16 3 ，45 3 ）C．（20 3 ，45 3 ）D．（16 3 ，3 14．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134… 七年级数学上册上册数学压轴题培优测试卷 一、压轴题 1．在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”。如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15. （1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得 a=_______（含b的代数式表示）； （2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________; （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值。（写出具体求解过程） 2．概念学习： 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：222 ÷÷，()()()() 3333 -÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222 ÷÷记作3 2，读作“2的3次商”，()()()() 3333 -÷-÷-÷-记作()43-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n个()0 a a≠相除记作 n a，读作“a的n次商”． （1）直接写出结果： 3 1 2 ?? = ? ?? ______，()42-=______． （2）关于除方，下列说法错误的是（） A．任何非零数的2次商都等于1 B．对于任何正整数n，()1 11 n- -=- C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 深入思考： 除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 () 4 3-=______ 6 1 5 ?? = ? ?? ______ 一元二次方程㈠ ★知识点精讲 1.一元二次方程的概念 ⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程. ⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2.一元二次方程的解法 ⑴直接开平方法：针对() ()02 ≥=+an n a m x ⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2 ≥=+n n m x a 注： ① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式； ②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值. ⑶ 公式法：当0≥?时（=? ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =. 注： ⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程. 典型例题讲解及思维拓展 ●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = . ⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = . 拓展变式练习1 1.关于x 的方程03)3(7 2 =+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________. 2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 . 学习资料 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 学习资料 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ???????????正整数 正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整 数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－1 8，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－13 8 ，0.1．－5.32， 123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，1 6 ，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分 子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－ 12007 . 九年级数学上册培优训练试题 以下是为您推荐的九年级数学上册培优训练试题，希望本篇文章对您学习有所帮助。 九年级数学上册培优训练试题 一、二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数 0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式中,是最简二次根式的有 ____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 下列根式中与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 二、二次根式的性质 1. 非负性：二次根式中被开方数 0，且 0. 2. ( 0). 3. . 三、二次根式的运算 1. 乘法公式: ( 0). 2. 积的算术平方根: ( 0). 3. 除法公式: ( 0, ﹥0). 4. 商的算术平方根: ( 0, ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将合并. 四、典例研习 【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义? 【变式探究】 1. 在实数范围内有意义,则的取值范围是 . 2.使式子无意义的的取值是 . 3.使式子有意义的x的取值范围是 . 4.能使式子有意义的的取值范围是 . 5.若 ,则的值为______________. 6. ,则的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【例2】若 1,化简等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 【变式探究】 7.计算: . 人教版九年级数学上册期末培优检测卷 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列手机软件图标中，是中心对称图形的是() 2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是() A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝0 3．(2018·北部湾)从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是( ) A.2 3B. 1 2C. 1 3D. 1 4 4．在矩形ABCD中，AB＝16，按如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合)，则此圆锥的底面圆的半径为（） A ．4 B ．16 C ．4 2 D ．8 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的根，则?ABCD 的周长为（ ） A ．4＋2 2 B ．12＋6 2 C ．2＋2 2 D ．2＋2或12＋6 2 6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠BCA ＝65°，作CD ∥AB ，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为( ) A ．15° B ．25° C ．35° D ．45° 7．已知平面直角坐标系中的三个点O (0，0)，A (－1，1)，B (－1，0)，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转45°，则点A 的对应点A 1的坐标为（ ） A ．(2，0) B.? ????22，0 C.? ????0，22 D ．(0，2) 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- f 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ，b 的形式，求20062007a b +。2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
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