轴对称图形典型例题
例1
如下图，已知，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．
证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，
∴∠P AB＝∠P AC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵∠APB＋∠P AB＝90°，∠APC＋∠P AC＝90°，
∴∠APB＝∠APC，
在△PDB和△PDC中，
∴△PDB≌△PDC（SAS），
∴∠BDP＝∠CDP．
（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）
注
利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．
已知如下图（1），在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°．
（1）
证法一：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．）
∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL），
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＋∠BAD＝180°，
∴∠A＋∠C＝180°．
证法二：如下图（2），在BC上截取BE＝AB，连结DE，证明△ABD ≌△EBD可得．
证法三：如下图（3），延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二．
（3）
注
本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．
例3
已知，如下图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF 平分∠ADC交AC于F．
求证：BE＋CF＞EF．
证法一：在DA截取DN＝DB，连结NE、NF，则DN＝DC，在△BDE 和△NDE中，
（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）
∴△BDE≌△NDE（SAS），
∴BE＝NE（全等三角形对应边相等），
同理可证：
CF＝NF，
在△EFN中，EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边），
∴BE＋CF>EF．
证法二：延长ED至M，使DM＝ED，连结CM、MF，
在△BDE和△CDM中，
（从另一个角度作辅助线）
∴△BDE≌△NDE（SAS），
∴CM＝BE（全等三角形对应边相等），
又∵∠BDE=∠A DE，∠ADF＝∠CDF，