因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：
1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法 . ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法 .
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因 式分解中常用的公式,
(1) (a+b)(a-b) = a
2
(2) (a ±b)2
= a
2
(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b ------- a
2 2
3 3
(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3
---- 下面再补充两个常用的公式：
2 2 2 2
(5) a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2
； (6) a 3
+b 3
+c 3
-3abc=(a+b+c)(a 2
+b 2
+c 2
-ab-bc-ca)
例.已知a b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2
ab bc ca ，
则 ABC 的形状是（ ） A.
直角三角形
B 等腰三角形
C 等边三角形
等腰直角三角形
解： a 2 b 2 c 2 ab bc ca
222
2a 2
2b 2 2c
2 2ab 2bc 2ca (a b)2
2 (b c)2 (c
2
a) 0 a b c
例如： 2-b 2 -22 2± 2ab+b 2 -------- a 2 3 3
2-
b 2
=(a+b)(a-b) ；
2 2 2
2
±2ab+b 2
=(a ±b) 2
； 3 3 2 2
+b =(a+b)(a -ab+b ) ； 3- b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2
) ．
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ,后两项都含有 b ,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。 解：原式=(am an) (bm bn) = a(m n) b(m n) = (m n )(a b) 例2、分解因式：2ax 10ay 5by 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。 解:原式=(2ax 10ay) = 2a(x 5y)
= (x 5y)(2a
* 每组之间还有公因式! 练习：分解因式1、a 2 (5by bx) b(x 5y) b) = bx 解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。 bx) b) b)(x ab ac be 原式= (2ax = x(2a (2a 、xy (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x y ax ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组, 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式 = (x 2 y 2) (ax ay )
= (x y)(x y) a(x = (x y)(x y a) 例4、 分解因式： a 2 2ab b 2 2 e 解：原式 = (a 2 2ab b 2
) 2 e = (a b)2 2 e
=
(a b e) i(a b e) 练习： 分解因式 3、x 2 x 9y 2
3y 综合练习：(1) x 3 2 x y xy 2 3
y
y ) 4 (2) (3)x 2 (5) a 4
9y 2 16a 2 8a 1 a 2
9 6xy 2a 3
2 ax 2
a 4a 2
(10ay 5by) 5y(2a b) 5y) 虽然可以提公因 2yz
bx 2 6ab bx ax
9b 2
2 12b x 4a 2 y b 2x 4a b 2y
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为 1的二次三项式 直接利用公式一一 x 2
(P q)x pq 特点：
(1) 二次项系数是1;
(2) 常数项是两个数的乘积； (3)
一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律
2
例.已知0v a w 5，且a 为整数，若2x 3x a 能用十字相乘法分解因
式，求符合条件的a .
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 b 2
4ac >0而且是一个完全平方数。
9 8a 为完全平方数，a 1
(-1 ) + (-6 ) = -7
练习 6、 分解因式(1)
⑶ x 2
10x 24
2
xz yz y
(m 1)(m 1)
(7)x 2 2xy (9) y(y 2) (11 )a 2(b c) b 2(a c) c 2
(a
b) 2 2
(8) a
2
2a b 2 2b 2ab 1 (10) (a c)(a c) b(b 2 a) 2abc( 12)
a 3
b 3
c 3
3abc 练习5、分解因式(1)
x 2
14x 24
15a
2
36 (3) x 4x 5
(X p)(x q)进行分解。
分解因式：x
2
5x 6
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 3的分解适合，即 2+3=5。
解：x 2 5x 6 = x 2
(2 = (x 2)(x 例5、
X 6=(-1) X (-6) 1 2 5。 ，从中可以发现只有 2
3)x 2
3)
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积, 的代数和要等于一次项的系数。
X
3 X2+1X 3=5 且这两个因数 例6、分解因式：x
2 解：原式=x 2
=(x 7x 6
[(1)
( 6)]x
1)(x 6)
1)( 6) -6
ax 2+bx+c ,者E 要求
于是
X 2
2
⑵ y 2y 15
（二）二次项系数不为
条件：（1） a i a 2 1的二次三项式
2
ax bx c a i （2） （3） 分解结果： b ax 2
例7、分解因式: 分析： C 1C
2
a 1C
2 bx a 2C 1
c =(a 1x c 1 )(a 2x c 2) a C 2
C i a i C 2 a ? G
解：3x 2 练习7、分解因式:
11x 10
3 -5 -2
X (-6)+( -5)= -11
11x 10 =(x (1)5x 2 3x 2 1 2)(3x 7x 6 5)
2
(2) 3x 7x 2
(3) 10x 2 17x 3
2
(4) 6y 11y 10
（三）二次项系数为 1的齐次多项式
例8分解因式：a 2 8ab 128b 2 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 乘法进行分解。 1 1 a 的二次三项式，利用十字相
解: 8b -16b
8b+（-16b ）=
-8b a 2 8ab 128b 2 = a 2
[8b
( 16b)]a 8b ( 16b) (a 8b)(a
16b)
练习8分解因式（1） 2
x 2 m
3xy 2y 2
2
6mn 8n (3) 2 2
a a
b 6b
（四）二次项系数不为 例 9、2x 7xy 1 -2y 2 -3y （-3y ）+（-4y ）= -7y -3 解:原式=（x 2y ）（2x 3y ） 练习9、分解因式：（1）15x 2
的齐次多项式 6y 2
2 2
例 10、x y 3xy 2 把xy 看作一个整体1
1-2
-1)+(-2)= 解: 7xy 4y 2
原式= (xy 1)(xy
2)
2 2
(2) a x 6ax 8
五、换元法。
（1） 、换单项式
分解因式 x 6 + 14x 3 y + 49y 2
.
原式变形为
22 14m y + 49y = (m + 7y) = ( x （2） 、换多项式
例 2 分解因式 (x 2
+4x+6) + (x 2
+6x+6) +x 2
.
分析 ：本题前面的两个多项式有相同的部分， 我们可以只把相同部分
2 2 2
换元，设 x +6= m ，则 X+4x+6= m+4x, x+6x+6= m+6x ，原式变形为
2 2 2 2 2 2
(m+4x)(m+6x)+x 2= m 2 +10mx+24x 2+x 2= m 2 +10mx+25x 2
2 2 2
= (m+5x) 2= ( x 2 +6+5x)
2
2 2 2
= [(x+2)(x+3)] 2= (x+2) 2 (x+3) 2
.
以上这种换元法， 只换了多项式的一部分， 所以称为 “局部换元法” . 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体
22
换元法”.比如，设x +4x+6=m,贝U x +6x+6=m+2x,原式变形为
（3
） (x y )2 3(x y) 10
( 4) (a b)3
4a 4b 3
（5
） 22 xy 5x
4 y 6x 5
（6） m
2
4mn
2
4n 2
3m
6n 2
（7）
2 x 4xy 4y 2
2x 4y 3（8）
2
5(a b) 2 2
23(a 2 b 2
) 1 0(a b)2
（9） 4x 2
4xy 6x 3y 2 y 10( 10)
2 12(x y)2 11(x 2
y 2)
2(x
y)
2
思考： 分解 因式： 2 abcx 2 (a 2b
2 c 2
)x abc
综合练习 10、（1） 8x 6 7x
3
1
22
2)12x
2 11xy 15y 2
分析 ：
注意到 x 6
=（ x 3
） 2
，若把单项式 x 3
换元，设 2
= m ，
例1
2 m+ 32
3
+ 7y)
x (x+1)
- m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x
2+x-m 2
-m)
2 2 2 2 2 2 2 2
m(m+2x)+ x = m +2mx+x= (m+x) = ( x +4x+6+x) = ( x +5x+6)
2 2 2
=[(x+2)(x+3)] = (x+2) (x+3).
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，
这种换元的方法被
称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算 .对于本例，设m=寸
2 2 2 2 2
[(X +4x+6) +(X +6x+6)]= x +5x+6,则 x+4x+6=m-x, x+6x+6=m+x,
2 2 2 2 2 2 2
(m+x)(m-x)+x = m -x +x = m = (x +5x+6) = [(x+2)(x+3)]
=(x+2) 2
(x+3) 2
.
例 3
分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积， 可以把它们分成两组相乘,
于是，原式变形为
使之转化成为两个多项式的乘积 无论如何分组，最高项都是 X 2
,常数项
不相等，所以只能设法使一次项相同 .因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)
分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] 2 2
=(x +x-2) (x +x-12)，从而转化成例
2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设 1 2 2 2
m= 2 [ (x +x-2)+ (x +x-12)]=x
+x-
一 2 2 ______________________________________________
则 x +x-2=m+5，x +x-2= m-5，原式变形为
2 2 2 2
(m+5)(m-5)+24=m -25+24=m -1=(m+1)(m-1)=( x +x-7+1)( x
+x-7-
1)
=(x 2
+x-6)( x 2
+x-8)= (x-2)(x+3)( x
2
+x-8).
⑶、换常数
2
例 1 分解因式 x (x+1)-2003 X 2004x. 分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效
.注意到2003、2004两 个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如,
设 m=2003,则 2004=m+1.
2
x (x+1) - m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x
2+x-m2-m)
2)
1 1
x
2 2
=x[(x -m ) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)] =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004). 例 13、分解因式(1) 2005x 2 (20052 1)x (2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax 2 (a 2 = (ax 1)(x 2005
2
6) x 1)x a a) (2005x 1)(x 2005)
(2)型如abed e 的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
2
7x 6)(x 6 A ，则 x 2
2 2
2x)A x = A x)2=(x 2 1) (x 2
(2) (x 2
(3) (a 2
原式= (x 2 设 x 2
5x ???原式=(A =(A 练
习13、分解因式( 2
x
A
2 x
6x xy 3x 1)2
5x 6)
7x 6
2Ax 6)2 2\2 . z 2 y ) 4xy(x
2x
y 2
) 2)(4x 2 8x 3) 90
(a 2
2 2 2
5)2 4(a 2 3)2
例14、分解因式(1) 2x 4 观察：此多项式的特点 并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式” x 3 6x 2
是关于 x 的降幕排列，每一项的次数依次少 1 , o 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=x (2x ???原式=x 1 x
2( t 2 2) x 2 2t 5 t
(2) x 4 4x 3 x 2
c 2 x ?2x —
x (x 1)2(2x 4x 解：原式=x 2(x 2 4x
则x 2 1 ) 2 —)=x x 1 ~2 x 2 =x 2(x 2 1 ~~2 x )(x 丄) x t 2
2t 2 10 2x
1)(
x 1 =2x 2 5x
x 2 2x
2)= x
x 2 x 2
1 ~~
2 x
1
xy 2
x
m)(x 2y n)
2
x 13y 6 = (x 3y m)(x 2y n)
2y n ) = x 2 xy 6y 2 (m n)x (3n 2m)y mn
设X — y ，则x
x
二原式=x 2(y 2
x 2(x
4y 1 练习 14、(1) 6x 4
(2) x 4 x 7x 3
2x 3
2 1
2 —y 2
x 2 3) = x (y
1)(y 1)( x 1 3)= x 2
x 7x 2(x
36x 2 x 2 1 6 X 2) 3)
x 1 x 2
3x 1
解法 1 — 拆项。
解法2 添项。
原式 =x 3 1 3x 2
3
原式=x 3
3x 2 4x 4x = (x 1)(x 2 x 1) 3( x 1)(x 1) =x( x 2
3x 4) (4x = (x 1)(x 2 x 1 3x 3) =x( x 1)(x 4) 4( x = (x 1)( x 2 4x 4) =
(x 1)(x 2 4x 4) =
(x 2
1)( x 2)
=
(x 1)(x 2)2
(2) 9 x 6
3
x x
3
解： 原式=(x 9 1) (x 6 1) (x 3 1)
= (x 3 1)(x 6
: x 3 1) (x
3
1)(x 3 1) (x 3 1)
= (x 3 1)(x 6 : x 3 1 x 3
1 1)
=(x 1)(x 2 x 1)(x 6
2 x
3 3)
练习 15
、 分解因式
(1)
3 x
9x 8
(2) (x
1)4 (x 2 1)2 (x 1) 4
(3)
x 4 7x 2
1
4
(4) x x 2 ■ 2ax 1 a 2
(5) 4 x
y 4 (x y)4
(6) 2a 2b
2
2a 2c 2 2b 2c 2 a 4
b 4
4
c 4
六、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式( 3x 2
1) x 3
4
4) 1
)
七、待定系数法。 例16、分解因式
2
x 分析：原式的前 3项
必定可分为 (x 3y 解：设x 2 xy 6y ■- (x 3y m)(x :
6y 2
x 13y
6
2
xy 6y 可以分为(X 3y)(x 2y)，则原多项式
mn
1时，原多项式可以分解；
1时，原式 = ( x y 2)( x y 3) ； 1时，原式 =(x y 2)(x y 3)
17、(1)当m 为何值时，多项式 解
此多项式。
x 2
2
y 2
mx 5 y 6 能分解因式，并分
( 2 )如果
32
x ax
bx 8 有两个因式为 x 1和 x 2 ，求 a b 的
值。
( 1 )分析：
前两项可以分解为 (x y)(x y),故此多项式分解的形式必
为(X y
a)(x y
b)
解：设 x
2
2
y mx
5 y
6 =(x y a)( x y b)
则x 2
2 y mx
5 y
6 2 =x 2
y
(a b)x (b a ) y ab
ab
m
a2 a2 比较对应的系数可得：
ba
5 ，解得 ： b 3或 b3
ab
6
m1
m1
???原式=(x 3y 2)( x 2y 3)
例 2 2 2 x xy 6y x 13y 6 = x
2
xy 6y (m n)x (3n 2m)y mn mn1 对比左右两边相同项的系数可得
3n 2m m2
m 2
n3
?当 当
当
x 3 ax 2
bx 8 是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘， 因
此第三个因式必为形如 解：设 x 3
则 x 3
2)分析： x ax 2
bx 8= (x ax 2 bx 8 = x 3 c 的一次二项式。
1)(x 2)(x c) (3 c)x 2 (2 7 3c)x 2c
? b 2 3c
解得
14，
?a
2c 8
b =21
练习 17、( 1)分解因式 (2)分解因式 ( 3) 已知： x x 2
3xy x 2
3xy 2 2xy 10y 2
2y 2 3 y 2
6x 14 y 之积，求常数 p 并且分解因式。
x 9 y 5x 7 y
p 能分解成两个一次因式
(4) k 为何值时，x 6 2xy ky 7 3x 5y 2能分解成两个一次 因式的乘
积，并分解此多项式。
第二部分：习题大全 经典 一、填空题
因式。
二、选择题
6
11.把(x- y)
—( y — X)分解因式为(
1.把一个多项式化成几个整式的
的形式，叫做把这个多项式分解
2分解因式: m 〔4m=
3.分解因式: 2,2
-4y = 一
4、分解因式:
x 2
4x
n c
5.将 x -y n
解因式
的 结果为(X 2
+y 2
)(x+y)(x-y)
6、若
x
y 5,x y 6，则x
2 2
y xy =
2x 2 2y 2 =
7、
3 2 2
多项式15m n 5m n
2 3
20m
n 的公因式是(
A 、 5mn
B 、5m
2n 2
c
2 2
、5m n D 、5mn
8、 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是 A 、
a 3 a 3 a 9
B
a 2
b 2
C 、 2
a 4a 5 a a 4
5
2m
10.下列多项式能分解因式的是(
2 2
(A)x -y (B)x +1 (C)x 2 :
+y+y )
(D)x 2
-4x+4
20、如图，在一块边长a
=6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长 b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。
12?下列各个分解因式中正确的是（
A. B. C. D.
)
2 2 2
10ab c+ 6ac + 2ac = 2ac (5b + 3c) 2 2 2
(a — b) —( b — a) =( a-b) ( a-b + 1)
x (b+ c — a)— y (a — b — c)— a+ b — c =( b + c — a) (x + y — 1)
13.若k-12xy+9x 2
是一个完全平方式，那么 .4 C
三、把下列各式分解因式： k 应为（
14、 nx ny
15
4m 2 9n 2
16、 17
a 3 2a 2
b ab 2
18、
X 2 16x 2
19
、9(m
2 2
n)2 16(m n)2
；
五、 解答题
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
d 45cm ，外径D 75cm 长I 3m 。利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土 （取，结果保留2位有效数字）
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第 （5）个等式。
（1） x 2
⑵x 4
⑶x 8
2
x 1x1x1
x 2
1 x x 4
1 x 2
经典二：
—I , /、 ?
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1. 分解因式 x 5
x 4
x 3
x 2
x 1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x 5
x 4
x 3
和 x 2
x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取 公因式后， 再进一步分解； 也可把 x 5
x 4
， x 3
x 2
， x 1分别看成一组， 此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
x 3(x 2
x
1) (x 2 x 1) 32
(x 3
1)(x
2
x 1)
(x 1)(x 2
x 1)(x
2
x 1
)
解二：原式 =(x 5
x 4
)
(x
3
x 2) (x 1)
x 4 (x 1) x 2
(x 1) (x 1)
(x 1)(x 4
x
1)
(x 1)[(x 4
2x 2
1) x 2
]
(x 1)(x 2
x 1)(x
2
x 1)
通过变形达到分解的目的
例 1. 分解因式 x
3
3x 2
4
解一：将3x 2
拆成2x 2
2 x ， 则有
原式 x
3
2x 2 (x 2
4)
1)
x (x 2)(x 2)
2.
(x
2
解一：原式 (x 5
x 4 x 3
)
x 2
(x 2) (x 2)(x 2
2)
(x 1)(x
2)2
解二：将常数 4 拆成
1 3 ，则有
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式： (a 2b c)3
(a b)3
(b c)3
分析：本题若直接用公式法分解， 过程很复杂，观察a+b, b+c 与a+2b+c 的
关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设 a+b=A ， b+c=B ，a+2b+c=A+B
原式 x 3
(x (x 1 (3x 2
3)
1)(x 2
1)(x
2
1) (x 1)(3x 3)
4x 4)
(x 1)(x 2)
2
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式 (x
2
2
4)(x 2
10x 21) 100的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。 本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明： (x 2)(x 2)(x 3)(x 7) 100
(x 2)(x 7)(x 2)(x 3) 100 (x 2
5x 14)(x 2
5x 6)
100
x 2
5x, 则
(y 14)( y 6)
100
y 2
8y 16 (y 4)2
无论y 取何值都有(y 4)2
(x 2
4)(x 2
10x 21) 100的值一定是非负数
100
设y 原式
(x
2
4)(x 2 10x 21)
例2. 已知: 2,则 x3
解: x3
1
—3
x
(x -)(x2
x
-)
x
(x
1
-)[(x
x
1
丄
)
x
2 2 1]
说明：利用x2(x 丄)2
x 2等式化繁为易。
原式(A B)3A3B3
A33A2B 3AB2B3A3B33A2B 3AB23AB(A B) 3(a b)(b c)(a 2b c)
在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要
能丢分。
的。
中考点拨
例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab 10bc 0 求证: 2b
证明: a216b2c26ab 10bc
a26ab 9 b2c210bc 25b2
即(a 3b)2(c 5b)2
(a 8b c)(a 2b c)
a 8
b c,即a 8b
于是有a 2b c
2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不
说明:
2
题型展示
于 100 ，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形 成完全平方是一种常用的方法。 2.
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
若 x 为任意 整数， 求证： (7 x)(3 x)(4 解： (7 x)(3 x)(4 x 2) 100
(x 7)(x 2)(x
3)(x 2) 100
(x
2
5x 14)(x 2 5x
6) 100
[(x 2
5x) 8(x 2
5x) 16]
(x
2
5x 4)2
1. x 2
) 的值不大于 100。
(7 x)(3 x)(4 x 2
) 100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。 一个多项式的值不大
a 2
(a
1)
2
(a 2 a) 2分解因式，并用分解结果计算 62 72 422 。
解：
a 2
(a 1)
2
(a 2 a)2
a 2
a 2 2a
2(a 2
a)
22 (a
2
a
2 22
1 (a
2 a)2
22
2
2
62
7 2
422
(36 6 1) 2
432
1849
实战模拟
1.分解因式：
(1) 3x510x 48x33x210x 8
(2) (a23a 3)(a23a 1) 5
(3) 2 x 2xy 3y23x 5y 2
(4) 3 x
7x 6
2.已知：x y 6, xy 1,求：x3y3的值。
积。
是非零实数
a2b2c21
,
11 11
a(b 1)b(； a)
1 1
c（一一）3，求 a+b+c 的值。
a b
3. 矩形的周长疋28cm 两边 x,y 使x3x2y xy2y30，求矩形的面
4. 求证: n35n是6的倍数。（其中n为整数）
5.
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较 a2b2c2和4a2b2的大小。
因式分解知识点总结 一、 知识梳理 1.因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式→几个整式的积 例：111 ()333 ax bx x a b += + 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2.因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或 字母，也可以是一个单项式或多项式。 ?? ??? 系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母 指数——取相同字母的最低次幂 例：33 323 422 1286a b c a b c a b c -+的公因式是 ． 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们 的最大公约数为2；字母部分33323422 ,,a b c a b c a b c 都含有因式32 a b c ，故 多项式的公因式是232 a b c . ②提公因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式， 所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项 式中第一项有负号的，要先提取符号。
例1：把 2233121824a b ab a b --分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab ，故公因式为6ab 。 解： 2233 121824a b ab a b -- 226(234)ab a b a b =-- 例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式 解析：由于4(4)x x -=--，多项式3(4)(4)x x x -+-可以 变形为3(4)(4)x x x ---,我们可以发现多项式各项都含有公因 式（ 4x -）,所以我们可以提取公因式（4x -）后,再将多项式写成 积的形式. 解：3(4)(4)x x x -+- = 3(4)(4)x x x --- = (3)(4)x x -- 例3：把多项式2 2x x -+分解因式 解： 22x x -+=2(2)(2)x x x x --=-- （2）运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 22222 33223322.()().2().()() .()() a a b a b a b b ab b a b c a b a b a ab b d a b a b a ab b -=+-±+=±+=+-+-=-++逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a 逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展） 注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方 差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式； 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5.结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7.因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！ =(m+n)(a+b) 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
因式分解知识点归纳总结概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 例如：-am+bm+cm= a(x-y)+b(y-x)= ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 例如：a2 +4ab+4b2 = ⑶分组分解法 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
初中数学之因式分解知识点汇总 因式分解 1. 因式分解的概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2. 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。 注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。 3. 公因式 多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。 系数——取各项系数的最大公约数； 字母——取各项都含有的字母； 指数——取相同字母的最低次幂。 例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。 因式分解九大方法： (一)运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 (二)平方差公式 1.平方差公式 (1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b) (2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 (三)因式分解 1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 (四)完全平方公式 (1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 (2)完全平方式的形式和特点 ①项数：三项
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==
初中因式分解的常见方法 因式分解的概念与原则 1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。 2、原则： （1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）； （2）结果最后只留下小括号； （3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号； （4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简； （5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前； （6）相同因式的乘积写成幂的形式； （7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。 因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解； （4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。” 因式分解的常用方法 因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。下面通过例题一一介绍。 一.提取公因式法 (一)公因式是单项式的因式分解 1.分解因式 确定公因式的方法 ①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式); ③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂. 注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项. 解:原式=一4m2n(m2一4m+7). (二)公因式是多项式的因式分解 2.因式分解
因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二：42-x 分解因式 分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。
因式分解的方法(初中版) 因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。 1】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 例一：2 2x -3x=0 解：x(2x-3)=0 1x =0,2x =3/2 这是一类利用因式分解的方程。 总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。 2】公式法 将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。 例二：2x -4分解因式 分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2) 3】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把2 2x -7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1). 总结：对于二次三项式2 ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下： 1a 1c ╳ 2a 2c 1221c a c a
《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★ 知识体系梳理 ◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积） 注意： 、因式分解对象是多项式； 2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止； 3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性； ◆ 分解因式的作用 分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。 ◆ 分解因式的一些原则 （1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。 （2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个
多项式因式都再不能分解为止。 （3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。 ◆ 因式分解的首要方法—提公因式法 、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的 因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。 3、使用提取公因式法应注意几点： （1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。 （2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。 ◆ 提公因式法分解因式的关键： 、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因
因式分解知识点归纳总结一 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项
②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式． 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n) 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)?(a +b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式． 2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意： 1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于 一次项的系数．
因式分解常用方法总结 【知识回顾】 分式方程的解法及注意（增根问题） 例1、已知关于x 的分式方程a x a =++1 12无解，试求a 的值（提示：先把x 求出来，即用a 来表示x ） 【新知识讲解】 一、分解因式与整式乘法的关系. 因式分解的特点：它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 例： 由（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式； 由a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这 两个过 程正好相反. 二、分解因式常用的方法. 1、找公因式的一般步骤. （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 例2：993－99能被100整除吗？还能被那些数整除? 2、公式法： (1）平方差：a 2—b 2=（a +b ）（a —b ） 例3：1）25－16x 2; 2）9a 2－4 1b 2. 3）9（m +n ）2－（m －n ）2 4）2x 3 －8x . （2）完全平方和：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2 （3）完全平方差：（a —b ）2=a 2—2ab +b 2
三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例4、在多项式232++x x 分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。2x 分解为x x ?，常数项2分解12?，把它们用交叉线来表示： 所以)2)(1(232++=++x x x x 同样：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示： 其中ab q =，b a p += 例5：用十字相乘法分解因式： （1）1272+-x x （2）1242--x x （3）1282++x x （4）12112--x x 四、用分组分解法分解因式 （1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利 用分式法分解， 但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 （2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 例6 把下列各式分解因式 （1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102 （3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++ x x +2 +1 x x +a +b
因式分解知识点总结
第一讲因式分解 一，知识梳理 1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解 即：多项式几个整式的积 1 1 例：- ax bx 3 3 因式分解, 应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解; 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程 2. 因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式 系数一一取各项系数的最大公约数
字母一一取各项都含有的字母 指数---- 取相同字母的最低次幕 例：12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2的公因式是________________________ . 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部分a'b3c,a3b2c3, af2都含有因式a3b2c，故多项式的公因 式是2a3b2c. ②提公因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因 式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多 项式中第一项有负号的，要先提取符号。 例1：把12a2b 18ab2 24a3b3分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幕是ab，故公因式为 6ab。 解：12a2b 18ab224a'b3 2 2 6ab(2a 3b 4a b ) 例2:把多项式3(x 4) x(4 x)分解因式 解析：由于4 x (x 4)，多项式3(x 4) x(4 x)可以变形为 3(x 4) x(x 4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(x 4 ),所以我们可以提取公因式(x 4 )后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x 4) x(4 x)
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x x -2x –x =x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、求根法
因式分解知识点归纳总结 济宁分钟李涛 一.因式分解 定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 理解： 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 因式分解方法 1. 提公共因式法 （1）定义： 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+ （2）. 概念内涵: (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ （3）. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 2. 运用公式法 （1）定义： 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. （2）. 主要公式: (1)平方差公式: ))((2 2b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-
（3）. 易错点点评: 因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底. （4）. 运用公式法: (1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式; ②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 三. 因式分解思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
因式分解の16種方法 因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括弧 3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示； ③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。 如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。 如果多項式の第一項是負の，一般要提出“-”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時，多項式の各項都要變號。 提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母； ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の 一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式； ③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。 口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21變成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2 b a ±
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其