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二次函数试题

初四数学模拟试（二次函数部分）

本卷满分：120分

1. 如图1，已知抛物线y=ax 2

+bx （a ≠0）经过A （3，

0）、B

（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．

2. 如图，抛物线y=ax 2+bx+2

交x 轴于A （-1，0），B （4，0）

两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D 坐标；

（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；

（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′．是否存在点P ，使Q ′恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由

3.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A （-2，0），B （2，0），C （0，-1）三点，过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、D （0，-2）作平行于x 轴的直线l 1、l 2．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON 为直径的圆与直线l 1相切；（3）求线段MN 的长（用k 表示），并证明M 、N 两点到直线l 2的距离之和等于线段MN 的长．

4. 如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连接AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE=，A （3，0），D （-1，0），E （

0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；（2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t ≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．

5. 如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B （-2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F ．

（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P 的坐标；

（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．

6. 如图，直线AB 交x 轴于点B （4，0），交y 轴于点A （0，4），直线DM ⊥x 轴正半轴于点M ，交线段AB 于点C ，DM=6，连接DA ，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB 的解析式；（2）求点D 的坐标；

（3）若点P 是线段MB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点F ，交过O 、D 、B 三点的抛物线于点E ，连接CE ．是否存在点P ，使△BPF 与△FCE 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax

2+bx+2的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；

（4）点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点Q 作QE 垂直于x 轴，垂足为E ．是否存在点Q ，使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；

（5）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

8. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+3经过点B （-1，0）、C （3，0），交y 轴于点A ，将线段OB 绕点O 顺时针旋转90°，点B 的对应点为点M ，过点A 的直线与x 轴交于点D （4，0）．直角梯形EFGH 的上底EF 与线段CD 重合，∠FEH=90°，EF ∥HG ，EF=EH=1．直角梯形EFGH 从点D 开始，沿射线DA 方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG 与直线AD 始终重合，设运动时间为t 秒．（1）求此抛物线的解析式；

（2）当t 为何值时，以M 、O 、H 、E 为顶点的四边形是特殊的平行四边形；

（3）作点A 关于抛物线对称轴的对称点A ′，直线HG 与对称轴交于点K ，当t 为何值时，以A 、A ′、G 、K 为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t 值．

9. 已知抛物线y=ax 2-2ax+c 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1，0），O 是坐标原点，且|OC|=3|OA| （1）求抛物线的函数表达式；

（2）直接写出直线BC 的函数表达式；

（3）如图1，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD 为边作正方形ODEF ．将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）．求：①s 与t 之间的函数关系式；

②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．

（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．

10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+bx+c

经过点A （-3，0）、B （0，3）、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；

（2）如图

1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60°，与直线y=-x 交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使∠MON=75°．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P 、Q 分别是抛物线y=ax 2+bx+c 和直线y=-x 上的点，当四边形OBPQ 是直角梯形时，求出点Q 的坐标．

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax 2+bx-3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A 、B 点重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．

①用含有m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；

②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，直接写出m 的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．

12. 如图，已知抛物线y=-x 2+bx+c 与一直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

13. 已知：如图，OA与oB外切于点C，DE是两圆的一条外

公切线，切点分别为D、E．

（1）判断△DCE的形状并证明；

（2）过点C作CO⊥DE，垂足为点O，以直线DE为x轴、直

线DC为y轴建立直角坐标系，且OE=2，OD=8，求经过D、C、

E三点的抛物线的函数解析式，并求出抛物线的顶点坐标；

（3）这条抛物线的顶点是否在连心线AB上？如果在，请你

证明；如果不在，说明理由．

14.如图，在直角坐标系中，半径为5的圆与x轴交于A、B

两点，y轴相切于T点，且A，T是直线y=-2x+4与x轴，y轴

的交点．

（1）求点T、A、B的坐标；

（2）抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，并且顶点D在圆上，

求D点坐标；

（3）求出（2）中A、B、D三点且使△ABD的面积是27的抛

物线的解析式．

15.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接

OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的

周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理

由；

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下

方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标

及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

（注意：本题中的结果均保留根号）．

16.已知二次函数y=-x2+mx+n，当x=3时，有最大值4．

（1）求m、n的值．

（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B

点的坐标；

（3）当y＜0时，求x轴的取值范围；

（4）有一圆经过点A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求

C点的坐标．

17.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，

且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，

-3）．

（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF

∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平

行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说

明理由．

18. 如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B （-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；

（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦

BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）

的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交

于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线

y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛

物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△

PCM为等边三角形．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求点P的坐标；

（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；

（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△

CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，

请说明理由．

20.如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A（4，0）、B（-2，0）

两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），

过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD?BC；

（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．