标准中核心概念的解读
在标准当中，设计了十个核心概念，和原来的标准实验稿相比有所增加，有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。
在目标里边，已经看到了它的对这些核心概念的一些具体要求，相当于它作为目标的一些要素。但是同时，也能发现它们其实还和的目标和内容领域是密切联系的，所以核心概念有一个承上启下的这样一个作用。上面连着目标，下面联系着内容，是非常重要的，所以也把它称为核心概念。
（一）为什么要设计核心概念
在这次课程标准修订过程中，除了前面说的这些理念，怎么设计这个课程标准，也进行了一个讨论，在提出设计的过程中，有两件事情是的一次进步，一个就是希望课程的这些东西，形成一个整体，反复强调如何整体的把握课程。从知识技能，从过程方法，从情感态度价值观，几何方面来构架整个数学课程。这是一个渗透在整个标准的研制过程中。
第二件事，就是在研制的过程中，就是希望能够凸显出在数学的学习中，总有些东西需要给予高度的重视，因为它反应了数学最要紧的东西，最本质的东西，不仅应该把它当做目标，也应该把它和内容有机的结合起来。记得当时在讨论的时候，就在过去义务教育的基础上，能不能用一些词，把这些东西彰显出来，所以经过讨论，提出了所谓核心概念的这么一个说法。
什么可以成为的核心概念？成为一个讨论的一个重点。也作为设计思想的一个组成部分，也作为确定目标的一个组成部分，经过的讨论，对于核心概念的确定，提出了一些很重要的原则。
比如说能体现数学基本思想的东西，对不能帮助学生积累活动经验的东西，在的知识技能中，没完没了出现，用这么一个词，这些东西才能成为的核心概念。另外，对于学生学习数学和把握数学发挥关键作用的东西，当然也包括引起学生的兴趣，提高学生素养的一些基本的东西。于是，在制订这样一些原则的基础上，通过的讨论，就反复的，记得当时反复的商榷，确定了这十个核心的概念。
所以，核心概念的出现，当然是不是全面，是不是无一遗漏，这个大家都可以讨论。但是这些核心概念，希望老师在的实施过程中，不断的理解、体会，不断的丰富它，不断的为他们提供案例，使在数学的学习中，在学生学习数学的过程中，能发挥更好的作用。就做这么一点说明。
（二）核心概念的理解
1 ．数感
数感在课程标准里边，在实验稿里边就提出来，在修订稿里边又进一步明确了数感的含义。在这里边，有这样两句话，来帮助理解数感。数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。这是一层含义，是一种感悟，对那些数量、数量关系和估算结果的估计这种感悟。
然后第二句话的含义是建立数感，有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。这两层意思都是，前一层，第一层意思就是说，数感，什么是数感，怎么样，数感它是一种感悟，对数量、对数量关系结果估计的感悟；第二层意思就是数感它的功能。
知道学习数学是要会数学的去思考问题，一个本质的问题，就是要建立数学思想，而数学思想一个核心的数学思想，第一位就是抽象，而抽象对数的抽象，又是最基本。
数感是一个什么样的一个一种东西，这里边讲的是对数与数量、数量关系的感悟。比如说最简单的，要建立数感，什么样标志成建立数感，你就看着一个事物，对一个事物你不只是理解它物，物质的，它这个现实的表现是什么样，你还要看出来，它从数量的关系。
你比如说，去到一个大礼堂，到一个大礼堂，看有很多座位，一般人说看到了座位，看到的座位，比如说可以看到座位是什么颜色，座位用什么东西做的，它是不是耐用，它是不是舒服，但是，你如果是具有数学的思考问题的，或者说叫学了数学的人，有一定数学素养的人，他就肯定想很快的想到，这个礼堂的座位，大致有多少个座位，它一行有多少座位，它可能有多少行。
这个简单的例子就说，具有数学素养的人，他能够用数学去看到一个具体事物，用数学的观点或者是数量化的去看问题。这个东西就可以把它叫做数感，前面提出要发现问题，提出问题的能力。其实要能发现问题，提出问题，这里指的数学问题，数感是非常重要的，你看到一个事物，你如果没有数感，你就不能从数和数量、数量关系中来看待这个问题，所以说，说在学生学习数的时候，要注重去培养学生的数感，让他有这种感悟。
数感的学习，其实是和数的抽象，数的运用相连的，在学习数概念的时候，要帮助学生们建立数感，另外一个对于计算结果的估计，有数学素养的人，其实有一个当你计算一个问题的时候，直观上，你会看到，它是对还是错。比如说一个，两个一位小数，如果相乘的话，比如 3.5 × 4.8 ，一个数你很快估计它的正误。
运用，学生如果有比较强的数感，建立了数感以后，他能够更好的去解决现实中的问题，来利用它去分析现实中的数量关系，对学生将来的生活和进一步的学习，包括学习数学知识和学习其他知识其实都是非常重要的。
支撑数感的数学内容有很多，比如说对单位这件事，在一个情景中，碰到一些量，总要选择一个单位来刻画它，那你这样一种感悟，对于建立起对这个数量的刻画非常重要，还有数量关系要这样。
比如说一个价钱，一个数量，比如说一件东西一千块钱，那就发现可能数量的多少，对于总价的影响会很大。多一个就多一千，对不很多东西都需要在这个衡量数学，数量关系中进行衡量，要选择哪一个量会对的结果产生更大的影响，所以这样的一种感悟，对于标准中说的，理解现实生活中数的意义，理解具体情境中的数量关系，将会发挥非常重要的作用。它可能不仅仅是知识和技能所能体现出来的一些，一种感悟的。
对于单位的感觉，对于数量级的感觉，这个是非常重要的。比如说让学生去体验，去称一个人的重量要用什么单位，称一个铅笔的重量用什么单位，称一头大象的重量用什么单位，可能选择不同的这种单位，其实也是一种数，也是一种数感，可能有的是用克，有的用千克，有的可能用吨，所以这个其实也是一种数感。
标准中举了一些例子，希望老师在研读的过程中，可以结合这些例子去感悟这件事情。
当然在如何培养数感的问题上，老师们可能在教学当中，还要有很多的工作要去做，就是因为数感，可能和以往对数的知识的学习，还有很大的不同，因为数感一定要创造这样一些机会，它不像比如数的运算，单位换算等等这样，好像直接，对于那种基础知识和基本技能，可能更容易老师们去用一种训练的方法，来让学生们去学习，而数感，感觉第一是一个长期的过程，不是一天两天就能够让学生能够，就是感受的，或者说能够在这方面有很好的感觉的，它一定要在活动当中，逐渐的去积累，对数的这样一种认识。换句话说要积累相关的经验，所以这点，可能还需要老师在教学当中给予更多的关注。
2 ．符号意识
关于符号意识，注意到它在用词上，标准的修改稿和实验稿有一个区别，原来是叫符号感，现在把它称为叫符号意识，是这样，因为符号感，这个感更多的是一感知，可能是一个最基本的这样一个层次。而符号意识对符号的学生理解它，学习它的要求就要更高一些。在标准里边它是这样来表述的，符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。就是用符号来表示，表示什么，表示数，数量关系和变化规律，这是一层意思。
还有一层意思，就是知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得一个结论具有一般性。所以标准上，大概用分号隔开是两层意思，一个是会表示，另外一个进行分开进行推理，得到一般性的结论。进一步标准就说了，符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和数学思考的重要的形式。
符号在数学中的重要性，应该是老师们都能够，学个数学，也了解一些数学史的东西，可以知道符号在数学整个发展历史上，它的重要性，另外也常常这样说，就是小学更多研究的是算术的东西，到了初中，更多的是研究的是代数的东西，代数的内容，也更多的是以符号的引入作为一个标志，所以从算术到代数，也是一个认识上的一个飞跃，也是数学能够从一些具体的东西，上升为一般的东西这样一个标志。
所以符号，实际上它不是表示一些具体的东西，它可以用来代表一类东西了，比如说，用 A 不仅可以表示 5 ，可以表示 8 ，可能还可以表示更多的，同类的一类东西，另外符号还可以表示两类事物的关系，两类事物的关系，同时说符号也是研究对象的一种办法。
从这么几个方面来说明符号意识，在整个学习数学中的重要。首先说，数学有这样的说法，是一种语言，数学的语言，有几个基本的特征，一个是数学的普通化，通常所说自然语言，一个是图形语言，这是数学里独特的东西。另外就是符号语言，作为语言，符号语言是数学里一个完整的东西，某种意义上是一个体系，所以从这个角度来说，提升符号意识，对于学习数学，是非常重要的。
因为符号可以简洁、准确的表达需要表达的一些东西，交流起来就方便，就像画一个直角三角形，在写一个公式， A 方加 B 方等于 C 方，每个人看到这个图，看到这样符号的语言，马上就会反应，这是勾股定理。
讲一个故事，在数学科学院的房顶上，曾经做了一个很大的一个直角三角形，旁边有一个公式， A 方加 B 方等于 C 方。每一天向太空发信息晚上，他们开玩笑的说，希望其他星球的高级动物，路过地球的时候，能够感悟到这有高级动物懂得勾股定理。所以符号是一种非常重要的语言的组成部分，它代表了数学一个重要的方面。这是一个。
第二个如何理解符号的体系，实际上最熟悉的符号就是数字，是用十个数字加进位，就能把周围世界的所有，通常所说的几何所谈元素的多少，表达清楚。恐怕这是历史上人类最大的贡献，就是通常所说的十进制，这是认识符号的一个很重要的阶段。还可以去表示数值间的关系， 5 × 6 等于 30 ，等号不等号，就初步的为沟通了一个数量之间的关系。
所以，当讨论问题的时候，等量关系和不等量关系，包括依赖关系，这些都是数学中最基本的关系。
刚才又强调了，从小学到初中，要经历一个非常重要的过渡，就是从算术到代数，从算术到代数最重要的一个变化，或者说最重要的一个区别，算术思维和代数思维一个重要的区别，就是算术是一个又一个的解决问题，解决具体的问题。而的代数，是一批一批的解决问题，就像说的如果鸡的个数是 X ，兔子的个数是 Y ，那马上就可以得到，X+Y=N ， 2X+4Y=M ，就把所有的鸡兔同笼问题，用这样一个符号表达清楚了，是不是。
所以符号所起的作用，是从算术到代数过渡中的一个非常关键的一个，一个台阶吧，所以帮助孩子从算术到代数过渡发展的过程中，培养学生的符号意识，是一个非常重要的载体。
到了初中，就刻画一类的问题，方程，一次方程，二次方程，二元一次方程组，它就帮概括出一类的数学问题，使得在研究数学问题的过程中，非常的方便。
同时又为形成模型奠定了基础，无法想象没有符号怎么去刻画模型，所以，刚才分析的符号的意识，在数学的学习中，是非常重要的一件事情。希望做好这些事情，这样会帮助学生不断的提升他们的数学素养。
3 ．空间观念和几何直观
空间观念是原来大纲里有的，现在在原来的基础上，做了一个进一步的刻画，是这么描述的，空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。这是对于空间观念的一个刻画。
这两个概念，有的时候容易混淆在一起，放在一起介绍，就可以更清楚了解它们之间的联系区别。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学的学习中，发挥着重要的作用。
刚才空间观念，有这么几个纬度，理解的纬度。第一个就是图形和实物之间的关系，这是一个很重要的纬度，实际上应该清楚，比如说，画空间的一个长方体的直观图，它是一个变了形的图形，和通常在实际中碰到的长方体是不一样的，它是弯着，就是这样把它 45 度角，所以建立起抽象图形和实物的联系，是树立空间观念的一个非常重要的一个载体，，这是一个重要的载体。
第二个，就是标准中所刻画的，就是物体的，通常所说的方向感，如何来刻画它的方位，是在上，是在下，一位的，是在上下左右，二位的，是在上下左右前后，三位的，建立起这样一个认识图形，是空间观念另外一个重要的一个载体。
关于空间观念，再补充说点，其实刚才分析的空间观念是图形和，实物和图形之间的关系，关系是两个方向，这就说的通过实物，根据实物来抽象出几何图形，这是一个方向。另外一个就是根据几何图形想象出所描述的实际物体，在这里边，其实这个想象，一个是抽象，一个是想象，在具体的事物，其实说图形，说几何图形，比如说，长方形、正方形、平行四边形、三角形，在现实世界中，是没有这些图形的，是没有几何里边说的三角形、长方形、平行四边形，它都是一些具体的实物，你看到一个盒子，你看到一个桌子，说这个盒子的表面是长方形，但是你要想象出，抽象出它的表面是一个长方形，这是一个你抽象的过程。
另外，就是说出一个图形，你把它和某一个物体，某一个具体物体对应起来，实际上这个说，从心理学角度是一个表象，一个表象，这个空间观念实际上是头脑中形成一个表象，让学生形成空间观念，一个重要的标志，就是学生在头脑里边，最终要形成一个，说一个的平行四边形，学生脑子里边要有一个平行四边形，同时要有一个平行四边形的物体，跟它相对应，这样就是一个建立的一个空间观念，这个是很重要的。
另外一个就是图形的运动。刚才讲图形的运动，讲图形课程标准这个从实验稿里边，开始加了一些图形的平移、旋转这样的一些运动。这样一些运动，就运动前和运动后是一个什么样的，其实学生可以去做，他也可以去想，这个图，如果向左移动三厘米，再向下移动二厘米，再旋转 45 度，是一个什么样，他可以先去想，然后再去做，这样一个空间观念，其实对他来说，都是需要的，都很重要。
像维数的认识，这样也有很多的例子，今天时间的关系，可能就不再展开了，所以空间观念在某种意义上，是学习几何，当然也包括代数，因为一旦认识纬度，代数里头也有很多的运算对象是高维的，所以对于这样一种理解，也是一个非常重要的事情。
下面说一下几何直观，用最通俗的话说几何直观，有人这么说，就是看图想事，看图说理，就是几何直观，说的挺形象。当然包括想图，要画出来表达一个想法。
为什么要强调几何直观，也从数学最基本的研究对象说起，数学最主要的在中学，进入小学阶段，主要的研究对象，一个就是图形，一个就是可算的东西，数、字母，就是不严格的说数，这是研究的基本对象。
大家设想一下，对于图形的关注，在所有的学科中，除了美术，只有数学，其他的数量关系，物理也关注数量关系，化学从化学的角度关注，生物从生物的角度关注，对它们只是赋予它具体载体以后关注它。
该如何从学习图形中获得最大的好处，这是作为数学工作者应该想的一件事情。引用希尔伯特，在他写的一本书叫《直观几何》里头，谈到的几个基本观点。他在序言里头写了这样三层意思。
第一层意思，图形可以帮助刻画和描述问题。一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。
第二个意思就是图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路。就是无论在小学还是初中，当用一个图形描述一个问题了，常常可以发现，怎么样去找到解决这个问题的一些基本的想法。包括函数的问题，甚至方程的问题，都是可以通过图形找到这样一些思路。
第三个纬度，图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。
他不仅能够掌握这个结果，而且能够理解证明的过程。所以，要充分的发挥图形给带来的好处，所以，怎么帮助学生树立几何直观能力，一个要教会学生看图说话，尤其是一些重要的载体，比如说函数，一定要让孩子能看图说话。第二件事，要让孩子养成一个画图的好习惯。能用图形表示的，就用图形表示。第三件事，重视变换，让图形动起来，图形一旦动起来了，他把握图形与图形之间的关系，就提供了更多的支持，他理解很多结果，就会更深刻一点。第四件事非常重要的，要在学生的头脑中留住些图形。比如说数轴，比如说方格纸，比如说直角坐标系，长方体、圆。用这些图形来帮助他认识和理解数学。
培养几何直观就不会落空，所以这一次加了几何直观能力，加了几何直观这个关键词，对于学习数学来说，是挺重要的一件事情。有一些接触到很多数学家说，重要的数学结果，常常是看出来的。就反应他们对几何直观的一个认识和理解。所以，希望的老师，不断的摸索，不断的积累经验，把这样一些核心词和日常教学有机的结合起来。这个对于提升学生的数学素养，一定是很有帮助的。
4 ．数据分析观念
数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物，每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，数据分析是统计的核心。
数据是统计学习一个重要的内容，所以对数据的分析，也就成为学习统计这块，很核心的东西，这个数据分析观念，刚才对标准上的这样一段，对它的解释，进行了简单的这样一个就是给大家做了这样一个介绍，之后也能够理解到，就是实际上数据分析观念，主要让学生能够体会到数据的作用，运用数据可以做什么，怎么来做，可能这是通俗一点来说，数据分析观念的一个基本的含义。当然可能数据分析观念，究竟怎么样让
学生去体会其中的，刚才谈到这几个方面，还需要老师们去在教学当中去体会，在教学当中去贯彻。
5 ．运算能力
运算能力，标准中是这样说的，只要是指能够根据法则和运算正确的进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算力，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。运算始终是中小学教学里边非常重要的组成部分，对数的认识，数的运算，一直都占很大的篇幅，另外也是学生学习数学的一个重要的标志。
从培养学生运算能力这个角度，重要的是理解算理，运用算理来解决问题，而不是说一味的追求速度。另外，就是寻求合理简洁的运算途径解决问题，落脚也在解决问题上，说运算你要会算，但是运算的目的是什么，运算的目的是解决问题，所以希望能够在一个情境中解决问题的情境去运算，而不是简单的重复的进行运算，单调的运算，所以说，在一些情境中进行运算，比如说在购买物品的一个情境中，单价是多少，价格是多少，总价是多少，一共需要多少钱，一共有多少钱，能购买多少东西，你怎么样去运算，在这里边，一个现实的情境，有很多问题，有很多需要计算的，所以，这一点应该引起关注。
数学的价值取向，数学是不是就是要求快，现在越来越多的人质疑这件事情，过去的数学求快，特别是在计算机的时代，所有的运算，计算机都可以帮忙实现，应该培养学生什么能力，所以在质量监测中，很多人提出来，首先要保证学生有足够的时间去做，看看他会还是不会，这是主要的；第二个补充，运算能力不能仅仅是算个数，应该就是更宽的来考虑这件事情，包括对于运算对象的认识，包括对于为什么要做这个运算，就是这些运算的背景是什么，包括刚才强调的，运算法则和运算规律的、方法的选择，包括运算在哪些地方有用，学运算的目的是要解决一些问题，所以仅仅停留在运算的巧和快，可能误导了对运算的理解。
6 ．推理能力
推理能力是标准实验稿中就提出的一个核心概念，在修改稿当中，仍然也保留了这样一个核心概念。经过这几年的实验，老师们对推理能力，应该有了一个，比较全面的认识，以往在谈推理的时候，老师首先想到就是演绎推理和逻辑推理，而说现在推理能力，实际上是包含了两个方面。首先推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用这样一种思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理，所以首先在这，把合情推理，它的外延就包含了这样两个大方面，一个是合情推理一个是演绎推理。演绎推理是从已知的事实出发，按照一些确定的规则，然后进行逻辑的推理，进行证明和计算，是这样一个过程。换句话说，从思维形式的角度，是从一般到特殊这样一个过程，在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理的形式。合情推理是从已有的事实出发，评论一些经验、直觉，通过归纳和类比等等这样一些形式，来进行推断，来获得一些可能性结论这样一种思维方式。和演绎推理相不一样的地方，它往往是从特殊到一般这样一种推理，所以合情推理得到的结论，知道不一定是对的，通常可能称之为猜想、推测是一个可能性结论。但是合情推理在数学整个发展过程当中，包括在学生学习数学和今后的未来的社会生产实践和生活当中，都是特别重要的。当然合情推理也是新课程之前，在传统的数学课程当中，是被忽视的，经过这些年的新课程的实验，老师们已经基本上接受了，像归纳和类比，这样的一些推理形式，在数学学习当中的这样一些地位和作用，也能够在教学当中去尝试的去做这些事情，在的考试评价当中，也看到了在这方面，大家给予关注，这都是一个很好的信号，也希望老师能够更好的在推理的，双方面都能够齐头并进，而不是偏废哪一方。
合情推理进入的视野，并且加以强调是数学教育的一个进步。举两个比较重要的事
情来支持这个合情推理的重要性。第一个就是抽象思维，抽象的过程，是从特殊到一般的过程，从一些实际的例子中，抽象出函数的概念，所以很多重要数学概念的形成，实际上是抽象的过程，这样一个过程对于概念的认识和理解，是非常重要的。第二个支持这个的例子，统计思维，最基本的推理方式是归纳，从样本看整体，所以通过这两个例子，希望的老师重视合情推理。不要以为，合情推理是为演绎推理服务的一个前奏，这样的理解还是有失偏颇的，概念的形成，定理的得到，是经历了归纳推理的过程，最后才能形成所得到的一些认知。所以重视合情推理，是在新课程推进中，需要不断强化的一件事情。
推理能力的培养，实际上不仅在几何里，包括数与代数，包括刚才也谈到了，统计概率，实际上贯穿在整个数学学习过程当中的，这一点可能老师们也应该能够把它在整个教学联系起来。
7 ．模型思想
首先说一下标准的解释，就是模型思想的建立，使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。这个基本上模型思想概括的比较清楚。
说这个模型的思想引用复旦大学李大潜院士的一段话，他在大学教学指导委员会说过的一段话，他说 20 世纪，中国的数学教育一个很重要的贡献，就是强调了模型，强调了数学建模，推动了数学和实际的联系。他概括的还比较清楚的。
数学有两件事情很重要，一件事情就是一批一批的解决问题，所以要形成模型；另外一件事，要从实际情境中找到它，解决这个问题的模型。一个是归纳的过程，一个是演绎的过程，能够更好的去解决一些具体的问题，所以举一个在数与代数中的一个例子，比如说函数的思想，实际上经历了这么一个过程，在具体的情境中，会对量进行分析，具有识别变量的能力，这是第一步。第二步，具有识别变量依赖关系的能力。是不是有的变量的变化，会引起另外变量的变化，在进而，有判断函数关系的能力，这样就能知道用函数来刻画变化的一个规律。
当认识到可以用函数来刻画规律的时候，马上进而就要想，在这个具体情境中，是哪样一个类别的函数，是一次函数，是二次函数，还是反比例函数。然后要确定是哪一个具体的函数，然后用这个具体的函数，去解决这个问题并对解决的结果进行讨论。看的结果，是不是符合实际，这样的一个过程，可能也是通常所说的函数建模的一个过程。这对于提升解决实际问题的能力一定是非常重要的。也把前面所说的基本数学思想表现的淋漓尽致。
数学本身就是一种构造，没有一个数学公式在那里摆着，等着你去发现，其实很多数学，从一开始数学就是要构造一个能够描述模型客观现实的模型，所以说模型思想从某种意义上说，反应了数学的本质。
所以提出模型的思想，对于数学教育，一定会有很大帮助，可能会在数与代数、空间与图形，图形与几何的内容中，会不断的强调模型思想怎么和具体的内容有机的结合起来。
8 ．应用意识和创新意识
首先是应用意识，应用意识说白了就是强调数学和现实的联系，数学和其他学科的联系，如何运用所学到的数学，去解决现实中和其他学科中的一些问题，当然也包括运用一部分数学，去解决另一个数学里的问题。
在 20 世纪，数学的发展，最重要的标志，应该是数学的应用，数学在其他学科和
科学和社会发展中的作用，还不仅仅是在理科中的作用，在文科和社会科学中的作用是非常重要的体现。创新是一个永恒的主题，作为创新，在各个学科里边，都是要提倡，而数学的创新可能更重要，数学是一种，一种非常抽象的严谨，但是同时数学的应用非常广泛，这种应用的广泛，应该在体现在去创新、创造性的应用。所以说标准里面提出创新意识培养，是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心等等这样。
这和前面分析的基本理念和基本目标里边，提出的发现问题、提出问题是相关的，你一直有发现新的问题，你才有创新。所以去学习数学，不是只是学现成的数学，不是只解决现成的问题，你提出一个新的问题，你在你的生活中，你在现实社会中，提出新的问题，发现新的问题，这个永远是一个非常重要的，从小学就应该鼓励学生去创造、去创新。这一个很重要的就是引导他们在一个现实情境中发现问题，提出问题，这样才能够为社会培养更多的创新型人才。
标准说，学生发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，归纳、概括、得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。还有一点，创新意识、创新能力的培养，应从义务教育做起。
从某种意义上，越小的孩子，他越有创新，小孩子的兴趣，小孩子对问题的敏感性，他能提出很多很多成人可能都难以解决的问题，其实他本身就是创新。
虽然对应用意识和创新意识谈的不是很多，不等于它不重要，应该说它是更重要的，也是在数学课程里边，从目标的角度，从核心概念的角度，其实它是更高远的这样一个目标。
希望老师们能够很好的去研读十个核心概念，并且把这些核心概念能够和日常的教学能够建立起联系来。
在《义务教育阶段数学课程标准（修订稿）》中十个核心概念的内涵在标准当中，设计了十个核心概念，和原来的标准实验稿相比有所增加，有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。1、数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感，有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。2、符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得一个结论具有一般性。符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和数学思考的重要的形式。3、空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。4、几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学的学习中，发挥着重要的作用。5、数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物，每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，数据分析是统计的核心。6、运算能力是指能够根据法则和运算正确的进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算力，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。7、推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用这样一种思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理。演绎推理是从已知的事实出发，按照一些确定的规则，然后进行逻辑的推理，进行证明和计算，是这样一个过程。换句话说，从思维形式的角度，是从一般到特殊这样一个过程，在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理的形式。合情推理是从已有的事实出发，评论一些经验、直觉，通过归纳和类比等等这样一些形式，来进行推断，来获得一些可能性结论这样一种思维方式。和演绎推理相不一样的地方，它往往是从特殊到一般这样一种推理，所以合情推理得到的结论，知道不一定是对的，通常可能称之为猜想、推测是一个可能性结论。8、模型思想的建立，使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。9、应用意识就是强调数学和现实的联系，数学和其他学科的联系，如何运用所学到的数学，去解决现实中和其他学科中的一些问题，当然也包括运用一部分数学，去解决另一个数学里的问题。10、创新意识培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心。 在《义务教育阶段数学课程标准（修订稿）》中十个核心概念的内涵在标准当中，设计了十个核心概念，和原来的标准实验稿相比有所增加，有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。1、数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感，有助于学生理解现
小学数学中的概念教学 怎样让枯燥、抽象的概念变得生动有趣，使课堂教学更有效，减轻孩子们的学习负担，让概念在孩子们心中得到完美内化呢？我们可以从以下两方面入手。 一、概念的引入讲述宜直观形象 针对第一学段孩子的抽象思维能力较弱，对数学语言描述的概念理解较为困难，我们在教学中应该多用形象的描述，创设有趣的问题情境，打些合理的比方等，努力让孩子们理解所学概念，可以采用以下一些方式来进行教学。 夸张的手势，丰富的肢体语言，理解运算所蕴含的意义，区分概念的差别。在让一年级的孩子认识加减法的时候，我举起双手像音乐指挥家一样，左边一部分，右边一部分，两部分合在一起就用加号，加号就是横一部分，竖一部分组起来的，减法则反过来展示。孩子们看得有趣，记得形象，不但记住了加减号还明白了加减号的用法。在教二年级孩子感受厘米和米时，我让孩子们学会用手势来表示1厘米和1米，使得孩子们在估计具体物体的长度时有据可依。形象生动的讲解，让孩子们自然接受数学符号。教师的语言讲解也要力求符合学生实际，特别是第一次描述时，教师一定要斟字酌句地用孩子能理解的语言尽可能用数学语言简洁地描述。因为对于第一次接触新概念的孩子们来说，第一印象是最为深刻的。当然在适当的时候我们也可以选择让孩子们根据自己的理解来说一说来试着对概念进行解释，一方面同龄人的解释会让孩子们概念的理解更为容易；另一方面也可以锻炼一下孩子的数学语言表达能力。我们要记住：孩子们的数学概念应该是逐级递进、螺旋上升的（当然要避免不必要的重复），以符合学生的数学认知规律。很多时候第一学段的孩子对于部分数学概念，只要能意会不必强求定要学会言传。 二、概念的学习宜多感官参与 心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。”书上的数学概念是平面的，现实却是丰富多彩的，照本宣科，简单学习自然无法让这些数学概念成为孩子们数学知识的坚固基石。如果我们能够让孩子们的多种感官参与学
数学新课标中的 四基、四能、十个核心概念 新课标明确提出了“四基”、“四能”。“四基”即学生通过学习，获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；“四能”发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。 数学课程标准修订提出了十个核心概念包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，以及应用意识和创新意识。 现在新课标指的“四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。即通过数学教学达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。我认为双基变四基对老师的要求会更高，整个课程改革的推进过程，对教师各方面的要求都会很高，教师需要不断学习不断更新才会有创新和发展，工作中教师要积极交流，在合作中提升和发展。教师需要不断学习不断更新才会有创新和发展。与时俱进，积极投身新课程改革，在合作中提升和发展。这就要求数学教师必须为学生的学习和个人发展提供了最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进学生的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。小学数学要发展，就需要根据时代的需要，将基础知识、基本技能发展为，基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；也需要将 分析问题、解决问题的能力，发展为发现问题、提出数学问题并加以分析和解 决的能力；更需要将以往重视培养演绎能力，发展为归纳能力、演绎能力并举。只有对 课标理解透彻、具体，才能灵活处理好知识、技能、基本思想和基本活动经验。 在新课标中“四能”包括发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。分析与解决问题涉及的是已知，而发现问题与提出问题涉及的是未知。因此，发现问题与提出问题比分析与解决问题更重要，难度也更高。对小学生来说，发现问题更多地是指发现了书本上不曾教过的新方法、新观点、新途径以及知道了以前不曾知道的新东西。这种发现对教师可能是微不足道的，但是对于学生却是难得的，因为这是一种自我超越，可以获得成功的体验。可以逐渐积累创新和创造的经验。更重要的是，可以培养学生学习的兴趣，树立进步的信心，激发创造的激情。在发现问题的基础上提出问题，需要逻辑推理和理论抽象，需要精确的概括。问题的提出必须进行深入思考和自我组织，因而可以激发学生的智慧，调动学生
关于数学学习内容的若干核心概念 在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。 一、数感 1.数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 2.如何培养学生的数感： 第一，重视低学段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系； 第二，紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感； 第三让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。 二、符号意识 1.符号意识⑴主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；⑵知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。⑶建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 2.如何培养学生的符号意识： 第一，在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识； 第二，结合现实情境培养学生的符号意识； 第三，在数学问题解决过程中分钟学生的符号意识。 三、空间观念 1.空间观念主要是⑴指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；⑵想象出物体的方位和相互之间的位置关系；⑶描述图形的运动和变化；⑷依据语言的描述画出图形等。 2.如何培养学生的空间观念 第一，很好地认识空间观念的含义及意义，在图形与几何内容的学习中抓住典型内容，就可以将空间观念的培养贯穿于这个学习过程中； 第二，促进空间观念发展的教学策略： ⑴现实情境和学生经验是发展空间观念的基础；
108 变式与比较在小学数学概念教学中的运用 浙江省金华市环城小学 徐满珍 乌申斯基说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”在小学数学中有很多概念：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。只有明确牢固地掌握数的概念，才能理解运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。所以掌握数学概念是构建数学认知结构的重要基础，同时，也是发展学生智力和培养学生数学能力的前提。 一、学生概念的获得与偏差 学生概念获得实质上就是掌握同类事物的共同的本质特征。概念形成有两个条件：一是学生自身的内部条件，即学生必须辨别概念的正反例证；二是教师方面的外部条件，教师必须对学生所提出的概念的关键特征的假设作出肯定或否定的反应，也就是说要让学生从外界获得反馈信息。然而，在学生获得数学概念的过程中会受到很多因素影响，从而产生了概念获得的偏差。在教学中，发现学生在学习数学概念时容易出现的三种错误情况： 1．扩大内涵，缩小外延。这主要是因为他们把概念的一些无关特征当成了本质特征，在概念的内涵中不仅包括概念的本质特征，还包括了非本质特征，从而扩大了概念的内涵，缩小了概念的外延。 例如，有些学生认为合数必须是偶数，实际上，合数可能是偶数、也可能是奇数，数的奇偶性并不是合数的本质属性。 2．扩大外延，缩小内涵。当学生没有把概念的所有本质特征完全包含在概念的内涵中，或者，没有认识到本质特征，却把非本质特征当成了本质特征，就可能扩大概念的外延。 例如，教学《梯形的认识》，教学中老师会选择一些“非标准”的梯形让学生辨别，帮助学生排除标准图形所带来的干扰，避免出现误将“上底短，下底长，腰方向（腰相等）”等非本质特征当作本质特征的片面认识。 3．混淆概念。在学习中，学生常常会把一些相似的概念搞混淆。发生这些错误的根本原因在于没有能够清晰准确地抓住概念的本质属性、排除概念的无关特征。 例如：数位与位数、体积与容积，减少与减少到等等相对应概念，存在许多共同点与内在联系。 二、抓住概念的本质进行变式 “变式”是指本质属性不变而非本质属性发生变化。变式用以说明同一个概念的本质特征相同、非本质特征不同的一组实例。这些实例都是概念的正例，但是它们在概念的非本质特征方面有变化。 (一)图形变式 如教学“平行四边形面积”时，学生通过对平行四边形的割、拼、摆，推导出“平行四边形的底等于长方形的长”，“平行四边形的高等于长方形的宽”，通过转化推导出平行四边形的面积公式。在强化概念理解的环节中，课件出示一个平行四边形中不对应的一个高和一个底，并要求大家求出它的面积。 通过交流分析，学生明确：运用公式求平行四边形的面积必须知道相应的底和高。运用变式可以使学生透过现象看到本质，避免学生形成思维定势，从而真正掌握概念。 （二）符号变式 如教学“方程”时，在这个判断是不是方程中，学生必须对“未知数”、“等式”这几个概念十分清楚，才能形成这个判断，并以此来推断出下面的6道题目，哪些是方程。 (1) 56+23＝79 (2) 23-x＝67 (3) x÷5＝4.5 (4) 44×2＝88 (5) 75÷x＝4 (6) 9+x＝123 三、运用比较，揭示概念的本质 小学数学教学中，有许多既有联系又有区别、似同实异、容易混淆的问题。在教学中适时、恰当地运用比较法，引导学生加以区别，有助于突出教学重点、突破教学难点、防止知识混淆、提高辨别能力。 在数学概念教学中，发现运用比较可以帮助学生解决两个方面的学习困难： （一）通过比较来帮助学生明确概念的内涵和外延。 例如，在前面的“合数”概念教学中，可以引导学生分别比较所举的每一组合数实例内部的相同点和不同点，在此基础上，比较三组实例之间的相同点和不同点，从而概括出“合数”的本质特征和非本质特征，明确概念的内涵和外延。 （二）通过比较来帮助学生明确有关概念间的关系。 学生产生概念混淆往往是由于不能区分概念之间的异同，不明确概念之间的联系。在对容易混淆的概念进行比较时，要抓住它们的本质区分点。 例如，“偶数”和“奇数”的本质区分点是能否被2整除；“锐角”和“钝角”的本质区分点是大于还是小于“直角”或“90度角”。 四、变式与比较相兼，融会贯通 在变式的运用中，还应该注意培养学生的比较能力。帮助学生通过比较找出事物的本质特征和非本质特征，并在此基础上加以概括，以奠定概念的基础。通过已知条件和问题的变化，进行变式和比较，让分散的知识点趋于系统化，掌握概念间的本质关系，揭示解题规律，帮助学生学会模型判断。 例如：在“长方体和正方体”教学中，因为教学内容较为抽象，逻辑思维性强，在实际生产、生活中用途广泛的一种基础知识，由于受各方面的制约和影响，在学习过程中，常常会出现一些共性错误。所以教师的主要任务是帮助学生建立棱长、表面积、体积的模型，能分辨实际问题中，需要求什么内容。 模型1：V=abh 变式一：已知一个长方体游泳池的长是15米，宽10米，深2米，在池底铺上一层碎石，已知碎石厚0.2米。 问游泳池实际能蓄水多少？（在运用体积模型中，找到模型相对应的高） 变式二：在一个棱长为24厘米的正方体鱼缸中放入一石块（石块完全侵入水中），水面上升了1.5厘米，这个石块的体积是多少立方厘米？(上升部分水的体积就是石头体积) 模型2：C=(a+b+h)×4 一个长方体长5厘米，宽3厘米，高2厘米，它的棱长和是多少？ 变式一：用彩色丝带包扎一只长7分米，宽5分米，高2分米的纸箱（连接部分忽略），这根丝带最少长 多少？ （下转第123页）
如何有效进行小学数学概念教学 数学概念是小学数学知识的一项重要内容，是学生理解掌握数学知识的首要条件，也是进行计算和解题的前提。因此重视数学概念教学，对于提高教学质量有着举足轻重的作用。那么怎样让枯燥、抽象的概念变得生动有趣，使课堂教学更有效，减轻孩子们的学习负担，让概念在孩子们心中得到完美内化呢？我粗浅的认识从以下几方面入手。 一、概念的引入讲述宜直观形象 针对第一学段孩子的抽象思维能力较弱，对数学语言描述的概念理解较为困难，我们在教学中应该多用形象的描述，创设有趣的问题情境，打些合理的比方等，努力让孩子们理解所学概念，可以采用以下一些方式来进行教学。夸张的手势，丰富的肢体语言，理解运算所蕴含的意义，区分概念的差别。在让一年级的孩子认识加减法的时候，我举起双手像音乐指挥家一样，左边一部分，右边一部分，两部分合在一起就用加号，加号就是横一部分，竖一部分组起来的，减法则反过来展示。孩子们看得有趣，记得形象，不但记住了加减号还明白了加减号的用法。在教二年级孩子感受厘米和米时，我让孩子们学会用手势来表示1厘米和1米，使得孩子们在估计具体物体的长度时有据可依。形象生动的讲解，让孩子们自然接受数学符号。教师的语言讲解也要力求符合学生实际，特别是第一次描述时，教师一定要斟字酌句地用孩子能理解的语言尽可能用数学语言简洁地描述。因为对于第一次接触新概念的孩子们来说，第一印象是最为深刻的。当然在适当的时候我们也可以选择让孩子们根据自己的理解来说一说来试着对概念进行解释，一方面同龄人的解释会让孩子们概念的理解更为容易；另一方面也可以锻炼一下孩子的数学语言表达能力。我们要记住：孩子们的数学概念应该是逐级递进、螺旋上升的（当然要避免不必要的重复），以符合学生的数学认知规律。很多时候第一学段的孩子对于部分数学概念，只要能意会不必强求定要学会言传。
十个核心概念是什么？怎么理解？ 有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 1、数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。它有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 2、符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得结论具有一般性。 3、空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。 4、几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 5、数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。 6、运算能力是指能够根据法则和运算进行正确的运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。 7、推理能力是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用的一种思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理。 8、模型思想是使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学兴趣和应用意识。 9、应用意识说白了就是强调数学和现实的联系，数学和其他学科的联系，如何运用所学到的数学，去解决现实中和其他学科中的一些问题，当然也包括运用数学知识去解决另一个数学问题。 10、标准里面提出创新意识培养，是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心等。
十个数学核心概念与六个数学核心词的比较 董诗燕数学与应用数学师范(世承) 160112205 十个数学核心概念包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，六个数学核心词包括数感，符号感，空间观念，统计观念，应用意识，推理能力，增加了几何直观，创新意识，运算能力，模型思想。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。标准里面提出创新意识培养，是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心等。运算能力是指能够根据法则和运算进行正确的运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。模型思想是使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 为了更好地培养学生的数学核心素养，我认为可以做到以下几点： 一、主动发现问题，抓住问题本质，渗透核心素养 “不会提问题的学生不是一个好学生。”学生能够独立思考，也有提出问题的能力。无论学生提什么样的问题，不管学生提的问题是否有价值，只要是学生自己真实的想法，教师都应该给予充分的肯定，然后对问题采取有效的方法进行引导和解决。对于有创新意识的问题和见解，不仅要给予鼓励，而且要表扬学生能够善于发现问题并提出问题进而引导大家一起去深层次地思考交流。 二、具有创新精神，合理提出猜想，渗透核心素养 杜威曾说：“科学的每一项巨大成就，都是以大胆的幻想为出发点的。”对数学问题的猜想，实际是一种数学想象，是一种创新精神的体现。在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，创新地学习数学。让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，分享自己的想法，锻炼自己的数学思维。 例如：《圆的周长》，在探究圆的周长和什么有关的环节中，先引导学生提出猜想：正方形的周长与它的边长有关，猜一猜圆的周长与什么有关？接着结合学生的回答，演示三个大小不同的圆，滚动一周。并让学生指出哪个圆的直径最长？哪个直径最短？哪个圆的周长最长？哪个圆的周长最短？ 最后总结：圆的直径的长短，决定了圆周长的长短。 三、进行合理提炼，建立数学模型，渗透核心素养 数学模型是数学学习中不可或缺的，不仅可以为数学的语言表达和交流提供桥梁，而且是解决
小学数学概念教学中存在的问题及对策 摘要：概念教学是小学生掌握数学基础知识的关键，在一定程度上影响学生今后的学习和思维的发展，因此，提高小学生掌握正确、清晰和完整的数学概念显得极其重要，就此问题进行了相应的探讨。 关键词：小学数学概念；存在的问题；对策 目前小学数学概念教学中存在的问题主要有两个方面：（1）教师对于概念的引进方法不当，缺乏科学性，造成学生的思维混乱；（2）教师在教学中只注重学生是否掌握概念，而不注重概念的理解过程，造成学生对概念的理解偏差。本文就这两方面内容进行讨论并给予解决办法。 一、小学数学概念教学中存在的问题 1.引入不当，缺乏科学性 由于教师学科素养不足和受日常概念的影响等原因，有的教师在概念教学时引入不当，缺乏科学性，导致对概念的理解不准确。下面是一位教师对于倒数概念引进的过程：今天我们来做个游戏，名字叫倒着说，例如我说“1、2”，你们说“2、1”，我说“1、2、3”，你们说“3、2、1”，我说“老师爱我们”，你们说“我们爱老师”。在数学中这种现象也存在，比如“八分之三的倒过来就是三分之八”。
这种概念的引入方法就缺乏科学性，会造成学生对概念的理解不清。 2.注重结论，轻视过程 现在部分教师教授概念表现为读概念，引导学生读概念，让学生背定义，忽视对概念形成过程的理解，缺乏对概念的讲解和分析，缺乏对概念本质属性的理解和概念外延的了解，在这样的教学模式下学习了概念之后，学生既不能很好地将概念内容应用到具体题目中，久而久之还会对概念有遗忘。 二、解决数学概念中存在问题的措施 1.从实际生活中引入 数学来源于生活，学生数学概念的构建，是建立在自身已有知识经验基础上的，从生活中已有的概念理解上入手，进行实际的引进，能让学生更好地接受。例如，在学习平行四边形的不稳定性这一概念时，教师可以举一些生活中利用此性质制造的物品，如学校的大门，家里的伸缩式墙挂等等，由生活的具体实例引入概念，可以让学生记忆深刻，更容易理解。 2.重视概念理解 概念的学习不仅仅局限于文字，而是要体会文字背后的真正意义，只有深刻地理解才能更好地应用，越深刻，越准确，所掌握的内容越容易应用。教师在概念教学时要注重
如何进行小学数学概念教学 小学数学教学过程，就是“概念的教学”。一个数学教师，要把概念教学放到突出地位。小学数学中的一些概念，对小学生来说，由于年龄小，知识不多，生活经验不足，抽象思维能力差，理解起来有一定的困难。因此教师在有关概念的教学过程中，一定要从小学生年龄实际出发，这样才会收到好的教学效果。 一、为学生提供充分的探究空间、创设条件、营造氛围，引导学生自主探究、合作交 流，让学生充分理解数学概念的意义。 1.直观形象地引入概念 数学概念比较抽象，而小学生，特别是低年级小学生，由于年龄、知识和生活的局限，其思维处在具体形象思维为主的阶段。认识一个事物、理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象。因此，教师在数学概念教学的过程中，一定要做到细心、耐心，尽量从学生日常生活中所熟悉的事物开始引入。这样，学生学起来就有兴趣，思考的积极性就会高。如在教平均数应用题时，我利用铅笔做教具，重温“平均分”的概念。我用9个同样大的小木块摆出三堆，第一堆1块，第二堆2块，第三堆6块，问：“每堆一样多吗？哪堆多？哪堆少？”学生都能正确回答。这时，我又把这三堆木块混到一起，重新平均分三份，每份都是3块，告诉学生“3”这个新得到的数，是这三堆木块的“平均数”。我再演示一遍，要求学生仔细看，用心想：“平均数”是怎样得到的。学生看我把原来的三堆合并起来，变成一堆，再把这堆木块分做3份，每堆正好3块。这个演示过程，既揭示了“平均数”的概念，又有意识地渗透“总数量÷总份数=平均数”的计算方法。然后，又把木块按原来的样子1块，2块、6块地摆好，让学生观察，平均数“3”与原来的数比较大小。学生说，平均数3比原来大的数小，比原来小的数大，这样，学生就形象地理解了“求平均数”这一概念的本质特征。 2、从动手操作中形成概念。 俗话说：“实践出真知，手是脑的老师。”数学源于实践，又服务于实践，在教学中尽量让学生参与动手实践，让学生摸一摸，拼一拼，移一移，折一折，减一减等形式的动手操作活动，获取丰富的感性认识，再经过大脑加工，由表及里，由浅入深，去伪存真地辩论分
此文档下载后即可编辑 《小学数学新课程标准》以全新的观点将小学数学内容归纳为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个 学习领域，特别突出地强调了10个学习内容的核心概念，分别是数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识。下面结合我的教学实践浅谈我对这些核心概念的认识： 一、数感是人的一种基本数学素养 数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，即能用数学的视角去观察现实，又能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解决实际问题。数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。 培养和发展学生的数感，应该注意以下两个方面：1、引导学生联系自己身边具体、有趣的事物；2、注重解决实际问题。 二、在解决问题的过程中发展学生的符号感 符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解，以及主动地使用符号的意识和习惯。符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号
所表达的问题。 发展学生的符号感可以同时从两方面进行：1、结合数学内容，及时教给学生一些数学符号；2、鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。 三、空间观念是培养学生初步的创新精神和实践能力需要的基本要素 空间观念表现为对现实世界里的物体的形状、大小、位置、变化及相互关系的理解与把握。空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。 在实际教学中，我们要把发展学生的空间观念落到实处，增加学生动手实践的机会。 四、数据分析观念的发展与培养 数据分析是指：在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着的信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物、每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，所以说，数据分析是统计的核心。
浅谈小学数学概念教学的基本策略与模式 闵光祥在小学数学课中,根据教学内容可以划分为概念课、计算课、解决问题课与空间图形课,而几乎在每一个新知识的起始课，学生最先接触到的必然是数学概念。概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的，也是学习其他数学知识的基础，因此上好概念课对小学生的后续学习以及数学素质发展的培养都具有很重要的意义。 一、小学概念教学中普遍存在的问题 目前，我们学校的教研有多个老师上了概念课，听了之后就发现我们经常会不经意地把数学概念课上得冰冷无味、死板缺乏生机；学生没有通过对大量事物的感知、分析、理解而抽象出概念，总的来说就是忽视概念的形成过程，忽视概念间的相互联系，忽视概念的灵活应用，主要存在以下一些问题: 1、概念教学脱离现实背景。很多教师在上概念课的时候，首先就要求学生把概念强记下来，然后进行大量的强化练习来巩固概念。这种死记硬背的教学方式有着很大的消极影响，由于学生并没有理解概念的真正涵义，一旦遇到实际应用的时候就感到一片茫然。 2、孤立地教学概念。很多教师在教学概念的时候往往习惯于把各个概念分开讲述，这样虽然是课时设置的需要，但是这种教学方式会使得学生掌握的各种数学概念显得零碎，缺乏一定的体系，这不仅给学生理解和应用概念设置了障碍，同时也给概念的记忆增加了难度。 3、数学概念的归纳过于仓促。数学概念的形成，是一个不断建构与解构的反复过程。引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性，这是概念教学应该达到的教学目标。而部分教师课堂教学中概念的形成过于仓促，学生尚未建立初步的概念，教师即已迫不及待的进行归纳与总结。 二、小学数学概念课教学的基本策略 1、必须将概念置身于现实背景中去理解。数学概念是抽象的、严谨的、系统的，而小学生的心理特点则是容易理解和接受具体的、直观的感性知识。因此，我们在教学之始应该在数学与生活之间搭建起联系的桥梁，提供丰富、典型、全面的感知材料，千方百计地充实学生的感性材料。数学概念教学时必须将概念寓
高中数学核心概念教学的思考与实践 ——以“函数的概念”为例 松江二中卫福山 摘要：核心概念是一个概念体系中，处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它密切联系的概念。高中数学核心概念是指在高中数学中主要的中心的概念（其它概念以其为中心）。如何提高高中数学核心概念的教学效率，教师在教学前对概念的研究很重要。从概念的发展历史、概念的本质、概念的知识网络、概念的情境设计、概念的内涵与外延、概念的深度解析、概念的典型例题、概念的升华与提升等方面入手，让教师在核心概念的教学上准备充分、游刃有余。高中数学核心概念《函数的概念》的实践说明教学前研究的必要性。 关键词：高中数学核心概念教学思考与实践 《高中数学课程标准》明确规定高中数学的培养目标是使学生通过数学的学习，获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。概念是思维的基本形式，数学概念是数学思维的核心和逻辑起点，是学生认知的基础。学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力、创造思维能力和分析解决数学问题的能力等等，都是以清晰地掌握和运用数学概念为前提的。 此外，《高中数学课程标准》明确“使学生学会用数学的思考方
式解决问题、认识世界”，即注重数学学科对学生核心素养的培育功能。比如高中数学核心概念的得出就是典型的数学抽象过程。 一、高中数学核心概念的界定 核心是指中心，主要部分。核心概念是一个概念体系中，处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它密切联系的概念。①高中数学核心概念是指在高中数学中主要的中心的概念（其它概念以其为中心）。比如函数的概念便是高中数学中的核心概念。 二、高中数学核心概念教学研究的意义 高中数学教师常会有这样的体会：学生在学习高中数学有些概念时普遍感到难以理解和掌握，成为他们在概念学习中的难点；教师对有些概念的教学也感到难以把握，成为教师在概念教学中的难点。学生（包括优等生）普通也感觉到在高中数学的学习过程中确实有一些概念在理解上比较困难，在应用上比较棘手。这些概念是学生学习中的主要障碍，直接影响了学生的解题，甚至让学生对数学的情感发生变化（从喜欢到讨厌）。特别是牵涉到多个概念的综合时，更是难上加难，这其中有些概念就是核心概念。 如何使教师在高中数学核心概念的教学上更加仔细充分一点，以便让学生掌握的更好一些，教师需要在概念的教学设计上狠下功夫。同样，如何使学生在这些难点概念的学习上更加主动充分，掌握的得心应手，需要对概念的内涵与外延等方面进行全面的学习与研究。因此，为了让教师的教与学生的学的效率更高一点，理解与掌握更好一点，有必要对核心概念的教学进行研究。 ① 邵光华，章建跃，数学概念的分类，特征及教学探讨[J]，课程·教材·教法，2009（7）:47-51.
新课标十大核心概念之“数据分析观念”解读 在对“数据分析观念”进行分析之前，我们首先要理解新、旧课标在“统计与概率”这一版块的要求与区别。原课标的核心词：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。新课标核心词：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识、创新意识。在“统计与概率”板块的核心词由“统计观念”改为“数据分析观念”。“统计观念”（旧）：强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑。“数据分析观念”（新）：改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析”。 那么让我们来深入学习“数据分析观念”跟上教学改革的步伐。 （一）什么是“数据分析观念”？数据分析观念是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某种“领悟”、由数据去作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。 在课标当中，对于数据分析观念，有这样的描述：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物，每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律。 (二)为什么要学数据分析的观念？ 数据分析是统计学里的一个核心内容。不论是统计还是概率，都要基于数据，基于对数据的分析；在进行预测的时，为了使预测更合理，也需要收集更多的数据。数据分析观念是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养之一，是促进学生发展的重要方面。通过数据分析的教学，使学生体会到统计时需要收集数据，应用数据分析，能解决日常生活中很多实际问题，从而感受统计的实际价值，发展学生的应用意识。 （三）培养数据分析观念的要求： 一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息 二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法 三是体验性要求：通过数据分析体验随机性 (四)怎样培养学生数据分析的观念？ 1、让学生经历数据分析过程，体会数据中蕴含的信息。 建立数据分析观念最好的办法是让学生经历完整的收集、整理、描述、分析的统计全过程，让学生明白为什么要进行数据的“收集、整理、描述、分析”，也就是说分析数据能帮助我们做什么。常见的教学中，数据的“收集、整理、描述、分析”都是教师布置的“任务”，只要学生按照教师的要求去做即可，而没有问一问为什么要做这些。 2、鼓励学生掌握数据分析方法，根据问题的背景选择合适的方法。 得到一组数据我们要分析什么： ①、数据有什么特点？ ②、数据怎样变化？ ③、可以推测哪些情况？ 3、通过数据分析，让学生感受数据的随机性。 史宁中教授说：“统计与概率领域的教学重点是发展学生的数据分析意识，培养学生的随机
学习《数学课程标准》十大核心概念的感悟 今天学习了课程标准中的十大核心概念，明白了很多东西，学到了很多知识。 在标准当中，有十个核心概念，和原来的标准实验稿相比有所增加，分别是数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 在目标里边，已经有了对这些核心概念的一些具体要求，相当于它作为目标的一些要素。但是同时，也能发现它们还和目标、内容领域密切联系，所以核心概念有一个承上启下的作用。上面连着目标，下面联系着内容，非常重要。 设立这十大核心概念，一个就是希望它们形成一个整体，强调如何整体的把握课程。另一个就是要能够凸显出在数学的学习中，需要给予高度的重视，因为它反应了数学最要紧的东西，最本质的东西，不仅应该把它当做目标，也应该把它和内容有机的结合起来。 1 ．数感 数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感，有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 2 ．符号意识 符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。所以标准上，大概用分号隔开是两层意思，一个是会表示，另外一个进行分开进行推理，得到一般性的结论。进一步标准就说了，符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和数学思考的重要的形式。 3 ．空间观念和几何直观 （1）空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。
小学数学新课标的十大核 心概念 The pony was revised in January 2021
《小学数学新课程标准》以全新的观点将小学数学内容归纳为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个学习领域，特别突出地强调了10个学习内容的核心概念，分别是数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识。下面结合我的教学实践浅谈我对这些核心概念的认识： 一、数感是人的一种基本数学素养 数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，即能用数学的视角去观察现实，又能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解决实际问题。数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。 培养和发展学生的数感，应该注意以下两个方面：1、引导学生联系自己身边具体、有趣的事物；2、注重解决实际问题。 二、在解决问题的过程中发展学生的符号感 符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解，以及主动地使用符号的意识和习惯。符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。 发展学生的符号感可以同时从两方面进行：1、结合数学内容，及时教给学生一些数学符号；2、鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。 三、空间观念是培养学生初步的创新精神和实践能力需要的基本要素 空间观念表现为对现实世界里的物体的形状、大小、位置、变化及相互关系的理解与把握。空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描
优化小学数学概念教学的策略研究开题报告 1、课题研究的背景 数学概念是学生数学知识学习的基础，是判断和推理的起点，同时也是培养学生数学能力、发展学生思维的基础。所以，重视概念教学，优化概念教学，是我们每一位数学教师都必须认真深入思考的问题。但现在的数学课堂教学中不可避免地存在这样的一些问题 1、教师对概念教学重要性的认识不足。处理时往往是蜻蜓点水，一带而过。对概念的认识仅仅停留于概念的外显（即定义的描述），而忽略了概念的内涵（即本质属性与特征），较多的是死记硬背、通过习题的反复操练来巩固概念，学生生厌，而且也忽略了学生思维能力的发展。 2、教师对教材的研读和把握不到位。没有真正把握概念的内涵和外延，致使一些概念的外在特征给学生带来了认知上的偏差。 3、孤立地学习数学概念。教师往往执行于教材编排，把一些概念分课时逐一进行教学，殊不知这样的教学方式，会导致学生对一些概念的掌握零零碎碎，缺乏一定的体系，从而使得学生在理解和运用概念上增加障碍，不利于学生的学习。 4、概念与应用脱节。学习概念后需要通过应用环节来巩固概念的理解和内化，但发现有时练习的跟进与针对性不强；还发现学生在应用中，往往会忽略概念的本质属性与特征去推理辨析，把概念给架空了。 5、重视和优化概念教学是数学教师走向智慧型教学的硬功夫和必备能力。引领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识和能力。教师也在大量的实践中，深刻洞悉、把握规律，勤于反思、创造性驾驭，不断提升教学智慧。> 因此，优化小学数学概念的教学，对激发学生兴趣，提高课堂效益，培养学生探索创新的能力有不容低估的意义。同时也是提高教师自身素养，提高教学能力，向智慧型教师发展的一个途径，是素质教育背景下有益的探索和创新。 2、研究述评： 在当前的小学数学概念教学中，教师还是比较重视数学概念的引入，而相对比较忽视概念建立和概念巩固的作用和实效，在后两方面也缺乏相应的理性框架和实践的积累。往往重书本，轻实践；重理论轻探索；重计算轻过程等。目前一线教师还缺失对概念的内涵与外延的理解深入，小学数学概念教学还没有做到具体细化到每一个概念的教学，教学实例比较缺乏。这也将是我们希望通过研究以后有所收获的方面。 1、关于概念建立的教学策略。小学生建立数学概念往往有两种基本形式：一是概念形成，二概念的同化。由于小学生的思维特点处于由形象思维向抽象逻辑思维过度的阶段，所以，小学生学习数学概念大多以“概念形成”的形式为主。而数学概念的形成，一般要经过直观感知、建立表象、解释本质属性三个过程。希望通过一些课堂实例的研究，帮助学生建立正确清晰的数学概念。 2、概念巩固的教学策略。随着学习的不断深入，学生掌握的概念不断增加，有些概念的文字表述、内涵会比较相近，学生容易混淆；由于教师没有主动地去创造一些条件，让学生在解决一些实际问题中灵活运用，有的学生常常会在变式题或综合性比较强的问题面前，表现得束手无策；由于概念之间有着必不可少的联系，当学生掌握了一定数量的概念后，教师应该向学生进一步提示概念之间的联系，以帮助学生有条理地、系统地掌握这些概念。这些都迫切需要我们教师这一