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2021年浙江省高考数学二轮解答题专项复习：三角函数及解三
角形
1．已知函数f （x ）＝2√3sin x cos x +2cos 2x ﹣1，x ∈（0，π）．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的
边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为2√35
a 2． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f （C ）＝1，求b c 的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）＝2√3sin x cos x +2cos 2x ﹣1
∴f （x ）=√3sin2x +cos2x ＝2sin （2x +π6），
∵2k π+π2≤2x +π6≤2k π+3π2，k ∈Z ．
∴可解得：k π+π6≤x ≤k π+
2π3，k ∈Z ． ∵x ∈（0，π），
∴函数f （x ）的单调递减区间是：[π6
，2π3]． （Ⅱ）∵f （C ）＝2sin （2C +π6）＝1，
∴sin （2C +π6）=12，
又∵C ∈（0，π），
∴C =π3，
∵由题意可得S △ABC =12ab sin C =√34ab =2√35a 2，解得b =8a 5
， ∴在△ABC 中，由余弦定理可得：c 2＝（
8a 5）2+a 2?85a 2=49252，解得c =7a 5， ∴b c =87． 2．在△ABD 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C +c ＝2b ．
（1））求角A 的大小；
（2）设D 是边AC 的中点，若c ＝1，BD =√3，求a ．
【解答】解：（1）由正弦定理可知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，由2a cos C +c ＝2b ，
可得：2sin A cos C +sin C ＝2sin B ，
2019年高考试题汇编：解三角形 1．（2019?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，则＝（） A．6B．5C．4D．3 2．（2019?北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（） A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ 3．（2019?新课标II）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A+a cos B＝0，则B＝． 4．（2019?浙江）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝，cos∠ABD＝． 5．（2019?新课标II）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B ＝，则△ABC的面积为． 6．（2019?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B ＝4a sin C． （Ⅰ）求cos B的值； （Ⅱ）求sin（2B+）的值． 7．（2019?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C． （1）求A； （2）若a+b＝2c，求sin C． 8．（2019?江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 9．（2019?北京）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B＝﹣． （Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值． 10．（2019?新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
18 解三角形 1．[2018·白城十四中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60B =?，4a =，其面积S =则c =（ ） A ．15 B ．16 C ．20 D ．2．[2018·东师附中]在ABC △中，1a =，π6A ∠=，π 4B ∠=，则c =（ ） A B C D 3．[2018·长春质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1 cos 2 b a C c =+，则角A 为 （ ） A ．60? B ．120? C ．45? D ．135? 4．[2018·大庆实验]ABC △中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 其面积222 4 a b c S +-=，则中C 的大小是 （ ） A ．30? B ．90? C ．45? D ．135? 5．[2018·银川一中]已知ABC △的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC △的外接圆面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π 6．[2018·黄冈模拟]如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ， 测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=?，105CAB ∠=?后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ） A ．m B ．m C ． D m 7．[2018·长春实验]在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ， C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，π 3 B =，a =， 则cos C =（ ） 一、选择题
2019高考数学专题训练--解三角形（有解析） 专题限时集训(二) 解三角形 (建议用时：60分钟) 一、选择题1．(2018?天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB＝13，a＝3，∠C＝120°，则AC等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A [由余弦定理得13＝AC2＋9－6ACcos 120° 即AC2＋3AC－4＝0 解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.] 2. (2018?合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为( ) A．4πB．8πC．9πD．36π C [由bcos A＋acos B＝2，得b2＋c2－a22c ＋a2＋c2－b22c＝2 化简得c＝2，又sin C＝13，则△ABC的外接圆的半径R＝c2sin C＝3，从而△ABC的外接圆面积为9π，故选C.] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积( ) A．3 B.932 C.332 D．33 C [因为c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－ 2abcosπ3，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为12absin C＝3×32＝332，选C.] 4．如图216，为测得河对岸塔AB的高，先 在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高为( ) 图216 A．10米 B．102米 C．103米 D．106米 D [在△BCD中，∠DBC＝180°－105°－45°＝30°，由正弦 定理得10sin 30°＝BCsin 45°，解得BC＝102. 在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝102×tan 60°＝106.] 5．(2018?长沙模拟)在△ABC 中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝a，cos A2，n＝b，cos B2，p＝c，cosC2共线，则△ABC的形状为( ) A．等 边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A [由m∥n得acosB2＝bcosA2，即sin Acos B2＝sin Bcos A2化简得sinA2＝sinB2，从而A＝B，同理由m∥p得A＝C，因此△ABC为等边三角形．] 6．如图217，在△ABC中，C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A＝( ) 图217 A.223 B.24 C.64 D.63 C [∵DE＝22，∴BD＝AD＝DEsin A＝22sin A.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin C，
2019高二数学解三角形公式总结 解三角形问题是历年高二数学考试考查的重点，属必考内容，掌握好高二数学三角函数的公式必不可少。下面是本人给大家带来的高二数学解三角形公式总结，希望对你有帮助。 高二数学解三角形公式 高二数学学习方法 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现
问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养 自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为永久地记忆，变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。 积累考试经验 本学期每月初都有大的考试，加之每单元的单元测验和模拟考试有十几次，抓住这些机会，积累一定的考试经验，掌握一定的考试技巧，使自己应有的水平在考试中得到充分的发挥。其实，考试是单兵作战，它是考验一个人的承受能力、接受能力、解决问题等综合能力的战场。这些能力的只有在平时的考试中得到培养和训练。 高二数学学习技巧
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习 解三角形 一、基础巩固组 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=() A. B.1 C. D.2 2.在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则S△ABC=() A.3 B.2 C.3 D.6 4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=() A. B. C.- D.- 5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为() A.7.5 B.7 C.6 D.5 6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则 C= . 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为. 8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=. 9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船? 二、综合提升组 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= () A.B.C.D. 12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=() A.9 B.8 C.7 D.6 13.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠ MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m. 14.(2017河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,C=60°. (1)求的值; (2)若a+b=ab,求△ABC的面积. 三、创新应用组 15.(2018福建泉州期末,理10)已知点P是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(φ>0)图象上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=,则f(x)的图象的对称中心可以是() A.(0,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0) 16.(2017宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=sin ωx-2sin2+m(ω>0)的最小正周期为 3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.
课时规范练23解三角形 基础巩固组 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=() A. B.1 C. D.2 2.在△ABC中,已知a cos A=b cos B,则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2,则 S△ABC=() A.3 B.2 C.3 D.6 4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=() A. B. C.- D.- 5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为() A.7.5
B.7 C.6 D.5?导学号21500534? 6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足-=sin A-sin B,则 C=. 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab 的最小值为. 8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=. 9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
?导学号21500535?10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船? 参考数据 综合提升组 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=则C= () A.B.C.D. 12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=() A.9 B.8 C.7 D.6 13.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高MN= m.
[重点保分 两级优选练] A 级 一、选择题 1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A 解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A. 2.sin47°－sin17°cos30° cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案 C 解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C. 3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.5 7 D ．1 答案 D 解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－1 3. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ 2－13 1－2×? ?? ? ? －13＝1. 故选D.
4．(2017·云南一检)cos π9·cos 2π 9·cos ? ?? ??－23π9＝( ) A ．－18 B ．－116 C.116 D.1 8 答案 A 解析 cos π9·cos 2π 9·cos ? ?? ??－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80° sin20° ＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－1 4sin80°·cos80°sin20° ＝－18sin160°sin20°＝－1 8sin20°sin20°＝－1 8.故选A. 5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1 sin170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10° ＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)1 2sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4. 故选D. 6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ? ????π4＋α＝13，cos ? ? π4－ ???β2＝3 3，则cos ? ? ? ??α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 答案 C
2015年高考数学真题分类汇编 专题04 三角函数与解三角形 文 1.【2015高考福建，文6】若5 sin 13 α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512 - 【答案】D 【解析】由5sin 13α=- ，且α为第四象限角， 则12 cos 13 α==，则sin tan cos α αα = 5 12 =- ，故选D ． 【考点定位】同角三角函数基本关系式． 【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题． 2.【2015高考重庆，文6】若1 1 tan ,tan()3 2 a a b =+= ,则tan =b （ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56 【答案】A 【解析】11tan()tan 1 23tan tan[()]111tan()tan 7 123 αβαβαβααβα- +-=+-===+++?，故选A. 【考点定位】正切差角公式及角的变换. 【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角β用已知角α和αβ+表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性. 3.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3 π ）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移 12 π个单位 （B ）向右平移 12 π个单位
（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3 π 个单位 【答案】B 【解析】因为sin(4)sin 4()3 12 y x x π π =- =- ，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右 平移 12 π个单位，故选B . 【考点定位】三角函数图象的变换. 【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混. 4.【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】2 2 cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=?-=?-+=， 所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性. 【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开 cos 20α=，求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.本题属于基础题，高考常考题型. 【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转 3 π 至 OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A. 233 B. 235 C. 211 D. 2 13 【答案】D 【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ +3 ， 因为)1,34(A ，
第十二讲 解三角形 2019年 1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 解：（1）由已知得，故由正弦定理得． 由余弦定理得． 因为，所以． （2）由（1）知， ， 即，可得． 由于，所以，故 ． 2.（2019全国Ⅱ理 15）ABC △的内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B == =，则ABC △的面积为__________. 解析：由余弦定理有， 因为，，，所以， 所以， 222sin sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a bc +-=2221cos 22 b c a A bc +-==0180A ??<<60A ?=120B C ?=-() sin 1202sin A C C ?+-=1sin 2sin 222 C C C ++=()cos 602C ?+=-0120C ??<<()sin 602 C ?+=()sin sin 6060C C ??=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+4 =2222cos b a c ac B =+-6b =2a c =π3 B =222π36(2)4cos 3c c c =+-212c =21sin sin 2 ABC S ac B c B ===△
3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 解析（1）由题设及正弦定理得． 因为，所以． 由，可得，故． 因为，故，因此． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积． 由正弦定理得． 由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故 ． 因此，面积的取值范围是 ． 4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边 AB 上，BE =2EA ， AD 与 CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?= ?u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB AC 的值是 . 解析 设， sin sin sin sin 2 A C A B A +=sin 0A ≠sin sin 2 A C B +=180A B C ?++=sin cos 22A C B +=cos 2sin cos 222B B B =cos 02B ≠1sin 22 B =60B =?AB C S = △()sin 120sin 1sin sin 2 C c A a C C ?-===ABC △090A ?<
2010-2019北京高考数学（理）真题分类汇编专题四解三角形 2019年 1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设2 2 (sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （22b c +=，求sin C ． 2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B ===，则ABC △的面积为__________. 3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若 6AB AC AO EC ?=?，则 AB AC 的值是. 5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b ，cos B = 2 3 ，求c 的值； （2）若 sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π +的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?， 则BD =____，cos ABD ∠=________. 7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2，1 cos 2 B =- ．
专题6 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由22 sin()()sin ()()cos()()cos x x x x f x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π 1π42π2()1,π2π()2f + +==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π ，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确． 当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??π ??? 单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =-- 2 sin cos ++x x x x
2019-2020年高考数学一轮复习 第四篇三角函数、解三角形第5讲 两角和 与差的正弦、余弦和正切教案 理 【xx 年高考会这样考】 1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值． 2．利用三角公式考查角的变换、角的范围． 【复习指导】 本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等． 基础梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan 2 α. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2, 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 ， sin α±cos α＝2sin ? ????α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2 ＋b 2 sin(α＋φ)或 f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．
专题15 解三角形 【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B ===，则ABC △的面积为_________． 【答案】 【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos 2C = ，1BC =，5AC =，则AB = A ． B C D ．【答案】A 【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2 sin 8sin 2 B A C +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17 B = ；（2）2b =． 【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以选择、填空、解答题的形式出现,属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力． 【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.
【应试技巧】 在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则 1．正弦定理：sin sin sin a b c == A B C . 2．常见变形 sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（） 2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C +++++======+++++（） 3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（） 3．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 4．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论 222222222 cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab +-+-+-=== 5．三角形面积公式 （1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ,h B =c sin A =a sin C ,h C =a sin B =b sin A ． （2）三角形的面积公式：S = 21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =2 1 ca sin B. 6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例） （1）从代数角度来看：①若sin sin 1b A B=a >，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a <，则满足条件的三角形的个数为1或2. 注：对于（3），由sin 0sin 1b A B=a <<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论. 4===2. sin sin sin a b c R R ABC A B C （）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题07 解三角形 一、选择题 1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14 ,则b c =( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理,得a 2 -b 2 =4c 2 , 由余弦定理的推论,得-1 4 =cos A=b 2+c 2-a 22bc , ∴c 2-4c 22bc =-14,∴-3c 2b =-14 , ∴b c =3 2 ×4=6,故选A. 2.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2 =√55 ,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2 B.√30 C.√29 D.2√5 【答案】A 【解析】∵cos C=2cos 2C 2 -1=-3 5 ,∴AB 2=BC 2+AC 2 -2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×35 =32. ∴AB=4√2. 3.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2 +b 2-c 24 ,则C=( ) A.π 2 B.π 3 C.π 4 D.π 6 【答案】C 【解析】由S=a 2 +b 2-c 24=12 absin C,得c 2=a 2+b 2-2absin C.又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcos C, ∴sin C=cos C,即C=π 4. 4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
课时达标检测(二十二） 三角恒等变换 [练基础小题——强化运算能力] 1．[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________. 解析：原式＝? ? ? ??2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80° ＝? ?? ? ??2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10° ＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22× 3 2 ＝ 6. 答案：6 2．已知sin ? ????π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ? ????α－π3的值是________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ? ????α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12 . 答案：－ 1 2 3．(2018·江苏宜兴三校联考)已知cos ? ????π3－2x ＝－78，则sin ? ????x ＋π3的值为________． 解析：因为cos ? ?? ???π－? ????π3－2x ＝cos ? ????2x ＋2π3＝78，所以有sin 2? ????x ＋π3＝1 2 ??????1－cos ? ????2x ＋2π3＝12? ????1－78＝116，从而求得sin ? ?? ??x ＋π3的值为±14. 答案：± 1 4 4．(2018·泰州调研)若cos ? ????α－π3＝13，则sin ? ????2α－π6的值是________． 解析：sin ? ????2α－π6＝sin ??????2? ????α－π3＋π2＝cos 2? ????α－π3＝2cos 2? ????α－π3－1＝2×19－1＝－7 9 . 答案：－ 7 9 5．已知sin ? ????π3＋α＋sin α＝435，则sin ? ????α＋7π6的值是________．
考点17 正、余弦定理及解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 一、正弦定理 1．正弦定理 在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin sin a b c ==A B C .正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1） sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ====== （2） ;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C +++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C ，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题 （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况
二、余弦定理 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222222222cos ,2cos 2cos . a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 2．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论： 222222222 cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab +-+-+-=== . 3．解决的问题 （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤
2019高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一：在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ． （1）求角A 的大小； （2）若5b c +=，ABC △a ． 例题二：如图，在ABC △中，π 4A ∠=，4AB =，BC 点D 在AC 边上，且1cos 3 ADB ∠=-． （1）求BD 的长； （2）求BCD △的面积． 例题三： ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=．
（1）求B ； （2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积． 例题四：已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间； （2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
例题一：【答案】（1）π3 A =；（2 ）a = 【解析】（1）由⊥m n ，可得0?=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+， 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+， ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2 A =， ∵0πA <<，∴π3 A =． （2 ）由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△4bc =， 又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴a = 例题二：【答案】（1）3；（2 ） 【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3 ADB ∠=-， ∴sin ADB ∠=， 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠， ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=， ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=． ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ，sin CDB ∠= 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠， 得21179233 CD CD =+-??，解得4CD =或2CD =-（舍）． ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??= 例题三：【答案】（1）2π3 B =；（2 ）ABC S =△ 【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=， ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，