材料力学习题答案2
7.3 在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力。应力的单位为MPa 。
解 (a) 如受力图(a)所示
()70x MPa σ=，()70y MPa σ=-，0xy τ=，30α=
(1) 解析法计算（注：P217）
()
cos 2sin 222
70707070 cos 6003522x y x y
xy MPa ασσσσσατα
+-=+--+=+-= ()7070sin cos 2sin 60060.622
x y
xy MPa ασστατα-+=+=-= (2) 图解法
作O στ坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由x σ、xy τ定Dx
点, y σ、yx τ定Dy 点, 连Dx 、Dy , 交τ轴于C 点, 以C
点为圆心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示。由CDx
起始, 逆时针旋转2α= 60°,得D α点。从图中可量得
D α点的坐标, 便是ασ和ατ数值。
7.4 已知应力状态如图所示，图中
应力单位皆为MPa 。试用解析法及图解
法求:
(1) 主应力大小，主平面位置；
(2) 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；
(3) 最大切应力。
解 (a) 受力如图(a)所示
()50x MPa σ=，0y σ=，()20xy MPa τ=
(1) 解析法 （数P218） 2max 2min 22x y
x y xy σσσσστσ+-??
?
=±+? ??
??
()
(
)2
25750050020722MPa MPa ?+-???=±+=? ?-????
按照主应力的记号规定
()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-
022
20
tan 20.8500xy x y τασσ?=-=-=---，019.3α=-
()13max 577
3222MPa σστ-+===
(2) 图解法
作应力圆如图(a1)所示。应力圆
与σ轴的两个交点对应着两个主应
力1σ、3σ 的数值。由x CD 顺时针旋
转02α，可确定主平面的方位。应力
圆的半径即为最大切应力的数值。
主应力单元体如图(a2)所示。
(c) 受力如图(c)所示
0x σ=，0y σ=，()25xy MPa τ=
(1) 解析法
max min 2x y σσσσ+?=±??
()()2500252MPa MPa ?+?==?-?? 按照主应力的记号规定
()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-
02225tan 200xy
x y
τασσ?=-=-=-∞--，045α=- ()13
max 25252522
MPa σστ-+=== (2) 图解法
作应力圆如图(c1)所示。应力圆与σ
轴的两个交点对应着两个主应力1σ、
3σ 的数值。由x CD 顺时针旋转02α， 可
确定主平面的方位。x CD 的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题图(c2)
所示。
7.33 对题7.4中的各应力状态，写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的相当应力。设0.25μ=，14
t c σσ=。 解(a) ()157MPa σ=，20σ=，()37MPa σ=-
()1157r MPa σσ== （书：247）
()()()2123570.250758.8r MPa σσμσσ=-+=-?-=
()31357764r MPa σσσ=-=+=
4r σ
=
()60.8MPa == ()13157758.84
t rM c MPa σσσσσ=-=+?= （书：P250，讲课没有讲） (c) ()125MPa σ=，20σ=，()325MPa σ=-
()1125r MPa σσ==
()()()2123250.2502531.3r MPa σσμσσ=-+=-?-=
()313252550r MPa σσσ=-=+=
4r σ=
()43.4MPa =
= ()131252531.34
t rM c MPa σσσσσ=-=+?= 7.35 车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa 、-900MPa 、-1100MPa 。若[σ] = 300MPa ，试对接触点作强度校核。
解 ()1800MPa σ=-，()2900MPa σ=-，()31100MPa σ=-
()[]()3138001100300300r MPa MPa σσσσ=-=-+===
4r σ=
()264MPa =
= []()300MPa σ≤=
用第三和第四强度理论校核， 相当应力等于或小于许用应力，所以安全。
8.3 图(a)示起重架的最大起吊重量( 包括行走小车等)为W=40kN ，横梁AC 由两根No.18槽钢组成， 材
料为Q235钢，许用应力
[σ]=120MPa 。试校核横梁的
强度。
解 梁AC 受压弯组合作
用。当载荷W 移至AC 中点处时梁内弯矩最大，所以AC 中点处横截面为危险截面。危险点在梁横截面的顶边上。
查附录三型钢表（P406），No.18槽钢的A=29.30cm 2，Iy=1370cm 4 W=152cm 3。 根据静力学平衡条件， AC 梁的约束反力为：
()0C i M F =∑， 3.5sin 30 1.750RA F W -= ①
0ix F =∑， cos300x RA RC F F -=
由式①和②可得：
RA F W =， cos30cos30x RC RA F F W ==
危险截面上的内力分量为：
() cos3040cos3034.6x N RC F F W kN ===?=
()3.5sin 30 1.75sin 30 1.75400.5352
RA M F W kN m =?==??= 危险点的最大应力
()33max 4634.6103510121229.310215210
N y F M
MPa A W σ--??=+=+=???? (压) 最大应力恰好等于许用应力， 故可安全工作。
8.8 图(a)示钻床的立柱由铸铁制成，
F=15kN ，许用拉应力[]t σ=35 MPa 。试确定立
柱所需直径d 。
解 立柱横截面上的内力分量如图(b)
所示，F N ＝F=15kN ，M=0.4F=6kN ·m ，这是
一个拉弯组合变形问题，横截面上的最大应
力
33max 23234324151032610N N y F F M M A W d d d d
σππππ????=+=+=+ 根据强度条件[]max σσ≤，有
33
62341510326103510d d
ππ????+≤? 由上式可求得立柱的直径为：()()0.122122d m mm ≥=。
8.12 手摇绞车如图(a)所
示，轴的直径d=30mm ，材料
为Q235钢，[]σ=80MPa 。试
按第三强度理论，求绞车的
最大起吊重量P 。
解 圆轴受力图、扭
矩图、弯矩图如图(b)所示。这是一个弯扭组合变形问题， 由内力图可以判定，C 处为危险截面。其上的弯矩和扭矩分别为
()0.40.2C RA M F P N m ==
()
0.18C T P N m
=
按第三强度理论：[]W
σ≤ （书P273） 将C M 、C T 值代入上式得
()36
0.03801032788P N π???? ?≤= 绞车最大起吊重量为P=788N 。
8.13 电动机的功率为9kW ，转速为715r/min ，带轮直径D=250mm ，主轴外伸部分长度120l mm =，主轴直径d=40mm 。若
[σ]=60MPa ，试用第三强度理论校核轴的强
度。
解 这是一个弯扭组合变形问题。显然危险截面在主轴根部。该处的内力分量分别为：
扭矩： ()995499549120715
P T N m n
==?= 根据平衡条件，222
D D F F T ?-?=，得 ()221209600.25T F N D ?=== 弯矩： ()339600.12346M Fl N m ==??=
应用第三强度理论
()()[]()max 35830000058.3604010Pa MPa MPa W σσπ-====≤=??
最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，故安全。
8.14 图(a)为操纵
装置水平杆，截面为空心
圆形，内径d=24mm ，外径
D=30mm 。材料为Q235钢，
[σ]=100MPa 。控制片受
力F 1=600 N 。试用第三强
度理论校核杆的强度。
解 这是一个弯扭组合变形问题。空心水平圆杆的受力图如图(b)所示。利用平衡条件可以求出杆上的反力，并作内力图(b)。从内力图可以判定危险截面在B 处，其上的扭矩和弯矩为：
()10.20.2600120T F N m ==?=
()71.3M N m ===
应用第三强度理论
()()[]()max 38920000089.2100240.03130Pa MPa MPa W σσπ====≤=????-?? ???????
最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，可以安全工作。
9.3 图示蒸汽机的活塞杆AB ，所受的压力F=120kN ，l =180cm ，横截面为圆形，直径d=7.5cm 。材料为Q255钢，E=210GPa ，
240p MPa σ=。规定st n = 8，试校核活塞的稳定性。
解
活塞杆的回转半径
4
d
i===
对于两端铰支杆，μ=1，所以杆的柔度
1 1.8
96
0.075/4
l
i
μ
λ
?
===
1
92.9
λ===
因
1
λλ
>，故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷，即
()()
()()
294
2
22
210100.075
64994000994
1 1.8
cr
EI
F N kN
l
π
π
π
μ
????
====
?
工作安全因数：
st
994
8.288
120
cr
F
n n
F
===>=
工作安全因数大于规定的安全因数，故安全。
9.7 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。
杆端承受压力。杆长 4.5
l m
=,横截面直径
d=15cm。材料为低合金钢，200
p
MPa
σ=，E =
210GPa。两端可简化为铰支座，规定的稳定
安全因数为 3.3
st
n=。试求顶杆的许可载荷。
解
1
102
λ===（书P301）
顶杆的柔度为：
1 4.5
120
/40.15/4
l l
i d
μμ
λ
?
====
因
1
λλ
>,
属于大柔度杆，故可用欧拉公式计算临界载荷，即
()()()()294222210100.1564254000025401 4.5cr EI F N kN l πππμ????====?
顶杆的许可载荷：
()25407703.3
cr st F F kN n === 9.8 某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。推杆由丝杆通过螺母来带动。已知推杆横截面的直径d=13cm,材料为Q255钢，E=210GPa ，240p MPa σ=。当推杆全部推出时,前端可能有
微小的侧移,故简化为一端固
定、一端自由的压杆。这时推杆
的伸出长度为最大值，max 3l m =。
取稳定安全因数4st n =。试校核
压杆的稳定性。
解 一端固定、另一端自由的压杆的长度系数μ=2。推杆的柔度为：
23185/40.13/4
l
l
i d μμλ?====
192.9λ=== 因 1λλ>,属于大柔度杆,故用欧拉公式计算临界载荷,即
()()()()294
222210100.136480700080723cr EI F N kN l πππμ????====? 推杆的工作安全因数807 5.384150
cr st F n n F ===>=，因推杆的工作安全因数大于规定的稳定安全因数，所以可以安全工作。