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四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学(文)试题

四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学

（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线2

8y x =的准线方程是（）

A ．2x =-

B ．4x =-

C ．2y =-

D ．4y =-

2．从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是

A ．中位数为62

B ．中位数为65

C ．众数为62

D ．众数为64 3．命题“0200,2

x x R x ?∈≤”的否定是 A ．不存在0200,2x x R x ∈> B ．0200,2x x R x ?∈>

C ．2(100)(80)7644x x x --+=

D ．2,2x x R x ?∈>

4．容量为100的样本，其数据分布在[2]18,

，将样本数据分为4组：[2,6),[6,10),[10,14),[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（）

A ．样本数据分布在[6,10)的频率为0.32

B ．样本数据分布在[10,14)的频数为40

C ．样本数据分布在[2,10)的频数为40

D ．估计总体数据大约有10%分布在

[10,14)

5．“46k <<”是“22

164

x y k k +=--为椭圆方程”是( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知函数2()log (3)f x x =+，若在[2,5]-上随机取一个实数0x ，则0()1f x ≥的概率为（）

A ．37

B ．47

C ．57

D ．67

7．在平面内，已知两定点,A B 间的距离为2，动点P 满足||||4PA PB +=.若

060APB ∠=，则APB ?的面积为

A ．2

C ．

D ．8．在2021年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格x 与销售额y 之间的一组数据如下表所示：

由散点图可知，销售额y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.2??y x a =-+，则?a =（）

A ．24-

B ．35.6

C ．40

D ．40.5

9．已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，右顶点为E ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于不同的两点,A B ，若ABE ?为锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）

A ．(1,2)

B ．(1,2]

C ．(2,3]

D ．[2,3)

10．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线

0x y -+=与椭圆C 相交于不同的两点,A B .若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12

-，则椭圆C 的方程为（） A ．22132x y += B ．22143

x y += C ．22

152x y += D ．22163x y += 11．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（）

A ．56a ≤≤

B ．56a <<

C ．56a ≤<

D ．56a <≤

12．已知椭圆C ：22

11612

x y +=的右焦点为F ，点(,)P x y 在椭圆C 上，若点Q 满足1QF =且0QP QF ?=，则PQ 的最小值为（）

A B ．3 C ．125 D ．1

二、填空题

13．若直线()0y kx k =>为双曲线221x y -=的一条渐近线，则k =____________. 14．我校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 .

15．如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题.若输入的a ，b 的值分别为7，3，则输出的n 的值为____________.

16．已知椭圆C ：22

14y x +=，过点(P 作两条斜率互为相反数且不平行于坐

标轴的直线，分别与椭圆C 相交于异于P 的不同两点,A B ，则直线AB 的斜率为

_______.

三、解答题

17．甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球.

(1)从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率；

(2)从甲，乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.

18．已知命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根，则－3＜m ＜－1；命题q ：若关于x 的方程x 2

＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，则t ＜－2.

(1)写出命题p 的否命题r ，并判断命题r 的真假；

(2)判断命题“p 且q”的真假，并说明理由．

19．阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：

(Ⅰ)求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值．

(Ⅱ)根据程序框图，写出函数()()f x x R ∈的解析式，并求当关于x 的方程

()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．

20．已知抛物线C 关于x 轴对称，顶点在坐标原点O ，直线220x y --=经过抛物线C 的焦点.

(1)求抛物线C 的标准方程；

(2)若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N ，且满足

OM ON ⊥，证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标.

21．一网站营销部为统计某市网友2021年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：

若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3.

（1）确定,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；

（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日被评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.

22．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别是()1F ，)

2F ，

且点P ? ??

在椭圆C 上.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设椭圆C 的左顶点为D ，过点2,03Q ??- ???

的直线m 与椭圆C 相交于异于D 的不同两点A ，B ，求ABD △的面积S 的最大值.

参考答案

1．A

【解析】∵抛物线2824y x x ==? ∴准线方程为22p x =-

=- 故选A

2．C

【解析】

∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为53,55,62,62,64,65,71,72,73

∴中位数为64，众数为62

故选C

3．D

【解析】

命题0200,2

x x R x ?∈≤的否定是2,2x x R x ?∈> 故选D

4．D

【分析】

根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果．

【详解】

对于A ，由图可得样本数据分布在[)6,10的频率为0.0840.32?=，所以A 正确．

对于B ，由图可得样本数据分布在[)10,14的频数为()1000.1440??=，所以B 正确．对于C ，由图可得样本数据分布在[)2,10的频数为()1000.020.08440?+?=，所以C 正确.

对于D ，由图可估计总体数据分布在[

)10,14的比例为0.140.440%?==，故D 不正确．故选D ．

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．

5．B

【解析】若22

164

x y k k +=--表示椭圆，则60,40k k ->->，且64k k -≠- ∴45k <<或者56k

故46k <<是22

164

x y k k +=--为椭圆方程的必要不充分条件故选B

6．D

【解析】

令()1f x ≥得32x +≥，即1x ≥-，由几何概型性质可知概率()()516527

P --=

=-- 故选D

7．B

【解析】

在平面内，已知两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足4PA PB +=，

所以动点P 在以A,B 为焦点的椭圆上，其中24,22,2,1a c a c ==∴== 由余弦定理可得：22222()3AB PA PB PA PB cos APB PA PB PA PB =+-∠=+-，

整理得: 4163PA PB =-，解得：4PA PB =.

则APB 的面积为

11422PA PB sin APB ∠=?=故选B.

8．C

【解析】

由题可知89.51010.512105

x ++++== 121086485

y ++++==

∵ 3.2?y x a

=-+ ∴ 3.2 3.2?10840a

x y =+=?+= 故选C

点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入

求出?a

的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.

9．A

【解析】双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>右顶点为E ，左焦点为F ，EF a c =+，过点F 作垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,A B 两点，则212b AB a

= ∵若EAB ?为锐角三角形，只要FEA ∠为锐角，即12

AB EF < ∴2

b a

c a

<+，即222c a a ac -<+即220e e --< ∴()1,2e ∈

故选A

点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10．D

【解析】

设11(,)A x y ，22(,)B x y

∵过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B

∴c =，且1212

1y y x x -=-

∵P 为线段AB 的中点，直线OP 的斜率为12

∴直线OP 的方程为12

y x =-

∴联立12{0

y x x y =--+=

得(P

∴12x x +=

12y y +=∵221122

222222

1{1x y a b x y a b +=+= ∴12

12121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，即2

121221212()()()()

y y y y b a x x x x +-=-+- ∴222a b =

∵222a b c =+

∴26a =，23b = ∴ 椭圆的方程为22

163

x y += 故选D

点睛：本题主要考查 “点差法”的应用，属于难题. 对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.

11．C

【解析】

输入0,1S i ==

执行循环体1,12S S i i i =+==+=，不满足i a >

继续执行循环体3,13S S i i i =+==+=，不满足i a >

继续执行循环体6,14S S i i i =+==+=，不满足i a >

继续执行循环体10,15S S i i i =+==+=，不满足i a >

继续执行循环体15,16S S i i i =+==+=，由题可知满足6i a =>，输出15S = 故[)5,6a ∈

故选C

12．A

【解析】

依题意知，点Q 在以(2,0)F 为圆心，半径为1的圆上，PQ 为圆的切线 ∴221PQ PF =-

设(4sin ,)P θθ，[0,2]θπ∈

∴222216sin 16sin 412cos 4(sin 2)PF θθθθ=-++=-

∵1sin 1θ-≤≤

∴当sin 1θ=时，2PF 取得最小值4，即2min 3PQ

∴PQ 的最小值为故选A

13．1

【解析】

∵双曲线221x y -=

∴1,1a b ==

∴渐近线方程为b y x x a

=±=± ∵直线(0)y kx k =>为双曲线221x y -=的一条渐近线

∴1k =

故答案为1

14．150

【解析】

试题分析：该校教师人数为2400×

160150160

-＝150(人)．考点：分层抽样方法.

15．3

【解析】

输入7,3,1a b n === 进入循环，21,2622

a a a

b b =+===，不满足a b ≤ 执行循环，6312,,21224a n n a a b b =+==+

===，不满足a b ≤ 执行循环，18913,,22428

a n n a a

b b =+==+

===，满足a b ≤，输出3n = 故答案为3

．-【解析】设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -

∴直线PA

的方程为1(y k x -=+

联立2

21(2

{14y k x y x -=+

，得22223(4)2)304

k x k x k ++++-=

∴2224A P k x x k

++=-+

∴A x ==

∴222242(,)824k k A k k

+----++

同理可得(B ∴直线AB

的斜率为2AB k ===-

故答案为-点睛：在研究直线和圆锥曲线位置关系的问题时，常用代数的方法求解，即将直线的方程和圆锥曲线的方程联立消元得到一个关于x (或y )的一元二次方程，然后利用韦达定理进行求解，由于此类问题涉及大量的运算，故在解题中要注意“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度。

17．(1) 从甲袋中任取两球，取出的两球颜色不相同的概率为12

;(2) 从甲，乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同的概率为

512

. 【解析】试题分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一只黑球一只红球的种数，根据概率公式计算即可；（2）分为同是黑色，红色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．

试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b .

从甲袋中任取两球，所有可能的结果有{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,,,,a b a b a b b b b b b b 共6种.

其中两球颜色不相同的结果有{}{}{}123,,,,,a b a b a b 共3种.

记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件A ，则()3162P A =

= ∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为12

. （2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b ，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为121,,A A B 从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有

{}{}{}{}{}{}121111211,,,,,;,,,,,;a A a A a B b A b A b B

{}{}{}212221,,,,,;b A b A b B {}{}{}313231,,,,,b A b A b B 共12种.

其中两球颜色相同的结果有{}{}{}{}{}12112131,,,,,,,,,a A a A b B b B b B 共5种记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件B ，则()512P B = ∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为

512

. 18．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）若命题p 为真命题，解得实数m 的取值范围，对其求补集.

（2）命题“p 且q”为真，需要p ，q 都是真命题，当p ，q 一真一假或都假时，则“p 且q”为假．

【详解】

(1)命题p 的否命题r ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，则m≤－3或m≥－1.

∵关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，∴Δ≥0.

∵Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12≥0，化简，得m 2＋4m ＋3≥0.

解得m≤－3或m≥－1.

∴命题r 为真命题．

(2)对于命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根，

则Δ＝(2m)2－4×

(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12＜0. 化简，得m 2＋4m ＋3＜0.解得－3＜m ＜－1.

∴命题p 为真命题．

对于命题q ：关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，有2400t t ?->?->?，解得t ＜－2.

∴命题q 为真命题．

∴命题“p 且q”为真命题．

【点睛】

本题考查四种命题关系及复合命题真假的判断，属于基础题.

19．（1）见解析（2）(0,1).

【解析】

试题分析：（1）根据框图中条件语句，判断变量执行哪个函数，计算求解即可；

（2）由框图可知()22,02,021,0x x f x x x x x ??

，分析分段函数的单调性，进而可得解.

试题解析：

(1)当输入的x 的值为1-时，输出的()112

2f x -==. 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-?+=.

(2)根据程序框图，可得()22,02,021,0x x f x x x x x ??

，

当0x <时，()2x

f x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；

当0x >时，()()2

2211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥.

结合图象，知当关于x 的方程()0f x k -=有三个不同的实数解时，实数k 的取值范围为()0,1.

20．（1）24y x = （2）（2，0）

【解析】

试题分析：（1）由直线220x y --=经过抛物线C 的焦点可求出抛物线C 的标准方程；（2）

由题意，直线l 不与y 轴垂直，设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，

()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得12y y +与12y y ，再由OM ON ⊥，即可求出n ，从而求出定点坐标.

试题解析：（1）由已知，设抛物线C 的标准方程为2

2(0)y px p =>

∴12

p = ∴2p =

∴抛物线C 的标准方程为24y x =.

（2）由题意，直线l 不与y 轴垂直，设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，

()()1122,,,M x y N x y .

联立24x my n y x

=+??=?消去x ，得2440y my n --=. ∴216160m n ?=+>，124y y m +=，124y y n =-，

∵OM ON ⊥

∴12120x x y y +=

又∵2211224,4y x y x ==， ∴22121216

y y x x = ∴222121212124016

y y x x y y y y n n +=+=-= ∴0n =或4n =

∵0n ≠

∴4n =（此时216160m n ?=+>）

∴直线l 的方程为4x my =+，

故直线l 过x 轴上一定点()4,0Q .

点睛：本题主要考查直线和抛物线的位置关系及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0

{,0f x y g x y == 求解），借助于曲线系的思想找出

定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点)；②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

21．(1)见解析（2）见解析

【解析】

试题分析：(1)由频数之和为60，“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3，列出关于,x y 的方程组，由此能求出,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图分别计算平均数和中位数，再与题设条件做比较，即可判断.

试题解析：(1)由题意，得3915186018239153x y y x +++++=??+?=?+++?

化简，得1523x y x y +=??=?

，解得9,6x y ==

∴0.15,0.1p q ==

补全的频率分布直方图如图所示：

（2）设这60名网友的网购金额的平均数为x ，则0.250.050.750.15 1.250.15 1.750.25 2.250.3 2.750.1 1.7x =?+?+?+?+?+?=（千元）

又∵0.050.150.150.35++=，0.150.30.5

=， ∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8（千元）

∵平均数1.72<，中位数1.82<，

∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.

22．（1）22

142

x y +=；（2）169S =. 【解析】

试题分析：（1）由焦距得c ，又椭圆C

经过点1,2P ? ??

，代入求解即可；

（2）由题意，直线m 的斜率不等于0，设直线m 的方程为23x ty =-

，()11,A x y ，()22,B x y ，直线与椭圆联立得()2291812320t y ty +--=，

AB =

D 到

直线m 的距离为d =，ABD 的面积12

S = AB

d ??，利用韦达定理带入得S

=，令)4λλ=≥，则28822S λλλλ

==++即可的最值.

试题解析：

(1)由题意，焦距2

c =，∴c =

∴椭圆()

222:122x y C a a a +=>-.

又椭圆C 经过点P ? ??，∴()

2216142a a +=-，解得24a =或212

a =(舍)，∴22

b =. ∴椭圆C 的标准方程为22

142

x y +=. (2)由(1)，得点()2,0D -，

由题意，直线m 的斜率不等于0，设直线m 的方程为23

x ty =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2223240

x ty x y ?=-???+-=?，消去x ，得()2291812320t y ty +--=，

∴()()

22124329180t t ?=+??+>， 12212918t y y t +=+，12232918

y y t =-+，

∵

AB==

，

化简，得AB=

又点D到直线m的距离为d=，

∴ABD的面积

918

AB d

，

令)4

λλ

=≥，则2

λλ

++，

而函数

uλ

=+在[)

λ∈+∞时单调递增，

∴S在[)

λ∈+∞时单调递减，

∴当4

λ=时即0

t=时，ABD的面积S有最大值

S=.

点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法：

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

高二数学上学期期末考试试题理(A卷)

延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考试试题高二数学（理）（A ）说明：卷面考查分（3分）由教学处单独组织考评，计入总分。考试时间：100分钟满分：100分第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43 y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43 y 3．设命题p ：?x ∈R ，x 2＋1>0，则﹁p 为( ) A ．?x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．?x 0∈R ，x 2 0＋1≤0 C ．?x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．?x ∈R ，x 2＋1≤0 4．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5．不等式x 2－x －6x －1 >0的解集为( ) A.{}x |x <－2或x >3 B.{}x |x <－2或13 D.{}x |－2

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|