【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1 倍角公
式课后知能检测 新人教B 版选修4-5
一、选择题 1.
tan 75°－tan 15°
1＋tan 75°tan 15°
＝( )
A ．－ 2 B. 2 C ．－ 3
D. 3
【解析】 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. 【答案】 D
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( ) A.12 B.13 C.14
D.15
【解析】 ∵4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
21－tan αtan β，∴tan αtan β＝1
2
.
【答案】 A
3．已知α＋β＝3π
4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π
4＝－1，所以tan α＋tan β＝
－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
【答案】 B
4．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝( ) A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
【解析】 tan 60°＝tan(18°＋42°)＝tan 18°＋tan 42°
1－tan 18°tan 42°，
所以tan 18°＋tan 42°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)， tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3. 【答案】 C
5．已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2
＋6x ＋2＝0的两个实数根，则sin α＋β
cos α－β
＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
【解析】 ∵tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，∴tan α
＋tan β
＝－6，tan α2tan β
＝ 2.则
sin α＋β
cos α－β
＝
sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
＝
tan α＋tan β1＋tan αtan β＝－6
1＋2
＝－2.
【答案】 C 二、填空题
6．已知tan α，tan β是方程x 2
＋6x ＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．
【解析】 由已知tan α＝－3＋2，tan β＝－3－2或tan α＝－3－2，tan β＝－3＋2，
∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝±2
4.
【答案】 ±
24
7．设tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π
4)的值是________．
【解析】 ∵α＋π4＝(α＋β)－(β－π
4)．
∴tan(α＋π
4)＝25－141＋253
14＝3202220
＝322
.
【答案】
322
8．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝3
4，且β∈(0，π)，则β的值为________．
【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β －tan α
1＋tan α＋β tan α＝
7－341＋73
34
＝1，又
β∈(0，π)，所以β＝π
4
.
【答案】
π4
三、解答题
9．已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π
3)＝22，
(1)求tan(α＋β－π
4)的值；
(2)求tan(α＋β)的值．
【解】 (1)tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π
3)]
＝tan π12＋α ＋tan β－π
3
1－tan π12＋α 2tan β－π3
＝2＋22
1－2222
＝－ 2.
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－π4)＋π
4
]
＝tan α＋β－π4 ＋tan
π
41－tan α＋β－π4 2tan
π4＝－2＋1
1－ －2 31
＝22－3.
10．已知tan α，tan β是方程x 2
＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈(－π2，π2)，
求α＋β的值．
【解】 由题意，有??
?
tan α＋tan β＝－33
tan αtan β＝4
，
tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈(－π2，π
2
)，
所以α，β∈(－π
2，0)，α＋β∈(－π，0)．
又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－33
1－4＝ 3.
在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π
3，
所以α＋β＝－2π
3
.
11．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α
22tan β＝2－3同时成
立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
【解】 由①得α2＋β＝π
3
，
∴tan(α
2＋β)＝tan α
2＋tan β
1－tan α
22tan β
＝ 3.
将②代入上式得tan α
2
＋tan β＝3－ 3.
因此，tan α2
与tan β是一元二次方程x 2
－(3－3)x ＋2－3＝0的两根．解之，得
x 1＝1，x 2＝2－ 3.
若tan α2＝1，由于0＜α2＜π
4，
∴这样的α不存在．
故只能是tan α
2＝2－3，tan β＝1.
由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π
4.
故存在锐角α＝π6，β＝π
4
使①②同时成立.