杨辉三角考题赏析

杨辉三角考题赏析

“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝．利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质，杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质．正因为如此，以“杨辉三角”为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现，有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．现采撷几例，与同学们共赏析．

例1 （2004年上海春季高考卷）如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2:3．

解析：由图1我们能发现，第1行中的数是0111C C ，；第2行中的数是

012222C C C ，，；第3行中的数是01233333C C C C ，，，；

；则第n 行中的数是

012n n n n n C C C C ，，，，设第

n 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3，则

13142:3n n C C =·，解得34n =．

点评：本题是关于“杨辉三角”的一道高考题．杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，与排列、组合和概率的关系非常密切．因此，理解和掌握杨辉三角的一些性质，对发现某些数学规律是很有帮

助的．

例2 （2006届全国100所名校示范卷）如图2所示，在杨辉三角中，斜线

AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，

，记

这个数列的前n 项的和为()S n ，则(16)S 等于（ ）．

A ．144

B ．146

C ．164

D ．461

解析：由图2知，数列中的首项是22C ，第2项是12C ，第3项是23C ，第4项

是13C ，，第15项是29C ，第16项是1

9C ．

因此得121

21211

1223399239(16)()S C C C C C C C C C =++++++=+++2

22239()C C C ++++

21

123

2223

33923391010()()1164C C C C C C C C C =+++-++++==+-=．故选Ｃ．

点评：本题是杨辉三角与数列结合的一道考题．将数列的各项还原为各二项展开式的二项式系数，并依次应用杨辉三角中数的规律Ｃrn+1＝Ｃr-1n+Ｃrn （即组合数性质2），从而求得数列的和． 例3 （2004年江苏高考模拟卷）观察下列数表，问此表最后一个数是

什么，并说明理由．

解析：因为第一行有100个数，以后每一行都比前一行少一个数，因此共有100行．

通过观察可以得到： 第1行首尾两项之和为101； 第2行首尾两项之和为1012?； 第3行首尾两项之和为21012?， 第4行首尾两项之和为31012?，…… 第99行首尾两项之和为981012?．

因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和，所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和即为981012?．

点评：本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题．通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．