2018年春季学期高二期末考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|4}M x x =>，{|13}N x x =<<，则()R N
C M =（ ）
A ．{|21}x x -≤<
B ．{|22}x x -≤≤
C ．{|12}x x <≤
D ．{|2}x x <
2.演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，
所以0是函数3
()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．全不正确 3.已知i 为虚数单位，若复数1()1ai
z a R i
-=
∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5 B
C
D ．13 4.用反证法证明命题“若一元二次方程2
0(0,,,)ax bx c a a b c Z ++=≠∈有有理根，那么
a ，
b ，
c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）
A ．假设a ，b ，c 不都是偶数
B ．假设a ，b ，c 都不是偶数
C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数
D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数 5.函数ln x
y x
=
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]
直线11x t
y =+???
=-+??（t 为参数）的斜率为（ ）
A ．1
B ．-1 C
D
． （2）[选修4-5：不等式选讲]不等式113x <+<的解集为（ ） A ．(0,2) B ．(2,0)
(2,4)- C ．(4,2)(0,2)-- D ．(4,0)-
7.设奇函数()sin()cos()f x x x ω?ω?=+++(0,)2
π
ω?><的最小正周期为π，
则（ ） A ．()f x 在(0,)2π上单调递减 B ．()f x 在3(,)44
ππ
上单调递减 C ．()f x 在(0,
)2π
上单调递增 D ．()f x 在3(,)44
ππ
上单调递增 8.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
cos 1sin x y α
α
=??
=+?（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
（2）[选修4-5：不等式选讲]不等式33a b a b -≤-+-取等号的条件是（ ） A ．(1)(1)0a b --< B ．(1)(1)0a b --> C ．(1)(1)0a b --≤ D ．(1)(1)0a b --≥
9.变量y 与x 的回归模型中，它们对应的相关系数r 的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
10.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]在同一坐标系中，将曲线3sin 2y x =变为曲线
'sin 'y x =的伸缩变换是（ ）
A ．2'1'3x x y y =???=??
B ．'21'3x x
y y =??
?=??
C ．2'3'x x y y =??
=? D ．'2'3x x y y =??=? （2）[选修4-5：不等式选讲]关于x 的不等式2
891x x a a -+-≤--的解集为空集，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,0)-
B ．(1,2)-
C ．1[,)2+∞
D ．9[,)8
+∞ 11.执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．-4
D ．52
-
12.在ABC ?中，已知1tan 4A =，3
tan 5
B =，且AB
C ?，则ABC ?的最小边为（ ）
A ．1
B
C
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.观察下列等式：
(11)21+=?
2(21)(22)213++=??
3(31)(32)(33)2135+++=???
按此规律，第n 个等式可为 ．
14.对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观察数据(,)(1,2,9)i i x y i =???，其回归直线方程是：2y x a =+，且
9
1
9i
i x
==∑，9
1
18i i y ==∑，则实数a 的值是 ．
15.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]设抛物线2
22x pt y pt
?=?=?，（t 为参数，0p >）的焦点为
F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设7
(,0)2
C p ，AF 与BC 相交于
点E .若2CF AF =，且ACE ?的面积为p 的值为 ．
（2）[选修4-5：不等式选讲]若存在实数x 使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ．
16.椭圆22
194
x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，120PF PF ?=，则
12PF PF ?= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知(1,2)A ，(,1)B a ，(2,3)C ，(1,)D b -(,)a b R ∈是复平面上的四个点，且向量AB ，
CD 对应的复数分别为1z ，2z .
（1）若121z z i +=+，求1z ，2z ；
（2）若122z z +=，12z z -为实数，求a ，b 的值.
18.为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生. （1）完成下列22?列联表：
附：
（参考公式：()()()()()
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
19.在数列{}n a 中，14a =，2
1(1)22n n na n a n n +-+=+.
（1）求证：数列n a n ??
?
???
是等差数列； （2）求数列1n a ??
?
???
的前n 项和n S . 20. 2.5PM 是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在
75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2018年上半年每天的
2.5PM 监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如图所洋（十
位为茎，个位为叶）.
（1）求这18个数据中不超标数据的方差；
（2）在空气质量为一级的数据中，随机抽取2个数据，求其中恰有一个为 2.5PM 日均值小于30微克/立方米的数据的概率；
（3）以这18天的 2.5PM 日均值估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量超标.
21.（Ⅰ）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
1cos 1sin x t y t α
α=+??
=+?
（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4
π
α=
时，求C 与l 的交点的极坐标；
（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数1t ，2t 互为相反数，求AB 的值.
（Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()31f x x a ax =-+-，其中a R ∈. （1）当1a =时，写出函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值； （3）若3a >，函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a . 22.设函数2
()2ln f x x x =-，2
()2g x x x a =-+++. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围.
2018年春季学期高二期末考试
文科数学参考答案
一、选择题
1-5 CACBC 6.（1）C （2）C 7. B 8.（1）C （2）C 9. C 10.（1）B （2）B 11、12：CC
二、填空题
13. (1)(2)()213(21)n
n n n n n ++???+=???????- 14. 0
15.（1 （2）[2,4]- 16. 8
三、解答题
17.（1）向量(1,1)AB a =--，(3,3)CD b =--对应的复数分别为1(1)z a i =--，
23(3)z b i =-+-.
∴12(4)(4)1z z a b i i +=-+-=+. ∴41a -=，41b -=. 解得5a b ==.
∴14z i =-，232z i =-+. （2）122z z +=，12z z -为实数，
2=，(2)(2)a b i R ++-∈， ∴20b -=，解得2b =， ∴2
(4)44a -+=，解得4a =. ∴4a =，2b =.
18.（1）22?列联表如下：
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
2100(35252515)50506040
??-?=???
4.167
5.024≈<，
对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.
19.（1）2
1(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同时除以(1)n n +，
得
*12()1n n
a a n N n n
+-=∈+， 所以数列n a n ??
?
???
是首项为4，公差为2的等差数列. （2）由（1），得
22n
a n n
=+， 所以2
22n a n n =+，故
2111(1)222(1)n n n a n n n n +-==?++111()21
n n =?-+， 所以111111[(1)()()]22231
n S n n =
-+-+???+-+ 1111111
[(1)()]223231
n n =+++???+-++???++11(1)212(1)n n n =-
=++. 20.（1）均值x
2726393634334342556510
+++++++++=
40=，
方差2s
222222222131416732152510
++++++++=
133=.
（2）由题目条件可知，空气质量为一级的数据共有4个，分别为26，27，33，34.则随机抽取2个数据的基本事件空间为
{(26,27),(26,33),(26,34),(27,33),Ω=(27,34),(33,34)}，共由6个基本事件组成，
设“其中恰有一个为日均值小于30微克/立方米的数据”为事件A ，则
{(26,33),(26,34),(27,33),(27,34)}A =，共有4个基本事件，
所以42()63
P A =
=.
（3）由题意，一年中空气质量超标的概率84189
P =
=. 4
3601609
?=，所以一年（按360天计算）中约有160天的空气质量超标. 21.（Ⅰ）（1）由4cos ρθ=，可得2
4cos ρρθ=，
所以224x y x +=，即22
40x y x +-=，
当4πα=时，直线l
的参数方程1212
x t
y t ?
=+??
?
?=+
??
（t 为参数）
，化为直角坐标方程为y x =，
联立22
40
y x x y x =??+-=?，解得交点为(0,0)或(2,2)， 化为极坐标为(0,0)
，)4
π
，
（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得2
2(sin cos )20t t αα+--=， 由题意可知120t t +=，122t t ?=-，
所以12AB t t =-==（Ⅱ）（1）当1a =时，()41f x x =-.
所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.
（2）因为函数()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即4141a a -=+， 解得0a =.
又当0a =时，()31f x x =+为偶函数. 所以0a =. （3）若3a >，
则1(3)31,1()(3)31,(3)31,a x a x a f x a x a x a a a x a x a ?
-+++
?
=-+-≤≤??
+-->???
，
则11()()(3)31g a f a a a a ==-?
+-33a a
=-.
22.（1）22(1)
'()x f x x
-=，∵0x >，(0,1)x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递
增区间是(0,1].
（2）令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，则2'()x
h x x
-=， ∴(1,2)x ∈时，'()0h x >，(2,3)x ∈时，'()0h x <， ∴(2)h 是()h x 的极大值，也是()h x 在(1,3)上的最大值. ∵函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点，
∴函数()h x 在区间(1,3)内有两个零点，则有(2)0h >，(1)0h <，(3)0h <.
所以有2ln 240302ln 350a a a -->??
--
.
解得2ln352ln 24a -<<-，所以a 的取值范围是(2ln35,2ln 24)--.