高考中的轨迹问题
全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（下）（人民教育出版社）第八章圆锥曲线高三第一轮复习。
一、教学目标：
1、认知目标：
（1）加深对教学大纲与近年高考试题中的轨迹问题的了解；
（2）深入理解解决轨迹问题的常用方法——直接法、定义法、相关点法、向量法等
2、能力目标：
（1）能够通过网络搜索近年来的高考试题或高考模拟试题，并从中选择出有关轨迹问题的试题；
（2）能够综合运用解决轨迹问题的常用方法——直接法、定义法、相关点法；
（3）会在《几何画板》帮助下完成解析几何问题的分析与解答
3、情感目标：
（1）树立从运动的观点来分析问题；
（2）加强数形结合思想在数学解题中的运用；
（3）加强计算机及网络在数学中的应用意识；
二、重点、难点分析：
教学重点：
综合运用常规方法解决有关轨迹问题，利用《几何画板》对图形变化的可能性进行总体分析，选好相应的解题策略和具体方法，注意用准确的数学语言来表述动点的几何特性。
教学难点：
在求轨迹方程问题中易于出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此在求出曲线的方程之后，利用《几何画板》检查其中是否有多余或遗漏。
三、教学对象分析：
学生为农村高中学生，对于网络资源的利用不够熟练；对于《几何
画板》软件的运用还不灵活，对计算机在数学方面的运用认识欠缺；
另外由于进度问题，学生对解析几何的基本思想的理解不太深刻，对轨迹问题的求解方法不太熟练。
针对以上情况，选择在教师地指导下完成资料的收集；在教师的帮助下完成一些《几何画板》课件的制作，或由教师制作一定的《几何画板》课件帮助学生分析问题解决问题；由学生合作解决所收集的轨迹问题的高考试题。
四、网络教学环境设计
（1）由微机室计算机通过局域网连接Internet；
（2）《几何画板》中文版3.05及《几何画板图库》；
（3）Microsoft Office XP （安装有公式编辑器3.0）；
（4）Netants 2.4
六、教学流程图
自考励志之“自考改变我的人生轨迹” 过来人感言∶源于自学考试的人生感悟 自学考试就像是一次孤独的旅行。我们胸中揣着梦，怀着理想，背起行囊去远方。一本本的教材就是旅行者的路程，我们用艰辛地跋涉与攀登，来完成一次次的自我超越，一步步地向梦想靠近。也许，远方不会有硕果累累的果园，更不会有价值连城的宝藏。但沿途美丽的风景，旅行中对于人生的感悟，都将是生命中的一次刻骨铭心。 曾去过沙漠。无垠的沙漠，满眼尽是苍凉。沙，堆积如山，沙山上没有路，只有无绵无尽地沙与天相接。沙山下有一串长长的脚印，向山上延伸。本以为沿着前人的脚印，会好走些。可恰恰相反，被人踩过的地方，格外的松软。一脚下去，直没脚面。只好另辟蹊径，走一条属于自己的路。在沙漠中行走，须心平气和，不能着急，也不能奔跑。越是用力，脚下陷得越深，速度反而会降下来。 快接近山顶的时候，我回身远望。身后长长的，只属于我的脚印，蜿蜒清晰。突然有一种感触，行走的目的，不是为了登顶，原来只是为了这一串长长的脚印。生活如此，自学考试亦是如此。自考的历程，可谓酸甜苦辣，五味杂陈，有沮丧，有艰辛，有快乐，有感悟。每当听自考人说起自学考试，提起的不是历经艰辛的毕业证，反而是自学考试过程中的种种苦事，乐事。此时，他们的脸上常常满是自豪与快乐。 其实，当我们经历过自学考试，经历过艰辛，在奋斗的过程中，得到了历练与磨砺，真正领悟到了拼搏的含义，那结果就不再重要。不论别人怎样看待自学考试，怎样评价自考生，我们都会一笑而过，悲喜不惊。 “经历自学考试一役还有什么能让我却步”吗？ 我以为我不会哭的，在我终于将薄薄的经济学自考本科毕业证攥在手心的时候。 因为当我艰难“咀嚼”着全然陌生的课本，枯坐几小时却毫无进展时，即使心底快要被排山倒海的焦急和挫折淹没，我没有哭;当我白天打工糊口、入夜挑灯夜战，却还要在电话里对父母编织着美丽的谎言时，即使脆弱霎时间钻入身体里每个细胞，我没有哭;当我寂寞无助，痛苦彷徨，却没有一个知己可以倾诉时，即使满心悲凉，我没有哭。 可是这一刻，我不禁泪凝于睫——那是一种重见天日的感觉，我终于对自己承认了：在自考这场没有硝烟的战役中，我孤军奋战的辛苦! 或许走上自学考试道路的每个人背后，都隐藏着一段无奈辛酸的往事吧!我也不例外。 我和自考的第一次相遇 2005年1月，我命运的轨道彻底发生了改变!那一年，我大四。 交往了8年的好友让我替他考大学英语六级，这已经是他第四次请求我了，前几次我都婉言拒绝了，这一次实在不好意思再推托，就答应了。就是这次替考彻底改变了我的命运，结果可想而知……事情被查出来之后，学校对我的处分是勒令退学，没有任何回旋的余地!当时距离2005年研究生考试还有7天!这种结果对于我来说简直是晴天霹雳!为考研，我已经准备了半年，而现在这种结果无疑意味着一切的努力都成了泡影! 勒令退学让我没了学位证、毕业证。怀着强烈压抑的心情，我还是参加了考试，只是想尝试一下，验证自己的实力。当年我报的是人大国际贸易专业，分数是342分。如果,如果我有毕业证…… 突然之间，未来一片渺茫，我的人生犹如长途列车经过又长又窄的火车隧道，没有一点光亮，也不知道何时可以重见光明，那是一种没有尽头的绝望。
空间轨迹问题的三种模式及破解策略 空间轨迹问题是近年来高考命题的一个热点题型，这类问题中涉及到的点，线，面较多，产生于空间，但落实到平面，空间关系复杂，往往交汇多个知识点，解题方法灵活多变，总给人无“法”可依，无“章”可循之感，是同学们公认的难点与失分点。本文将此类问题分为三种模式，各个击破，只要同学们能够准确识别模式就能正确解决，对空间轨迹问题我们的口号是“无需忍痛——分必得！” 【模式一】 定点+动点型——先定“大轨迹”，后寻“小轨迹”，特殊点定位 例1 在正方体1AC 中，点P 在侧面11BCC B 的内部及边界上运动，总有1AP BD ⊥,则点P 的轨迹是（ ） A. 线段1B C B. 线段1BC C. 线段BC D. 线段11B C 分析： 我们知道过直线外一点与该直线垂直的直线都在过该点与此直线垂直的平 面内，设过A 与1BD 垂直的平面为α，有11P B C CB α∈平面,所求轨迹就是α 与侧面11BCC B 的交线，此处应是线段，下面只需要取两个特殊点定位即可，易知只有线段1B C 符合题意，故选A. 例2 已知正方体1AC 棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为 3的点的集合曲线C ，则该曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 解：空间中与A 的点的集合是以A 为球心，曲线 C 就是该球面与正方体各面相交所得的截面。2313< <6个侧面均相交得到6段圆弧，可分为两种情况：ABCD,11AA D D , 11AA B B 为过球心的截面，截痕为大圆弧，易知三段圆弧圆心角均为6 π；1111A B C D ,11BCC B ,11CDD C 与球心距离为1的截面，截痕是小圆弧，三段小 3=，故各段圆弧圆心角均为2π，则曲线C 长度为 233533363236 ππ+= 方法点拨
动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．
注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ）22125169x y + =（0x ≠） （B ）22 1144169 x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ： 22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2013年江苏高考数学模拟试卷（六） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ． 2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→ BC ＝1，则BC ＝ ． 4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次， 如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为 ． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为 ． 6．如图，直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为 3 5，∠21OP P =3 π，则点2P 的横坐标为 ． 7．已知不等式组???? ? x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小 值时的k 的值为 ． 8．若关于x 的方程2 －|x | －x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该 长方体的最大体积是___ _____． 10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小 值为 ． 11．已知双曲线122 22=-b y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End
马云创业初期吹牛视频曝光当年荡气回肠吹过的牛皮竟全实现 图是马云在创业初期的一张照片。从照片里马云的姿势就可以知道为什么他后来喜欢打太极拳了，马云当年应该就是太极拳业余爱好者。当时的马云在北京混不下去了，于是他回到杭州，他的家在湖畔花园，位于当时杭州城西一个城郊接合部。 1999年3月，马云在家里创办阿里巴巴。照片上与马云一起创业的一共是17个人，加上马云自己，就是18个人，也就是常说的阿里巴巴创业“十八罗汉”。 我们看看马云早在1999年吹的牛吧: In this clip from 1999, Jack Ma delivers a speech to 17 friends in his apartment to introduce Alibaba and lay out his plan to compete with U.S. internet titans. 马云在创业时候讲过两段话，后来他的这些“罗汉”朋友们也经常对外讲这两段话。
第一段话是他创立阿里巴巴的未来三大愿景。第一个愿景，“阿里巴巴未来要成为服务中国中小企业的一家电子商务公司”。讲完这句话之后，大家一起鼓掌，认为这个愿景非常好。 第二个愿景，“阿里巴巴在未来要成为市值50亿美金的企业”。事后其中的两个“罗汉”曾跟我说，在马云讲完这句话的时候，大家的掌声小了很多。因为马云的创业资金才50万，而他发给这些人的月工资是600元——1999年的时候我的月工资大概有3000多了吧。他们觉得，就凭我们这几个人，一个月拿600块钱工资，创业资金50万，还在人家家里办公，就这样还要做到50亿美金市值的企业?等到猴年马月吧! 马云讲到第三个愿景的时候，大家又开始热烈鼓掌了——“我们要做一家生存102年的企业。”——反正大伙儿也活不到那一天，鼓掌也挺好。 其实，马云在那个时候对失败这件事就已经有很高的警惕了。他创业的50万元资金也不是他一个人的，而是这18个——包括他太太在内的创业者一起凑的。马云是一个大股东，但大家都有股权，所以阿里巴巴一开始就是一家集资创建的企业。马云当时就说：“你们拿出来所有的钱都必须是闲钱。第一，不能向亲戚朋友去借;第二，如果这是你吃饭的钱，那么也不要投进来。为什么呢?因为我们所做的事业是一个风险非常大的事业，失败的可能性极大，我们必须准备好接受最倒霉的事情。” 但同时他又说：“即使是泰森把我打倒，只要我不死，我就会跳起来继续战斗。” 这就是马云创业时候的一个景象。
空间图形中的轨迹问题的基本解法 在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。 1 判断轨迹的类型问题 这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1 面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D。 引申1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 引申2 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）。 A. 线段
B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 例2 （2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）。 A. 圆或圆的一部分 B. 抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC 成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。 的棱长为a，定点例3（2005年浙江省模拟）已知正方体ABCD A B C D - 1111 M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P 的距 到直线A D 11 离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）。 A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 圆 中，过P作PF⊥AD，过F作简析在正方体ABCD A B C D - 1111 FE⊥A1D1，垂足分别为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。 点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体中设计的轨迹问题，更是别具一格。 例4 在正方体ABCD A B C D 中，点P在侧面BCC1B1及其边界上 - 1111 运动，总有AP⊥BD1，则动点P的轨迹为__________。 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个
专题：解析几何中的动点轨迹问题 学大分教研中心 周坤 轨迹方程的探解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK ，不废话了，开始进入正题吧... Part 1 几类动点轨迹问题 一、动线段定比分点的轨迹 例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。 ()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，， ()( )0 11101a a x x y b b y λλλλλλλ+???=+=??? +??++?=??=? ?+? ， 2225a b +=代入 () () 2 2 2 2 2 1125y x λλλ +++ = () () 2 2 2 2 2 125 2511x y λλλ+ =++
2225 14 P x y λ=+= 当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;② 01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③； 例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程. ()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有 ()()()()11 33131313x x y y ?+-= ?+-? ? +-?=?+-? 11332 312 x x y y -?=??? -?=??化简即： 22114x y +=代入 22 3331422x y --???? += ? ????? 得 所以点P 的轨迹为()2 2 116139x y ? ?-+-= ?? ? 二、两条动直线的交点问题 例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x = AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，，
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则
=d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值.
不同的人有不同的人生轨迹，不同的轨迹又向人们展示着不同的故事，不同的故事又带给人们不同的感受。 我的故事是普通地不能再普通了，但对于我来说，它们每个都是那么地重要，因为它们是组成我人生必不可少的部分，正因为有了这些故事的连接，才有了如今的我。 在我5、6岁的时候，出于好奇，我买了两只小鸡回来玩。那两只小鸡很可爱，小小的脑袋耷拉在肥肥的身子上，金黄色的绒毛摸起来舒服极了！ 一天，我趴在家里的地板上，呆呆地望着两只小鸡。这时，我突发奇想：小鸭能游泳，小鸡和小鸭长得那么像，小鸡也一定能游泳！于是，我搬来一盆水，准备教小鸡游泳。 我笨手笨脚地将小鸡捉到盆子里。噢！对了，游泳之前好像应该先做做热身运动。于是，我又将小鸡捉出来放在地上，拿了根铁丝，让它们“跳绳”！运动了大约十分钟，我才将小鸡放入了盆子里。瞧，只见两个小家伙一进水里就乱扑哧，弄得我一脸的水。我气急了，捉起两个小家伙，把它们教训了一番。我耐着性子，将小鸡的两个小脚丫抓着，用不耐烦的语气对它们说：“你们看好，我只教一遍！”我抓起那两个小脚丫，向两边伸，“这叫作‘蛙泳’，懂吗？”我大声对它们吼道。我教完后，就把它们放在水里，让它们自己练习一会儿，自个儿玩自己的去了。 大约十分钟后，我来到盆子旁，见两只小鸡冻的得直打哆嗦，我想：反正还有的是时间，不如，今天就算了。于是我拿了一条小毛巾，给它们擦了擦身体，把它们放回了窝里……第二天，我早早地起了床去看小鸡。来到鸡窝旁，只见两只小鸡躺在地上，一动不动的。我赶紧跑到妈妈跟前问妈妈小鸡怎么了，妈妈看
了看，便说：“死了”我先是一愣，接着便嚎啕大哭起来。妈妈不解地问我：“你对小鸡怎么了？”我带着哭腔说：“昨天我给它们吃了一点小米，就叫它们游了一会儿泳。”“什么，教小鸡……游。……游泳！”妈妈捧腹大笑起来。我小声说：“就一会儿嘛！”看来小鸡是‘死于非命’啦！”妈妈唉声叹气地说。 成长便是这样，有欢笑亦有哭泣，有悲欢亦有离聚。在匆匆而逝的岁月里，我们得到失去的都太多了，每一次胜利的微笑，每一次委屈的哭泣，都使我们懂得了好多好多。在与朋友相聚的日子里，我们学会了忍让，伤心流泪时，我们学会了爬起，取得成绩后，我们学会了谦虚。````` 每个人成长的背后，都有一段属于自己的故事，那是一段以微笑，泪水，成功，失败为乐谱所写的故事。
动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点P 随着另一动点Q 的运动而运动，且Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P 点的轨迹方程。 7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。 此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。 二、注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2020江苏高考数学模拟考试 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．的．位．置．上．．．1．若函数y cos(x)(0)的最小正周期是，则▲． 3 2．若复数(12i)(1ai)是纯虚数，则实数a的值是▲． 3．已知平面向量a(1,1)，b(x2,1)，且a b，则实数x▲． 4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放．回．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是▲． 开始 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为▲． S0 6．给出下列四个命题： k1（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面 是相交k2011 否（）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面2 1（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直 k(k 1) S S 输出 S 线与平面也不垂直 k k1（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂 结束直于平面 真．命．题．的序号是▲．（写出所有真命题的序号）（第5题） 7．已知双曲线 22 x y 221(a0,b0) a b 的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离 心率为▲． 8．已知二次函数f(x)241 ax x c的值域是[1,)，则19 a c 的最小值是▲． 9．设函数3 f(x)x3x2，若不等式 2 f m m对任意R恒成立，则实数m 的 (32sin)3 取值范围为▲． 2x y4 x0 y0表示的平面区域内部及其边界上运动，则t n m m1 10．若动点P(m,n)在不等式组 的取值范围是▲． 11．在ABC中，AB边上的中线CO2，若动点P满足 1 22 AP sin AB cos AC(R)，2 则(P A PB)PC的最小值是▲．
立体几何中的动点轨迹问题讲解 这类问题在高考中并不常见，或者说在高考中出现得并不明显，但在用空间向量求二面角时偶尔会遇到一种题目，即需要用到的点并不是一个确定的点，而是在一个面上的动点，且这个点还满足一些特定的值或平面几何关系，此时需要根据条件确定出动点所在的轨迹，在每年高考前的模拟题中也会遇到这种题目，若在选填中，则一般位于压轴或次压轴位置，求几何体中动点的轨迹或者与轨迹求值相关的问题，在解析几何中满足条件的动点都会有特定的轨迹，动点绝不是乱点，在几何体中依旧如此。 这种题目做法和平面几何求轨迹方程类似，因为点在面内(非平面)，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，这四种情况没有过于明显的界限，知道就好，下列题目中就不再分门别类的去叙述了。 立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。 题目中可以找到与AM垂直且包含OP的平面，这样动点P的轨迹就知道了，从O点向底面作垂线，垂足为O'，连接BO',可知AM⊥平面OO'B，即可得知P的轨迹。
但题目是在规则的正方体中，直线OP和AM为异面直线，两者成90°的特殊角度，根据射影法求异面直线的夹角方法，我们只需确定出OP在底面上的投影位置即可。 与上题类似，需要找到一个与BD1垂直且包含AP的平面，根据三垂线定理可知BD1⊥AC，BD1⊥AB1，所以BD1⊥平面ACB1，平面ACB1与有侧面的交线为B1C，所以点P的轨迹为线段B1C
第二章轨迹与方程 本章在上章建立的空间点与径向量及有序实数组的对应基础上，先介绍平面曲线的方程，然后过渡到曲面与空间曲线方程的研究，从而建立轨迹与方程的对应。 §2.1平面曲线的方程 教学目的：正确理解空间曲线与曲线方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲线方程的基本方法. 教学重难点:正确的理解空间曲线方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲线方程. 教学过程: 一.曲线的一般方程 1.平面曲线(包括直线): 具有某种特征性质的点的集合,即: ①曲线上的点都具有这些性质; ②具有这些性质的点都在曲线上. 反映: 曲线上的点) (y x满足一定的互相制约的条件.一般用方程) , F或 x (y , y=来表达. f ) (x 2. 定义2.1.1 当平面上取定了坐标后,如果一个方程与一条曲线有着关系: (1) 满足方程的) x必是曲线上某个点的坐标; (2) 曲线上任何一点的坐标满足这个 (y , 方程,那么这个方程就叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形. 由上定义可得: ①研究曲线的几何问题转化为研究其方程的代数问题. ②已知曲线,要求它的方程,实际上就是在给定的坐标下,将这条曲线上的点的特征性质,用关于曲线上的点的两个坐标y x,的方程来表达. 例1求圆心在原点,半径为R的圆的方程. 解: 根据圆的定义,圆上任意点) (y M在圆上的充要条 x , M的特征性质,即) (y , x = 件是M到圆心O的距离等于半径R,即R
应用两点距离公式,得 R y x =+22 (1) 两边平方得 222R y x =+ (2) 由于方程(2)与(1)通解,所以(2)即为所求圆的方程. 完全类似的,可以求圆心在),(b a 半径为R 的圆的方程是: 222)()(R b y a x =-+-. 注: 求曲线的方程,有时在化简过程中,会增添不属于给定条件的内容, 此时,必须从方程的开始检查一下,把方程中代表那些不符合给定条件的点限制掉. 例2已知两点)2,2(--A 和)2,2(B ,4=-的动点M 的轨迹方程. 解: 动点M 4=- 用点的坐标来表达就是 ,4)2()2()2()2(2222=-+--+++y x y x (3) 移项得 ,4)2()2()2()2(2222+-+-=+++y x y x 两边平方整理得 ,2)2()2(22-+=-+-y x y x (4) 再两边平方整理得 2=xy (5) 因为方程(2)和(3)同解,而方程(4)与(3)却不同解,但当方程(4)附加了条件 02≥-+y x , 即2≥+y x 后,方程(4)与(3)同解,从而方程(4)与(3)同解,所以方程 )2(,2≥+=y x xy 为所求动点M 的轨迹方程. 二.曲线的参数方程 当动点按照某种规律运动时，与它对应的径向量也将随着时间t 的不同而改变（模与方向的改变），这样的径向量，称为变向量，记做(t r .如果变数)(b t a t ≤≤的每个值对应于变向量的一个完全确定的值（模与方向）)(t r ，那么就说是变数t 的向量函数，并把它记做： ＝(t r ， )(b t a ≤≤ （6）
Research on Object Space Trajectory tracking Optimization Simulation LI Run ZHAO Zhi-wei Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology, Lanzhou 730060,China ABSTRACT: The paper researches the space objects trajectory modeling optimizatio.The traditional modeling methods need massive data collection ，which influences modeling effect.In order to better track and store the trajectory of moving objects ，then optimize trajectory modeling results ，the paper proposes an optimization algorithm based on the moving object trajectory description.by the spatial migration object level and vertical motion path curve, it infers the motion path curve of random position , and loads the error to track the maneuvering target, thus it can be obtained the maneuvering target of the filter data curve, and it then adopts the Kaerman wave filter to be in progress to motion target trajectory curve level and smooth.The experimental results show that this method can effectively describe the trajectory of moving objects and obtain the expected results ． KEYWORDS: Trajectory modeling; Optimal trajectory; random error; Smiulation; Tracking Algorithm 0 Introduction Moving object trajectory model is a reaction of moving object trajectories through a certain method to obtain the correct description,which refers to a variety of relatively small finite spatial moving objects, such as a running vehicle, aircraft, ships, people, the launch of rocket and missile, even in the working state of the computer, mobile phone and other moving object ect [1-2]. In order to better track and store the moving object’s trajectories ,then solve the problems existing in the traditional method, this paper presents a moving object in the space of the horizontal and vertical motion description, and then derives spatial moving objects trajectory curve.but in order to smooth moving target trajectory curve with Calman filter, it must load random error to track moving targets, and then gain the target's filtering data curves. The simulation results show that this method has a certain rationality and feasibility, and it can effectively predict the space object trajectory ,and can realize simulation modeling of the moving objects trajectory [3-4]. 1 Moving object model design and trajectory modeling 1.1 Moving objects spatio-temporal model Object space motion model vividly describes the object motion geometric features. As a result of movement locus of object in three-dimensional space coordinates, so it is difficulty. In order to solve this problem, motion models need to add some dynamic characteristics, including the movement of the object position, moving speed, the region of space objects, the slant distance m R , angle of elevation m ε (angle of elevation or depression of objects) and azimuth angle m β and something else. through the model well describe the true motion state by useing