3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．
1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
【提示】 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.
2．复数的加法满足交换律和结合律吗？ 【提示】 满足． (1)运算法则：
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R )，则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)加法运算律：
如图，OZ 1→，OZ 2→
分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．
1．试写出OZ 1→，OZ 2→及OZ 1→＋OZ 2→，OZ 1→－OZ 2→
的坐标． 【提示】 OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→
＝(c ，d )， OZ 1→＋OZ 2→
＝(a ＋c ，b ＋d )， OZ 1→－OZ 2→
＝(a －c ，b －d )．
2．向量OZ 1→＋OZ 2→，OZ 1→－OZ 2→
对应的复数分别是什么？ 【提示】 OZ 1→＋OZ 2→
对应的复数是a ＋c ＋(b ＋d )i ， OZ 1→－OZ 2→
对应的复数是a －c ＋(b －d )i.
图3－2－1
(1)复数加法的几何意义
如图3－2－1：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→
，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →
.
(2)复数减法的几何意义
图3－2－2
如图3－2－2所示，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→，OZ 2→
不共线，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→
)对应，这就是复数减法的几何意义． 这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→
)与连接两个终点Z 1，Z 2，且指向被减数的向量对应
.
(1)(2－3i)＋(－2＋
3
2
i)＋1； (2)(－i 2－13)－(i 3－1
2)＋i ；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
【思路探究】 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．
【自主解答】 (1)原式＝(2－2)＋(－3＋32)i ＋1＝1－3
2
i. (2)原式＝(－13＋12)＋(－12－13＋1)i ＝16＋1
6
i.
(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i.
复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【解】 z ＋1＋2i ＝10－3i ， ∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.
设OZ 1及OZ 2分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在
复平面内作出OZ 1→＋OZ 2→
.
【思路探究】 利用加法法则求z 1＋z 2，利用复数的几何意义作出OZ 1→＋OZ 2→
. 【自主解答】 ∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ， ∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵OZ 1→＝(5,3)，OZ 2→
＝(4,1)，
由复数的几何意义可知，OZ 1→＋OZ 2→
与复数z 1＋z 2对应， ∴OZ 1→＋OZ 2→
＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)． 作出向量OZ 1→＋OZ 2→＝OZ →
如图所示．
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算． 2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出OZ 1→－OZ 2→
. 【解】 z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i. OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→，
故OZ 1→－OZ 2→即为图中Z 2Z 1→.
【思路探究】 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题． 【自主解答】 法一 设w ＝z －3＋4i ， ∴z ＝w ＋3－4i ， ∴z ＋1－i ＝w ＋4－5i. 又|z ＋1－i|＝1， ∴|w ＋4－5i|＝1.
可知w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆． 如图(1)所示，∴|w |max ＝41＋1，|w |min ＝41－1.
(1) (2)
法二 由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆， 而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离， 在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示， 所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1.
|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. 【解】 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )． 由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1. (a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2， ∴2ac ＋2bd ＝0.
∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2. ∴|z 1－z 2|＝ 2.
法二 设复数z 1，z 2，z 1＋z 2分别对应向量OZ 1→，OZ 2→，OZ →
. ∵|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为正方形． ∴|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|OZ →
|＝ 2.
数形结合思想在复数中的应用
复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺
序作?ABCD ，则|BD →
|等于( )
A ．5 B.13 C.15 D.17
【思路点拨】 首先由A 、C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．
【规范解答】 如图，设D (x ，y )，F 为?ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为(2，32
)， 所以?????
x ＋1＝4，y ＋0＝3，
即?
????
x ＝3，y ＝3. 所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，
所以BD →＝OD →－OB →
＝3＋3i －1＝2＋3i ， 所以|BD →
|＝13. 【答案】 B
数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
1．(2013·潍坊市高二检测)(2－2i)－(－3i ＋5)等于( ) A ．2－i B ．－3＋i C ．5i －7
D ．2＋3i
【解析】 (2－2i)－(－3i ＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i ＝－3＋i. 【答案】 B
2．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →
对应的复数为( )
A ．1＋5i
B ．3＋i
C ．－3－i
D ．1＋i
【解析】 ∵BA →＝OA →－OB →
，
∴BA →
对应的复数为(2＋3i)－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i ＝3＋i.故选B. 【答案】 B
3．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________． 【解析】 ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，
∴????? x ＋y ＝2，x －y ＝0.解得?
????
x ＝1，y ＝1. ∴xy ＝1. 【答案】 1
4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，求复数a ＋b i. 【解】 ∵z 1＋z 2＝0，∴(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，
∴????? 2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴?
????
a ＝－2，
b ＝－1. 复数a ＋b i ＝－2－
i.
一、选择题
1．设复数z 1＝－2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z 1－z 2在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 z 1－z 2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i －2i)＝－3－i ，故z 1－z 2对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限．
【答案】 C
2．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→
对应的复数是( )
A ．－10＋8i
B ．10－8i
C ．0
D ．10＋8i
【解析】 由题意可知OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→
＝(－5,4)， ∴OZ 1→＋OZ 2→
＝(5，－4)＋(－5,4)＝(5－5，－4＋4)＝(0,0)． ∴OZ 1→＋OZ 2→
对应的复数是0. 【答案】 C
3．复数满足1－z ＋2i －(3－i)＝2i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．－2＋i C ．－2＋2i
D ．－2＋i
【解析】 z ＝1＋2i －3＋i －2i ＝－2＋i. 【答案】 B
4．已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则向量OB →
所表示的复数的模为( )
A.5
B.13
C.10
D.26 【解析】 OB →＝OA →＋AB →
，
∴向量OB →
对应的复数是(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ，且|1＋3i|＝1＋9＝10. 【答案】 C
5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )
A ．a ＝－3，b ＝－4
B ．a ＝－3，b ＝4
C ．a ＝3，b ＝－4
D ．a ＝3，b ＝4 【解析】 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故
????
?
b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，
解得a ＝－3，b ＝－4.
【答案】 A 二、填空题
6．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于＝________.
【解析】 根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→
为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，
|OM →
|＝42＋32＝5， |M 1M 2|＝10.
|z 1|2＋|z 2|2＝|OM →1|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→
|2＝100. 【答案】 100
图3－2－3
7．(2013·大连高二检测)在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A
＝2＋a
2
i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．
【解析】 因为OA →＋OC →＝OB →
，所以2＋a 2
i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以?????
2－b ＝－2a ，a
2＋a ＝3，得a －b ＝－4.
【答案】 －4
8．A 、B 分别是复数z 1、z 2在复平面上对应的两点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 的形状是________．
【解析】 由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OA 、OB 为邻边的平行四边形是矩形，即OA ⊥OB ，故△AOB 是直角三角形．
【答案】 直角三角形 三、解答题 9．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a 、b ∈R )． 【解】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i.
(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3)i.
10．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.
【解】 z ＝z 1－z 2
＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，
又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，
∴????? 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得?
????
x ＝2，y ＝－1， ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i. 11．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，求： (1)f (z 1－z 2)的值；(2)f (z 1＋z 2)的值． 【解】 ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，
∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i ＝5＋5i ， z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i ＝1＋3i. ∵f (z )＝z －2i ，
∴(1)f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i ＝5＋5i －2i ＝5＋3i ； (2)f (z 1＋z 2)＝z 1＋z 2－2i ＝1＋3i －2i ＝1＋i.
§3.1.2 复数的几何意义 学习目标 ： 1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念. 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 学习重点：复数的几何意义，理解复数相关概念． 学习难点：复数的几何意义，理解复数相关概念的运用． 课前预习案 教材助读： 阅读教材的内容，思考并完成下列问题： 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________． 2．复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ _________. 一、新课导学： 探究点一 复数与复平面内的点 问题1：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 问题2：判断下列命题的真假： ①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限． 探究点二复数与向量 问题1：复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 问题2：怎样定义复数z的模？它有什么意义？ 二、合作探究 例 1：在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． 例2：已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围． 三、当堂检测 1. 在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上． 四、课后反思 课后训练案 1. 当2 3 新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位：它的平方等于,即; .对于复数： 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：. 一一对应 .复数几何意义： 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知 探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么： 提出问题： ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 （交换律）, （结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示： 复数的几何意义 教学目标 １. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。 ２. 了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。 教学重点 复数的几何意义与复数的加、减法的几何意义。 教学过程 前面我们是从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，本节课我们将从“形”的角度来研究复数的几何表示和复数加减法的几何意义。 一、 问题情境 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么，复数是否也能用点来表示呢？ 二、 学生活动 知识回顾： ①形如bi a +的数叫复数，通常用字母z 表示，即bi a z +=),(R b a ∈，其中a 与b 分别叫做复数的实部与虚部。???=≠=+=时为纯虚数）当虚数 （实数 （复数0)(0) 0a b b bi a z 。 ②两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等 即 ???==?+=+d b c a di c bi a 。 问题１ 复数相等的充要条件表明，任何一个复数bi a +都可以由一个有序实数对),(b a 惟一确定，而有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎么用平面内的点来表示复数呢？ 问题２ 我们知道平面直角坐标系中的点A 与以原点O 为起点、A 为终点的向量OA 是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？ 三、 建构数学 师生共同活动： １. 在平面直角坐标系xOy 中，以复数bi a z +=的实部a 为横坐标、虚部b 为纵坐标就确定了点),(b a Z ，我们可以用点),(b a Z 来表示复数bi a +，这就是复数的几何意义。 ２. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数。 ３. 因为复平面内的点),(b a Z 与以原点O 为起点、Z 为终点的向量一一对应（实数０与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ 来表示复数bi a +，这也是复数的几何意义。 ４. 根据上面的讨论，我们可以得到复数bi a z +=、复平 面内的点),(b a Z 和平面向量OZ 这间的关系（如图）。今后， 常把复数bi a z +=说成点Z 或向量（并且规定相等的 向量表示同一个复数） ５. 相对于复数的代数形式bi a z +=，我们把点),(b a Z 称为复数z 的几何形式，向量称为复数的向量形式。 四、数学运用 运用１ （１）例１ 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数 4，i +2，i -，i 31+-，i 23- 第二讲 复数的模及其几何意义 （一）复数模的运算 复数()R b a bi a ∈+,的模：z = ； 例1. 已知84z z i +=-，求复数z 。 例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ?的最值。 运算律： ； ； ； 例1：已知()()() 2321331i i i z --+=，则—z = 例2：复数()()()223321i a i a i z ---=，则3 2=z ，则a = （二）复数的几何意义 1. 复数加法，减法的运算的几何意义满足 ； 2. 21z z -表示复平面上 ； 例1：复平面内，说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形； （1）1z = （2）1z i -+=（3）4z i z i ++-= （4）|1|||z z i +=- 例2：（1）若 2=z ，则i z +-1的取值范围为 。 （2）已知C z ∈，且132=--i z ，求cos sin z i θθ--?的最大值和最小值。 （3）若 622=-++i z i z ，则i z 5-的取值范围为 。 （4）复平面内，曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为 。 例3：已知1z =，设2 1u z i =-+，求u 的取值范围。 例4：已知123,5z z ==，126z z +=，求12z z -的值。 （三）综合问题 例1. 已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ= +∈，2z 的虚部为2． （1）求复数z ； （2）设22 z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ? 的值． 复数几何意义的应用学案 一、复数相关知识 1.复数z a bi (a,b R)的几何意义是什么？ 2. I z I的几何意义是什么？ 3. 复数z1,z 2差的模I Z1-Z 2 I的几何意义是什么？ 二、轨迹问题 (一)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0, y0)为圆心，r(r 0)为半径的圆上任意一点，则点 Z(x,y)满足ZZ o r (r0) 1. 该圆向量形式的方程是什么 2. 该圆复数形式的方程是什么 3.该圆代数形式的方程是什么(二)椭圆的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于乙Z2 ) 的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任 意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZ22a (2a 乙Z?) 1.该椭圆向量形式的方程是什么 2.该椭圆复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ (三)双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数(小于乙Z2 )的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2, y2)为焦点，2a为实轴长的椭圆的上 任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZJ 2a （2a 乙Z2） 1.该双曲线向量形式的方程是什么 2.该双曲线复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a 0"那么点Z的轨迹是什么？ 复数的几何意义 一、教学目标： 1.理解复平面、实轴、虚轴等概念. 2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用. 3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系. 二、教学重点： 重点：理解并掌握复数的几何意义. 难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi =+的关系；复数模的问题. 三、教学过程 【使用说明与学法指导】 1.课前用20分钟预习课本P 104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学. 2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1. 复平面? 2.复数的几何意义？ 3.复数的模？ 4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i? 【合作探究】 问题1：复数与复平面内点的关系 1.复数2z i =对应的点在复平面的（ B ） A. 第一象限内 B. 实轴上 C. 虚轴上 D. 第四象限内 2.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ D ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.在复平面内表示复数()3z m =-+的点在直线y x =上，则实数m 的值为 9 . 4.已知复数() ()2232z x x x i =--+-在复平面内的对应点位于第二象限，求实数x 的取值范围. 解：23x << 问题2：复数与复平面内向量的关系 1.向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ +2OZ 对应的复数是 0 . 2. 复数43i +与25i --分别表示向量OA 与OB ，则向量AB 表示的复数是68i --. 3. 1.2复数的几何意义 课前预习学案 课前预习： 1、复数与复平面的点之间的对应关系 1、复数模的计算 2、共轭复数的概念及性质 4、 提出疑惑： 通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标： 1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系 2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质 学习过程 一、自主学习 阅读 课本相关内容，并完成下面题目 1、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的 2、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y 轴叫做 实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示 3、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数 ←???→一一对应复平面内的点 ←???→一一对应 平面向量 4、共轭复数 5、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模 二、探究以下问题 1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示 吗？ 2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？ 3、复数的几何意义你是怎样理解的？ 4、复数的模与向量的模有什么联系？ 5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？ 三、精讲点拨、有效训练 见教案 反思总结 1、你对复数的几何意义的理解 2、复数的模的运算及含义 3共轭复数及其性质 当堂检测 1、判断正误 （1） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 （2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2 （3） 若|z 1|= z 1，则z 1>0 2、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限 4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z [A 组 学业达标] 1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. 答案：C 2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2 解析：依题意可得 (m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A. 答案：A 3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 解析：由题意知????? m ＋3>0，m －1<0， 即－3 5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B.34－i C ．－34－i D.34＋i 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由复数相等的充要条件，得????? a ＋a 2＋ b 2＝2，b ＝1，解得??? a ＝34，b ＝1， 即z ＝34 ＋i. 答案：D 6．在复平面内，复数z ＝sin 2＋cos 2i 对应的点位于________象限． 解析：由π2<2<π，知sin 2>0，cos 2<0 ∴复数z 对应点(sin 2，cos 2)位于第四象限． 答案：第四 7．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________. 解析：复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)．所以z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i 8．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的 复数为________． 解析：因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝ (－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的 复数为－1－5i. 答案：－1－5i 3．1.2 复数的几何意义 预习课本P104～105，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？ (2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？ [新知初探] 1．复平面 2．复数的几何意义 . 3．复数的模 (1)定义：向量OZ ―→ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2 ＋b 2 (r ≥0，r ∈R)． [点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是 z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．已知复数z ＝i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(1,1) 答案：A 3．向量a ＝(1，－2)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i 答案：B 4．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________. 答案： 5 复数与点的对应关系 [典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a ＋3 ＋(a 2 －2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方． [解] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则????? a 2 －a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0， 解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方， 则? ?? ?? a 2 －2a －15＞0，a ＋3≠0， 即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3. [一题多变] 第三章数系的扩充与复数的引入 【课题】：3.1.2 复数的几何意义 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了. 【教学目标】： （1）知识与技能： 了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数； （2）过程与方法： 在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解； （3）情感态度与价值观： 培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。 【教学重点】： 复数的代数形式和复数的向量表示. 【教学难点】： 复数的向量表示. 【课前准备】： powerpoint课件 六、 作业 1、在复平面内，复数 2)31(1i i i +++对应的点位于 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、复数,111-++-= i i z 在复平面内，z 所对应的点在 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、 在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+= +=2,23,32,214321 对应的点 4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论. 解：因为 ︱1z ︱=52122= +，︱2z ︱=5，︱3z ︱=5，︱4z ︱=5， 所以，4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上. 4、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi （a ，b ∈R ）的点，分别指出在下列条件下点P 的位置： （！）a >0，b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0. 解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方 5、如果复数z 的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数z 对应的点应位于怎样的图形上？ 解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3） 6、已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求该复数z . 解：由已知，设)(3R a i a z ∈+ = 则.432 2=+ a 解得 ±=a 1. 所以 .31i z +±= 3.3复数的几何意义学案（含答案） 3.3复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴.虚轴.模等概念. 3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为，则向量的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，且，不共线，则a，b，c，d，由平面向量的坐标运算，得ac，bd，所以与复数acbdi 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形 法则作出与z1z2对应的向量如图图中对应复数z1，对应复数 z2，则对应复数z1z 2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数 z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1 第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6， x22x15也是实数1当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限 2zx2x6x22x15i对应点的坐标为Zx2x6，x22x15，当实数x满足 x2x6x22x1530，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在1虚轴上；2 第四象限解1当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上2当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部.虚部的取 复数·复数的减法及其几何意义·教案 教学目标 1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义． 2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则． 难点：对复数减法几何意义理解和应用． 教学过程设计 （一）引入新课 师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义） （二）复数减法 师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书） 1．复数减法法则 （1）规定：复数减法是加法逆运算； （2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推导这个法则呢？ 生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）． （学生口述，教师板书） （a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 师：说一下这样推导的想法和依据是什么？ 生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则． 师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题． 生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导． （学生口述，教师板书） 推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得 故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 师：这样推导每一步都有合理依据． 我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？ 生：仍是复数． 师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？ 生：不会． 师：这说明什么？ 生：两个复数的差是唯一确定的复数． 师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i． 教学设计 一、教学目标： 1.知识与技能：掌握复数的加法运算及理解其几何意义． 2.过程与方法：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义． 3.情感、态度与价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律． 二、教学重点和难点 教学重点掌握复数的加法与减法的运算法则及应用，难点是加减法的几何意义。 三、教学方法 使用多媒体教学辅助手段，从感性到理性的角度认识复数的加减运算，引导学生思考、探索、从解决问题的过程中建构新的知识体系。 四、教学过程 学情分析： 高二（5）班属普通中学艺术文科班，女生比例较大，学生基础普遍比较薄弱，学习习惯较差。学生受文科思维的影响，习惯于机械记忆，受文科学习方式的负面影响，文科学生 不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识，不重视思维训练，导致数学学习能力下降，心理压力增大，恶性循环。加之，经常要参加专业的培训课，而一段时间不能正常的进行文化课的学习，更使得学习数学的兴趣降低，信心不足，经常会出现一些非常低级的错误。因此培养学生良好的学习数学自信心与严谨的逻辑思维能力相当重要。从而在课堂上要给以学生不断的肯定和鼓励是非常重要的。 效果分析 本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。 （1）在复数的加法与减法中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：①当 b=0时，与实数加法法则一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③符合向量加法的平行四边形法则．这样讲解让学生对复数加法法则规定有更加正确的认识，从而接受复数加法法则。 （2）复数加法的向量运算讲解时，画出向量后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量），画出向量后，问与它对应的复数是什么，即求点Z的坐标（证法如教材所示）．让学生从数到形全面理解复数加法的的实质。 （3）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到当与在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便． （4）一开始，我想把复数的加减法则和几何意义一起讲完，再讲解复数代数形式的加减运算的例题，再练习。后来觉得复数加减的几何意义对于学生来讲可能一时比较难理解，所以讲完法则和运算律以后，紧跟例题和练习，这样安排，使学生觉得很容易接受，然后再来讲解几何意义，再跟进几何意义的练习，这里和预先想到的一样，学生在俩个复数差的绝对值的几何意义上遇到了困难。 （5）这节课设置的例题和练习题的难度都不算大，主要是考虑到我们学校艺术类文科学生，基础不太好，数学思维比较欠缺，学习数学的自信心不够足的实际情况而定的。由于新课之前事先发下了本节课的导学案，在课堂上进行的还是比较理想的。 3.3 复数的几何意义学案（苏教版高中数学选 修2-2） 3.3复数的几何意义复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴.虚轴.模等概念. 3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二 复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数zabi 的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|a2b 2.知识点三 复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应，且OZ1，OZ2 不共线，则OZ1a，b，OZ2c，d，由平面向量的坐标运算，得 OZ1OZ2ac，bd，所以OZ1OZ2与复数acbdi对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量如图图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1z 2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数 z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|ac2bd2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1 第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6， x22x15也是实数1当实数x满足x2x60，x22x150，即当3x0， x22x150，即当2x0，m23m280，解得m5，7m 4.即7m 复数代数形式的四则运算（教学设计）（1） §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标： 知识与技能目标： 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义 过程与方法目标： 培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。 情感、态度与价值观目标： 培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。 教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。 教学难点：复数加减法运算的几何意义。 教学过程： 一、复习回顾： 1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3、 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 二、师生互动、新课讲解： 1、复数代数形式的加减运算 （1）复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . （2）复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . （3）复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. （4）复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). ∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i ) =［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i =［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i . z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］ §3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质． 知识点一 复数代数形式的加减法 思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？ 答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 思考2 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 答案 不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小． 梳理 (1)运算法则 设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 是任意两个复数，那么(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i. (2)加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 知识点二 复数加减法的几何意义 思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→ 分别与复数a ＋bi ，c ＋di 对应， 则OZ 1→＝(a ，b)，OZ 2→ ＝(c ，d)， 由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→ ＝(a ＋c ，b ＋d)， 所以OZ 1→＋OZ 2→ 与复数(a ＋c)＋(b ＋d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？ 答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1―――→ 对应复数z 1－z 2. 梳理 3．1.2复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 知识点一复平面 思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 思考2判断下列命题的真假： ①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限． 梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做__________，x轴叫做________，y轴叫做________．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点二复数的几何意义 知识点三复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作 ______或________．由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝______(r ≥0，r ∈R )． 类型一 复数与复平面内的点的关系 例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在： (1)第三象限； (2)直线x －y －3＝0上． 引申探究 若例1中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上； (2)第四象限． 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 类型二 复数与复平面内的向量的关系 例2 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复 数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i 复数的几何意义 【教学重点】 理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 【教学难点】 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 【教学过程】 一、复习准备： 1．说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。 14,72,83,6,,20,7,0,03,3 i i i i i i i +-+---2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？ (4)(3)z x y i =++-,x y 3．若，试求的值，（呢？） (4)(3)2x y i i ++-=-,x y (4)(3)2x y i ++-≥二、讲授新课： 1．复数的几何意义： （1）讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到a 有序实数对或点的坐标）结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。 （2）复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。x y 复数与复平面内的点一一对应。 例1：在复平面内描出复数分别对应的点。 14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是） b bi 观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？ （3）实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。 思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。z a bi =+Z u u r O Z 2．应用 例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。 练习：在复平面内画出所对应的向量。 23,42,13,4,30i i i i i +--+--小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)
复数的几何意义--教案
第二讲 复数的模及其几何意义
复数几何意义的应用学案.
复数的几何意义 说课稿 教案 教学设计
3.1.2复数的几何意义(学、教案)
第三章 §3.1 3.1.2 复数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案)
(浙江专版)201X年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案 新人
3.1.2复数的几何意义 教案.doc教学设计
3.3复数的几何意义 学案(含答案)
复数 复数的减法及其几何意义 教案
高中数学_复数代数形式的加减运算教学设计学情分析教材分析课后反思
3.3 复数的几何意义 学案(苏教版高中数学选修2-2)
复数代数形式的四则运算
数学人教A版选修1-23.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
人教版数学高二学案复数的几何意义(2)
复数的几何意义优秀教学设计
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