[福建省福州一中2014届高三5月校质检数学理试题(WORD版)(7194152)

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福州一中2013-2014学年度校质检 高三数学理试题卷

2014.5

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分

(满分150分 考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.) 1. 已知命题p :x R ?∈,21x =.则p ?是

A .x R ??,21x ≠

B. x R ?∈,21x ≠ C .x R ??,21x ≠

D. x R ?∈,21x ≠

2. 设集合{}1,1M =-,{}

2

N a =,则“1a =”是“M

N M =”的

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A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分又不必要条件

3. 执行如图所示的程序框图,若输入A 的值为2,则输出的P 值为

A .2

B .3

C .4

D .5

4. 设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥??

-+≥??+-≤?

,则2z x y =+的最大值为

A.2-

B. 3

C. 4

D. 6

5. 在等差数列{}n a 中,已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于

A .40

B .42

C .43

D .45

6.

若sin 4πα??

+

= ?

?

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?,则sin 2α等于 A .

34 B .34- C .12 D .12

- 7. 函数()41

2

x x

f x +=的图象 A .关于y 轴对称 B .关于x 轴对称 C .关于直线y x =对称 D .关于原点对称

8. 已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则正确的结论是

A .平面ABC 必平行于α

B .平面AB

C 必与α相交

C .平面ABC 必不垂直于α

D .存在ABC ?的一条中位线平行于α或在α内 9. 已知共焦点的椭圆和双曲线,焦点为12,F F ,记它们其中的一个交点为P ,且

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12120F PF ∠=,则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为

A .1213

144e e += B. 22

1231144e e += C .2212

31

144e e += D.

2212

13144e e += 10.设12,,

,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥,为了表示这些子集,

作n 行n 列的数阵,规定第i 行与第j 列的数为0,,

1,,

j ij j i A a i A ???=?∈?? 则下列说法正确的个数是

①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =?; ②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =; ③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;

④数阵中所有的2

n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2

n 个数字之和不大于2

1n n -+.

A .2 B. 3 C .4 D. 5

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.若复数1i

z i

=

+,则z 的共轭复数z =___________. 12.已知多项式()()()2

2012111n

n n x x x b b x b x b x ++++++=+++

+,且满足

12n b b b +++

26=,则正整数n 的一个可能值为___________.

13.已知圆22:440C x y x y +--=

,直线60l y ++-=,在圆C 上任取一点

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A ,则点A 到 直线l 的距离小于2的概率为________.

14. 已知()ln ln 1x x x '=+,则

1

ln e

xdx =?

___________.

15.已知两个非零向量a 和b 所成的角为()0θθπ≤≤,规定向量c a b =?,满足: (1)模:sin c a b θ=;

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(2)方向:向量c 的方向垂直于向量a 和b (向量a 和b 构成的平面),且符合“右手定则”:用右手的四指表示向量a

的方向,然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量b 的方向,大拇指所指的方向就是向量c 的方向.

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这样的运算就叫向量的叉乘,又叫外积、向量积. 对于向量的叉乘运算,下列说法正确的是___________.

①0a a ?=; ②0a b ?=等价于a 和b 共线; ③叉乘运算满足交换律,即a b b a ?=?;

④叉乘运算满足数乘结合律,即()()()

a b a b a b λλλ?=?=?.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分)

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学所需时间的范围是[]100,0,样本数据分组

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为[)20,0,[)40,20,[)60,40,[)80,60,[]100,80,学校规定上学所需时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿. (Ⅰ)求频率分布直方图中x 的值;

(Ⅱ)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数;

(Ⅲ)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,从可以住宿的学生当中随机抽取3人,记ξ为其中上学所需时间不低于80分钟的人数,求ξ的分布列及其数学期望.

17. (本小题满分13分)

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已知几何体A BCED -的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形. (Ⅰ)求二面角E AD B --的余弦值;

(Ⅱ)试探究在棱DE 上是否存在点Q ,使得 AQ BQ ⊥,若存在,求出DQ 的长;若不存在,请说明说明理由.

18. (本小题满分13分)

如图,直角三角形ABC 中,90B ∠=,1,AB BC ==,M N 分别在边AB 和AC

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上(M 点和B 点不重合),将A

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M N ?沿MN 翻折,AMN ?变为A MN '?,使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=. (Ⅰ)用θ表示线段AM 的长度,并写出θ的取值范围; (Ⅱ)求线段A N '长度的最小值.

19. (本小题满分13分)

已知抛物线C 的顶点为坐标原点,其焦点()(),00F c c >到直线

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l :20x y -+=

的距离为

2

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. (Ⅰ)求抛物线C 的方程;

(Ⅱ)若M 是抛物线C 上异于原点的任意一点,圆M 与y 轴相切. (i )试证:存在一定圆N 与圆M 相外切,并求出圆N 的方程;

(ii )若点P 是直线l 上任意一点,,A B 是圆N 上两点,且AB BN λ=,求PA PB ?的取值范围.

20. (本小题满分14分)

已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. (Ⅰ)求实数a 的值;

(Ⅱ)若k Z ∈,且()f x kx k >-对任意1x >恒成立,求k 的最大值; (III )若()*

2ln 23ln 3ln 3,k a k k k k N

=++

+≥∈,证明:3

1

1n

k k

a

=<∑()*,n k n N ≥∈.

21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵241

3M ??= ??

?,2010N ??

= ???

, (Ⅰ)求二阶矩阵X ,使MX N =;

(Ⅱ)求圆221x y +=在矩阵X 变换下的曲线方程.

(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为

:()24x t y ?

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=-???

?=-+??

是参数

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,直线l 与曲线C 分别交于,M N . (Ⅰ)写出曲线C 和直线l 的普通方程;

(Ⅱ)若,,PM MN PN 成等比数列,求a 的值.

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(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 已知,a b 为正实数.

(Ⅰ)求证:22a b a b b a

+≥+;

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论求函数()()2

21011x x y x x

x

-=

+<<-的最小值.

福州一中高考模拟数学试卷(2014年5月)参考答案(理科)

一.选择题

BACDB BADCC 二.填空题 11.

12

i

-;12. 4;13. 14;14. 1;15. ①②④

三.解答题

16.解:(I )由直方图可得:

200.025200.0065200.0032201x ?+?+?+??=.

所以0.0125x =. …………………………………3分 (II )设中位数为y ,则

()200.0125200.0250.5y ?+-?=,

解得30y =

所以中位数估计为30分钟. .……………6分 (III )依题意得13,2B ξ

??

???

,ξ的所有可能取值为0,1,2,3, .……………7分 ()()3

3

1311

02813128

P P C ξξ??===

?????=== ?

??

()32313228P C ξ??=== ??? ()3

11

328

P ξ??=== ???.……………11分

所以ξ的分布列为

ξ

0 1

2 3

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P 18 38 38 18 所以ξ的数学期望是13

322

E ξ=?=..……………13分

17. 解:(I )由三视图知,,,CA CB CE 两两两垂直,以C 为原点,以,,CA CB CE

所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.……………1分 则A (4,0,0),B (0,4,0),D (0,4,1),E (0,0,4)

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∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-,

()()4,4,1,0,0,1DA BD =--=……………3分

设面ADE 的法向量为(),,n x y z =,面ABD 的法向量为(),,m x y z '''=

则有00

n DE n DA ??=???=??,即430440y z x y z -+=??--=?,取1z =得31,,14n ??= ???,

m AB m BD ??=???=??,即4400x y z -+=??

=?,取1x =得()1,1,0m =,……………… 6分 设二面角E AD B --的大小为θ,由图可知θ为钝角

故31cos cos ,41n m

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n m n m

θ+?=-

=-=-

= ∴二面角E AD B --的余弦值为82

-

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.…………………………… 8分 (II )∵点Q 在棱DE 上,∴存在()01λλ≤≤使得DQ DE λ=………………… 9分

()()()0,0,10,4,30,4,31BQ BD DQ BD DE λλλλ∴=+=+=+-=-+

同理()4,44,31AQ λλ=--+………………… 11分

,0AQ BQ AQ BQ ⊥∴?=

即()()()2

444+3+1=0λλλ-- 解得15

λ=

所以满足题设的点Q 存在,DQ 的长为1.…………………………13分 18. 解:(I )设MA MA x '==,则1MB x =-. 在Rt MBA '?中,()1cos 2x

x

πθ--=

, …………………………………2分 x

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∴211

1cos22sin MA x θθ

==

=-. …………………………………4分

∵点M 在线段AB 上,M 点和B 点不重合,A '点和B 点不重合,

∴42ππθ??

∈ ???

,.…………………………………5分

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(II )在AMN ?中,23

ANM π

θ∠=- 2sin sin 3AN MA

πθθ=

??

- ?

??

, 21

sin sin 12sin 222sin sin 2sin sin 333MA AN θθθθθθθ?==

=??????--- ? ? ?

??????

.…………… 8分

令2212sin sin 2sin sin sin cos 32t πθθθθθθθθ????

=-=+=+ ?

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?????

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1112cos2sin 22226πθθθ?

?=

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+-=+- ???………………… 11分 ∵42ππθ<<, ∴52366

πππθ<-<. 当且仅当262ππθ-=,即3

π

θ=时, t 有最大值32.

∴3

π

θ=时,AN '有最小值23.………………… 13分

19.解:(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为

24y cx =,

2

=

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结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. …………4分

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(Ⅱ) (i )设圆M 与y 轴的切点是点M ',连结MM '交抛物线C 的准线于点M '',则1M MF MM r ''==+,所以圆M 与以F 为焦点,1为半

径的圆相切,圆N 即为圆F ,圆N 的方程为()2

2

11x y -+=; (8)

(ii)由AB BN λ=可知,AB 为圆N 直径,…………9分 从而

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()()

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(

)

2

2

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211272

PA PB PN NA PN NB

PN PN NA NB NA NB PN ?=+?+=+?++?=-?≥- ??=

所以PA PB ?的取值范围是

7,2??+∞????

.…………13分 20.解:(I )因为()ln f x ax x x =+,所以()ln 1f x a x '=++.………………… 1分 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3, 所以()e 3f '=,即ln e 13a ++=. 所以1a =.………………… 2分

(II )由(1)知,()ln f x x x x =+,

所以()1

f x k x <-对任意1x >恒成立,即ln 1x x x

k x +<-对任意1x >恒成立.………………… 3分

令()ln 1

x x x

g x x +=-,

则()()

2

ln 2

1x x g x x --'=

-,………………… 4分

令()ln 2h x x x =--()1x >, 则()1110x h x x x

-'=-

=>, 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增.………………… 5分 因为()()31ln30,422ln20h h =-<=->,

所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ,且满足()03,4x ∈.

当01()0x x h x <<<时,,即()0g x '<,当0()0x x h x >>时,,即()0g x '>,6分 所以函数()ln 1

x x x

g x x +=

-在()01,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增.

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所以()()()()

()000000min

001ln 123,411

x x x x g x g x x x x ++-==

==∈????

--.……… 7分

所以()()0min 3,4k g x x <=∈????. 故整数k 的最大值是3.………………… 8分

(III )由(II )知()ln 231x x x x >->,取()

*

2,x k k k N =≥∈,则有

2ln 2223,3ln3233,

,ln 23k k k >?->?->?-

将上面各式相加得

()()()2

22ln 23ln 3ln 22331211k k k k k k k ++

+>+++--=-+=-

即()2

1k a k >-,故

()()()211131(2)

1k k a k k k <=≥---,所以 ()()

3

3

1

11111

1223

1211111 1223211

11

1n

k k

n a

a a n n n n n ==

++

<+++

??--=-

+-++

-

--=-

-<∑

…………………14分

21.(1)解:(Ⅰ)法1:由于24

213=,∴M -1=13221

12M -??

- ?= ? ?-??

, ∴1

X M N -==32201021100012??

- ?????= ? ? ?????

?-??

;…………………3分 (Ⅱ)设圆上任意一点(),x y 在矩阵1

M -对应的变换作用下变为(),x y ''则

10000x x x y y '????????== ??? ? ?

'????????

则0x x y '=??'=?, 所以作用后的曲线方程为0(11)y x =-#.…………………7分

(2)解:(Ⅰ)2,22-==x y ax y …………………4分 (Ⅱ)直线l 的参数方程为???

?

??

?

+-=+-=t y t x 2

242

2

2(t 为参数),代入ax y 22=得到

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0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=?+=+,因为

2

MN PM PN =,所以()2

1212t t t t -=,即()2

12125t t t t += ,即()()2

84404a a +=+

解得1=a …………………7分 (3)(Ⅰ)证明:0,0a b >>,由柯西不等式得

(

)()222

a b b a a b b a ??++≥+=+ ???

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[福建省福州一中2014届高三5月校质检数学理试题(WORD版)(7194152)

=

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,即a b =. 所以

22

a b a b b a

+≥+.…………………4分 (Ⅱ)解:

01,10x x <<∴->

由(Ⅰ)知,()2

2

1111x x y x x x

x

-=

+≥-+=-, 当且仅当1x x -=,即1

2

x =

时等号成立. 所以函数()()2

2

1011x x y x x

x

-=

+<<-的最小值为1. …………………7分

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