15.3 分式方程
第1课时分式方程及其解法
【知识与技能】
1.理解分式方程的意义；
2.掌握解分式方程的基本思路和解法；
3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法.
【过程与方法】
通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识.
【情感态度】
在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.
【教学重点】
解分式方程的基本思路和解法.
【教学难点】
理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义.
一、情境导入,初步认识
问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？
【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.
思考 (1)方程
9060
3030
v v
=
+-
与以往学过的方程有什么不同之处？
（2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？
（3）怎样解分式方程
9060 3030
v v
=
+-
呢？
【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析.
二、思考探究,获取新知
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v
=+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得
90(30-v)=60（30+v ）.
解得v=6.
检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解.
试一试 解方程2110525
x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么
90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525
x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根.
【归纳结论】
一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解.
三、典例精析,掌握新知
例1解方程233x x
=- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得
2x=3(x-3).
解得x=9.
检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解.
例2解方程()
31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得
x （x+2）-（x-1）(x+2)=3
化简,得x+2=3.
解得x=1.
检验：把x=1代入(x-1)(x+2)=0,x=1不是原分式方程的解,原分式方程无解.
【教学说明】两例都可以让学生自主完成,教师巡视,注意学生的解题格式和解题过程,发现问题,及时点拨,使学生掌握解分式方程的方法.
四、运用新知,深化理解
解下列方程：
【教学说明】学生独立完成,选三名同学上黑板解答,教师巡视,对有困难同学给予帮助,鼓励他们努力完成解答,然后全班同学评析三位上黑板同学的解答,吸取经验,总结问题,帮助自己完善认知.若有时间,教师可引导学生做教材P150练习以帮助学生熟练地解分式方程.
【答案】（1）解：方程两边同时乘以x（x-6）,得x-6＝7x,解得,x＝-1.
检验：当x=-1时,x(x-6)≠0,x=-1是原分式方程的解.
（2）解：方程两边同时乘以（x-1）,得x＝4+3（x-1）,解得x＝-1
2 .
检验：当x=-1
2
时,x-1≠0.x=-
1
2
是原分式方程的解.
（3）方程可化简为：
31
22
x x x x
+
-+
＝
（）（）
,两边同乘以x（x-2）（x+2）,得3（x+2）
+（x-2）=0,得x＝-1.
检验：当x=-1时,x(x-2)(x+2)≠0,x=-1是原分式方程的解.
五、师生互动,课堂小结
1.解分式方程的一般步骤是什么？
2.解分式方程时为什么要检验,说说你的看法.
1.布置作业：从教材“习题15.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
在本课的教学过程中,应从这样的几个方面入手：
（1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：①方程式里必须有分式,②分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件.同时,由于分母中含有未知数,所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意
义,否则,这个根就是原方程的增根.正是由于分式方程与整式方程的区别,在解分式方程时必须进行检验.
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母,约去分母,就可以转化为整式方程来解,教学时应充分渗透这种化归思想.
（3）解分式方程时,如果分母是多项式时,应先写出将分母进行因式分解的步骤,从而让学生准确无误地找出最简公分母.
另外,对分式方程可能产生增根的原因,要启发学生认真思考和讨论.