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北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一）
数 学 2020.5
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =I
(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}
2
(2) 函数22
()1
x f x x -=
+的定义域为 (A) -(,]12 (B) [,)2+∞ (C) -(,)[,)11+-∞∞U (D) -(,)[,)12+-∞∞U (3) 已知
2
1i ()1i
a +a =-∈R ，则a =
(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-
(4) 若双曲线2
2
2:1(0)-=>y C x b b
的一条渐近线与直线21=+y x 平行，则b 的值为
(A) 1 (B)
2 (C)
3 (D) 2 (5) 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视 图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为 (A)
4 (B)6
(C)8
(D)12
(6) 已知1x <-，那么在下列不等式中，不．
成立的是 (A) 210x -> (B) 1
2x x
+
<- 正（主）
侧（左）
俯视
(C) sin 0x x -> (D) cos 0x x +>
(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(,
13
22
，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(
)312 (B) (-132
(C) ()31
2
(D) ()-312
(8) 已知三角形ABC ，那么“+AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uuu r
>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的
(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(9) 设O 为坐标原点，点(,)10A ，动点P 在抛物线y x =22上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为
(A) (0]，1 (B) 2(02， (C) 2
(02
， (D)
2
[
)+∞
(10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：
(A) 若在12t t ，时刻满足：12()=()y t y t ，则12()=()x t x t ；
(B) 如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降；
(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值； (D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量
也会达到最大值.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11) 已知向量(,),(,),(,)11223==-=m a b c ，若a b -与c 共线，则实数m = . (12) 在62
()x x +的展开式中常数项为 . (用数字作答)
(13) 圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为___.
(14) ABC V 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，27BD =，则CD = ，
sin ABD ∠= .
(15) 设函数(1),
0,()22,0.x a a x
a x x f x x --+
给出下列四个结论： ① 对0?>a ，t ?∈R ，使得()f x t =无解；
② 对0?>t ，a ?∈R ，使得()f x t =有两解； ③ 当0a <时，0t ?>，使得()f x t =有解； ④ 当2a >时，t ?∈R ，使得()f x t =有三解.
其中，所有正确结论的序号是 .
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 分，不选或有错选得0分，其他得3 分。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)（本小题14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =． （Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；
（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小.
(17)（本小题14分）
已知函数ππ()sin()cos ()(f x a x x a =--+>2220)66
，且满足 . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于x 的方程()f x =1在区间[,0m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围.
从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图
象过点π(,0)6
这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
(18)（本小题14分）
中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“g ” 表示北斗二代定位模块的误差的值， “+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位:米） （Ⅰ）从北斗二代定位的50
点横坐标误差的值大于10米的概率； （Ⅱ）从图中A,B,C,D 其中纵坐标误差的值小于4-列和数学期望；
方差的大小.（结论不要求证明）
(19) （本小题14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，它的上，下顶点分别为A ，B ，
左，右焦点分别为1F ，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线12,l l ，与椭圆E 分别交于点,,,C D M N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.
(20) （本小题15分）
已知函数()(ln )f x x x ax =-(a ∈R ).
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.
(21)（本小题14分）
数列123n A x x x x L L ：，，，，，，对于给定的+(1N )t t t ，>∈，记满足不等式：
+()(N )n t x x t n t n n t ，*-≥-?∈≠的*t 构成的集合为()T t .
（Ⅰ）若数列2
=n A x n ：，写出集合(2)T ；
（Ⅱ）如果()T t +(N 1)t t ，∈>均为相同的单元素集合，求证：数列12n x x x ，，
，，L L 为等差数列； （III) 如果()T t +(N 1)t t ，∈>为单元素集合，那么数列12n x x x ，，
，，L L 还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准 2020.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）B （3）A （4）D （5）A （6）D （7）C （8）B （9）C （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）3 （12）160 （13）22
1
(1)2
x y -+= （14）3212，（15）③④
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)（本小题14分）
解：（Ⅰ）如图，因为 四边形ABCD 为平行四边形，
所以 //AD BC ，
因为 BC ?平面PBC ，AD ?平面PBC ，
所以 //AD 平面PBC ． …………6分 （Ⅱ）取C 为坐标原点，过点C 的PD 平行线为z 轴，
依题意建立如图所示的空间直角坐标系-C xyz ． 由题意得，(0,1,1)P -，(1,0,0)A ，(0,0,0)C ，(1,1,0)B ． 所以(0,1,1)PC ??→
=-，(1,1,0)CB ??→
=，(1,0,0)??→
=-AC ． 设平面PBC 的法向量为(,,)n =x y z ，
则 0,0,
n n ??
→
?=??
??=?PC CB
即0,0.-=??+=?
y z x y
令1=-y ，则1=x ，1=-z ． 所以 (1,1,1)n =--．
因为ABCD 为平行四边形，且AB AC ⊥， 所以 ⊥CD AC ． 因为PD ⊥面ABCD ， 所以 ⊥PD AC ． 又因为=I CD PD D ， 所以⊥AC 面PDC ．
所以 平面PDC 的法向量为=(1,0,0)-uuu r
AC ，
所以
cos ,||||
n n n ???==AC AC AC uuu r
uuu r uuu r
由题意可知二面角--D PC B 的平面角为钝角，
所以二面角--D PC B
余弦值的大小为 ………………………………14分 (17)（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为ππ
()sin()cos ()66f x a x x =--+-221
ππ
sin()cos()3πππ
sin()cos[()+]662
π
()sin()6
a x x a x x a x =--+-=----=+--221
6221121
所以 函数()f x 的最小正周期πT =.
因为 a >0，所以函数()f x 的最大值和最小值分别为,a a --2. 若选①，则a =1 ，函数π()2sin(2)16
f x x =--；
若选②，则-3为函数()f x 的最小值，从而a =1 ，函数π()2sin(2)16
f x x =--；
选③，ππ(1)sin(2)1166a +?
--=，从而a =1 ，函数π
()2sin(2)1
6f x x =-- .
……8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()f x 的最大值为1；
因为 关于x 的方程()f x =1在区间[,]m 0上有两个不同解，
当[,]x m ∈0时， πππ
[,]666
x m -
∈--22. 所以5ππ9π262m -<≤2，解得4π7π33
m <≤.
所以，实数
m 的取值范围是
4π7π
[
,)33
. ………………………………14分 (18)（本小题14分）
解（Ⅰ）由图知，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，
所以 从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为3
0.0650
=. …………4分
（Ⅱ）由图知, A B C D ，，，四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点: C D ，.
所以 X 所有可能取值为0,1,2.
2241
(0)6===C P X C ,
1122242
(1)3C C P X C ===,
22241
(2)6
C P X C ===.
所以 X 的期望121
0121636
EX =?+?+?=. …………12分
（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代. …………14分
(19) （本小题14分）
解：（Ⅰ）因为 22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，
所以 2
2
2
a b c =+.
因为 四边形12AF BF 为正方形，且面积为2, 所以 22b c =，
1
(2)(2)22
b c ?=. 所以 1b c ==，2
2
2
2a b c =+=. 所以 椭圆
2
2:12
x E y +=. …………4分
（Ⅱ）设平行直线1:l y kx m =+，2:l y kx m =-，
不妨设直线y kx m =+与2
212
x y +=交于()()1122,,,C x y D x y ，
由22
12x y y kx m ?+=???=+?
，得()22
22x kx m ++=， 化简得：()
222214220k x kmx m +++-=，
其中 22222(4)4(21)(22)16880km k m k m ?=-?+?-=-+>，即2221m k <+.
所以 122421
km
x x k +=-+，21222221m x x k -=+，
由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知OC OD ⊥， 所以 12120x x y y +=，11y kx m =+，22y kx m =+，
()()()()()
22
121212122
2222222222222222222122142121
22224221
32221x x y y k x x km x x m m
k k m m k k k m m k k m k m m k m k k +=++++-+-++=
++---++=
+--=
+，
所以 22322m k =+.
||CD
=
=
≤
所以
当且仅当k =时，||CD
此时 四边形CDMN
周长最大值为 …………14分
(20)（本小题15分）
解：（Ⅰ）当1a =时，()ln 21f x x x '=-+，
所以(1)1f '=-. 又因为(1)1f =-，
所以 切线方程为()11y x +=--，即
0x y +=. …………4分
（Ⅱ）()ln 21f x x ax '=-+，
设 ()ln 21g x x ax =-+，
当0a ≤时,易证()g x 在()0+∞，
单调递增，不合题意. 当0a >时 ()1
2g x a x '=
-， 令()0g x '=，得1
2x a
=，
当10,
2x a ??∈ ???时，()0g x '>，()g x 在10,2a ?? ???
上单调递增， 当1,+2x a ??∈∞
???时，()0g x '<，()g x 在1,2a ??
+∞ ???
上单调递减， 所以 ()g x 在12x a =
处取得极大值11ln 22g a a ??
= ?
??
. 依题意，函数()ln 21g x x ax =-+有两个零点， 则11ln 0,22g a a ??
=>
?
??
即112a >， 解得 102a <<
.
又由于1112e a <<，11=20g a e e ??-?< ???
，12212a
e a +>，
由2
1(0)x e x x >+>得
1
122222111()22122(2)111100
222a
a g e
a e a a a a a ++??
=+-?+<+-?+++=--
实数a 的取值范围为1
02
a <<
时，()f x 有两个极值点. …………13分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当1a >时， 111()ln ln 0222g x g a a ??
<=<<
???
， 所以()f x 在(0+)∞，上单调递减，
()f x 在区间(]0,2a 上的最小值为2(2)2(ln 22)f a a a a =-. ………
15分
(21)（本小题14分）
解：（Ⅰ）由于2
=n A x n ：，(2)T 为满足不等式+()(N )n t x x t n t n *-≥-?∈的*t 构成的集合，
所以 有：2+4(2)(N ,)*
-≥-?∈≠n t n n n t ， 当 2n >时，上式可化为+2n t *≥，
所以 5t *≥.
当 =1n 时，上式可化为3t *≤.
所以 (2)T 为[35]，. …………4分
（Ⅱ）对于数列123n A x x x x L L ：，，，
，，，若()T t +(N 1)t t ，?∈>中均只有同一个元素，不妨设为a . 下面证明数列A 为等差数列.
当 =+1n t 时，有1(1)(1)t t x x a t +-≥?>L L ； 当 =1n t -时，有1(1)(2)t t x x a t --≤?>L L ； 由于(1)，(2)两式对任意大于1的整数均成立，
所以 有1=(1)t t x x a t +-?>成立，从而数列12n x x x ，，，
，L L 为等差数列. …………8分 （III) 对于数列123n A x x x x L L ：，，，
，，，不妨设{}()T i a =，{}()T j b =，1i j a b <<≠，， 由{}()T i a =可知：()j i x x a j i -≥-，
由{}()T j b =可知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-， 从而()()j i a j i x x b j i -≤-≤-， 所以a b ≤.
设()T i {}i t =，则 23n t t t ≤≤≤≤L L ， 这说明如果1i j <<，则i j t t ≤.
因为对于数列123n A x x x x L L ：，，，
，，，()T t +(N 1)t t ，?∈>中均只有一个元素， 首先考察=2t 时的情况，不妨设21x x >， 因为212x x t -≤，又()T 2为单元素集， 所以212x x t -=.
再证332t x x =-，证明如下： 由3t 的定义可知：332t x x ≥-，31
32
x x t -≥
， 所以3
1332max 2x x t x x ，-??
=-????
又由2t 的定义可知32221=x x t x x -≥-， 所以322131
33222
=x x x x x x t x x -+--≥-≥，
所以 323x x t -=.
若32t t > ， 即3322t x x t =->，
则存在正整数(4)m m ≥，使得22(2)m m t x x -=-(3)L L ， 由于212323431k k k x x t x x t x x x x t --=≤-≤≤-≤≤-≤≤L L 所以 21
123
3
()(2)m
m
m i
i i i i x x x x
t m t --==-=-≥>-∑∑，这与(3)矛盾.
所以 32t t =.
同理可证2345t t t t ====L ，
即数列123n A x x x x L L ：，，，
，，，为等差数列. …………14分