宁夏银川市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题
数学（理）
一、选择题(每小题5分,共60分)
1．对于命题:p x R ?∈，使得2
10x x ++<，则p ?是（ ）
A ．:p x R ??∈，210x x ++≥
B ．:p x R ??∈，210x x ++≠
C ．:p x R ??∈，210x x ++>
D ．:p x R ??∈，210x x ++<
2．为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革。学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性 ( ) A ．都相等，且为
181 B ．不全相等 C ．都相等，且为923
50 D ．都不相等 3．“57m <<”是“方程22
175
x y m m +=--表示椭圆”的 ( )
A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．某同学10次数学检测成绩统计如下：95,97,94,93,95,97, 97,96,94,93，设这组数的平均数为a ，中位数为b ，众 数为c ，则有( )
A ．c b a >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4, 则输出s 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．10
6．若抛物线)0(22
>=p px y 的焦点是椭圆142
2=+p
y p x 的一个焦点，则=p （ ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
7．已知双曲线12222=-b y a x 的离心率为5
13
，则它的渐近线为（ ）
A ．513y x =±
B ．135y x =±
C ．125y x =±
D ．512
y x =± 8．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示 的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同 学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分 且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均 成绩的概率为（ ）
A ．
53 B ．95
C ．52
D ．4
3
9．已知曲线12
2=+b
y a x 和直线01=++by ax （b a ,为非零实数）在同一坐标系中，它们的图象可能为
（ ）
10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(3,2)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ?周长的
最小值为（ ） A ．4
B ．5
C ．4+22
D ．511．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启
发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对),(y x ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对),(y x 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是56=m ，那么可以估计π≈（ ） A ．25
78 B ．1756
C ．
7
22
D ．
928
12．已知点A 是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足
PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A ．
21
2
B 31
C ．
51
2
D ．21 二、填空题（每小题5分，共20分）
13．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名
学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是__________.
14．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是8，标准差是2，则=xy __________.
15．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2
2＋y 2
＝1的左、右焦点，过F 2作倾斜角为π4
的直线交椭圆于A 、B 两点，则
△F 1AB 的面积为__________.
16．过抛物线x y 42
=的焦点F 作直线与抛物线交于B A ,两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦AB 中点
的轨迹方程为__________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分）
在平面直角坐标系中,记满足3,3≤≤q p 的点()q p ,形成区域A .
(1)若点()q p ,的横、纵坐标均在集合{
}5,4,3,2,1中随机选择，求点()q p ,落在区域A 内的概率
(2)点()q p ,落在区域A 内均匀出现，求方程022=+-q x x 有两个不相等实数根的概率
18.（12分）
已知命题p ：方程22
12x y m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：R x ∈?,不等式22230x mx m +++>恒成立.
（1）若“q ?”是真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.
19．（12分）
某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（x 元）试销1天，得到如表单价x （元）与销量y （册）数据： 单价x （元） 18 19 20 21 22 销量y （册） 61
56
50
48
45
(1)根据表中数据，请建立y 关于x 的回归直线方程：
(2)预计今后的销售中，销量y （册）与单价x （元）服从（l ）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
附：1
2
21
?n
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx ==-=-∑∑，??a
y bx =-，5
1
5160i i
i x y
==∑，5
21
2010i i x ==∑
20．(12分)
2018年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同
地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分
不低于90分 满意度等级 不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有680人．
(1)求频率分布于直方图中a 的值，及评分等级不满意的人数；
(2)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.
?
?
? ??
=100: 满意程度的平均分满意率注
21．(12分)
抛物线x y 42
=的焦点为F ，斜率为正的直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点，满足FB AF 2=．
(1)求直线l 的斜率；
(2)过焦点F 与l 垂直的直线交抛物线于D C 、两点，求四边形ABCD 的面积． 22．(12分)
已知椭圆22
:194
x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.
(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；
(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.
答案
一、选择题：(每小题5分，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
B
D
C
D
C
A
C
C
A
D
13.7 14. 60 15. 3
4
16. )1(22-=x y 三、解答题：
17．试题解析：（1）根据题意，点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中，即如图所在正方形区域， 其中p 、q 都是整数的点有6×6=36个，
点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x 、y 都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3， 点M （x ，y ）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点， 所以点M （x ，y ）落在上述区域的概率4
16691=?=
p （2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36； 若方程022=+-q x x 有两个实数根，则有△=4-4q>0， 解可得q<1，表示q=1下方的部分，其面积为24，
即方程022
=+-q x x 有两个实数根的概率，3
236242==
P 18．解：（Ⅰ）因为对任意实数x 不等式2
2230x mx m +++>恒成立，
所以0)32(442
<+-=?m m ，解得 31<<-m ，．…………2分
又“
q ”是真命题等价于“q ”是假命题，
．…………3分 所以所求实数m 的取值范围是(][)∞+-∞-，
31, ．…………4分 （Ⅱ）20122
2<<=+m x m y x 轴上的椭圆，所以表示焦点在因为方程，……6分 恰有一真一假”为真命题，等价于”为假命题，““q p q p q p ,∨∧，………7分
??
?≥-≤<<3
12
0m m m q p 或假时，真当，无解…………9分 32,013
12
,0<≤≤<-??
?<<-≥≤m m m m m q p 或，则或真时，假当，…………11分
(][)3,20,1 -的取值范围是综上所述，实数m ．…………12分
19.解：（1）1819202122205x ++++=
=，6156504845
525
y ++++==
5
1
5160i i
i x y
==∑，5
21
2010i i x ==∑
1
22
1
?n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx =-=-=-∑∑251605205240
4201052010
-??-=
==--?，
??52(4)20132a
y bx =-=--?= 所以y 对x 的回归直线方程为：??4132y
x =-+． （2）设获得的利润为W ，
2(12)41801584W x y x x =-=-+-，
因为二次函数241801584W x x =-+-的开口向下， 所以当22.5x =时，W 取最大值，
所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．
（1）由频率分布直方图知，
0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++= 由100.075)1a ?
+=（解得0.025a =， 设总共调查了N 个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N ??+=，解得2000N =人.
不满意的频率为10(0.0020.004)0.06?+=，所以共有20000.06120?=人，即不满意的人数为120人. .（2）所选样本满意程度的平均得分为：
450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7?+?+?+?+?+?=，
估计市民满意程度的平均得分为80.7， 所以市民满意指数为
80.7
0.8070.8100
=>，
故该项目能通过验收.
21.（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设()11,A x y ， ()22,B x y ，所以124y y m +=， 124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得．8
1
2=m 与又 4
2
,0=∴>m m 所以直线AB 的斜率是22=AB k ． (2)CD AB ⊥
∴直线CD 的斜率
42-=CD k 直线CD 的方程)
1(4
2
--=x y ，将直线CD 的方程与抛物线的方程联立,
消去y 得：01342=+-x x 设()),(,,4
433y x D y x C
3443=+x x 3623443=+=++=∴p x x CD
由（1）知
2421==+m y y
2
522422)(2121=+?=
++=+∴y y m x x 2
922521=
+=++=p x x AB
81
362
9
2121=??=?=CD AB S ABCD 22.设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22
:194
x y C +=上，
故22
11222219419
4x y x y ?+=????+=??22222121094x x y y --?+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+ 故直线l 的方程为()4
11491309
y x x y -=-
-?+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()12
1202101020
0660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=
+=?--+--=--
即()()12012026120x x x x x x -+++=①
联立()()2
2
2222
149108936360946x y k x k x k y k x ?+=??+-+?-=??=-?，则2
1222
12
2108499363649k x x k k x x k ?+=??+??-?=?+?
将其代入①得()()22
20003546964902
k k x x k x --+++=?=
故0x 的值为
32