作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。
可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’；
迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6
（1）
=
（2）
=
Jacobi迭代法：
流程图
开
始
判断b中的最大值
有没有比误差大
给x赋初值
进行迭代
求出x，弱到100次还没到，警告不收
结束
程序
clear;clc;
A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5];
b=[1;4;3];
e=1e-6;
x0=[0;0;0]';
n=length(A);
x=zeros(n,1);
k=0;
r=max(abs(b));
while r>e
for i=1:n
d=A(i,i);
if abs(d) warning('矩阵A输入有误'); return; end sum=0; for j=1:n if j~=i sum=sum+A(i,j)*x0(j); end end x1(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end k=k+1; r=max(abs(x1-x0)); x0=x1; fprintf('第%d次迭代：',k) fprintf('\n与上次计算结果的距离:%f \n',r) disp(x1); if k>100 warning('不收敛'); end end x=x0; 程序结果（1） （2） Gauss-Seidel迭代法： 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if i L(i,j)=A(i,j); end if i>j U(i,j)=A(i,j); end end end for i=1:n%初始化D D(i,i)=A(i,i); end G=-inv(D+L)*U;%初始化G d=(D+L)\b;%初始化d %迭代开始 x1=x; x2=G*x+d; while norm(x2-x1,inf)>10^(-6) x1=x2; x2=G*x2+d; N=N+1; end x=x2; 程序结果 （1）（2） 牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。 牛顿插值法C程序 程序框图#include 华北科技学院上机报告 系（部） 专业、班级 学号 课程名称数值分析 上机题目实验六，实验七 任课教师 指导教师 成绩（优、良、中、及格、不及格） 华北科技学院基础部 实验六 解线性方程组的迭代法 1.目的与要求： 1） 熟悉求解线性方程组的有关理论哈方法。 2） 会编制雅可比迭代和高斯—塞得尔迭代法。 3） 通过实际计算，进一步了解各算法的优缺点，选择合适的数值方法。 2．雅可比迭代法 算法 设方程组AX=b 的系数矩阵的对角元素0(1,2, ,),ii i n a ≠=M 为迭代次数容许的最大值,ε 为容许误差. ① 取初始向量(0)(0)(0),(,,,)12T x x x x n =令k=0; ② 对1,2,,i n =计算 (1) ()11();n k k i i ij j j ii j i x b a x a +=≠= -∑ ③ 如果 (1)() 1 ,n k k i i i x x ε+=-<∑则输出(1) k x +,结束;否则执行④, ④ 如果,k M ≥则不收敛,终止程序;否则1,k k ←+转②. 1.分别用雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法解下列方程组: 2),311300010000 151335901100002709311000000 230010793000090,0 00305770502000007473000120000030410070000500272700 2 2910RI V R V =---????????---????????---????---??????==----???-??????--???--??????--? ???其中???? ??? ? 1.用雅可比迭代法计算： #include "stdafx.h" #include "iostream.h" 习题二 3、证明：当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *，并分别用上述迭代法求满足于精度要求︱X k+1-X k ︱≤10-5的近似根。 解：证明：{先用迭代法求f(x)=x 3+4x 2-10=0的根。 （a ）对x 3+4x 2-10=0变形有：4x 2=10-x 3 所以：X=21310X - 则相应的迭代公式为：X k+1=21k X 310- 取：X 0=1.5，根据计算可以看出看，我们认为得到的迭代序列是 收敛的。}（此行可忽略） { 由 f(x)=x 3+4x 2-10=0得迭代方程：X=21310X -=g （x ） 先证明在区间【1,2】上x=g （x ）有实根。由于[1,2]上g ‘（x ）存在，所以g （x ）连续。作Q （x ）=x-g(x),则Q(x)在[1,2]上也连续。由定理1条件2有：Q （1）=1-g （1）≤0，Q （,2）=1-g （2）≥0 故存在x *∈[1,2]使Q *（x ）=0，即x *= Q *（x ） 又因为，x *是方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内的唯一实根，（由定理一条件 2）对任意的x 0∈[1,2]时，X k ∈[1,2]（k=0,1,2,3…） 因为：x *- X k+1=g （x *）-g （X k ）=g ‘（h k ）（x *- X k ）故由条件1知： ︱X *-X k+1︱≤L ︱X *-X k ︱（k=0,1,2,3…）于是有：0≤︱X *-X k ︱≤L k ︱X *-X 0︱,0＜L ＜1，立即可知：lim （k 趋于无穷）︱X *-X k ︱=0,从而lim （k 趋于无穷）X k= X *。所以当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都是由迭代法X k+1=g （X k ）产生的迭代序列{ X k }收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实 根x *。 正解如下： (1) （牛顿迭代法）： 证明：对方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内， （a ） f ‘(x)=3x 2+8x ，f ’‘(x)=6x+8，f ’‘(x)在区间[1,2]内连续； （b ） f （1）=-5，f （2）=14，f （1）f （2）＜0； （c ） 对于任意的x ∈[1,2]，都有f ‘(x)=/(不等于)0； （d ） f ’‘(x)在[1,2]上保号； 综上所述，当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *。 （2）用牛顿迭代法求近似根。 方程f(x)=x 3+4x 2-10=0有唯一实根x *∈[1,2]，容易验证，f(x)=x 3+4x 2-10在[1,2] 课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include 插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。 作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。 可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’； 迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 （1） = （2） = Jacobi迭代法： 流程图 开 始 判断b中的最大值 有没有比误差大 给x赋初值 进行迭代 求出x，弱到100次还没到，警告不收 结束 程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d) 程序结果（1） （2） Gauss-Seidel迭代法： 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if i 数值分析报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名： 常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0， C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。 求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L 第4章解线性方程组的迭代法 用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组， 如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式 （4.1） 任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。 若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限 即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。 可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有 再由迭代式可得到 由线性代数定理，的充分必要条件。 因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。 定理4.1迭代法收敛的充要条件是。 定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径 因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的 工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中 于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列 是收敛的。 要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。 在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式 雅可比迭代计算 元线性方程组 （4.2） 写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组： 记，构造迭代形式 数值分析 报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名： 常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1 个互不相同点x 0，x 1 (x) n 处的值是f（x ），……f（x n ），要求估算f（x）在[a，b〕 中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C ， C 1，……C n 的函数类Φ(C ，C 1 ，……C n )中求出满足条件P（x i ）＝f（x i ）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x 0，x 1 ，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C 0，C 1 ，……C n )称为插值函数类，上面等式称为插值条件， Φ（C 0，……C n ）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为 插值余项。 求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏ 第二章插值法 2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f（x）的图形。 （1）多项式插值 ①先建立一个多项式插值的M-file； 输入如下的命令（如牛顿插值公式）： function [C,D]=newpoly(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n) D(:,1)=Y' for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))) m=length(C); C(m)= C(m)+D(k,k); end ②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令： clear,clf,hold on; X=-1:0.2:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.2:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形： ③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on; X=-1:0.1:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.1:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形： 《数值分析》课程实验报告 用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值 算法名称用拉格朗日和牛顿插值法求函数值 学科专业xxxxx 作者姓名xxxx 作者学号xxxxx 作者班级xxxxxx xxx大学 二〇一五年十二月 《数值分析》课程实验报告 得到的近似值为。 拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。 2.牛顿插值法 在命令窗口输入： x=[ ]; y=[ ]; xt=; [yt,N]=NewtInterp(x,y,xt) z=::2; yz=subs(N,'t',z); figure; plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b') hold on plot(x,y,'marker','+') hold on plot(xt,yt,'marker','o') h=legend('$\sqrt{x}$','牛顿','$(x_k,y_k)$','$x=$'); set(h,'Interpreter','latex') xlabel('x') ylabel('y') 得到结果及图像如下： yt = N = - *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + 得到√的近似值为，插值函数为 N =- *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + ， 其计算精度是相当高的。 Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f(x)的近似函数P(x)，从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。 实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。 牛顿插值法 一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 二、实验内容：给定函数 x x f =)(，已知： 414214.1)0.2(=f 449138.1)1.2(=f 483240.1)2.2(=f 516575.1)3.2(=f 549193.1)4.2(=f 三、实验要求： （1）用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处的值，以此作为函数的近似值)15.2(15.2N ≈。在MATLAB 中用内部函数ezplot 绘制出4次Newton 插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB 中用内部函数ezplot 可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton 插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor 编辑器，输入Newton 插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： y =1.4663 wucha =1.0e-06 * -0.4376 -0.3254 -0.3026 0.0888 0.3385 P = - (4803839603609061*x^4)/2305843009213693952 + (7806239355294329*x^3)/288230376151711744 - (176292469178709*x^2)/1125899906842624 + (1624739243112817*x)/2251799813685248 + 1865116246031207/4503599627370496 （2）在MATLAB命令窗口输入： >> v=[0,6,-1,3]; >> ezplot(P),axis(v),grid >> hold on >> x=0:0.1:6; >> yt=sqrt(x);plot(x,yt,':') >> legend('插值效果','原函数') >> xlabel('X') >> ylabel('Y') >>title('Newton插值与原函数比较') 回车即可得到图像1-1。 实验内容 1 用下列方法求方程201303==--x x x 在附近的根，要求准确到四位有效数字。 （1）牛顿法。（2）单点弦截法（3）双点弦截法 2 用Aitken 法求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的根，精度要求为410-=ε。 三 实验步骤（算法）与结果 1： 用双点弦截法求方程201303==--x x x 在附近的根 ①算法的C 语言代码： #include 2：用Aitken 法求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的根 ①算法的C 语言代码： #include 实验一报告 拉格朗日插值法 一、实验目的 1、学习和掌握拉格朗日插值多项式 2、运用拉格朗日插值多项式进行计算 二、实验原理 根据x0,x1,…xn；y0,y1,…yn构造插值多项式其表达式为： 将插值点x代入上式，就可得到函数f(x)在点x处的函数值的近似值。 三、运行结果 四、代码 using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace ConsoleApplication3 { class Program { static double lglr(double[] x, double[] y, double x1, int n) { double result = 0.0; for (int i = 0; i continue; temp = temp * (x1 - x[j]); temp = temp / (x[i] - x[j]); } result = result + temp; } return result; } static void Main(string[] args) { double[] x; double[] y; Console.WriteLine("请输入插值点数："); int length = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); x = new double[length]; y = new double[length]; for (int i = 0; i < length; i++) { Console.Write("请输入第{0}个点的x值：", i + 1); x[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.Write("请输入第{0}个点的y值：", i + 1); y[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); } Console.WriteLine("请输入x1值："); double x1 = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); double result=lglr(x,y,x1,length); Console.Write("插值计算结果为：{0}：", result); Console.ReadLine(); } 牛顿插值法 一、实验目的 体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。 二、实验原理 根据x0,x1,…x n；y0,y1,…y n构造插值多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+… +f(x0,x1,…xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)牛顿差值公式中各项的系数就是函f(x)的各阶均差（差商）f(x0)，f(x0,x1)，f(x0,x1,…xn)，因此，在构造牛顿差值公式时，常常先把均差列成一个表，此表称为均差表。 三、运行结果 《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。 (1) 用最小二乘法进行曲线拟合； (2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0)()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为 1102110] ,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --= - 则n 次多项式 ) ())(](,,[) )(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 差商表的构造过程： - 0 -文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 数值分析实验报告 （3） 学院：信息学院 班级：计算机0903班 姓名：王明强 学号： 课题三 线性方程组的迭代法 一、问题提出 1、设线性方程组 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ???? ? ????? ??? ??? ?????--------------------------136******** 412029137264221234179111016103524312053621775868323376162449113151201 30123122400105635680000121324??????????????? ?????????????????10987654321x x x x x x x x x x =??????? ?????????????????????????-2119381346323125 x * = ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )T 2、设对称正定阵系数阵线方程组 ??????????????????????????----------------------19243360021411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424 ?? ??? ????????? ????????????87654321x x x x x x x x = ???????????? ? ?????????????---4515229232060 x * = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )T 数值分析作业 第二章 1、用Gauss消元法求解下列方程组： 2x 1-x 2 +3x 3 =1, (1) 4x 1+2x 2 +5x 3 =4, x 1+2x 2 =7; (2) 解： A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7 x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3, (2)-23x 1+11x 2 +1x 3 =0, x 1+2x 2 +2x 3 =-1; (2) 解： A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 x = 0.2124 0.5492 -1.1554 4、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7 实验二：迭代法、初始值与收敛性 一：实验要求 考虑一个简单的代数方程 210,x x --= 针对上述方程，可以构造多种迭代法，如2 11111,1,n n n n n x x x x x +++=-=+ =在实 轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。 二：实验要求及实验结果 （1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放 入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。 （2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初 值是否有差异？ 实验内容： ⅰ）对2 11n n x x +=-进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行 实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解 %令x=x^2-1 clear n=30; x=-0.5; x1=x^2-1; for i=1:n x1=x1^2-1; xx(i)=x1; end m=linspace(0,29,n); plot(m,xx) title('x=-0.5') x=-0.6 x=1.6 如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。 分析：2()1n g x x =-，' ()2g x x =，要想在某一邻域上' ()21,[1,1] g x x x = 山东师范大学数学科学学院实验报告 2) 选取插值节点，计算插值节点画出cosx 在[0,1.2]上图像,如图3-1，并标出插值算法所计算的点。 >> X=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2;1 0.980067 0.921061 0.825336 0.696707 0.540302 0.362358]; >> x1=0:0.1:1.2; >> format long >> [A,Pn]=Newton(X,x1) >> x2=0:0.01:1.2; >> plot(x2,cos(x2)) >> hold on >> plot(x1,Pn,'*') >> legend('cosx','Newton 插值'); 用Newton 插值法计算出x1=0:0.1:1.2处的值为表3-2： 表3-2 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Pn 1 0.995005 0.980067 0.955337 0.921061 0.877583 0.825336 x 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 Pn 0.764843 0.696707 0.62161 0.540302 0.453596 0.362358 计算插值节点画出cosx 在[0,1.2]上图像，并标出插值算法所计算的点。 图3-1 总结 （1）使用Newton 插值法编程，在计算差商表时应注意把),,,(10k x x x f 到 ) ,,,(1n k n k n x x x f +--),,2,1（n k =都计算出来； （2）Newton 插值法的误差大约为-7101?。牛顿插值法原理及应用
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