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随机变量及其分布，统计案例复习
一：选择题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（ ） Ａ．1
Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4
2.为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归
直线方程1l 和2l ，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是( )
A 1l 与2l 一定平行
B 1l 与2l 相交于点),(y x
C 1l 与2l 重合
D 无法判断1l 和2l 是否相交
3．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45
4，则n 、p 的值分别是( )
A ．50，1
4
B ．60，14
C ．50，3
4
D ．60，3
4
.
4．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )
A ．68.26%
B ．95.44%
C ．99.74%
D ．31.74%
5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态 分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中
Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同
6．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，
则产生故障的电脑台数的均值为（ ）
Ａ．ab
Ｂ．a b +
Ｃ．1ab -
Ｄ．1a b --
7.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )
A.预报变量在x轴上，解释变量在y轴上
B.解释变量在x轴上，预报变量在y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个在x轴上
D. 以选择两个变量中任意一个在y轴上
8.下列说法正确的有( )
①回归方程适用于一切样本和总体。②回归方程一般都有时间性。③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值。
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①③
9．经过对2
K的统计量的研究，得到了若干个临界值，当2 3.841
K>时，我们（）A．有95%的把握认为A与B有关B．有99%的把握认为A与B有关
C．没有充分理由说明事件A与B有关系D．有97.5%的把握认为A与B有关
10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()
蚆自然状况蚆羂A1葿A2虿A3螆A4
莃S1膀0.25 蒈50 袆70 螄－20 薈98
膆S2羆0.30 羀65 莀26 羅52 肆82
莁S3螈0.45 羈26 肆16 螂78 蒀－10
A.A1B．A2 C．A3D．A4
二、填空题
11．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.
12．一离散型随机变量X的概率分布列为
薆X 芅0 芀1 蚀2 芅3
莅P 蚁0.1 膈a 莈b 蒅0.1
且E(X)＝1.5，则a－b＝________.
13．已知回归直线方程$y bx a
=+，其中3
a=且样本点中心为(12)
，，则回归直线方程为
14.下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么，
A= ，B= ，C= ，
D= ，E= ；
15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝5
11；③事件B 与事件A 1相互独立；
④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；
⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．
三、解答题
16．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．
17．9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．
(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．
18．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当
第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制
后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，
Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X ，求随机变量X 的均值．
19． (2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．
20．在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520个女性中6人患色盲，（1）根据以上的数据建立一个2*2的列联表；
（2）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少
21．(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、 6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，1
4
，且各题回答正确与否
相之间没有影响．
(1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
参考答案
一、1、D 2.B 3、B 4、B 5、A 6、B 7.B 8.B 9.A 10、C
二、11、50
3
12、0 13.^
3y x =- 14.A=47 B=92 C=88 D=82 E=53 15、②④
三16.:解:取球次数X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1、2、3、4、5.
且P (X ＝1)＝15＝0.2，P (X ＝2)＝45×14＝0.2，P (X ＝3)＝45×34×1
3
＝0.2，
P (X ＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P (X ＝5)＝45×34×23×12×1
1
＝0.2.
于是，随机变量X 的分布列
E (X )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， D (X )＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2
＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
17. [解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝1
8，
所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝7
8
＝0.875.
(2) 3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为C 13
×78×???
?182
≈0.041. (3)因为3个坑都不需要补种的概率为????783，所以有坑需要补种的概率为1－????783≈0.330. 18. [解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P (E )＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)
＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.
Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以X ～B (3,0.3)，故E (X )＝np ＝3×0.3＝0.9.
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A 、B 、C ，则 P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.3，
所以P (X ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，P (X ＝3)＝0.33＝0.027. 于是，E (X )＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.
19. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33
C 25A 44＝140
.
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1
40
.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44
C 25A 44＝110.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝9
10
.
(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)
＝C 25A 33
C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34
，X 的分布列为：
20.解：（1）
（2）假设H ：“性别与患色盲没有关系”先算出K 的观测值：
2
1000(385144426)27.1448052044956
k ??-?=???＝则有2(10.808)0.001P K ≥=
即是H 成立的概率不超过0.001, 若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.001
21.[解析] (1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的
概率为1－14×12＋14×12×23＋34×12×23＝13
24.
(2)ξ可能取2,3,4，则
P (ξ＝2)＝14×12＝18；P (ξ＝3)＝34×12×13＋34×12×23＝3
8；
P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝1
2，
所以ξ的分布列为
数学期望E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝27
8
.
以下无正文
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