丽水学院
教案
课程名称：高等数学
课程代码：B2
授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清
院别：理学院
2013年5月13 日
一、授课题目 §103 格林公式及其应用
二、教学时间安排： 共3课时
三、教学目的、要求
1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。
2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。
3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。
4．会求全微分的原函数。
四、教学重点和难点
重点: 格林公式的应用
难点: 灵活应用格林公式进行简化计算。
五、教学方法及手段
启发式讲授法结合多媒体教学。
六、教学过程设计
准备知识
1．单连通与复连通区域
设D 为平面区域 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D 为平面单连通区域 否则称为复连通区域
2．边界曲线的正向：
对平面区域D 的边界曲线L 我们规定L 的正向如下 当观察者沿L 的这个方向行走时 D 内在他近处的那一部分总在他的左边
（一）格林公式
1．定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成 函数P (x y )及Q (x y )在D 上具有一阶连续偏导数 则有
???+=??-??L D Qdy Pdx dxdy y
P x Q )(
其中L 是D 的取正向的边界曲线
2．简要证明分析
先就D 既是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明
设D {(x y )|1(x )y 2(x ) axb } 因为y
P ??连续 所以由二重积分的计算法有
dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a x x b a D
)]}(,[)](,[{}),({12)()(21????-=??=??????? 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
?????+=+=a
b b a L L L dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[2121?? dx x x P x x P b a )]}(,[)](,[{21??-=?
因此 ???=??-L D
Pdx dxdy y P 设D {(x y )|1(y )x 2(y ) cyd } 类似地可证
???=??L D
Qdx dxdy x Q 由于D 既是X －型的又是Y －型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得
???+=??? ?
???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q 注意 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D 来说都是正向
3．格林公式的简单应用：
（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1
例1/ 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线 证明
?=+L dy x xydx 022
证 令P 2xy Qx 2 则
022=-=??-??x x y P x Q 因此 由格林公式有0022=±=+???dxdy dy x xydx D
L (为什么二重积分前有“”号 )
（2）化二重积分为曲线积分
例2 计算??-D y dxdy e 2
其中D 是以O (0 0) A (1 1) B (0 1)为顶点的三角形闭区域
分析 要使2y e y
P x Q -=??-?? 只需P 0 2y xe Q -= 解 令P 0 2y xe Q -= 则2y e y
P x Q -=??-?? 因此 由格林公式有
???++--=
BO AB OA y D y dy xe dxdy e 22)1(211102
2----===??e dx xe dy xe x OA y （3）计算平面区域面积
设区域D 的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得
???-=L D
ydx xdy dxdy 2 或???-==L D ydx xdy dxdy A 21 例3 椭圆xa cos yb sin 所围成图形的面积A
分析 只要1=??-??y P x Q 就有A dxdy dxdy y P x Q D
D ==??-??????)( 解 设D 是由椭圆x =a cos y =b sin 所围成的区域 令y P 21-= x Q 2
1= 则12121=+=??-??y P x Q 于是由格林公式
????+-=+-==L L D
xdy ydx xdy ydx dxdy A 212121 ?+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab ?=πθ20
21d ab ab 4．注意格林公式成立的条件：
例4 计算?+-L y x ydx xdy 22 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向
解 令22y x y P +-= 2
2y x x Q += 则当x 2y 20时 有y P y x x y x Q ??=+-=??22222)( 记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D 时 由格林公式得
0)(22=??-??=+-???dxdy y P x Q y x ydx xdy D
L
当(0 0)D 时 在D 内取一圆周l x 2y 2r 2(r >0) 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得
=?+--?+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 2
2220)(1
22=??-??=+-???+dxdy y P x Q y x ydx xdy D l L 其中l 的方向取逆时针方向 于是
??+-=+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 2222 ?+=πθθθ2022222sin cos d r
r r 2 注：计算结果与L 围成的区域是否包括原点有关！因为P 、Q 的偏导数在原点不连续。
（二）平面上曲线积分与路径无关的条件
1．定义：设G 是一个开区域 P (x y )、Q (x y )在区域G 内具有一阶连续偏导数 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2 等式
??+=+2
1L L Qdy Pdx Qdy Pdx 恒成立 就说曲线积分
?+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关 否则说与路径有关 设曲线积分?+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关 L
1和L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线 则有
??+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 于是有
??+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 021=+-+??L L Qdy Pdx Qdy Pdx 021=+++??-L L Qdy Pdx Qdy Pdx 0)(21=+?-+L L Qdy Pdx
所以有以下等价的结论
曲线积分?+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分?+L Qdy Pdx 等于零
2． 定理2 设开区域G 是一个单连通区域 函数P (x y )及Q (x y )在G 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分?+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的
充要条件是等式
x Q y P ??=?? 在G 内恒成立 （证明略） 注意 定理要求 区域G 是单连通区域 且函数P (x y )及Q (x y )在G 内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立
如前例4 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向 问022=+-?L y x ydx xdy 是否一定成立
提示 这里22y x y P +-=和22y x x Q +=在点(0 0)不连续
因为当x 2y 2
0时 y P y x x y x Q ??=+-=??22222)( 所以如果(0 0)不在L 所围成的区域内 则结论成立 而当(0 0)在L 所围成的区域内时 结论不成立，因而计算结果与积分路径有关
破坏函数P 、Q 及y P ??、x
Q ??连续性的点称为奇点 3．定理2的应用： 若在某区域内，恒有x
Q y P ??=??成立，则 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算（若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线转化为闭曲线）;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy 在域 D 内的原函数（放第3课时教学）
例5 计算?+L dy x xydx 22 其中L 为抛物线yx 2
上从O (0 0)到B (1 1)的一段弧 解 因为x x
Q y P 2=??=??在整个xOy 面内都成立 所以在整个xOy 面内 积分
?+L dy x xydx 22与路径无关 于是，有 ???+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 222222
111
02==?dy 又如课件中例5 （三）二元函数的全微分求积（第3课时）
曲线积分在G 内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0 y 0)与终点(x y )有关 如果?+L Qdy Pdx 与路径无关 则把它记为?+)
,(),(00y x y x Qdy Pdx
即 ??+=+)
,(),(00y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx 若起点(x 0 y 0)为G 内的一定点 终点(x y )为G 内的动点 则
u (x y )?+=)
,(),(00y x y x Qdy Pdx 为G 内的的函数
二元函数u (x y )的全微分为du (x y )u x (x y )dxu y (x y )dy
表达式P (x y )dx +Q (x y )dy 与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P (x y )dx +Q (x y )dy 是某个二元函数u (x y )的全微分呢当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢
定理3 设开区域G 是一个单连通域 函数P (x y )及Q (x y )在G 内具有一阶连续偏导数 则P (x y )dx Q (x y )dy 在G 内为某一函数u (x y )的全微分的充分必要条件是等式
x Q y P ??=?? 在G 内恒成立
简要证明
必要性 假设存在某一函数u (x y ) 使得 du P (x y )dx Q (x y )dy
则有 y x u x u y y P ???=????=??2
)( x y u
y u
x x Q
???=????
=??2)(
因为y P y x u ??=???2、x Q
x y u
??=???2
连续 所以
x y u
y x u
???=???22 即x Q
y P
??=??
充分性
因为在G 内x Q
y P ??=?? 所以积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(
在G 内与路径无关 在G 内从点(x 0 y 0)到点(x y )的曲线积分可表示为
考虑函数u (x y )?+=)
,(),(0
0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P 因为 u (x y )?+=)
,(),(00),(),(y x y x dy y x Q dx y x P
??+=x
x y y dx y x P dy y x Q 0
0),(),(0 所以 ),(),(),(0
00y x P dx y x P x dy y x Q x x u
x x y
y =??+??=???? 类似地有),(y x Q y u
=?? 从而du P (x y )dx Q (x y )dy 即P (x y )dx
Q (x y )dy
是某一函数的全微分 并且有求原函数的计算公式
?+=)
,(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u
??+=
y y x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0 ??+=
x x y y dx y x P dy y x Q y x u 00),(),(),(0 例6 验证22y x ydx xdy +-在右半平面(x >0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 解 这里22y x y
P +-= 22y x x
Q +=
因为P 、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有
y P y x x y x Q ??=+-=??22222)( 所以在右半平面内 22y
x ydx xdy +-是某个函数的全微分 取积分路线为从A (1 0)到B (x 0)再到C (x y )的折线 则所求函数为
?+-=),()0 ,1(22),(y x y x ydx xdy y x u ?++=y y x xdy 0220x y arctan =
问 为什么(x 0 y 0)不取(0 0)
例7 验证 在整个xOy 面内 xy 2dx x 2ydy 是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数
解 这里P xy 2 Q x 2y
因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数
且有 y P
xy x Q ??==??2
所以在整个xOy 面内 xy 2dx x 2ydy 是某个函数的全微分
取积分路线为从O (0 0)到A (x 0)再到B (x y )的折线 则所求函数为
?+=
),()0 ,0(22),(y x ydy x dx xy y x u 20220202y x ydy x ydy x y y ==+=?? 练习： PT
作业： PT
苏教版五下数学《圆之圆的周长计算的实际 运用》教案 第四课时： 圆的周长计算的实际运用 教学目标： 1．让学生经历已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径的过程，体会解题策略的多样性。 2.进一步理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆周长的公式解决一些实际问题。 3．感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。 教学重点： 已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径。 教学难点： 理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆的周长公式解决一些实际问题。 教学准备： 圆形图片。 教学过程： 一、复习旧知，引入新知 提问 1．什么是圆的周长？圆的周长计算公式是什么？
2．把圆规两脚尖分开4厘米画一个圆，这个圆的半径是多少？直径呢？周长呢？ 指名回答，明确计算方法。 3．口答，求下列各圆的面积。 （l）r=2cm r=3cm r=5cm （2）d=2cm d=3cm d=5cm 4．引入：知道圆的直径和半径，我们能很快算出圆的周长。如果只知道圆的周长，我们能算出它的直径和半径吗？今天这节课我们来继续研究圆周长的知识。（板书：圆的周长计算的实际运用） 二、合作交流，探究新知 1．教学例6。 （1）出示例6的情境图，指名读题，并且找出条件和问题。（2）讨论：如何准确地测算出这个花坛的直径？ （3）交流后，明确：先测量出这个花坛的周长，再利用圆的周长计算公式计算 花坛的直径。 （4）出示测量结果：花坛的周长是251.2米。 （5）学生独立完成。 （6）集体订正，教师板书 方法一：列方程解答。 解：设花坛的直径是x米。
3. 14x=251.2 x=251. 23. 14 x=80 答：花坛的直径是80米。 方法二：算术方法解答。 251. 23. 14 =80（米） 答：花坛的直径是80米。 （7）师：两种方法有什么相同点和不同点？你喜欢什么方法？ 2．小结。 （l）提问：已知圆的周长，如何求圆的半径或直径？（2）学生回答，教师板书 ①列方程解答。 ②d=C r=C 2 三、巩固练习，加深理解 1．完成练一练。 （1）学生独立完成。 （2）集体交流。 2．完成练习十四第8题。 （1）借助圆柱形教具演示，帮助学生理解什么是树干横截面，，。 （2）学生独立思考并计算。
根据圆的周长公式解决实际问题 教学目标： １、使学生进一步巩固圆的周长的计算方法，提高计算圆的周长的熟练程度。 ２、使学生能根据圆的周长的直径或半径，进一步理解圆的半径、直径和周长的关系，提高学生应用知识解决简单实际问题的能力。 ３、进一步培养学生分析、判断和推理等思维能力。 教学重难点：熟练计算圆的周长 教学过程： 一、复习 1、口述：圆的周长计算公式 2、算圆的周长 d=3l厘米 d=8dm r=2m r=2.5m 问；你能根据怎样的方法算出这些圆的周长吗？ 3、引入新课 二、教学新课 1、一个圆形花坛的周长是25.12分米 ,这个花坛的直径是多少？ 已知什么？要求什么？ 对照公式看一看，已知哪个数要求什么数？ 根据已知条件和要求的问题，你认为用什么方法解答比较好？为什么？ 根据什么来列方程？ 练习，说说方程是怎样列出来的？ 2、用算术方法解答 怎样直接求出花坛的直径呢 25.12÷3.14 为什么可以这样列式？ 三、巩固练习 1、练一练 （1）用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?如果围成一个圆,圆的直径是多少? 分组练习，说说是怎样想的？ 如果已知圆的周长要求半径，应该应用哪个计算公式来解答？
2、练一练（2）一根铁丝正好折成一个正三角形，它的边长为31.4厘米，如果同样长的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少厘米？ 四、小结 学习了什么内容？圆的直径、半径和周长之间有什么关系？应用圆的周长计算公式能解决哪些问题？ 教学内容：本内容是六年级上册第11—15页圆的周长。 一、教材分析 1、教学主要内容：探索并掌握圆的周长的计算方法，阅读圆周率发展的历史。 2、本节课内容的地位：圆的周长是在学生认识圆、掌握长方形和正方形周长的基础上，对圆的周长作进一步研究。学生掌握了圆周长的计算方法，就为学习圆的面积公式的推导、圆柱和圆锥的学习打下了基础。 3、教材编写特点： （1）开展测量活动，探索圆周率的意义及圆周长的计算方法。 教材引导学生开展测量实验活动，通过实际测量与计算，研究发现圆的周长与直径的关系，从而引出圆周率并得出圆的周长计算公式。 （2）经历探索圆周长计算公式的过程，初步渗透“以直代曲”的极限思想。 在数学阅读“圆周率的历史”中，教材介绍了运用正多边形逼近圆、计算圆周率的方法，使学生体会“以直代曲”的极限思想。 4、教学内容的核心思想：转化、归纳、函数和极限的思想。 二、学生分析 1、学生已有知识经验：在本课教学之前，学生已经认识了圆，会求正方形和长方形等直线段图形的周长，对图形周长已经很清楚了。 2、学生已有生活经验：由于圆的普遍存在和广泛应用，以及部分学生经过自己的课外学习，已经知道了圆周长的计算公式，但对于这个公式的形成过程缺乏了解，只是处于知其然而不知其所以然的状态，主要原因是对圆周率的意义并不理解。因此本节课针对这一点来确定教学目标和教学重难点，通过引导经历探索圆周长计算公式的过程，深入理解圆周率的意义。 3、学生学习该内容可能的困难：对圆周率的意义和“以直代曲”的极限思想的理解。
《圆周长公式的应用》教学设计 教学内容：课本P140－141 教学目标：1、使学生能够正确并灵活运用圆的周长公式进行计算。 2、培养学生的观察、比较、分析、综合能力。 3、领会事物之间是联系和发展的辩证唯物主义观念以及透过现象看本质的辨证思维方法。 教学重点：1、使学生能够正确并灵活运用圆的周长公式进行计算。 2、培养学生的观察、比较、分析、综合能力。 教学难点：运用周长公式解决实际问题的策略 教学过程： （一）复习导入 1、上节课我们研究了圆的周长，你有什么收获？ 板书：C==πd C=2πr 2、求下面各个圆的周长。（单位：厘米） d=10 r=2.5 （二）探究新知 1、设问：如果已知周长，你能求出直径或半径吗？ 2、教学例2一个圆形花坛，周长是23.55米，它的直径是多少米？ （1）你能用不同的方法解答吗？ （2）学生尝试计算 （3）讨论汇报： 解法一C==πd………d=c÷π 23.55÷3.14=7.5(米) 解法二 解：设花坛的直径是x米。 3．14×x=23.55 x=23.55÷3.14 x=7.5 3、试一试：在一个公园内修一个圆形水池，池的周长是50.24米，它的半径是多少米？ 学生练习，部分学生板演，完成后集体校正。 （三）练习 1、练一练第1、2题，完成后集体校对 2、街心公园的圆形花坛的周长是47.1米，它的半径是多少？ 3、饭店的大厅内有一个大钟，它的分针长40厘米。经过1小时，这根分针的尖端转动所走的路程是多少厘米？ 4、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的外直径为40厘米，要骑过31.4米长的钢丝，车轮要转动多少周？ 5、书上第3\4\5\6题 (四)课堂小结 这节课你有什么收获?
圆的面积公式应用——已知周长求面积 教学目标： 1.在解决问题的过程中，进一步巩固圆的面积公式。 2.结合具体事例，能灵活运用所学公式解决生活中的问题。 3．感受数学与生活的密切联系，培养学生综合运用知识的能力。。 教学重点： 正确并灵活的运用公式进行计算。 教学难点： 正确并灵活的运用公式解决生活中的问题 教学过程： 一、复习旧知，导入新课 前面我们学习了圆、圆的周长、圆的面积，如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？（2πr）面积怎样表示？（πr2），这节课我们继续学习圆的面积，研究如何用圆的公式解决实际问题。 二、引导探究，解决问题 1．探究教材第52页“蒙古包占地”问题。 （1）多媒体出示问题。 一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米？ （2）探究。 学生根据以前的经验可知：要先利用圆的周长公式求出蒙古包的半径或直径，才能计算占地面积。 师：我们在算蒙古包半径时用算术法和方程法都可以，哪种更简单？ 生：列方程解，思路统一，便于理解。
师：请同学们在练习本上把过程写完整! 指名学生板演。 2．探究教材第52页“选台布”问题。 圆桌面的直径是120厘米。 （1）多媒体出示三块不同规格的台布： 110cm×110cm；120cm×120cm；140cm×140cm （2）合作探究。(教师需引导学生知道"110cm×110cm"等表示的意义) 生1：因为桌面面积：3.14×(2120 )2＝11304(平方厘米) 边长是110厘米的台布面积：110×110＝12100(平方厘米) 12100＞11304 所以边长是110厘米的台布能用，因为它的面积比圆桌面的面积大。 生2：边长是110厘米的台布不能用，边长是110厘米的台布最大只能遮盖直径是110厘米的圆桌面。 (教师引导学生知道，只比较面积的大小不行，还要看台布能不能盖全圆桌) 通过学生比较第2种和第3种台布，使学生知道边长是140厘米的台布不但比圆桌面的面积大，而且铺在上面周围都能垂下一部分，这样比较美观，台布不容易被掀起，所以选择边长是140厘米的台布更合适些。 三、联系实际，巩固提高 练一练第53页第1、2、3题。 四、全课总结，畅谈收获 通过今天的学习，谈谈大家的收获。
圆的面积公式应用——已知周长求面积教学目标： 1.在解决问题的过程中，进一步巩固圆的面积公式。 2.结合具体事例，能灵活运用所学公式解决生活中的问题。 3．感受数学与生活的密切联系，培养学生综合运用知识的能力。。 教学重点： 正确并灵活的运用公式进行计算。 教学难点： 正确并灵活的运用公式解决生活中的问题 教学过程： 一、复习旧知，导入新课 前面我们学习了圆、圆的周长、圆的面积，如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？（2πr）面积怎样表示？（πr2），这节课我们继续学习圆的面积，研究如何用圆的公式解决实际问题。 二、引导探究，解决问题 1．探究教材第52页“蒙古包占地”问题。 （1）多媒体出示问题。 一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占
地面积是多少平方米? （2）探究。 学生根据以前的经验可知：要先利用圆的周长公式求出蒙古包的半径或直径，才能计算占地面积。 师：我们在算蒙古包半径时用算术法和方程法都可以，哪种更简单? 生：列方程解，思路统一，便于理解。 师：请同学们在练习本上把过程写完整! 指名学生板演。 2．探究教材第52页“选台布”问题。 圆桌面的直径是120厘米。 （1）多媒体出示三块不同规格的台布： 110cm×110cm；120cm×120cm；140cm×140cm （2）合作探究。(教师需引导学生知道"110cm×110cm"等表示的意义) 120)2＝11304(平方厘米)生1：因为桌面面积：3.14×( 2 边长是110厘米的台布面积：110×110＝12100(平方厘米) 12100＞11304 所以边长是110厘米的台布能用，因为它的面积比圆桌面的面积大。 生2：边长是110厘米的台布不能用，边长是110厘米的台布最大只能遮盖直径是110厘米的圆桌面。
小学-数学-打印版 小学-数学-打印版 1 圆的周长计算公式的应用 应用一已知圆的半径，求圆的周长。 例 一辆自行车轮子的半径大约是33 cm ，这辆自行车轮子转l 圈，大约可以走多远？（结果保留整米数。）小明家离学校1 km ，轮子大约转了多少圈？（教材64页例1） 分析 求自行车轮子转1圈，大约可以走多远。就是求自行车轮子的周长。因为自行车轮子是圆形的，又已知它的半径，所以直接利用公式C=2丌r 就可以求出它的周长。因为小明家离学校1 km ，所以求小明从家到学校自行车轮子转了多少圈，就是看1 km 里面右多少个自行车轮子的周长，用1 km 除以车轮的周长即可求出轮子转动的圈数。 解答2×3. 14×33 =207. 24(cm)≈2(m) 1 km =1000 m 1000÷2=500（圈） 答：这辆自行车轮子转1圈，大约可以走2m 。小明从家到学校，轮子大约转了500圈。 总结 自行车车轮的转数一自行车所行路程÷车轮子的周长 应用二已知圆的直径，求圆的周长。 例 一个圆形花坛的直径是20 m ．它的周长是多少米？ 分析 已知圆形花坛的直径，利用公式C= d 可以直接计算出它的周长。 解答 3. 14×20=62. 8(m) 答：它的周长是62.8 m 。 应用三已知圆的周长，求圆的直径和半径。 例 一个圆的周长是15.7 dm ，求它的直径和半径分别是多少。 分析由公式C=兀d 和C=2兀r 分别推出d=C ÷兀，r= C ÷兀÷2，根据公式可以直接求出圆的直径和半径。也可以设圆的直径为r dm ，根据公式列方程解答。 解答 答：它的直径是5 dm ，半径是2.5 dm 。 误区警示 【误区】判断：大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。（√) 错解分析 此题错在没有理解圆周率的意义，圆周率是一个固定的数，不因圆的大小而改变。 错解改正 × 温馨提示 圆周率是任意一个圆的周长和它的直径的比值，这个比值是一个固定的数。
圆的周长应用题课堂练习 一、圆的周长 1、圆的周长的概念 2、圆周长的计算公式 r C d C ππ2==或 3、 圆的周长与该圆半径、直径的关系：（1)如果圆的直径、半径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍 （2）圆的半径、直径缩小到原来的几分之几，圆的周长也缩小到原来的几分之几 一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大( )倍，若一个圆的半径缩小 21，则它的 周长缩小（ ） 4、已知圆的周长，求它的半径或直径，利用公式π2C r =或πC d = 课堂练习 一、判断是否： 1、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。（ ） 2、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。（ ） 3、把一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。（ ） 4、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。（ ） 5、半圆的周长等于圆周长的一半。（ ） 6、如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等．（ ） 7、小圆半径是大圆半径的1/2 ，那么小圆周长也是大圆周长的1/2 。（ ） 二、细心填空 1、一个圆形花坛的半径2.25米，直径是（ ）米，周长（ ）米。 2、要在底面半径是14厘米的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍，接头部分是6厘米，需用铁丝（ ）厘米。 3、用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是6厘米，画出的这个圆的周长是（ ）厘米。 4、已知圆的周长是106.76分米，圆的半径是（ ）。 5、一个圆的直径扩大4倍，半径扩大（ ）倍，周长扩大（ ）倍。 6、圆的半径和直径的比是（ ），圆的周长和直径的比是（ ）。 7、小圆的半径是6厘米，大圆的半径是9厘米。小圆直径和大圆直径的比是（ ），小圆周长和大圆周长的比是（ ） 8、大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的（ ）倍 9、圆的半径增加，圆的周长增加（ ） 二、圆的周长应用
格林公式及其应用 摘 要： 格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。 在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。 设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。 关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分； 引言 格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有 ??? +=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ）（ ，其中L 是D 的取正向边界曲线 格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分 将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功 定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ） 在D 上具有一阶连续偏导数，则有 D D Q P Pdx Qdy dxdy x y +??? ??+=- ????????D y dxdy x P Q ???=??? 其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式 证明: (1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两 点. }),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=??}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ dx x Q dy dxdy x Q y y d c D ??????=??)()(21ψψ ??-=d c d c dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ x x x
圆的周长公式的应用 教学目标： 1.经历探究已知圆的周长求直径或半径的过程，体会解题策略的多样性。 2.进一步理解圆的周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆的周长公式解决实际问题。 教学重点：已知圆的周长，求圆的直径或半径。 教学难点：进一步理解圆的周长、半径、直径之间的关系。 教学过程： 一、谈话引入 谈话：在同一个圆中，圆的周长、直径、半径之间有什么关系？ 根据学生的回答板书：r×2→d×π→C。 揭题：知道圆的直径或半径，我们能很快算出圆的周长。如果知道圆的周长，能否算出圆的直径或半径呢？这节课我们就来研究这个问题。（板书课题） 二、交流共享 教学例6。出示教材第93页例6。学生读题，理解题意。 提问：已知这个花坛的周长，怎样算出这个花坛的直径呢？ 学生独立思考后，在小组里说说自己的想法并独立尝试解答。组织学生交流：你是怎样解答的？ 根据学生的回答板书：根据C=πd，列方程解答。 解：设花坛的直径是x米。 3.14x=251.2 x=251.2÷3.14 x=80 答：花坛的直径是80米。 计算251.2÷3.14时，提醒学生：今后遇到数据较大的计算，一般可以使用计算器。 提问：还可以怎样求花坛的直径？学生在小组内交流并汇报。 指名学生口答并说说自己是怎样想的。板书：251.2÷3.14=80（米） 小结：从解方程的过程中可以看出，要进行的计算就是251.2÷3.14。根据
C=πd，已知C和π求d，就是已知积和一个因数，求另一个因数，用除法计算。 三、反馈完善 1.完成教材第93页第二个“练一练”。 让学生先估计圆的直径再计算。 提醒学生估计时将圆周率看作3，并使学生意识到3比圆周率的实际数值小了一些，所以直径应该适当估小点。指名学生板演，计算圆的直径。集体交流，订正。 2.完成教材第94页“练习十四”第6题。 学生独立填表，并在小组中结合填表的过程说说同一个圆内周长、半径、直径之间的关系。 3.完成教材第94页“练习十四”第7题。 学生读题。 引导：铁片的长实际上就是什么？（铁环的周长）你能根据周长，求圆的半径吗？
五年级数学下册第六单元圆的周长公式的应用教案苏教版 第 2 课时总第课时 教学目标： 1.经历探究已知圆的周长求直径或半径的过程，体会解题策略的多样性。 2.进一步理解圆的周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆的周长公式解决实际问题。 教学重点：已知圆的周长，求圆的直径或半径。 教学难点：进一步理解圆的周长、半径、直径之间的关系。 教学准备：课件 教学过程： 一、谈话引入 谈话：在同一个圆中，圆的周长、直径、半径之间有什么关系？ 根据学生的回答板书：r×2→d×π→C。 揭题：知道圆的直径或半径，我们能很快算出圆的周长。如果知道圆的周长，能否算出圆的直径或半径呢？这节课我们就来研究这个问题。（板书课题） 二、交流共享 教学例6。 出示教材第93页例6。 学生读题，理解题意。 提问：已知这个花坛的周长，怎样算出这个花坛的直径呢？ 学生独立思考后，在小组里说说自己的想法并独立尝试解答。 组织学生交流：你是怎样解答的？ 根据学生的回答板书： 根据C=πd，列方程解答。 解：设花坛的直径是x米。 3.14x=251.2 x=251.2÷3.14 x=80 答：花坛的直径是80米。 计算251.2÷3.14时，提醒学生：今后遇到数据较大的计算，一般可以使用计算器。 提问：还可以怎样求花坛的直径？ 学生在小组内交流并汇报。 指名学生口答并说说自己是怎样想的。 板书：251.2÷3.14=80（米） 小结：从解方程的过程中可以看出，要进行的计算就是251.2÷3.14。根据C=πd，已知C和π求d，就是已知积和一个因数，求另一个因数，用除法计算。
三、反馈完善 1.完成教材第93页第二个“练一练”。 让学生先估计圆的直径再计算。 提醒学生估计时将圆周率看作3，并使学生意识到3比圆周率的实际数值小了一些，所以直径应该适当估小点。 指名学生板演，计算圆的直径。 集体交流，订正。 2.完成教材第94页“练习十四”第6题。 学生独立填表，并在小组中结合填表的过程说说同一个圆内周长、半径、直径之间的关系。 3.完成教材第94页“练习十四”第7题。 学生读题。 引导：铁片的长实际上就是什么？（铁环的周长）你能根据周长，求圆的半径吗？ 学生独立解答后集体订正。 四、反思总结 通过本课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？
六年级数学上册《圆的周长》案例与分析 一、教学内容：课本第62～64页《圆的周长》有关内容。 二、教学目标 1．使学生直观认识圆的周长，通过实际测量计算理解圆周率的意义，掌握圆周长的计算公式。 2．能用圆的周长的计算公式解决一些简单的数学问题。 三、教学重、难点 重点：掌握圆的周长的计算公式，准确计算圆的周长。 难点：圆的周长公式的推导，理解圆周率的意义。 四、教学片段： 新课 1、动手量一量、 请同学们拿出准备好的圆，小组内交换圆，合作完成下表，看哪一组完成的最快。测量值精确到毫米。 物品名称 周长 直径 周长与直径的比值一号园二号园三号园四号园小组汇报：各小组是怎么测量的，并展示一下小组测量的结果。 （教师评价学生小组合作的情况。） （三）、对比分析
1、师：仔细观察一下我们得到的几组数据，你发现什么规律了吗？（学生自由交谈） 抽学生汇报，教师作相应的小结： （1）一个圆的周长总是直径的三倍多点。 （2）周长和直径的比值与直径相乘可以得到圆的周长。 2、通过让学生对比分析表格，教师展示圆的周长的测量过程，（利用圆周长演示仪）让学生能对圆的周长和直径之间的关系更加清晰，激发学生想要知道两者之间的具体关系的热情。 小结1：圆的周长随直径的变化而在变化，而周长和直径之间的比值确是一个定值。一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做——圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。它的值是： π=3.1415926535……，在实际的应用中，一般取它近似值π≈3.14。 分析：本节课内容是在学生学习了正方形和长方形的基础上，在学习了圆的初步认识，知道圆心、半径、直径及圆的特性的基础上，进而学习圆的周长的。 主要采取让学生自主探究，合作学习的学习方法，在学生掌握基本知识的同时，促进他们的学习方法的养成，培养他们的数学素养。 让他们学会合作学习，学会分析，学会分工，学会分享。 在课堂上我尽量采取情境教学，为学生创设一个乐学、易学、好学的课堂氛围；始终以学生为主体，鼓励他们积极的参与其中，自主学习，作为课堂上真正的学习主人；尽量授之于学习方法，让他们在合作的学习过程中感受到学习的快乐；不断的渗透数学思想，让学生变的会写、会做、会思考；正确的评价学生的学习态度及学习表现，调动学生于一个较高的学习状态中；采用小结、应用等基本教学环节，使学生掌握圆的周长的相关知识，以达到预期的课堂目标；进行中国古代数学文化教育，培养学生的爱国热情及学习热情。给学生提供充分从事数学活动的机会，学生在观察中思考，在思考中猜测，在操作中验证，在交流中发现，在阅读中理解，使课堂形成多方的互动，多向交流，
4.1 圆的周长公式 教学目标： 1.在观察、讨论、测量等活动中，经历探索圆周率以及总结圆周长公式的过程 2.认识圆周率，理解并掌握圆的周长公式，能运用周长公式正确进行计算。 3.体验数学与日常生活的密切联系，了解圆周率的探索的历史，激发民族自豪感。课前准备：硬币、软尺、直尺、细线、3个大小不同的圆形物品、教学课件。
一议”的问题（1）：车轮转动一周，谁的车走得远？为什么？然后提问：车轮转动一周的距离是什么？学生作出回答后，让学生用手指一指车轮的周长，并用自己的语言描述。学生熟悉的事物，认识车 轮的周长。 和聪聪的自行车型号大小是不一样的，也就 是说他们骑得自行车的车轮大小不一样。想 一想，三辆自行车的车轮都转动一周，谁的 车走得远？为什么？ 生：爸爸的车走得远，因为它的车轮比 较大。 师：我们以前已经学过有关周长的知识， 谁知道车轮转动一周的距离是什么？ 生：车轮转一周的距离就是车轮的周长。 师：用手指一指，哪是车轮的周长，用 自己的话说一说什么是车轮的周长。 学生用手指图说：车轮一周的长度叫车 轮的周长。 4.提出：车轮的周长和什么有关系？使学生了解：车轮的周长与辐条的长短有关，辐条越长，周长也越长。 由车轮走的距离到车 轮周长和辐条长短有关， 使问题讨论不断深入。 师：知道了什么叫车轮的周长，再来观 察三辆自行车的轮子，你发现车轮的周长和 什么有关系？ 学生可能会出现： ●车轮的周长与车轮的大小有关系，车 轮越大，周长越长 ●车轮的周长与它的辐条的长短有关 系，因为辐条越长，车轮就越大，周长也就 越长。 …… 5.教师小结，并画出一个圆，师生对话，由圆的周长与半径有关，引申到圆的周长与直径有关。 让学生经历问题发 生、发展，由具体到抽象， 由个别到一般的过程，为 下面的探索活动做铺垫。 师：注意观察的人都会发现车轮的周长 与辐条的长度是有关系的，辐条越长，车轮 的周长就越长。如果我们把车轮看作一个圆， 把轴心看作圆心，把每根辐条看作半径，那 么圆的周长和半径之间有着怎样的关系呢？ 教师边说边画一个圆。 生：半径越长，圆的周长就越长。 师：半径越长，圆的周长就越长。那么， 圆的直径和圆的周长有什么关系？ 生：直径越长，圆的周长就越长。 教师板书：直径越长，圆的周长越长 师：真聪明。圆的周长和直径之间，有 什么样的关系呢？这节课我们就一起来研究 周长和直径的关系。 板书：周长和直径
Green 公式及其应用 专业： 机械设计制造及其自动化 班级： 机制111班 姓名： 王腊辉 摘 要 利用格林公式的相对物理意义及数学性质把二重积分化为曲线积分． 关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分； 引 言 格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有 ? ??+= ??- ??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ）（ ，其中L 是D 的取正向边界曲线 格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分 将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功 １ 格林公式的内容 格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下： 设D 是平面有界闭域,D ?是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,()()()D C y x Q y x P ',,,∈ 则 dxdy y P x Q Qdy dx P D D ?? ????? ????-??= ++ ? ?? ?? ??= D dxdy Q y P x 域,D ?是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,()()()D C y x Q y x P ',,,∈ 则 dxdy y P x Q Qdy dx P D D ?? ???? ? ????-??= ++ ? ?? ?? ??= D dxdy Q y P x
２ 二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论 下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论． 把二重积分??D dxdy y x f ),(转化为曲线积分,关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函数 ),(),,(y x Q y x P ,使 ),(y x f y P x Q =??- ?? 在D 上恒成立．为此,我们有下面的 ２.１定理 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成,函数),(y x f 在D 上具有一阶连续倒数且 ),(321y x f k y f y k x f x k =??+??,0321≠++k k k 则 ))(,(1),(213 21ydx k xdy k y x f k k k dxdy y x f L D -++= ? ?? 其中L 取D 的正向边界曲线． 证 令),(2y x yf k P -=,),(1y x xf k Q =,于是 y f y k y x f k y P ??--=??22),(, x f x k y x f k x Q ??+=??11),(． ??? ?? ???+??++=??-??y f y k x f x k y x f k k y P x Q 2121),()( ),()(321y x f k k k ++=,D y x ∈),(． 由格林公式得 ? ??++=-L D dxdy y x f k k k ydx k xdy k y x f ),()())(,(32121, 从而 ? ?? -++= L D ydx k xdy k y x f k k k dxdy y x f ))(,(1),(213 21． ２.２推论 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成,函数),(y x f 在D 上具 有一阶连续偏导数．则 （i ）当01),(≠+=??k y x kf x f x 且时, ??? += L D dy y x xf k dxdy y x f ),(1 1 ),(； （ii ）当01),(≠+=??k y x kf y f y 且时, ?? ?+- =D L dx y x yf k dxdy y x f ),(1 1 ),(；
圆的周长 第一课时圆的周长公式 教学目标： 1、经历圆周率的探究过程，理解圆周率的意义，掌握圆的周长公式，能运用圆的周长公式解决简单的实际问题。 2、培养观察、比较、分析、综合及动手操作能力，发展空间观念。 突破重难点： 重点探究圆的周长的计算方法，理解圆的周长与直接的关系。 突破方法采用小组合作学习的形式，引导学生亲身经历测量、计算的实验过程，使学生在实验过程中有所发现。 难点探究圆周率的含义。 突破方法教师设计探索性、合作性的活动，引导学生讨论、交流并理解圆周率的含义。 教学准备：线、直尺，多媒体课件等。 教学过程： 一、谈话导入 教师用圆规在黑板上画一个圆。 谈话：老师画的是什么图形？（圆）关于圆你知道了哪些知识？你还想了解些什么？ 学生自由发言。 学生可能会回答“周长”“面积”，教师适时导入：刚刚有同学提到了周长，那么今天我们就一起来研究圆的周长。（板书课题） 【设计意图】从学生已有的知识经验出发，过渡到圆的周长，显得自然亲切，容易使学生产生探究的欲望。 二、互动新授 1．认识圆的周长的含义。 课件出示一个圆，谈话：你能到黑板前指出这个圆的周长吗？（学生演示） 请你拿出你身边的圆，指出这些圆的周长。 学生在小组内活动。 提问：你觉得圆的周长是什么？ 学生自由描述。 教师根据学生的回答小结：圆的周长就是围成圆的曲线的长度。 2.教学例4。 出示教材第92页例4三个车轮及直径尺寸图。 谈话：这是三种不同规格的自行车车轮。从图中你可以了解到什么？（三个车轮的直径分别为26英寸、24英寸、22英寸）英寸是什么意思？自己读一读课本第92页的底注。图中的“22英寸”等指的是车轮的什么？（直径） 提问：三个车轮各滚动一周，哪个车轮滚过的路程比较长？你是怎样想的？ 学生独立思考后在小组内交流并汇报。 谈话：接下来我们让车轮滚动起来，看看与我们的猜想是否一致。
人教版六年级数学上册第五单元达标检测卷 8.圆的周长计算及实际应用 一、认真审题，填一填。(每空2分，共26分) 1．任意一个圆，它的()和()的比值叫做圆周率，用字母()表示，圆周率是一个固定的数，保留两位小数后的近似值约等于()。 2．如图，圆向前滚动了一周，圆滚动了()cm，这个圆的周长是()cm。 3．一个圆的周长是12.56 m，它的直径是() m，半径是() m。4．大圆周长是小圆周长的6倍，小圆直径相当于大圆直径的（） 。 （） 5．要画一个周长是25.12 cm的圆，圆规的两脚叉开的距离应是()cm。 6．一块正方形铁皮，周长是40分米，要剪下一个最大的圆，这个圆的直径是()分米。 7．一只挂钟的分针长10厘米，1小时后，分针走过的距离是()厘米。 8．一个半圆形鱼池的周长是51.4 m，它的半径是()m。
二、火眼金睛，辨对错。(对的在括号里画“√”，错的画“×”) (每小题2 分，共10分) 1．两端都在圆上的线段，叫做圆的直径。() 2．所有扇形的面积都是它所在圆面积的1 4。() 3．小圆和大圆的半径之比是2:3，它们的直径之比是3:2。() 4．圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长也扩大到原来的2倍。 () 5．直径所在的直线是圆的对称轴。()三、仔细推敲，选一选。(将正确答案的序号填在括号里)(每小题 2 分，共10分) 1．大小不同的两个圆，它们的半径各增加2 cm，和原来的圆相比较，哪个圆的周长增加得多？()。 A．大圆B．小圆C．同样多 2．一个半圆形的纸片，它的半径是5 cm，它的周长是() cm。 A．15.7B．20.7C．25.7 3．下图中的阴影部分是扇形的是()。 4．甲圆的半径是6 cm，乙圆的直径是6 cm，则甲、乙两圆直径的比是()。 A．1:1B．1C．2:1D．1:2
#include 人教版6年级数学上册8.圆的周长计算及实际应用 一、认真审题，填一填。(每空2分，共26分) 1．任意一个圆，它的()和()的比值叫做圆周率，用字母()表示，圆周率是一个固定的数，保留两位小数后的近似值约等于()。 2．如图，圆向前滚动了一周，圆滚动了()cm，这个圆的周长是()cm。 3．一个圆的周长是12.56 m，它的直径是() m，半径是() m。4．大圆周长是小圆周长的6倍，小圆直径相当于大圆直径的（） 。 （） 5．要画一个周长是25.12 cm的圆，圆规的两脚叉开的距离应是()cm。 6．一块正方形铁皮，周长是40分米，要剪下一个最大的圆，这个圆的直径是()分米。 7．一只挂钟的分针长10厘米，1小时后，分针走过的距离是()厘米。 8．一个半圆形鱼池的周长是51.4 m，它的半径是()m。 二、火眼金睛，辨对错。(对的在括号里画“√”，错的画“×”) (每小题2 分，共10分) 1．两端都在圆上的线段，叫做圆的直径。() 2．所有扇形的面积都是它所在圆面积的1 4。() 3．小圆和大圆的半径之比是2:3，它们的直径之比是3:2。() 4．圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长也扩大到原来的2倍。 () 5．直径所在的直线是圆的对称轴。()三、仔细推敲，选一选。(将正确答案的序号填在括号里)(每小题 2 分，共10分) 1．大小不同的两个圆，它们的半径各增加2 cm，和原来的圆相比较，哪个圆的周长增加得多？()。 A．大圆B．小圆C．同样多 2．一个半圆形的纸片，它的半径是5 cm，它的周长是() cm。 A．15.7B．20.7C．25.7 3．下图中的阴影部分是扇形的是()。 4．甲圆的半径是6 cm，乙圆的直径是6 cm，则甲、乙两圆直径的比是()。 A．1:1B．1C．2:1D．1:2人教版6年级数学上册《圆的周长计算及实际应用》附答案
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