实验一：线性规划单纯形算法 一、实验目的 通过实验熟悉单纯形法的原理，掌握Matlab 循环语句的应用,提高编程的能力和技巧。 二、实验用仪器设备、器材或软件环境 Windows Xp 操作系统 ,Matlab6.5，计算机 三、算法 对于一般的标准形式线性规划问题(求极小问题),首先给定一个初始 基本可行解。设初始基为B,然后执行如下步骤： (1).解B Bx b =,求得1 B x B b -=，0,N B B x f c x ==令计算目标函数值 1(1,2,...,)i m B b i -=i 以b 记的第个分量 (2).计算单纯形乘子w , B wB C =,得到1 B w C B -=,对于非基变量，计算判别数 1i i i B i i z c c B p c σ-=-=-,令 max{}k i i i R z c σ∈=-,R 为非基变量集合 若判别数0k σ≤ ,则得到一个最优基本可行解，运算结束；否则，转到下一步 (3).解k k By p =,得到 1 k k y B p -=；若0k y ≤,即k y 的每个分量均非正数，则停止计算，问题不存在有限最优解，否则，进行步骤(4). (4).确定下标r,使 { } :0 min ,0 t r rk tk tk b b tk y y t y y >=>且r B x 为离基变量。 k x 为进基变量，用k p 替换r B p ，得到新的基矩阵B ，返回步骤（1）。 对于极大化问题，可以给出完全类似的步骤，只是确定进基变量的准则不同。对于极大化问题，应令 min{}k k j j z c z c -=-
四、计算框图 是 否 是 否 开始 初始可行解B 令1,0,B N B B x B b b x f c x -==== 计算单纯形乘子1 B w c B -=，计算判别数,i j j wp c j R σ=-∈（非基变量） 令max{,}k j j R σσ=∈ 0?k σ≤ 得到最优解 解方程k k By p =，得到1k k y B p -=。 0?k y ≤ 不存在有限最优解 确定下标r ，是 { }:0 min ,0 t r rk tk tk b b tk y y t y y >=>且 k x 为进基变量，用 k p 替换r B p ，得到新的基矩阵B
实验10 数值积分 实验目的： 1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。 实验内容： 积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分?1 0 d sin x x x 。这时我们一般考虑用数值方法计算其 近似值，称为数值积分。 10.1 数值微分简介 设函数()y f x =在* x 可导，则其导数为 h x f h x f x f h ) ()(lim )(**0* -+='→ （10.1） 如果函数()y f x =以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值 h x f h x f x f ) ()()(*** -+≈' （10.2） 表 10-1 一般的，步长h 越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数()y f x =在 *x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似 代替微商。常用的差商公式为： 000()() ()2f x h f x h f x h +--'≈ （10.3） h y y y x f 243)(2 100-+-≈ ' （10.4）
h y y y x f n n n n 234)(12+-≈ '-- （10.5） 其误差均为2 ()O h ，称为统称三点公式。 10.2 数值微分的MATLAB 实现 MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) 其中x 是n 维数组，dx 为1n -维数组[]21321,, ,n x x x x x x ---,这样基于两点的数值导 数可通过指令diff(x)/h 实现。对于三点公式，读者可参考例1的M 函数文件diff3.m 。 例1 用三点公式计算()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值，()f x 的值由下表给 解：建立三点公式的M 函数文件diff3.m 如下： function f=diff3(x,y) n=length(x);h=x(2)-x(1); f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h); for j=2:n-1 f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h); end f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h); 在MATLAB 指令窗中输入指令： x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y) 运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。 对于高阶导数，MATLAB 提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下： step1：对给定数据点（x,y ），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp ，供后面ppval 等指令使用。其中，pp 是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。 step2：对于上面所求的数据向量pp ，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp 。 step3：对各个分段多项式pp 的系数，利用函数ppval 生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp 生成相应的导数分段多项式 step4：将待求点xx 代入此导数多项式，即得样条导数值。 上述过程可建立M 函数文件ppd.m 实现如下： function dy=ppd(pp) [breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);
Matlab 的数值积分问题 （１）求和命令sum 调用格式. 如果x 是向量,则sum(x) 给出x 的各个元素的累加和;如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例3.1 调用命令sum 求向量x 的各个元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; sum(x) 得到 ans=55 例3.2 调用命令sum 求矩阵x 的各列元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x) 得到 ans=12 15 18 2．定积分的概念. 定积分是一个积分和的极限. 例如取x e x f =)(,求定积分?10dx e x 的近似值。 积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间, x=linspace(0,1,21); 选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值. y=exp(x); 取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来. y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 s1=1.6757 s1可作为定积分?10dx e x 的近似值。 若选取右端点: y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 s2=1.7616 s2也可以作为定积分?10dx e x 的近似值。 下面我们画出图象. plot(x,y);hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')
end 如果选取右端点,则可画出图象. for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],'b') hold on end plot(x,y,'r') 在上边的语句中,for … end 是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill 命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充. 可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算。 syms k n s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n); limit(s,n,inf) 得结果 ans=exp(1)-1 3．计算定积分 例3.6 计算?10dx e x . 解:输入命令: syms x; int(exp(x),0,1) 得结果 ans=exp(1)-1. 这与我们上面的运算结果是一致的. ⒈ 由给定数据进行梯形求积 假设已经建立起向量T N T N y y y y x x x x ],,,[,],,,[2121 ==，则可用以下语句进行梯形求积： sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 MATLAB 提供的trapz()函数也可直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为 S=trapz(x,y) [例1-6-17] 试用梯形法求出),0(π∈x 区间内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积分值。 [求解] >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]; x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 >> S1=trapz(x1,y) [例1-6-18] 用定步长方法求解积分?2 /30)15cos(πdx x 。 [求解] 鉴于求解区域内被积函数有很强的振荡，可先用下述语句绘制被积函数的曲线。 >> x=[0:0.01:3*pi/2,3*pi/2]; y=cos(15*x); plot(x,y) 采用不同的步距，可分别得到积分近似结果。 >> syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % 求理论值 >> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]
数 学 软 件 与 实 验 数学与信息科学学院 信息与计算科学
单纯形法的Matlab程序如下：function [xx,fm]=myprgmh(m,n,A,b,c) B0=A(:,1:m); cb=c(:,1:m); xx=1:n; sgm=c-cb*B0^-1*A; h=-1; sta=ones(m,1); for i=m+1:n if sgm(i)>0 h=1; end end while h>0 [msg,mk]=max(sgm); for i=1:m sta(i)=b(i)/A(i,mk); end [mst,mr]=min(sta); zy=A(mr,mk); for i=1:m
if i==mr for j=1:n A(i,j)=A(i,j)/zy; end b(i)=b(i)/zy; end end for i=1:m if i~=mr for j=1:n A(i,j)=A(i,j)-A(i,mk)*A(mr,j); end b(i)=b(i)-A(i,mk)*b(mr); end end B1=A(:,1:m); cb(mr)=c(mk); xx(mr)=mk; sgm=c-cb*B1*A; for i=m+1:n if sgm(i)>0 h=1;
end end end fm=c*xx; 例题： 编写下列求解如下线性规划问题的单纯形法函数min f'x s.t ax<=b(其中b>=0) 函数形式function [x,fval,it,op]=singl(f,a,b) 输出中x为最优解 fval为最优值 it为迭代次数 无最优解op=0 有最优解op=1 编写程序如下： function [x,fval,it,op]=singl(f,a,b) [m,n]=size(a); c=[a eye(m) b;f' zeros(1,m+1)]; fval=0; x=zeros(m+n,1); op=1; it=0; e=zeros(1,m); lie=find(f<0); l=length(lie); while(l>0) for j=1:l d=find(c(:,lie(j)));
%求解标准型线性规划:max c*x;s.t. A*x=b;x>=0 %本函数中的A是单纯初始表，包括:最后一行是初始的检验数，最后一列是资源向量b %N是初始的基变量的下标 %输出变量sol是最优解 %输出变量val是最优值，kk是迭代次数 function [sol,val,kk]=ssimplex(A,N) [mA,nA]=size(A); kk=0; %迭代次数 flag=1; while flag kk=kk+1; if A(mA,:)<=0 %已找到最优解 flag=0; sol=zeros(1,nA-1);%给每个变量赋初值0 for i=1:mA-1 sol(N(i))=A(i,nA);%给基变量赋新值(替换0) end %给出最优解 val=-A(mA,nA); else for i=1:nA-1 if A(mA,i)>0&A(1:mA-1,i)<=0 %问题有无界解 disp('have infinite solution!'); flag=0; break; end end if flag %还不是最优表，进行转轴运算 temp=0; for i=1:nA-1 if A(mA,i)>temp temp=A(mA,i); inb=i; % 进基变量的下标 end end %选择最大检验数纵向对应的变量为进基变量 sita=zeros(1,mA-1); for i=1:mA-1 if A(i,inb)>0 sita(i)=A(i,nA)/A(i,inb); end end temp=inf; for i=1:mA-1 if sita(i)>0&sita(i) 算法实现与分析 算法1.单纯形法 具体算例: 标准化后: 用单纯形法求解,程序如下: clear clc M=1000000; A=[3,2,-3,1,0;1,-2,1,0,1];%系数矩阵 C=[-3,1,2,M,M,0];%价值矩阵 B=[6;4]; Xt=[4 5]; for i=1:length(C)-1 D=0; for j=1:length(Xt) D=D+A(j,i)*C(Xt(j)); end xi(i)=C(i)-D; end s=[]; for i=1:length(xi) if xi(i)<0 s=[s,i]; end end f=length(s); h=1; while(f) for k=1:length(s) j=1; A x=[]; for i=1:length(Xt) if A(i,s(k))>0 x(j)=i; j=j+1; end end x if(length(x)+1==1) break; end y=1 x for i=1:length(x) if B(x(i))/A(x(i),s(k)) 数值积分用m a t l a b实 现 东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 数值积分及Matlab实现 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号5133117 姓名楚文玉 指导教师张建波姜玉山 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2015年07月14日 1 绪论 在科研计算中，经常会碰到一些很难用公式定理直接求出精确解的积分问题，对于这类问题，我们一般转化为数值积分问题，用计算机来实现求解问题． 1.1 课题的背景 对于定积分()b a f x dx ?在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里 茨公式()()()b a I f x dx F b F a ==-?可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数() f x 不易求出或非常复杂．被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如 2 sin (),x x f x e x -= 等；有的函数()f x 的原函数()F x 存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式．因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的．另外，许多实际问题中的被积函数()f x 往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值．因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算．而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值．微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一．随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域．现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有着很重要的意义．国内外众多学者在数值积分应用领域也提出了许多新方法．在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等．通过这个课题的研究，我们将会更好地掌握运用数值积分算法求出特殊积分函数的定积分的一些基本方法、理论基础；并且通过Matlab 软件编程的实现，应用于实际生活中． 1.2 课题的主要内容框架 单纯形法（Matlab 程序） %%单纯形法( Matlab 程序) a=input('input the major matrix A '); b=input('input the matrix b '); n=input('input the judgement '); %%为计数器(确定循环次数) g=0; while g<40 %%确定非负 alength=max(size(n)); blength=max(size(b)); m=0; for i=1:alength if n(i)>=0 m=m+1; end end; if m==alength x=b; break end; %%找 K s=min(n); for i=1:alength if n(i)==s k=i; break end; end; %%a[i,k] 的非负性 m=0; for i=1:blength if a(i,k)<0 m=m+1; end; end; if m==blength disp('x does not exit'); judge=1; break end; %%找 L 确定主元 cc=100000; for i=1:blength if a(i,k)>0 if (b(i)/a(i,k))< cc cc=b(i)/a(i,k); end end end; for i=1:blength if a(i,k)~=0 if (b(i)/a(i,k))==cc l=i; break end end end; %%计算 ,a 标准化 zu=a(l,k); aa=a; for i=1:l-1 for j=1:alength aa(i,j)=a(i,j)- a(l,j)*a(i,k)/a(l,k); end end; for i=l+1:blength for j=1:alength aa(i,j)=a(i,j)- a(l,j)*a(i,k)/a(l,k); end end; for j=1:alength aa(l,j)=a(l,j)/zu; end; %%b勺判别 bb=b; bb(l)=b(l)/zu; for i=1:l-1 bb(i)=b(i)- b(l)*a(i,k)/a(l,k); end; for i=l+1:blength bb(i)=b(i)- b(l)*a(i,k)/a(l,k); end; b=bb; %%确定判别数 数值积分算法与MATLAB实现 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 摘要：在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。 本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。 【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件 前言 对于定积分，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数不易求出或非常复杂。被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如等；有的函数的原函数存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式。因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值。因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算。而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值。 微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节。数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一，也是应用数学研究的重点。随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域。现在，数值积分在计算 线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linprog(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到lambda 参数中。 多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束 利用Matlab 实现Romberg 数值积分算法 一、内容摘要 针对于某些多项式积分，利用Newton —Leibniz 积分公式求解时有困难，可以采用数值积分的方法，求解指定精度的近似解，本文利用Matlab 中的.m 文件编写了复化梯形公式与Romberg 的数值积分算法的程序，求解多项式的数值积分，比较两者的收敛速度。 二、数值积分公式 1.复化梯形公式求解数值积分的基础是将区间一等分时的Newton —Cotes 求积公式: I =(x)[f(a)f(b)]2 b a b a f dx -≈ +? 其几何意义是，利用区间端点的函数值、与端点构成的梯形面积来近似(x)f 在区间[a,b]上的积分值，截断误差为： 3" (b a)()12 f η-- (a,b)η∈ 具有一次的代数精度，很明显，这样的近似求解精度很难满足计算的要求，因而，可以采用将积分区间不停地对分，当区间足够小的时候，利用梯形公式求解每一个小区间的积分近似值，然后将所有的区间加起来，作为被求函数的积分，可以根据计算精度的要求，划分对分的区间个数，得到复化梯形公式： I =1 1 (b a)(b a) (x)dx [f(a)f(b)2(a )]2n b a k k f f n n -=--≈+++∑? 其截断误差为： 2" (b a)h ()12 R f η--= (a,b)η∈ 2.Romberg 数值积分算法 使用复化的梯形公式计算的数值积分，其收敛速度比减慢，为此，采用Romberg 数值积分。其思想主要是，根据I 的近似值2n T 加上I 与2n T 的近似误差，作为新的I 的近视，反复迭代，求出满足计算精度的近似解。 用2n T 近似I 所产生的误差可用下式进行估算： 12221 ()3 n n n I T T T -?=-=- 新的I 的近似值： 122 n n j T T -=?+ j =（0 1 2 ….） Romberg 数值积分算法计算顺序 i=0 (1) 002T i=1 (2) 102T (3) 012T i=2 (4) 202T (5) 112T (6) 022T i=3 (7) 302T (8) 212T (9) 122T (10) 032T i=4 (11) 402T (12) 312T (13) 222T (14) 132T … … … … 其中，第一列是二阶收敛的，第二列是四阶收敛的，第三列是六阶收敛的，第四列是八阶收敛的，即Romberg 序列。 编号： 审定成绩： 重庆邮电大学 毕业设计（论文） 设计（论文）题目：数值积分算法与MATLAB实现 学院名称：数理学院 学生姓名： 专业：数学与应用数学 班级： 学号： 指导教师： 答辩组负责人： 填表时间：年月 重庆邮电大学教务处制 摘要 在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。 本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。 【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件 ABSTRACT When the solution of the definite integral of some function values，because the original function is very complex and difficult to find the elementary function expression, the integral is difficult to accurately calculate, only managed to find the approximate value, and the case is small that allows to direct interface with the Newton - Leibniz formula to calculate the definite integral. Numerical integration is an effective method to solve such problems. The numerical integration is an important branch of numerical analysis; therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail some important numerical integration methods. This paper has introduced detail the Newton - Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss - Legendre quadrature formula. In addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the computer, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and comparison to various quadrature formulas calculation error. 【Key words】Numerical integration Newton-Cotes quadrature formula High-precision quadrature formula Matlab software 北京联合大学 实验报告 项目名称：运筹学专题实验报告 学院：自动化专业：物流工程 班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩： 2015 年 5 月 6 日 实验二：MATLAB 编程单纯形法求解 一、实验目的： (1)使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，掌握Matlab (C 或VB)语言进行程序设计中一些常用方法。 (2)使学生对线性规划的单纯形法有更深的理解. 二、实验用仪器设备、器材或软件环境 计算机, Matlab R2006 三、算法步骤、计算框图、计算程序等 本实验主要编写如下线性规划问题的计算程序: ?? ?≥≥≤0 ,0..min b x b Ax t s cx 其中初始可行基为松弛变量对应的列组成. 对于一般标准线性规划问题: ?? ?≥≥=0 ,0..min b x b Ax t s cx １．求解上述一般标准线性规划的单纯形算法（修正）步骤如下： 对于一般的标准形式线性规划问题(求极小问题),首先给定一个初始基本可行解。设初始基为B,然后执行如下步骤： (1).解B Bx b =,求得 1 B x B b -=，0,N B B x f c x ==令计算目标函数值 1(1,2,...,)i m B b i -=i 以b 记的第个分量 (2).计算单纯形乘子w, B wB C =,得到1 B w C B -=,对于非基变量，计算判别 数1i i i B i i z c c B p c σ-=-=-,可直接计算 σ =1 B A c c B --令 max{}k i R σσ∈=,R 为非基变量集合 若判别数0k σ≤ ,则得到一个最优基本可行解，运算结束；否则，转到下一 步 (3).解k k By p =,得到 1 k k y B p -=；若0k y ≤,即k y 的每个分量均非正数， 则停止计算，问题不存在有限最优解，否则，进行步骤(4).确定下标r,使 { }:0 min ,0 t r rk tk tk b b tk y y t y y >=>且r B x 为离基变量, ,r k B x p k 为进基变量,用p 替换得到新的基矩阵B,还回步骤(1) ; 一.数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MA TLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。 例8-1 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S = 0.9008 n = 77 2．牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MA TLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。?该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I = 2.4674 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65 调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33 大连民族学院 数学实验报告 课程：____________________ 最优化方法______________________ 实验题目： ___________ 单纯形法的matlab实现 ___________________ 系别：______________________ 理学院________________________ 专业：__________________ 信息与计算科学____________________ 姓名：__________________________________________________ 班级：_____________________ 信息102班 ____________________ 指导教师：___________________ 葛仁东_______________________ 完成学期：2013 年__9 ___________ 月_2________ 日 实验目的： 实验方法和步骤(包括数值公式、算法步骤、程序) ： 考察标准形式的线性规划问题： min f(x) C T x s.t Ax b, x 0 设x(k)F为一个基本可行解，单纯形方法首先检验它的最优性。如果它不是最优的，确定与该顶点相连的一条使目标函数下降的边；接下来确定沿这个边移 动多远可以到达另一个更优的相邻点，也就是得出一个新的基本可行解 算法步骤： 步骤1给定一个初始基本可行解，记迭代次数 k 1 ； 步骤2 :计算单纯形乘子y k B k T c B k)和简约价值系数向量C N k) c N k) N T y k ； 步骤3 :最优性检验，计算C?k) min{C (k)|j 2}，如果C?k) 0，则x (k)为最优解， 停止迭代；否则有x p 0，选x p 为入基变量； 步骤4:确定出基变量，计算g k) B k 1a p ，如果对所有j B k ，有器)0,则问题 无有界的最优解，停止迭代；否则确定出基变量指标 步骤5:交换B k 的列a q 与N k 的列a p 得到新的基矩阵 盼和山+1，计算新的基本可 行解 x (k1),置k:k 1后转步骤 2； 在上述算法中，当存在不止一个简约价值系数 C j k) 0时，选取最负的?“的 指标为p ，并以X p 作为入基变量。 Matlab 计算程序： Function] x,f]=zuiyouhua(A,b,c) Size(A)=[m, n]; i=n+1: n+m; N=1: n; B=eye(m,m); xb=b '; xn=zeros(m,1); f1=0; w=zeros(1,m); z=-c; flag=1; while(1) [a,k]=max(z); If a<=0 flag=0; break else y=i nv(B)*A(:,k) b (k) B k }； min{ _(k )殆 0, j单纯形法matlab程序
数值积分用matlab实现
单纯形法MATLAB程序
数值积分算法与MATLAB实现
运用Matlab进行线性规划求解(实例)
多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现
利用Matlab实现Romberg数值积分算法----系统建模与仿真结课作业
数值积分的算法比较及其MATLAB实现
实验二：MATLAB编程单纯形法求解
[整理]Matlab积分.
单纯形法的matlab实现(20200814192014)
相关主题
文本预览