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2015高考数学总复习专题系列——随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版

2015高考数学总复习专题系列——随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版
2015高考数学总复习专题系列——随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版

1. 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量 如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母,,X Y 表示.

如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X 所有可能的取值

x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示:

2.几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X 的分布列为

其中01p <<,1q p =-

二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X

两点分布又称01-布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件()n N ≤,

这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为

C C ()C m n m

M N M

n N

P X m --==

(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个). 知识内容

二项分布

我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道N ,M 和n ,就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =,从而列出X 的分布列. ⑶二项分布

1.独立重复试验

如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A 及A ,并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为

()C (1)k

k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =. 2.二项分布

若将事件A 发生的次数设为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复

试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k

n P X k p q -==,其中0,1,2,,k n =.于

是得到

n

p q 由式

00111()C C C C n n n k k n k n

n n n

n n

q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值,所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p .

二项分布的均值与方差:

若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布,则

()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.

⑷正态分布

1. 概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,

直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则这条曲线称为X 的概率密度曲线.

曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个

数a b ,

之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. 2.正态分布 ⑴定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的,而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布. 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22

()

2()x f x μσ--,

x ∈R ,其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.

式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.期望

为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ. 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线. ⑵标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑶重要结论: ①正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分

别是68.3%,95.4%,99.7%.

②正态变量在()-∞+∞,

内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+,之外的取值的概率是0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.

⑷若2~()N ξμσ,,()f x 为其概率密度函数,

则称()()()x

F x P x f t dt ξ-∞==?≤为概率分布函数,特别的,2

~(01)N ξμ

σ-,,称2

2()t x x dt φ-=?为标准正态分布函数. ()()x P x μ

ξφσ

-<=.

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得.

分布函数新课标不作要求,适当了解以加深对密度曲线的理解即可.

3.离散型随机变量的期望与方差

1.离散型随机变量的数学期望

定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x ,这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平. 2.离散型随机变量的方差

一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这些值对应的

概率是1p ,2p ,…,n p ,则222

1122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度).

()D X X 的标准差,它也是一个衡量离散型随

机变量波动大小的量.

3.X 为随机变量,a b ,为常数,则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=,;

4. 典型分布的期望与方差: ⑴二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为p ,在n 次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为np .

⑵二项分布:若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.

⑶超几何分布:若离散型随机变量X 服从参数为N M n ,

,的超几何分布, 则()nM

E X N

=,2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-.

4.事件的独立性

如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,

这时,我们称两个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.

如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发

生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =???,并且上式中任意多个事

件i A 换成其对立事件后等式仍成立.

5.条件概率

对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =).

二项分布的概率计算

【例1】 已知随机变量ξ服从二项分布,1

~(4)3

B ξ,,则(2)P ξ=等于 .

【例2】 甲乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结

束,假定甲每局比赛获胜的概率均为2

3

,则甲以3:1的比分获胜的概率为( )

A .

827

B .

6481

C .49

D .8

9

【例3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是

1

2

,他投球10次,恰好投进3个球的概率 .(用数值表示)

【例4】 某人参加一次考试,4道题中解对3道则为及格,已知他的解题正确率为0.4, 则他能及格的概率为_________(保留到小数点后两位小数)

【例5】 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80,现有5人接种了该疫苗,至少有

3人出现发热反应的概率为 .(精确到0.01)

【例6】 从一批由9件正品,3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率(结果保留2位有效数字). 【例7】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型

典例分析

号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概

率是()

A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728

【例8】设在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若已知事件A至少发生一

次的概率等于65

81

,求事件A在一次试验中发生的概率.

【例9】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰,至少有2枚鱼雷击中敌舰时,敌舰才被击沉.如果每枚鱼雷的命中率都是0.6,当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l

枚鱼雷后,求敌舰被击沉的概率(结果保留2位有效数字).

【例10】某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中的任意连续取出2件,求次品数 的概率分布列及至少有一件次品的概率.

【例11】某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的

创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1

2

.若某人

获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万

元的资助;若未获得“支持”,则不予资助.求:

⑴该公司的资助总额为零的概率;

⑵该公司的资助总额超过15万元的概率.

【例12】某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性

付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.

⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;

⑵求3位位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.

【例13】某万国家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费1000元,便可获得奖券

一张,每张奖券中奖的概率为1

5

,若中奖,则家具城返还顾客现金200元.某

顾客消费了3400元,得到3张奖券.

⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率;

⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.

【例14】某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的

成活率分别为5

6

4

5

,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:

⑴至少有1株成活的概率;

⑵两种大树各成活1株的概率.

【例15】一个口袋中装有n个红球(5

n≥且*

n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.

⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p;

⑵若5

n=,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;

⑶记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P.当n取多少时,P最

大?

【例16】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是1

3

,从B中摸出一个红球的概率为p.

⑴从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.

①求恰好摸5次停止的概率;

②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,求随机变量ξ的分布.

⑵若A B

,两个袋子中的球数之比为1:2,将A B

,中的球装在一起后,从中摸出一

个红球的概率是2

5

,求p的值.

【例17】设飞机A有两个发动机,飞机B有四个发动机,如有半数或半数以上的发动机

没有故障,就能够安全飞行,现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1t

p eλ-

=-,其中t为发动机启动后所经历的时间,λ为正的常数,试讨论飞机

A与飞机B哪一个安全?(这里不考虑其它故障).

【例18】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P

-,且各发动机互不影响.如果至少50%的发动机能正常运行,飞机就可以顺利地飞行.问对于多大

的P而言,四发动机飞机比二发动机飞机更安全?

【例19】一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交

通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是1

3

⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数,求ξ的分布列;

⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数,求η的分布列;

⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

【例20】一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正

面向上恰为2次的概率相同.令既约分数i

j

为硬币在5次抛掷中有3次正面向上

的概率,求i j

【例21】某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位)

⑴5次预报中恰有2次准确的概率;

⑵5次预报中至少有2次准确的概率;

⑶5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率;

【例22】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920

,,层可以停靠.若该电梯在

底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1

3

,求至

少有两位乘客在20层下的概率.

【例23】10个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取一球,求直到第n次才取得()

k k n

≤次红球的概率.

【例24】某车间为保证设备正常工作,要配备适量的维修工.设各台设备发生的故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是0.01.试求:

⑴若由一个人负责维修20台,求设备发生故障而不能及时维修的概率;

⑵若由3个人共同负责维修80台设备,求设备发生故障而不能及时维修的概率,

并进行比较说明哪种效率高.

【例25】A B

,是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由

4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个

试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为

甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为2

3

,服用B有效的概率为

1

2

.观

察3个试验组,求至少有1个甲类组的概率.(结果保留四位有效数字)

【例26】已知甲投篮的命中率是0.9,乙投篮的命中率是0.8,两人每次投篮都不受影响,求投篮3次甲胜乙的概率.(保留两位有效数字)

【例27】若甲、乙投篮的命中率都是0.5

∈N,≥)

n n

p=,求投篮n次甲胜乙的概率.(1

【例28】省工商局于某年3月份,对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查,结果显示,某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%,现有甲,乙,丙3人聚会,选

用6瓶x饮料,并限定每人喝2瓶,求:

⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率;

⑵甲,乙,丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率(精确到0.01).

【例29】在一次考试中出了六道是非题,正确的记“√”号,不正确的记“×”号.若某考生随手记上六个符号,试求:⑴全部是正确的概率;

⑵正确解答不少于4道的概率;

⑶至少答对2道题的概率.

【例30】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛,校队的实力比系队强,当一个校队队员与系队队员比赛时,校队队员获胜的概率为0.6.

现在校、系双方商量对抗赛的方式,提出了三种方案:⑴双方各出3人;⑵双方各出

5人;⑶双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问:对

系队来说,哪一种方案最有利?

二项分布的期望与方差

【例31】已知(100.8)

~,求()

X B,

D X.

E X与()

【例32】 已知~()X B n p ,

,()8E X =,() 1.6D X =,则n 与p 的值分别为( ) A .10和0.8 B .20和0.4 C .10和0.2 D .100和0.8

【例33】 已知随机变量X 服从参数为60.4,

的二项分布,则它的期望()E X = , 方差()D X = .

【例34】 已知随机变量X 服从二项分布,且() 2.4E ξ=,() 1.44D ξ=,则二项分布的参数

n ,p 的值分别为 , .

【例35】 一盒子内装有10个乒乓球,其中3个旧的,7个新的,每次取一球,取后放回,

取4次,则取到新球的个数的期望值是 .

【例36】 同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上

的次数为ξ,则ξ的数学期望是( )

A .20

B .25

C .30

D .40

【例37】 某服务部门有n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服

务对象一天中需要服务的可能性是p ,则该部门一天中平均需要服务的对象个数是( )

A .(1)np p -

B .np

C .n

D .(1)p p -

【例38】 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含

红球个数的数学期望是_________.(用数字作答)

【例39】 同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上

的次数为ξ,则ξ的数学期望是( )

A .20

B .25

C .30

D .40

【例40】某批数量较大的商品的次品率是5%,从中任意地连续取出10件,X为所含次品的个数,求()

E X.

【例41】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是121 352,,.

⑴现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;

⑵用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望.

【例42】抛掷两个骰子,当至少有一个2点或3点出现时,就说这次试验成功.

⑴求一次试验中成功的概率;

⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差.

【例43】某寻呼台共有客户3000人,若寻呼台准备了100份小礼品,邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问:寻呼台能否向每一位顾客

都发出奖邀请?若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少礼

品?

【例44】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知

参加过财会培训的有%

60,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

⑴任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;

⑵任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布和期望.

【例45】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是

相互独立的.记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一

种的人数,求ξ的分布及期望.

【例46】某班级有n人,设一年365天中,恰有班上的m(m n

≤)个人过生日的天数为X,求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.

【例47】购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000

人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内

至少支付赔偿金10000元的概率为410

-.

10.999

⑴求一投保人在一年度内出险的概率p;

⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望

不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).

【例48】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检

是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安

检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01).

⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率;

⑵平均有多少家煤矿必须整改;

⑶至少关闭一家煤矿的概率.

【例49】设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障,可获利润10万元;发生一次故障可获利润5万

元,只发生两次故障可获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万

元.求一周内期望利润是多少?(精确到0.001)

【例50】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中

只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概

率都是2

3

⑴求油罐被引爆的概率;

⑵如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及Eξ.

【例51】 某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服

装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.

⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率; ⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则

每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是1

2

请问:商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

【例52】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下

落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概

率都是1

2

⑴ 求小球落入A 袋中的概率()P A ;

⑵ 在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A 袋中的小球个数,试求3ξ=的概率和ξ的数学期望.

【例53】 一个袋中有大小相同的标有1,2,3,4,5,6的6个小球,某人做如下游戏,

每次从袋中拿一个球(拿后放回),记下标号.若拿出球的标号是3的倍数,则得1分,否则得1-分.

⑴ 求拿4次至少得2分的概率; ⑵ 求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望.

【例54】 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =,其中

A 的各位数中,11a =,(2345)k a k =,

,,出现0的概率为1

3

,出现1的概率为2

3.记12345a a a a a ξ=++++,当程序运行一次时, ⑴ 求3ξ=的概率; ⑵ 求ξ的概率分布和期望.

【例55】 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,

遇到红灯的概率都是1

3

,遇到红灯时停留的时间都是2 min .

⑴ 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; ⑵ 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。

2015年北京市高考数学试卷(理科)及答案

2015年北京市高考数学试卷(理科) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(5分)复数i(2﹣i)=() A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 2.(5分)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为() A.0 B.1 C.D.2 3.(5分)执行如图所示的程序框图输出的结果为() A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8) 4.(5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α,“m∥β“是“α∥β”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()

A.2+B.4+C.2+2D.5 6.(5分)设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 7.(5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是() A.{x|﹣1<x≤0}B.{x|﹣1≤x≤1}C.{x|﹣1<x≤1}D.{x|﹣1<x≤2} 8.(5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是() A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题(每小题5分,共30分) 9.(5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为(用数字作答) 10.(5分)已知双曲线﹣y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=.11.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离为.12.(5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=. 13.(5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=. 14.(5分)设函数f(x)=, ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 三、解答题(共6小题,共80分) 15.(13分)已知函数f(x)=sin cos﹣sin. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[﹣π,0]上的最小值. 16.(13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A组:10,11,12,13,14,15,16 B组;12,13,15,16,17,14,a 假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.

新高中数学《集合》专项测试 (1145)

高中数学《集合》测试题 学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________ 一、选择题 1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对)) 2.设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)[0,2] (B)[1,2] (C)[0,4] (D)[1,4](2006年高考浙江理) 3.设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是( ) (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4.已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x <-2} B.{x |x >3} C.{x |-1<x <2} D.{x |2<x <3}(2004全国Ⅱ1) 5.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 ( ) A .5 B .4 C .3 D .2(2012江西理) C 6.设集合A={x|1<x <4},集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩(C R B )= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4) 7.若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ,则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------( ) (A ) a >0,b 2―4ac >0 (B ) a >0,b 2 ―4ac <0 (C ) a <0,b 2―4ac >0 (D ) a <0,b 2―4ac <0 二、填空题 8.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合{}321,,a a a A =,则满足

高考数学大题练习

高考数学大题 1.(12分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2) (1)若a ⊥b ,求tan θ的值; (2)若a ∥b ,且θ为第Ⅲ象限角,求sin θ和cos θ的值。 2.(12分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,且AC=BC=BD=2AE ,M 是AB 的中点. (I)求证:CM ⊥EM: (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3.(13分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高 下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4.(12分) 在△ABC 中,∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA (1)求角A .B .C 的大小; (2)设函数f(x)=sin (2x+A )+cos (2x- 2C ),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离。 5.(13分)已知函数f(x)=x+x a 的定义域为(0,+∞)且f(2)=2+22,设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线,垂足分别为M ,N. (1)求a 的值; (2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由: (3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值。 6.(13分)设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数,e 为自然对数的底数) (1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p 的值; (3)若在[1,e]上至少存在一点x 0,使得f(x 0)>g(x 0)成立,求p 的取值范围.

2015年北京高考数学(理科)试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.复数()i 2i -= A .12i + B .12i - C .12i -+ D .12i -- 2.若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤,≤,≥,则2z x y =+的最大值为 A .0 B .1 C . 32 D .2 3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A .()22-, B .()40-, C .()44--, D .()08-,

开始 x =1,y =1,k =0 s =x -y ,t =x +y x =s ,y =t k =k +1 k ≥3输出(x ,y ) 结束 是否 4.设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m α?.“m β∥”是“αβ∥”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是 正(主)视图 11俯视图 侧(左)视图 21 A .25+ B .45+ C .225+ D .5 6.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是 A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +<

C .若120a a <<,则213a a a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 7.如图,函数()f x 的图像为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A B O x y -1 2 2C A .{}|10x x -<≤ B .{}|11x x -≤≤ C .{}|11x x -<≤ D .{} |12x x -<≤ 8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D .某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在()5 2x +的展开式中,3x 的系数为 .(用数字作答)

【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版

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一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作;若b 不是集合A 的元素,记作;A a ∈A b ? (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;

最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]

1.已知点)1,0(F ,一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程; (2)设点)0,(a A ,点P 为曲线C 上任一点,求点A 到点P 距离的最大值)(a d ; (3)在10<

3.已知点A (-1,0),B (1,0),C (- 5712,0),D (5712 ,0),动点P (x , y )满足AP →·BP → =0,动点Q (x , y )满足|QC →|+|QD →|=10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1; ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形,若存在,请求出一个这样的平行四边形,若不存在,请说明理由; ⑶固定曲线C 0,在⑵的基础上提出一个一般性问题,使⑵成为⑶的特例,探究能得出相应结论(或加强结论)需满足的条件,并说明理由。 4.已知函数f (x )=m x 2+(m -3)x +1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧, ⑴求实数m 的取值范围; ⑵令t =-m +2,求[1 t ];(其中[t ]表示不超过t 的最大整数,例如:[1]=1, [2.5]=2, [-2.5]=-3) ⑶对⑵中的t ,求函数g (t )=t +1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。

完整word版,2015年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年北京市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(5分)(2015?北京)复数i(2﹣i)=() A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则解答. 解答:解:原式=2i﹣i2=2i﹣(﹣1)=1+2i; 故选:A. 点评:本题考查了复数的运算;关键是熟记运算法则.注意i2=﹣1. 2.(5分)(2015?北京)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为() A.0B.1C.D.2 考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,即可求出z取得最大值. 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域, 得到如图的三角形及其内部阴影部分,由 解得A(,),目标函数z=x+2y,将直线z=x+2y进行平移, 当l经过点A时,目标函数z达到最大值 ∴z最大值== 故选:C.

点评:本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 3.(5分)(2015?北京)执行如图所示的程序框图,输出的结果为() A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8) 考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x,y,k的值,当k=3时满足条件k≥3,退出循环,输出(﹣4,0). 解答:解:模拟执行程序框图,可得 x=1,y=1,k=0 s=0,i=2 x=0,y=2,k=1

2019高考数学复习专题:集合(含解析)

一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中. 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;如下面几个集合请注意其区别: ①{}220x x x -=;②{}22x y x x =-;③{}22y y x x =-;④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;②用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 三、知识拓展 1.若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n -1. 2.A ?B ?A ∩B =A ?A ∪B =B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3.奇数集:{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习(各种专题训练)Word版

2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈;若b不是集合A的元素,(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作A b?; 记作A (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体 (对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排 列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法:

2020高考数学专题训练16

六) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1.满足条件?≠?M ≠?{0,1,2}的集合共有( ) A .3个 B .6个 C .7个 D .8个 2.等差数列}{n a 中,若39741=++a a a ,27963=++a a a ,则前9项的和9S 等于( ) A .66 B .99 C .144 D .297 3.函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是( ) A B C D 4.已知函数)cos()sin()(??+++=x x x f 为奇函数,则?的一个取值为( ) A .0 B .4 π - C .2π D .π 5.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种 子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有( ) A .4 82 10A C 种 B .5 91 9A C 种 C .5 91 8A C 种 D .5 81 8A C 种 6.函数512322 3 +--=x x x y 在[0,3]上的最大值、最小值分别是( ) A .5,-15 B .5,-4 C .-4,-15 D .5,-16 7.已知9)222(-x 展开式的第7项为4 21 ,则实数x 的值是( ) A .31- B .-3 C .4 1 D .4 8.过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半,且AB =6,BC =8, AC =10,则球的表面积是( ) A .π100 B .π300 C . π3100 D .π3 400 9.给出下面四个命题:①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是:直线a 、b 不相交;②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是:l ⊥平面α;③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”;④“直线α∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”.其中正确命题的个数是( )

2015年北京高考数学文科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(卷) 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题:共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合{} 52,A x x =-<<{} 33,B x x =-<<则A B =( ) ( A ) {} 32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {} 53x x -<< (2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) (A )()()22111x y -+-= (B )()()22 111x y ++-= (C )()()2 2 112x y +++= (D )()()2 2 112x y -+-= (3)下列函数中为偶函数的是( ) (A )2 sin y x x = (B )2 cos y x x = (C )ln y x = (D )2x y -= (4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年人数为( ) (A )90 (B )100 (C )180 (D )300 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 (5) 执行如图所示的程序框图,输出的k 值为( ) (A )3 (B ) 4 (C) 5 (D) 6 (6)设,a b 是非零向量,“a b a b ?=”是“a //b ”的( ) (A ) 充分而不必要条件 (B ) 必要而不充分条件 (C ) 充分必要条件 (D ) 既不充分也不必要条件

高考数学考点专题总复习15

1.若数列{a n }前8项的值各异,且a n +8=a n 对任意n ∈N *都成立,则 下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 A .{a 2k +1} B .{a 3k +1} C .{a 4k +1} D .{a 6k +1} 2.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累 积的需求量S n (万件)近似地满足S n =90 n (21n -n 2-5)(n =1,2,……,12),按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是 A .5月、6月 B .6月、7月 C .7月、8月 D .8月、9月 3.在数列{a n }中,如果存在非零常数T ,使得a m+T =a m 对于任意的非 零自然数m 均成立,那么就称数列{a n }为周期数列,其中T 叫数列{a n }的周期。已知数列{x n }满足x n+1=|x n –x n-1|(n ≥2),如果x 1=1,x 2=a (a ∈R ,a ≠0),当数列{x n }的周期最小时,该数列前2019项的和是 A .668 B .669 C .1336 D .1337 4.一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关 系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+,则该函数的图象是

5.已知{}n a 是 首项为1,公差为-2的等差数列 ,则 ∑=-10121k k a = 。 6.200根圆柱形钢管,堆成一三角形垛或梯形垛,每上一层少一根,最下一层最少要放 根 。 7.已知函数1 3)(+=x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111*+∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S ,求n S . 参考答案 BCDA -2019, (∑∑==-=+-=-∴+-=-+-=10110 122.20163021,321,32k k k k n k a k a n a ) 20.( ,2)1(321+=++++n n n 满足条件2002 )1(≥+n n 的最小自然数n 为20,故最小一层最少要放20根。) 7.解析:(Ⅰ)由已知得,131+= +n n n a a a , ∴311 1+=+n n a a ,即3111=-+n n a a ∴数列?? ????n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列. ∴233)1(11-=?-+=n n a n , 故)(2 31*∈-=N n n a n

高考数学专题训练试题7

第一部分 专题二 第1讲 等差数列、等比数列 (限时60分钟,满分100分) 一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分) 1.(精选考题·北京高考)在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q |≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5, 则m =( ) A .9 B .10 C .11 D .12 解析:由题知a m =|q |m -1=a 1a 2a 3a 4a 5=|q |10,所以m =11. 答案:C 2.(精选考题·广元质检)已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1+a n 1-a n (n ∈N *),则连乘积a 1a 2a 3…aa 精选考题的值为( ) A .-6 B .3 C .2 D .1 解析:∵a 1=2,a n +1=1+a n 1-a n ,∴a 2=-3,a 3=-12,a 4=13,a 5= 2,∴数列{a n }的周期为4,且a 1a 2a 3a 4=1, ∴a 1a 2a 3a 4…aa 精选考题=aa 精选考题=a 1a 2=2×(-3)=-6. 答案:A 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 8=6+a 11,则S 9=( ) A .54 B .45

C .36 D .27 解析:根据2a 8=6+a 11得2a 1+14d =6+a 1+10d ,因此a 1+4d =6,即a 5=6.因此S 9=9(a 1+a 9) 2 =9a 5=54. 答案:A 4.已知各项不为0的等差数列{a n },满足2a 3-a 2 7+2a 11=0,数 列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 6b 8=( ) A .2 B .4 C .8 D .16 解析:因为a 3+a 11=2a 7,所以4a 7-a 27=0,解得a 7=4,所以 b 6b 8=b 27=a 2 7=16. 答案:D 5.(精选考题·福建高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 解析:设等差数列{a n }的公差为d , ∵a 4+a 6=-6,∴a 5=-3, ∴d =a 5-a 1 5-1=2, ∴a 6=-1<0,a 7=1>0, 故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时,n 等于6. 答案:A 6.(精选考题·陕西高考)对于数列{a n },“a n +1>|a n |(n =1,2…)”

高考数学真题分类汇编集合专题(基础题)

高考数学真题分类汇编集合专题(基础题) 一、单选题 1.集合M={x|1<x+1≤3},N={x|x2﹣2x﹣3>0},则(?R M)∩(?R N)等于() A. (﹣1,3) B. (﹣1,0)∪(2,3) C. (﹣1,0]∪[2,3) D. [﹣1,0]∪(2,3] 2.已知R是实数集,M={x| <1},N={y|y= +1},N∩?R M=() A. (1,2) B. [0,2] C. ? D. [1,2] 3.已知集合,,若,则实数的值为() A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合,,则等于() A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x>0},函数的定义域为集合B,则A∩B=() A. [3,+∞) B. [2,3] C. (0,2]∪[3,+∞) D. (0,2] 6.已知集合,,则() A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4>x+12},B={x|2x﹣1<8},则A∩(?R B)=() A. {x|x≥4} B. {x|x>4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x<﹣2或x≥4} 8.已知M={x|x2-2x-3>0},N={x|x2+ax+b≤0},若M∪N=R,M∩N=(3,4],则a+b=() A. 7 B. -1 C. 1 D. -7 9.已知集合A={2,4},B={2,3,4},,则C中元素个数是() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合,,则的子集个数是________. 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页

高考数学考点专题总复习12

1. 在△ABC 中,∠C=90°,),3,2(),1,(==k 则k 的值是 A 5 B -5 C 23 D 2 3- 2.已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| a + 3 | = A 7 B 10 C 13 D 4 3. 已知点A (3,1),B (0,0)C (3,0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有λλ其中,=等于 A 2 B 21 C -3 D -31 4. 已知向量a ≠e ,|e |=1,对任意t ∈R ,恒有|a -t e |≥|a -e |,则 A a ⊥e B a ⊥(a -e ) C e ⊥(a -e ) D (a +e )⊥(a -e ) 5.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A 、B 、C 三点共线,则k=___ 6..已知向量a 与的夹角为120°,且|a |=2, ||=5,则 (2a -b )·a = . 7..已知向量 b a x f x x b x x a ?=-+=+=)()),4 2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在,则求出x 的值;若不存在,则证明之.

8.如图,在Rt △ABC 中,已知BC=a ,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问PQ 最大值. 与的夹角θ取何值时,·的值最大?并求出这个 A B C a

参考答案 1.A [解析]: ∠C=90°,),3,2(),1,(==AC k AB 则 )2,2(k BC -=∵∠C=90° ∴506)2(20=∴=+-∴=?k k BC AC 2.C [解析]:已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么a ?b =2 1 ∴| a + 3 |2=13962 2=+?+

高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数(1) 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数(2) 4、立体几何 5、数列(1) 6、应用题 7、解析几何 8、数列(2) 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法

高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1.已知函数f (x )=a e x x +x . (1)若函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线经过点(0,-1),求a 的值; (2)是否存在负整数a ,使函数f (x )的极大值为正值?若存在,求出所有负整数a 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)∵f ′(x )=a e x (x -1)+x 2 x 2, ∴f ′(1)=1,f (1)=a e +1. ∴函数f (x )在(1,f (1))处的切线方程为 y -(a e +1)=x -1, 又直线过点(0,-1),∴-1-(a e +1)=-1, 解得a =-1 e . (2)若a <0,f ′(x )=a e x (x -1)+x 2 x 2 , 当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )>0恒成立,函数在(-∞,0)上无极值;当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0恒成立,函数在(0,1)上无极值. 方法一 当x ∈(1,+∞)时,若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0), 则???? ? x 0>1,f (x 0)>0,f ′(x 0)=0, 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a =-x 20 x 0-1,代入②得-x 0x 0-1+x 0 >0, 结合①可解得x 0>2,再由f (x 0)=0 e x a x +x 0>0,得a >-02 0e x x , 设h (x )=-x 2 e x ,则h ′(x )=x (x -2)e x , 当x >2时,h ′(x )>0,即h (x )是增函数, ∴a >h (x 0)>h (2)=-4 e 2.

高考数学专题:集合

高考数学专题:集合 最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A?B或B?A. (2)真子集:若A?B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A B或B A. (3)相等:若A?B,且B?A,则A=B. (4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补 集为?U A 图形表示 集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且x?A} 4. (1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个. (2)子集的传递性:A?B,B?C?A?C. (3)A?B?A∩B=A?A∪B=B.

(4)?U (A ∩B )=(?U A )∪(?U B ),?U (A ∪B )=(?U A )∩(?U B ). 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)任何集合都有两个子集.( ) (2)已知集合A ={x |y =x 2},B ={y |y =x 2},C ={(x ,y )|y =x 2},则A =B =C .( ) (3)若{x 2,1}={0,1},则x =0,1.( ) (4)若A ∩B =A ∩C ,则B =C .( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的. (2)错误.集合A 是函数y =x 2的定义域,即A =(-∞,+∞);集合B 是函数y =x 2的值域,即B =[0,+∞);集合C 是抛物线y =x 2上的点集.因此A ,B ,C 不相等. (3)错误.当x =1,不满足互异性. (4)错误.当A =?时,B ,C 可为任意集合. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P7练习2改编)若集合A ={x ∈N |x ≤10},a =22,则下列结论正确的是( ) A.{a }?A B.a ?A C.{a }∈A D.a ?A 解析 由题意知A ={0,1,2,3},由a =22,知a ? A . 答案 D 3.(·全国Ⅰ卷)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =________. A.? ? ???-3,-32 B.? ? ???-3,32 C.? ? ? ??1,32 D.? ?? ??32,3 解析 易知A =(1,3),B =? ????32,+∞,所以A ∩B =? ???? 32,3. 答案 D 4.(·石家庄模拟)设全集U ={x |x ∈N *,x <6},集合A ={1,3},B ={3,5},则?U (A ∪B )等于( ) A.{1,4} B.{1,5} C.{2,5} D.{2,4} 解析 由题意得A ∪B ={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U ={1,2,3,4,5},∴?U (A ∪B )={2,4}. 答案 D

高考数学考点专题总复习11

1.若||1,||2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与b 的夹角为 A 30° B 60° C 120° D 150° 2.P 是△ABC 所在平面上一点,若?=?=?,则P 是 △A B C 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3.已知平行四边形ABCD 中, AD =(3, 7 ), AB =(-2, 3 ), 对角线AC, B D 交于O , 则的坐标为 A (-21 , 5) B (-21, -5) C (2 1, -5) D (2 1, 5) 4. 已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,2 5)(,5||),4,2(),2,1(=?+=--==

A 30° B 60° C 120° D 150° 5.为了得到函数y =sin(2x-6 π )的图像,可以将函数y =cos2x 的图像 A 向右平移6π个单位长度 B 向右平移3π 个单位长度 C 向左平移6π个单位长度 D 向左平移3 π 个单位长度 6. 点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3)(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后点P 的坐标为 A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10) 7.已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5,则k 的取值范围是_______ 8.直角坐标平面xoy 中,若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=?OA OP ,则点P 的轨迹方程是__________ 9.ABC ?中,内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,已知a b c 、、成等比数列,且3cos 4B = (Ⅰ)求cot cot A C +的值 (Ⅱ)设32 BA BC ?=,求a c +的值。

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