配角法在三角函数中的应用
在三角函数中，我们经常会遇到如下一类型的题：
例1 已知sin()sin ααα+?=?<
45135，，求。 大部分学生会如下的解答思路：
由两角的正弦公式有： sin()sin cos cos sin sin cos ()sin cos ()ααααααα+?=?+?=
+=+=45454535222235
11
222即又 联立解方程可求解。且，所以，，()()sin cos 124513500?<<ααα 进一步可确定sin α的取值。
此种解法，需要解方程，其中的运算过程稍显繁琐。若仔细分析已知条件，可以将α化为()α+?-??454545。为特殊角，其正弦值与余弦值均已知；又由α的取值范围可求α+?45的取值范围，整体运用α+?45的三角函数值，从而求得sin α的值。其解答如下： 解：因为45135?<
所以又因为所以所以90451804535
4545
454545454545?<+?
+?=+?=-=+?-?=+??-+??αααααααsin()cos()sin sin[()]sin()cos cos()sin
=?+?=352245227210
评注：将角作适当的变换，配出有关角，便于沟通条件与结论之间的联系，这是三角恒等变换中常用的方法之一，这种变换角的方法通常叫配角法。下面进一步谈一谈配角法在三角函数中的运用。
例2
已知π
βα
π
αβαβα
2
3
4
12
13
3
5
2 <<<-=+=-
，，，求
cos()sin()sin的值。分析：2ααβαβ
=++-
()()
解：因为cos()
αβ
-=>
12
13
又
所以
π
βα
π
αβ
π
2
3
4
4
<<<
<-<
所以cos()
αβ
-=
5
13
且有
又因为
所以
所以
παβ
π
αβ
αβ
ααβαβ
αβαβαβαβ
<+<
+=-
+=-
=++-
=+-++-
=-?-?=-
3
2
3
5
4
5
2
3
5
12
13
4
5
5
13
56
65
sin()
cos()
sin sin[()()]
sin()cos()cos()sin()
例3 已知321
sin sin()tan tan()
βαβααβ
=+=+
且，求。
解：由32
sin sin()
βαβ
=+
即得：所以所以又，所以33324212
sin[()][sin()]
sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin tan()tan tan tan()αβααβααβααβα
αβααβα
αβααβααβα
ααβ+-=+++-+=++++=++==+=
评注：例2与例3都能找出所要求的角与已知条件中的角之间的直接关系，然后运用两角和的正弦公式、同角三角函数的平方关系及三角函数的符号规律来求解。然有的“所求角”与“已知角”之间的关系并没有如此明显，还必须借助于诱导公式。
例4 已知0443443534513
<<<<-=+=βπ
π
αππαπβ，，，cos()sin()，求sin()αβ+的值。
提示：sin()cos()αβπ
αβ+=-++2=-+--=cos[()()]3445665
πβπα 例5 已知sin()π
π451304-=< x x π+的值。 解：因为sin()π 4513 -=x 所以cos[()]sin()πππ244513 --=-=x x 即：cos()π 4513 +=x 又因为所以 从而而0444241213 24412135131213513120169<< <+<+==+--=?+?=x x x x x x πππππππ sin()cos cos[()cos()] 所以cos cos()24120 169513 2413x x π+== 评注：例4只需用一次诱导公式，而例5要多次用到诱导公式。 配角法是三角恒等变换中常用的方法之一，用它不仅可以求三角函数的值，而且还可以证明三角等式等，笔者在此就不一一列举。
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