用导数求切线方程的四种类型
浙江 曾安雄
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线
方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-
Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+
Ｄ．45y x =-
解：由2
()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为
(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=
Ｄ．210x y --=
解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．
由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．
∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
320000(2)(32)()y x x x x x --=--．
又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．
解得01x =，或012
x =-．
故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ??????
--+=-+ ? ????????
?，即
20x y --=，或5410x y +-=．
评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728??
- ???
，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点(20)，且与曲线1
y x
=相切的直线方程．
解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为020
1
x x y x ='=-|．
∴切线方程为00
201()y y x x x -=-
-，即02
0011
()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得0200
11
(2)x x x -=--． 解得000
1
11x y x ==
=，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，
则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，
故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．
点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．
所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线0=y 与抛物线2
x y =只有一个交点，0=y 是2
x y =的切线，但0=x 与抛物线2
x y =也只有一个交点，但0=x 却不是
2x y =的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积
分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。
切线的定义：设0m 是曲线)(x f y =上一定点，m 是该曲线上的一动点，从而有割线
m m 0，令m 沿着曲线无限趋近于0m ，则割线m m 0的极限位置就是曲线)(x f y =在0m 的
切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明0=y 是2
x y =的切线，而0=x 不是2
x y =的切线，这一切线定义可用于任何曲线)(x f y =。
导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点x 的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。
例6 求曲线nx y 1=在2=x 时的切线方程。 解：x
y 1
=
' ∴当2=x 时，2
1=
y 又 当2=x 时，21n y =
∴当2=x 时，所求的切线方程为：
)2(2
1
21-=
-x n y 即022122=+--n y x
反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线
)(x f y =的切线定义都难得给出，更别说讨论与)(x f y =的切线有关的问题了。
例7 已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值，过点)16,0(A 作曲线
)(x f y =的切线，求此切线方程。
解：由例4，曲线方程为x x x f 3)(3
-=，点)16,0(A 不在曲线上。 设切点为),,(00y x M 则点M 的坐标满足03
003x x y -=，
由于)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的方程为))(1(302
00x x x y y --=-.注意到点)16,0(A 在切线上,有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得82
0-=x ,解得20-=x .因此,切点为
)2,2(--M ,切线方程为0169=+-y x .
22
00222222000x x 22
0002
2
20
20
y x P(x ,y )1P b a
b bx
y a +x y a a a +x bx P(x ,y ) y a a +x bx y y x x a a +x b x x x a y ''∴＝00例10：设是双曲线－＝上一点，求过点的切线方程。
解；考虑上半支双曲线的方程为
＝，＝
则处的切线斜率为＝
切线方程为－＝
（－）
＝（－）
即00
22y y x x 1
b a
P －＝当在下半支时，也可得到同样的方程。
要点：1.导数是如何定义 2.如何求曲线)
(x f y =
在点
)
,(o o y x 处的切线方程与法线方程。
第三章 导数与微分
§ 3.1 导数的概念
由于机器制造，远洋航海，天象观测等大量实际问题给数学家提出了许多课题。其中求曲边梯形面积的研究导致了积分学的产生，而求变速运动的瞬时速度，求曲线上一点的切线，求函数的极大值和极小值等问题的研究导致了微分学的产生。 历史上，Newton 从瞬时速度出发，Leibniz 从曲线的切线出发，分别给出导数的概念，并明确给出计算导数的步骤，而且建立了有关积分与微分是互为逆运算的完整理论。 一. 导数的概念
1. 平均变化率 设在点a x =处自变量改变)0(≠??x x ，函数()x f y =相
应地改变()()a f x a f y -?+=?, 则平均变化率是
x y ??()()x
a f x a f ?-?+=.
图3.1
不难看出，平均变化率的几何解释是连续曲线上两点的割线的斜率(0→?x 如何？) 2. 瞬时变化率
当物体做变速直线运动时，它的速度随时间而确定，此时平均变化率
t
s
??表示时刻从0t 到t t ?+0这一段时间内的平均速度v ，若设路程s 是时间t 的函数)
(t f s =，则
()()t
t f t t f t s v ?-?+=
??=00，当t ?很小时，可以用-v 近似地表示物体在时刻0t 的速度，t ?愈小，近似的程度就愈好。当0→?t 时，如果极限
()()t t f t t f t s o t t ?-?+=??→?→?000lim lim
存在，则称此极限为物体在时刻0
t 的瞬时速
度，即
()()t
t f t t f t s
v o t o
t t t ?-?+=??=→?→?=00lim lim
|0. 例 1. 已知自由落体的运动方程为 22
1
gt s =.求（1）： 落体从0t 到
t t ?+0这段时间内的平均速度 v .（2）：落体在0t t =时的瞬时速度。
解 （1） 22
1
gt s =，
∴ (),21200gt t s =
()200)(2
1
t t g t t s ?+=?+.
()()202
02020
2
0002
1)(21212
1)(21gt t g t gt gt gt t t g t s t t s s -?+?+=-?+=-?+=?∴ 20)(2
1t g t gt s ?+?=?∴. 平均速度 t g gt t s v ?+=??=
2
1
0. （2）：落体在0t t =时的瞬时速度。 瞬时速度 000021lim lim |0
gt t g gt t s v t t t
t =??
?
???+=??=→?→?=. 3. 切线的斜率
设有一连续函数 ()x f y =，则平均变化率x
y
??是指曲线()x f y =上的两点的割线的斜率。 即割线PQ 的斜率是
()x
a f x a f x y ?-?+=
??)
(. 当 0→?x 时, 显然, 割线PQ 越来越趋于曲线()x f y =在点()()a f a P ,处的切线PT .即切线PT 是割线PQ 的极限位置，平均变化率的极限值（如果存在）x y x ??→?0lim 则是曲线()x f y =在点()()a f a P ,的切线PT 的斜
率。
图3.2
例2． 求曲线3x y =在点()1,1P 处的切线斜率和切线方程. 解：先计算从点()1,1P 到邻近任意点 ))1(,1(x f x Q ?+?+的平均变化率
()()()x
x x f x f x y ?-?+=?-?+=??3
3
1111
()()()2
3
2
3333x x x
x x x ?+?+=??+?+?=.
故曲线3x y =在点()1,1P 处的切线斜率m 应为
=??=→?x y m x 0lim
lim →?x [ ()2
33x x ?+?+]=3. 而过点()1,1P 的切线方程为 ()131-=-x y .即 23-=x y .
思考题 如果上题中改为求过点)2,0(P 的切线，此时要验证点是否在曲线上。然后求出切点（),00y x ，再用点斜式求出切线方程，此时个能有左、右两条切线。对一般曲线()x f y =，既使点),(b a P 在曲线上，如果求在点P 处的切线，
则切线可能有1条、2条、3条。
由上面的例题可以看出，平均变化率的极限可以给出不同的解释。一个是作为变速直线运动在某一时刻的瞬时速度，一个是看作曲线上某一点的切线的斜率。其实这个量x y x ??→?0
lim
或()()a
x a f x f a x --→lim （其中
x a x ?+=）在各个不同领域中可以有许多不同的解释。数学上给它一
个特殊的名称，叫做函数()x f y =在点a x =处的导数。 4. 导数的定义
定义 设函数()x f y =在点0
x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0
x
处取得改变量x ?(0≠)时，函数()x f y =取得相应的改变量
()()
00x f x x f y -?+=?.如果当0→?x 时，改变量的比
x
y
?? 的极限存在，即
0lim →?x =??x y
()()
x
x f x x f x ?-?+→?000lim 存在，则称此极限值为函数()x f y =在点0
x 处的导数（或叫微商）。记
作
()
0x f ', 0
,
x x x x dx
dy
y =='
或 ()0
x x x f dx
d
=
x
y ??是x 从0x 到x x ?+0的平均变化率，而()='0x f x y
x ??→?0lim 则称函数在点0x 处的变化率。可见导数是函数在一点处的局部性质。如果)(x f 在点0
x
处有导数，则称)(x f 在点0
x 处可导，否则称)(x f 在点处不可导。如果
)(x f 在某区间),(b a 内每一点都可导，则称)(x f 在),(b a 内可导.
设()x f 在),(b a 内可导，则对于区间),(b a 内每一点x 都对应一个导数值，因此就定义了),(b a 内的一个新函数，称为导函数，简称为导数，记作
()x f ', y ',
dx dy , ()x f dx
d
利用导数的符号，瞬时速度就是路程s 对时间t 的导数，即dt
ds
v =
. 而曲线 ()x f y = 在点x 处的切线斜率应为()x f '. 而过点（),00y x 的切线方程应为
)()(0
x x x f y y -'=-.
当 x
y
x ??→?0lim
是∞+或∞-（此时极限不存在，故导数不存在）在几何上则表示曲线在点0
x 处有一条垂直的切线。（所以“曲线函数在此点的导数不存在,则曲线在此点就没有切线”的说法是错误的）。 例3． 求线性函数 b x a y += 的导数。 解 求导数的步骤是：
（1） 计算函数的相应的改变量
y ?=()()x f x x f -?+=()[][]x a b ax b x x a ?=+-+?+.
（2） 计算改变量的比值
=??x
y a x x
a =?? （3） 求极限 =??→?
x y
x 0
lim =→?a x 0
lim a .a y ='∴. 即 ()a b ax ='+.
例4 求 x
y 1
= 的导数。 解()()()x x x x x x x x f x x f y ?+?-=-?+=
-?+=?11，()
x x x x y ?+-=??1
.
()2001
1lim lim
x x x x x y y x x -=??
?????+-=??='→?→? 即 21
)1(x
x
-=' 例5． 求 x y = 的导数，并算出 1='x y . 解 x x x y -?+=?,
x
x
x x x y ?-?+=?? （"
"
0型） x
x x x x y y x x ?-?+=??='→?→?00lim
lim
(
)
x
x x x x
x +?+??=→?0
lim
x
x x x x 21
1lim
=
+?+=→?. 即 (
)
.21)(212
1-='='
x x x 因此 2
1
21
1
1=
=
'==x x x
y . 前面所采用的导数定义是如下形式
()00
x f y x x '='= ()()x x f x x f x ?-?+=→?000
lim
.
但有时为方便，也可以换一种形式：若记 h x =?，则有
()00
x f y x x '='=()()h
x f h x f h 000
lim
-+=→.
另外一种形式是：若令 0x x x -=?，即 x x x ?+=0，则有
()00
x f y x x '='=()()0
0lim
x x x f x f x x --=→. 以下要点 1. 左导数，右导数
2. 分段点处导数要用定义求
例6．用定义讨论函数()?????=0
1sin
x x x f 00=≠x x 在点0=x 处的 连续性与可导性。
解 ()()001
sin lim lim 0
0f x
x x f x x ===→→，故知()x f 在0=x 处连续。因为在点
00=x 处函数的改变量
()()01sin
00-??=-?+=?x x f x f y x
x ??=1
sin
. x
x x x y
x x ????=??∴→?→?1
sin
lim
lim
00lim →?=x x ?1sin （不存在，上下振荡）。
所以()x f 在0=x 处不可导。此例说明()x f 在0x 处连续未必可导 。 *思考题 讨论()?????==,
0,
1sin ?
x x x f n n
00=≠x x 在点0=x 处（1）连续；（2）可导；（3）()x f '连续。
（答 )2:)3(;1:)2(;0:)1(>>>n n n
*例 设()()??
???=01cos
x
x x f ? ，00=≠x x ，()()000='=??，求()0f '. 解 ()='0f 0lim
→x ()()x f x f 0-()x x
x x 0
1
cos lim
0-=→? ()()()x
x x x x x x x 1
cos 0lim 1cos lim 0***0?-=?=→→??? 其中 ()()
x
x x 0lim
??-→()00='=?，而 11
cos
≤x
∴()0f '()()
x
x x 0lim
??-=→x
1
cos
?0=. 5. 左，右导数的概念
定义 设函数()x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果()
()
x
x f x x f x ?-?+-
→?000lim
存在，则称此极限值为函数()x f y =在0x 点处的左导数。记作 ()0'x f -. 如果()
()
x
x f x x f x ?-?++
→?000lim
存在，则称此极限值为函数()x f y =在0x 点处
的右导数。记作 ()0'x f +
由极限的性质可知，当且仅当在0x 点处的左导数，右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导的。所以函数()x f 在],[b a 上可导，是指()x f 在开区间),(b a 内处处可导，且存在 ()a f '+ 与 ()b f '-.在求分段函数在分段点处的导数时，就需要研究分段点处的左，右导数。 例8. 设 ()2
5
-=x x f ，求()2f '.
解（去掉绝对值符号）()??
?
??=?--x
x x f 22515 222
<=>x x x ,2=x 是分段点。
()()()x
f x f f x ?-?+=-
→?-22lim 20
'
()x x x ?-=?+-→?-15lim 220?15lim 0=?-=?-→?-x
x x （已讲过，复习） 令 15-=?-x y ，则 ().5log 1log 55x x y ?-=??-=+
()()y
y y x x y y y x 1505001log 1lim 1log lim 15lim +-=+-=?-∴→→?-→?- 5ln 5
ln ln 1
log 15-=-=-=e e . 同理
()()()x
f x f f x ?-?+=+
→?+
22lim 20'
5ln 15lim 0=?-=?→?+x x x . 故 ()()22''+-≠f f ()2f '∴ 不存在，因此 ()x f 在 2=x 处不可导。 例9. 讨论函数()0
0,
,<≥??
?-===x x x x x x f y 在0=x 处的连续性与可导
性。
解 连续性：()00=f .
()0lim lim 0
0==--
→→x x f x x .()0lim lim 0
==++→→x x
f x x . 图3.3
()0lim lim 0
0==++
→→x x f x x .∴0
lim →x =x ()00=f .x y =∴在0=x 处连续。
可导性：()x x x y f x x ?-?=??=--
→?→?-0lim lim
000' .1lim lim 00-=??-=??=--→?→?x
x
x x x x
()x
x x y
f x x ?-?=??=++→?→?+
0lim lim 000' .1lim lim 00=??=??=++
→?→?x x x x x x ()()00''+-≠∴f f ，故()x f 在0=x 处不可导。
此例再一次说明函数在某点连续，未必在该点可导。 6. 可导必连续
定理 如果()x f 在点0x 处可导，则它在该点必连续。 证 ()x f y = 在点0x 可导，∴ x y x ??→?0lim
=()0'x f .由 x x
y
y ????=?，可知 =?→?y x 0
lim =????→?)(
lim 0
x x
y
x x y x ??→?0lim x x ??→?0lim ()00'0=?=x f 即 ()x f y = 在点0x 处连续。
根据此定理，如果已经判断出函数在某一点不连续，则立即可以得出函数在该点不可导的结论。 例10. 讨论函数
()????
???++-=42
1
1212x x x
x x f x x x x <≤<≤<≤221100
在分段点1,0==x x 及2=x 处的连续性与可
导性。
解（1）在点0=x 处
()()11lim lim 00-=-=-
-
→→x x f x x . ()02lim lim 00==+
+
→→x x f x x .
()()()x f x f x f x x x 0
0lim ,lim lim →→→∴≠+-
不存在；
故()x f 在0=x 不连续，从而()x f 在0=x 处也不可导。 （2）在点1=x 处
()22lim lim 1
1
==--→→x x f x x . ()()21lim lim 21
1
=+=++→→x x f x x .
且()21=f ()()21lim 1
==∴→f x f x .因此在1=x 处连续。进一步研究在1=x 处
的可导性，因为 1=x 是分段点，所以要考虑
()()()()x
x x f x f f x x ?-?+=?-?+=--
→?→?-212lim 11lim 100
' 22lim 0=??=-→?x x
x .
()()()()x x x f x f f x x ?-+?+=?-?+=++→?→?+
2]11[lim 11lim 12
00' ()22lim 2
0=??+?=-
→?x
x x x . ()()()2111''='==+-f f f .故()x f 在1=x 处可导，且()21='f . (3)
在点2=x 的连续性：
()()
51lim lim 222=+=--→→x x f x x . ()5421lim lim 22=??
?
??+=++→→x x f x x .
而()52=f . ()()25lim 2
f x f x ==∴→，故()x f 在点2=x 是连续的。再讨论可
导性：
()()()()[]
x x x f x f f x x ?-+?+=?-?+=-
-→?→?-
512lim 22lim 22
00'
()44lim 2
0=??+?=-→?x
x x x . ()()()()x x x f x f f x x ?-??????+?+=?-?+=++→?→?+54221lim 22lim 200'2
121lim 0=??=+→?x x x .
()()22''+-≠f f ，故()2f '不存在，即()x f 在2=x 处不可导。
由上可知，在讨论分段点的连续性和可导性时，一般来说，都要先考虑其左，右极限和左，右导数。 附加例题 设a 和b 是常数，0
()???=>=.0,
0,
0),sin(x x x x x f b a
求()0f '，其中b a -=1.
()().
0)sin(lim )
sin(lim )
0()(lim 000
100===-='='-→-→→++++
b
b x b a x x x x x x x f x f f f 本周作业：p.112. 2(1,3) ,3, 5 (2,6,7); 6(3,4,6,7,8,10,11,12,14,23,) 2006.10.26 （1）解答放在一班杜鹏同学那里。欢迎查看。 （2）书p.96 定理2.1.1。).,[)(1+∞∈a C x f （3）“数学之美”改在11月3日(周5)下午
4点，于（东校门内）综合实验楼一楼报告厅。
两个例题：
*例 设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在[]2,0上).4()(2-=x x x f 若x ?都有)2()(+=x f k x f ，
其中k 为常数.（1）写出)(x f 在)0,2[-内的表达式；（2）问)(?x f k =在0=x 处可导。
解（1）当,02<≤-x 即 220<+≤x 时，
).
4)(2(]4)2)[(2()2()(2++=-++=+=x x kx x x k x f k x f
（2）由题设知 ∴=,0)0(f
,
8)
4)(2(lim )0()(lim )0(4
)
4(lim )0()(lim )0(00200k x
x x kx x f x f f x x x x f x f f x x x x =++=-='-=-=-='--++→→-→→+
故)(,2
1x f k -=在处可导，且.4)0(-='f *例 ),0()(+∞在x f 内可导，0)(>x f ，,1)(lim =+∞
→x f x
且满足求x h
h e x f x h x f 1
10])
()([lim =+→，求).(x f
解 设,])()([
1
h x f x h x f y +=则,)
()
(ln 1ln x f x h x f h y +=因为 ,])([ln )](ln )([ln lim )()(ln 1lim
ln lim 000
'=-+=+=→→→x f x x
h x f x h x f x x f x h x f h y h h h 故
])([ln 1
0])
()([lim '→=+x f x h
h e x f x h x f . 由已知条件得 x
x f x e e 1])([ln ='，因此,1])([ln x
x f x ='即,1])([ln 2x
x f ='
解出(?),1
)(ln 1c x
x f +-=.)(1
11x x c ce e e x f --==由,1)(lim =+∞→x f x 得.1=c 故
.)(1
x
e x
f -=
Weierstrass 曾举一例：
其中)1(2
31231,,10),
cos()(0a ab or ab number odd is b a x b a x f n n n -+>+
><<=∑∞
=πππ. 处处连续处处不可导。
导数
【本章学习目标】
本章章头图是由一幅超级市场饮料货架的照片和一幅圆柱形图象组成．与图相配，引言给出了一个实际问题：当圆柱形金属罐的容积一定时，怎样选取圆柱形罐的尺寸，能使所用材料最省?这可以归纳为求一个函数的最大(小)值的问题．
在日常生活、生产和科研中，类似的问题大量存在，一般来说，这些问题是可以用初等方法来解决的，但更有效、更简洁的工具还是微积分．另外利用微积分还可以解决曲线的切线问题，物体运动的瞬时速度及方向等问题．本章主要内容有： (1)导数的概念．
(2)几种常见函数的导数．
(3)函数的和、差、积、商的导数． (4)复合函数的导数．
(5)对数函数与指数函数的导数． (6)微分的概念与运算． (7)函数的单调性．
(8)函数的极值以及函数的最大值与最小值． 本章的重点是：
1．导数的概念及导数的几何意义． 2．常见函数的导数公式． 3．导数的应用． 本章的难点是：
1．导数概念的理解．
2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．
【基础知识导引】
1．了解曲线的切线的概念．
2．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 3．了解导数的概念，并能利用导数定义求导数． 4．了解导数的几何意义．
【教材内容全解】 1．曲线的切线
在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y=sinx ．直线1l 与曲线C 有惟一公共点M ，但我们不能说直线1l 与曲线C 相切；而直线2l 尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线2l 是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本P110利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．
2．瞬时速度
在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 3．导数的定义
导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以
此为依据．
对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．
(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x →0时，x
y
??有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数．
(3)如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．
由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1)求函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?；
(2)求平均变化率
x
x f x x f x y ?-?+=??)()(00； (3)取极限，得导数x
y
x f x ??=→?00lim )('。
4．导数的几何意义
函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
(1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 ))(('000x x x f y y -=-
特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为0x x =
【难题巧解点拨】
例1 已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：
（1）h
h a f h a f h 2)
()3(lim 0--+→?； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→?
分析 在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等
变形转化为导数定义的结构形式。 解 （1）h
h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)
()()()3(lim
2)()3(lim
00
--+-+=--+→→
b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('2
1
)('23)
()(lim 213)()3(lim 232)
()(lim
2)()3(lim
0000=+=---+-+=--+-+=→→→→
（2）??
????-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )
()(lim 00)('lim )
()(lim 0220=?=?-+=→→a f h h
a f h a f h h 点拨 只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价
变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例2 （1）求函数x y =
在x=1处的导数；
（2）求函数b ax x y ++=2
（a 、b 为常数）的导数。 分析 根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。 解 （1）11-?+=?x y
1
11
11+?+=
?-?+=??x x x x y ， 21
111lim lim
0=
+?+=??→?→?x x y x x ，
∴2
1|'1=
=x y 。 （2）)(])()[(2
2
b ax x b x x a x x y ++-+?++?+=? x a x x x ??+?+??=2
)(2，
x a x x
x x a x x y ?++=??+?+=??)2()()2(2
。 []a
x x a x x y
x x +=?++==??→?→?2)2(lim lim
∴y ′=2x+a 点拨 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。
例3 已知抛物线42
-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分
别为1l 和2l 。
（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线1l 与2l 的夹角。
分析 理解导数的几何意义是解决本例的关键。 解 （1）由方程组
???+=-=,
2,42x y x y
解得 A(-2，0)，B(3，5)
（2）由y ′=2x ，则4|'2-=-=x y ，6|'3==x y 。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式， 23
10
6)4(164tan =
?-+--=
θ 所以23
10arctan
=θ 点拨 本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。
例4 证明：如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续。 分析 从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点0x 处连续，必须证明)()(lim 00
x f x f x x =→，由于函数f(x)在点0x 处可导，因此根据函数在点0x 处可导的
定义，逐步实现这个转化。 已知：)(')
()(lim
0000
x f x
x f x x f x =?-?+→?
求证：)()(lim 00
x f x f x x =→
证明：考虑)(lim 0
x f x x →，令x x x ?+=0，则0x x →，等价于△x →0，于是
)
(lim )(lim 00
x x f x f x x x ?+=→?→
[]
)
()(0)('lim )
()(lim )()()(lim )()()()(lim )()()(lim 00000000000000000010
x f x f x f x
x
x f x x f x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x f x x x x x =+?=???-?++=?
??
??????-?++=??
????+???-?+=+-?+=→?→?→?→?→? ∴函数f(x)在点0x 处连续。
点拨 函数f(x)在点0x 处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在?连续?有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。
【课本习题解答】 练习（P111） 1．（1）切线的斜率为4； （2）切线方程为y=4x-2。 2．切线方程为y=-4x-3。 练习（P113）
1．瞬时速度为10m/s （比较略）。 2．瞬时速度为8m/s （比较略）。 练习（P116） 1．16． 2．
4
21+x 。
3．切线方程y=4x-2。 4．切线方程为83
4
+-=x y 。 习题3．1(P116) 1．速度为210m/s ． 2．速度为2.8m/s 3．y ′=2x-2，2|'2==x y ． 4．2
)
1(1
'--
=x y ,1|'0-==x y 5．(1)2
3'x y =；
题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<3211 11(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B C ．0 D 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 、22e C 、2e D 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C D 6处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A D 7处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A C D ．2e 8上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C D ．6 第II 卷（非选择题） 二、填空题 9在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.
10．曲线cos y x x =-在点___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线 14．已知函数()tan f x x =，则__________. 15在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19__________． 三、解答题 20．求曲线3 =y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式） 参考答案
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
用导数求切线方程 一、教学目标： (1)知识与技能： 理解导数的几何意义. 能够应用导数公式及运算法则进行求导运算. (2)过程与方法： 掌握基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数. (3)情感态度与价值观： 通过导数的几何意义的探索过程，掌握计算简单函数的导数，培养学生主动探索、勇于发现之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法. 二、重点、难点 重点：能用导数的几何意义求切线方程. 难点：用导数求切线方程. 三、学情分析 学生在前面已学习导数的概念，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，本节课进一步研究和学习导数的几何意义与切线方程之间的联系。根据学生好动、观察能力强的特点，让他们采用小组合作、讨论的形式归纳本节课的知识，突出本节课的重点、难点。 四、教学过程： 【知识回顾】 1. 导数的概念 函数()y f x =在0x x =处的导数是 _____________________.
2. 导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，即________=k . 3. 基本初等函数的导数公式: 1）若()f x c =(c 为常数)，则()________'=x f ； 2）若()f x x α=,则()________'=x f ; 3）若()sin f x x =,则()________'=x f ； 4）若()cos f x x =,则()________'=x f ; 5）若()x f x a =,则()________'=x f ； 6）若()x f x e =,则()________'=x f ； 7）若()log x a f x =,则()________'=x f ； 8）若()ln f x x =,则()________'=x f . 4. 导数的运算法则 1）()()[]_______________'=±x g x f 2）()()[]_________________'=?x g x f 3）()_______________________')(=?? ????x g x f 4）()'________cf x =???? 【新课引入】 1. 用导数求切线方程的四种常见的类型及解法： 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=
利用导数求切线的方 程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B ．23 C ．0或23- D ．23 - 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)2 1,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A 、294e B 、22e C 、2e D 、22e 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C ． 2 D 6．曲线cos 16y ax x =+在2x π= 处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A ．2π- B ． 2 C ．2 π D ．2π- 7在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A ．2e 8．曲线31()(0)f x x x x =->上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C ．．6
第II 卷（非选择题） 二、填空题 9．设曲线1y x =在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________. 10．曲线cos y x x =-在点,22ππ?? ??? 处的切线的斜率为___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12 y x b =+，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 14．已知函数()tan f x x =，则()f x 在点(,())44 P f ππ处的线方程为__________. 15．函数()x x f x e =在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19．曲线1x y x = +在点11,2?? ???处的切线方程为__________． 三、解答题 20．求曲线3=y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式）
利用导数求函数切线方程 摘要：导数是高中数学学习中分析和解决问题的有效工具，其中，导数在求解函数切线方程的应用中有很强的功能。本文采用“目标法”，通过对几个用导数求函数切线方程的例子的剖析，给出这类题的解题思路和技巧，让大家更深入地理解如何用“目标法”解决用导数求函数切线方程的问题，并在解题过程中通过“目标法”寻找策略，发现疏漏，同时展示高考题中用导数求切线方程的缜密的数学逻辑思维过程。 关键词：导数；切线方程；目标法；解题思路；数学逻辑 前言 导数作为高中教材必学内容之一，无论是在高中生的平时学习或者是在高考试题中，都毫无疑问的占有一席之地，已经有很多的教育工作者对有关导数在高中学习中的重要性和应该注意的一些问题进行了研究。付禹[1]采用问卷调查法，通过分析学生在测试中出现的问题和错误，对学生在学习“导数及其应用”中遇到的困难进行了分析。在高考试题中，导数已经从作为解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题必不可少的工具[2]。而且，导数的广泛应用，也成为新教材高考试题的热点和命题的增长点[3]。可见，导数在高中学习中占有重要的位置。应用导数求函数的切线方程，这是导数的一个重要应用，对于高中生来说，也还存在一些解题误区，高春娇[4]对此做了分析。针对导数在求函数的切线方程中的重要性和高中生在学习过程中遇到的问题，作者主要想从一个高中生的视角，结合自己的解题经验，总结利用导数求函数切线方程的要点，并发现了解决导数问题的有效工具——“目标法”，同时在应用时体现数学的逻辑。希望对正在学习导数及其应用的高中学生有一定的帮助。文中选取的一些例题，主要来源于参考文献[5]，作者从另一角度给出了解题的思路和步骤，以及解答的过程，同时给出了解题中应该要注意到的诸多的细节问题，以期读者能掌握良好的做题习惯，感受强大的数学逻辑。 1用“目标法”解决用导数求函数的切线方程
本章节知识提要 考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何 意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 ?知识点梳理? 1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '= +, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) ?精选例题? 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。 例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38 ），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
利用导数求曲线的切线和公切线 一. 求切线万程 【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1. (1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程； ⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二. 有关切线的条数 【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x . (I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值； (n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围; (川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论) 【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」, ?- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1, .f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：. (n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。，y °), 则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3, .切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ), +t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 , 则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1), .g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值. .g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1, .当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是 (-3,- 1). (rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切； 过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切； 过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切. (6 t - y o = -3)( 1-X 。)，即卩 4嗚 2 O
切线方程的求法 ●基础知识总结和逻辑关系 一、 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的()f x 的定义区间； 2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区 间内的单调性. 二、 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数'()f x ； 2) 求方程'()0f x =的所有实数根； 3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则() f x 在这个根处取得极大（小）值. 三、 求函数最值 1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就 是最小值. 四利用导数证明不等式 1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：
① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减） 区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立. ② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目 的. 2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. ●解题方法总结和题型归类 1导数的几何意义及切线方程的求法 1）曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2）解决方案：解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【题】求过曲线cos y x =上点1 (,)32 P π且与在这点的切线垂直的直线方程. 【答案】：22032 x π--+= 【难度】* 【点评】
用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
用导数方法求圆锥曲线的切线 求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。 引理1：过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的该椭圆的切线方程为12020=+b y y a x x ； 证明：我们先考虑当的情形；0>y ,022x a a b y y -=>时，，22'x a a bx y --= ，20200|'x a a bx y x x --== b ay x a x a a b y 0202220,=--=所以而 ,,|'000 2020的斜率）的切线（即为椭圆过l y x P y a x b y x x -=∴= )(:00 2020x x y a x b y y l --=-∴切线 .1,20202202202020222 022020202=++=++=+b y y a x x b y a x b y y a x x b a y a x b y y a x x b ，即得 两边同除以化简得 当0 用导数求切线方程的四种类型 题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3 231 y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-， 故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线3 2y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1 y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 3211 11(1)2 231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程 1(01)x y xe =+-3 、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： （1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。 （2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。 练习.：如果函数的图像如下图 , 那么导函数的图像可能是（ ） x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40 )(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<< 用导数求切线方程的一个误区 导数的几何意义是：设s=s(t)是位移函数，则'0s (t )表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；设v=v(t)是速度函数，则'0v v (t )=表示物体在0t t =时刻的加速度；设函数在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线的相应点处的切线斜率。 所以我们常用导数“求某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”。但是它们有没有区别呢？下面以例说明。 例 若曲线31y x 3=上一点P(2, 83 )，求⑴点P 处的切线方程 ⑵过点P 的切线方程 解：⑴∵'2y x = ∴当x=2时'y =4 ∴点P 处的切线方程为8y 4(x 2)3- =- 即12x-3y-16=0 ⑵设所求的切线与曲线31y x 3 =相切于 点00(x ,y )，则切线斜率为20x ，由直线方程点斜式得切线方程为32000x y x (x x )3-=-，又因为所求切线过点P ，则有32000x 8x (2x )33 -=-，解此三次方程得0x 2=或-1，从而过点的切线斜率为4或1，可求出切点为(2, 83)，1(1,)3 --，相应的过点的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0 从这道题可以看出第⑴问的结果是直线CD ，第⑵问的结果是直线AB 和直线CD 。所以我们可得出这样的一个结论：过曲线上一点的切线不一定只是以该点为切点的切线，可能还有别的符合题意的直线。所以 “求在某点的切线方程”和“求过某点的切线方程”的含义是不同的。同学们在解这种问题时要分清题意，否则往往容易漏解。 针对性练习题：已知曲线方程为314y x 33= +，求过点P （2，4）的切线方程。 答案：4x-y-4=0或x-y+2=0 用导数求切线方程 课前练习 1．求函数()ln f x x x =在． 点(1,0)出的切线方程 2. 求函数()ln f x x =过． 点(0,0)的切线方程 3．求与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 例 已知函数2 (),()2ln f x x c g x x =+=.当c 为何值时，()f x ，()g x 的图象有公共点且在公共点处切线 相同. 课堂练习 1.已知函数2()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点P （2，0），且在点P 处有公共切线。 求()f x 和()g x 的表达式； 课堂练习： 1.求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程 2.已知函数21()4ln 2 f x x x =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 3.已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在 点(1,(1))f 处的切线方程； 4.设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12 =-y ,求实数,a b 的值； 5.(选做题)已知曲线21:C y x =与()22:2C y x =--，若直线l 与1C ，2C 都想且，求直线l 的方程 6. 设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在()2,(2)f 处的切线方程为74120x y --= (1)求()y f x =的表达式； (2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值 考点分析：以解答题的形式考查函数的单调性和极值；近几年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都出现过，且最近两年有加强的趋势。 知识点一：常见基本函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数）， （3），（4）， （5），（6）， （7），（8）， 知识点二：函数四则运算求导法则 设，均可导（1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 知识点三：复合函数的求导法则 1.一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或 题型一：函数求导练习 例一：函数y=e x sinx的导数等于． 例二：函数y=（x2+1）e x的导数为． 例三：函数f （x ）=cos （2﹣3x ）的导数等于 _________ ． 变式练习： 1．求函数y=的导数． 2．求函数y=（1+cos2x ）2的导数． 3．求y=e 2x cos3x 的导数． 题型二：用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(1 1)-，处的切线方程为（ ） 导数求切线方程 专题训练 一、典型例题 (一）已知曲线方程和切点坐标,求切线方程 例１、求43x y =在点()8,16P 处的切线方程. (二）已知曲线方程和切点斜率,求切线方程 例2、已知x y =，求与直线42--=x y 垂直的切线方程. （三）已知曲线方程和曲线外一点,求切线方程 例3、过原点做曲线x e y =的切线，求切线斜率和切线方程. （四）已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程 例4、求曲线33x x y -=过点()2,2-A 的切线方程. 二、当堂检测 1．求过曲线x x y +-=3上过点()0,1的切线方程. 2．求经过原点且与曲线5 9++= x x y 相切的曲线方程. 3.求过曲线232 131x x y += 上一点()0,0的切线方程． ４.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. 5 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为( ) 6 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ) 7 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． ８ 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． ? 【２0１２北京市高考文】已知函数2 ()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+. （Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值; (Ⅱ)当3a =，9b =-时,若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围. 【20１3北京市高考文】已知函数2 ()sin cos f x x x x x =++. (Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值。 （Ⅱ)若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值范围。 题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率就是函数y=f(x)在切点处的导数。 下面举出长建的题型及解法： 题型一：已知切点，求曲线的切线方程。 例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。 解：先求y’=f’(x)=6x2 f’(1)=6×1=6=k 当x=1时y=2 ∴切点为(1,2) y-2=6(x-1) y=6x-4 题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。 例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。 解：带入可知点A不在曲线上。 设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，满足 y0=x03-3x0① f’(x)=3x2-3 f’(x0)=3x02-3=k ② 又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③ ①带入③，且②=③，得到 3x02-3=(x03-3x0)/x0 解得x0=-2 ∴y0=-2 ∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9 ∴y+2=9(x+2) Y=9x+16 题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线” 例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。 (2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。 解：(1)做法仿照例1 可得切线方程为x-y-2=0 (2)设切点为(x0,y0),则有y0=x03-3x0 f’(x0)=3x02-2 3x02-2=k=(y0+1)/(X0-1) 3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1) 解得x0=1或x0=-1/2 当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1) 此时切线方程为x-y-2=0 当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点就是切点， 用导数求切线方程的 四种类型 题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即 32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1)()3(762)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<321111(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程 sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程用导数求切线方程的四种类型
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