3.3.1函数的单调性与导数
【三维目标】
知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形
结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学重点难点】
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教学方法】问题启发式
【教学过程】
一．复习回顾
复习 1：导数的几何意义
复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）
问题提出：判断y=x 2
的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成） 那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数
二．新知探究
探究任务一：函数单调性与其导数的关系：
问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2
++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像.
通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点
到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发
现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗?
启发: 函数)(t h 在(0,a)上位增函数，
函数)('t h 在(0,a)
上有何特点呢？函数)(t h 在(a,b)上为减函数，那么函数)('t h 在(a,b)上有何特点呢？
问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？
问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)a b 内，如果'
()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．）
问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？
探究任务二：()0'=x f 与函数单调性的关系：
问题5：若函数()x f 的导数()0'=x f ，那么()x f 会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常值函数．）
问题6：在区间()b a ,上()0'≥x f ，则函数()x f 区间()b a ,必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由.
问题7：函数()x f 在区间()b a ,上为增函数，则在区间()b a ,上()0'≥x f 成立.你认为这句话对吗？说明理由.
问题8：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？
例1:已知某函数的导函数的下列信息: 当;0)('41><
当.0)('1,4===x f x x 时，或试画出函数()x f 图像的大致形状.
问题9：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函
数的单调区间呢？
例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
（1）();
,0
,
sin
)
(π
∈
-
=x
x
x
x
f（2）;1
24
3
2
)
(2
3+
-
+
=x
x
x
x
f
（3）;
3
)
(3x
x
x
f+
=（4）;3
2
)
(2-
-
=x
x
x
f
（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）
问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法?你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）
（板书“求解函数()
y f x
=单调区间的步骤：
（1）确定函数()
y f x
=的定义域；（2）求导数''()
y f x
=；
（3）解不等式'()0
f x>，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式'()0
f x<，解集在定义域内的部分为减区间．
问题10：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．
分析：
在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()
1,2,3,4
B A D C
→→→→
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．三，课堂练习
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x e x
-(2)y=3x－x3
2、设)x(
f
y'
=是函数)x(f
y=的导数, )x(
f
y'
=的
图象如图所示, 则)x(f
y=的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
四，课堂小结
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f
′
(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数
形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
五，作业设计
课本98页，A组1，2
课后思考：若将例3中高度h和时间t的关系变为横坐标为高度h和纵坐标为体积V的关系，那么此题结论又将如何？
函数的单调性与导数
一、函数单调性与导数的关系
二、利用导数求单调性的步骤
三、例题讲解
例2：
四、学生板演