2018-2019学年七年级上学期数学《“填幻方”》问题能力提升训练
一、杨辉法
中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1.
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出．
图1
也就是将1～9九个自然数依次斜排为三行三列(如图①)，再把上下两个数(1和9)对换，左右两个数(7和3)对换(如图②)，最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方(如图③)．
注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了．
二、口诀法
一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方．具体解释如下：
如图1，“一填首行正中央”，指的是1～9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方．对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方．这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方．
图1
典题精练。
1．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有数目(个数为1～9)不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图3给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是()
图3
图4
2．在3×3的方格上做填字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图5所示，若要填成，则S＝________.
图5
3．教材在七年级数学(上册)的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图”．如图6，根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的规律将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数字和相等．
图6
4．将5，7，9，11，13，15，17，19，21填入如图7所示的小方格中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．
图7
5．试将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6填入如图8所示的3×3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等．
图8
6．将－15，－12，－9，－6，－3，0，3，6，9填入如图9所示的3×3方格中，使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.
图9
7．图10是一个3×3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．
如何把9个连续整数迅速填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题．古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法．图①是把－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法．
(1)请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3×3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．
第一组：6，5，4，3，2，1，0，－1，－2；
第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；
第三组：－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8.
图10
(2)拓展探究：在图11所示的9个空格中，填入5个2和4个－2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.
图11
(3)拓展探究：将25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这25个数分别填入图12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等.
图12
详解
1．C
2．30
如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，所以x＋10＋y＝8＋y＋13，所以x＝11.所以b＋11＋a＝8＋10＋a，所以b＝7，所以S＝b＋10＋13＝30.
3.解：填法不唯一，如图：
4．解：填法不唯一，如图：
5．解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下：
答案如下：
6.解：填法不唯一，填图如下：
7.解：(1)如图所示(填法不唯一)：
(2)填法不唯一，填写如图所示：
(3)填写如图所示(填法不唯一)：