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函数方程和函数图象

函数方程和函数图象

第6

讲·目标班

学案1.

已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且(3)0f =,对任意x ∈R ,都有(6)()(6)f x f x f +=+成立,则(2007)f =()A .2006B .2007C .2008

D .0

学案2.

(北京师范大学附属实验中学

2010—2011高三第一学期期中理20)已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞,值域是[)0,+∞的子集,且满足下列条件:①对?[

),0,x y ∈+∞,都有()()()f xf y f y f x y ?=+????;②()20f =;③()()002f x x ≠<≤.⑴当2x ≥时,求证:()0f x =;⑵求()f x 的解析式.

学案3.

(2010湖南文8)函数2y ax bx =+与

log (0,)b a

y x ab a b =≠≠在同一直角坐

标系中的图象可能是(

A

D

C

函数图象与函数方程

函数图象的画法教案

《函数图象的画法》教案 教学目标: 1.学会用列表、描点、连线画函数图象; 2.学会观察、分析函数图象信息; 3.提高识图能力、分析函数图象信息能力; 4.体会数形结合思想,并利用它解决问题,提高解决问题能力. 教学重难点: 教学重点:函数图象的画法;观察分析图像信息. 教学难点:分析概括图象中的信息. 教学过程: (一)情景导入: 1.在电影院里,你是怎样找到自己座位的? 2.从中你能找到一种表示平面上点的位置的方法吗? 平面直角坐标系 1.在平面内,画出原点重合的两条互相垂直的数轴(下图),就组成了一个平面直角坐标系.其中,水平方向的数轴叫做x轴,竖直方向的数轴叫做y轴,原点叫做坐标原点. x轴和y轴把平面直角坐标系所在的平面分为四个区域,分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.x轴和y轴不属于任何象限.一般情况下,x轴和y轴取相同的单位长度. 设P是平面直角坐标系中的一点,作PA⊥x轴与A,PB⊥y轴于B,点A和点B在x 轴对于平面直角坐标系内的任何一点,依照这样的方法,.(下图)+4和-3轴上分别对应于y和 一定存在一对实数和它对应. 我们把平面直角坐标系中的任意一个点P在x轴上的对应点所表示的实数m叫做点P的横坐标,在y轴上的对应点所表示的实数n叫做点P的纵坐标,把m和n合在一起叫做点P的坐标,记

作P(m,n) 2.例题解析: 例1:(1)在平面直角坐标系中,作出下列各点: A(-1,-1),B(-1,1),C(1,1),D(1,1). ,,,D所得的图形是那种特殊的四边形?C顺次连接点A B(2)在平面直角坐标系中,已知点M的坐标是(-5,3),点P和点M关于x轴成轴对称,点N和点M关于y轴成轴对称.分别作出点N和点P,并求出点N,P的坐标. 例2:分别求出下列各点到x轴、y轴的距离: (1)点(-5,3)到x轴的距离为|3|=3,到y轴的距离为|-5|=5. (2)点(-3,4)到x轴的距离为|-4|=4,到y轴的距离为|-3|=3. 3.实践 (1)在平面直角坐标系的各个象限内确定一些点,并作出这些点关于x轴对称的点,再作出这些点关于y轴对称的点. (2)如下图,利用计算机或图形计算器,拖动平面直角坐标系中的动点,观察动点关并回答:. 于坐标轴对称点的坐标的变化. A.关于x轴对称的两个点的坐标有什么关系? B.关于y轴对称的两个点的坐标有什么关系? 师:不难发现,关于x轴对称的两个点的横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个点的纵坐标相同,横坐标互为相反数. 函数图象的画法 把一个函数的一个自变量的值,和它对应的因变量的值分别作为一个点的横坐标和纵坐标,就能

函数的图像及函数与方程

函数的图像及函数与方程 一、温故 对称变换:①奇函数的图象关于______对称;偶函数的图象关于____轴对称; ②f (x )与f (-x )的图象关于____轴对称;③f (x )与-f (x )的图象关于____轴对称; ④f (x )与-f (-x )的图象关于______对称;⑤f (x )与f (2a -x )的图象关于直线______对称; ⑥|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象,作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形,然后擦去x 轴下方的图象得到; ⑦f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象,擦去y 轴左方的图象,然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到. 如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条不间断的曲线,且____________,那么函数y =f (x )在区间________上有零点. 二、例题讲解 考点一 作图 例1 (1)作函数y =|x -x 2|的图象(2)作函数y =x 2-|x |的图象; (3)作函数y =1|x |-1 的图象.(4)作函数x y --=524的图像 (5)作函数2log 2-=x y 的图像

考点二 识图 例2 (1)函数2log 2x y =|的图象大致是________(填入正确的序号). (2)函数f (x )的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式是下列四者之一,正确的序号为________. ①f (x )=x +sin x ;②f (x )=cos x x ;③f (x )=x cos x ;④f (x )=x ·(x -π2)·(x -3π2 ). 变式 已知y =f (x )的图象如图所示,则y =f (1-x )的图象为________(填序号). 例3.已知f (x )=????13x ,若f (x )的图象关于直线x =1对称的图象对应的函数为g (x ),则g (x )的 表达式为________. 例4. 函数f (x )=????? 3x ,x ≤1,log 13x ,x >1,则y =f (x +1)的图象大致是________.

高中各种函数图像画法与函数性质

一次函数 二次函数

反比例函数 1、反比例函数图象:反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。 2、性质: 1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0;值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。

指数函数y=a x (a>0,a≠1) 注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴; 当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀:“大增小减”。即:当a>1时,图像在R上是增函数; 当0<a<1时,图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法: 1.当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较; 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论; 3.当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较; 4.对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移: 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。

函数图象变换的四种方式

函数图象变换的四种方 式 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

函数图象变换的四种方式 一,平移变换。 (1)水平平移: 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象,只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象,只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 (简记:左加右减,这里的a>0。) (2)上下平移: 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象,只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象,只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 (简记:上加下减,这里的a>0) 二,对称变换。 (1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象,只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记:左右翻折) (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象,只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记:上下翻折) (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象,只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记:旋转180度) 三,翻折变换。 (1)如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象? 先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象,再作出关于y轴对称的图形 (简记:右不动,左对称) (2)如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象? 先画出函数y=f(x)的图象,再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 (简记:上不动,下上翻) 四,伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象?(a>0) 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍,横坐标不改变,就可得到函数af(x)的图象。 (2)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象?(a>0) 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍,纵坐标不改变,就可得到函数f(ax)的图象。

高中各种函数图像画法与函数性质

一次函数 (一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 二次函数

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2 y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) 2 y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n , 对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-

函数图象与函数与方程

函数图象有关知识梳理 1.函数图象的变换 (1)平移变换: ①水平平移:y =f (x ±a )(a >0)的图象,可由y =f (x )的图象向左(+)或向右(-)平移a 个单位而得到.②竖直平移:y =f (x )±b (b >0)的图象,可由y =f (x )的图象向上(+)或向下(-)平移b 个单位而得到. (2)对称变换:①y =f (-x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称. ②y =-f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称. ③y =-f (-x )与y =f (x )的图象关于原点对称. 另:一些常用的对称结论:①若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)()(x a f x a f -=+成立,则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称;(变式)2()(x a f x f -=)②一般地,若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)()(x b f x a f -=+成立, 则函数)(x f y =的图像关于直线2 b a x += 对称;③若函数)(x f y =对定义域内的任意实数x 都有)2(2)(x a f b x f --=成立,则函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称;(特别地若)2()(x a f x f --=或)()(x a f x a f --=+成立,则关于点)0,(a 对称);④两个不同函数的对称:函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2 a b x -= 对称。 (3)伸缩变换: ①y =A f (x )(A >0)的图象,可将y =f (x )图象上每点的纵坐标伸长(A >1时)或缩短(10<

函数图象的三种变换

. 函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一,常见变换有以下3种: 一、平移变换 2,在同一坐标系中画出:=x设f(x)例1 (1)y=f(x),y=f(x+1)和y=f(x-1)的图象,并观察三个函数图象的关系; (2)y=f(x),y=f(x)+1和y=f(x)-1的图象,并观察三个函数图象的关系.解(1)如图 (2)如图

点评观察图象得:y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到;y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到; y=f(x)+1的图象可由y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到; y=f(x)-1的图象可由y=f(x)的图象向下平移1个单位长度得到. 小结:

二、对称变换的图象,并观察两个函数图)-xy=f(x+1,在同一坐标系中画出y=f()和x例2设f(x)=象的关系.1的图象如图所示.=-x+x与y=f(-)+y解画出=f(x)=x1 由图象可得函数y=x+1与y=-x+1的图象关于y轴对称. 点评函数y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 三、翻折变换 例3 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=|f(x)|的图象,并观察两个函数1 / 6

. 图象的关系. 解y=f(x)的图象如图1所示,y=|f(x)|的图象如图2所 示. 点评要得到y=|f(x)|的图象,把y=f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方,其余部分不变.例4 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=f(|x|)的图象,并观察两个函数图象的关系. 解如下图所 示. 点评要得到y=f(|x|)的图象,先把y=f(x)图象在y轴左方的部分去掉,然后把y轴右边的对称图象补到左方即可. 小结: 保留x轴上方图象y?f(x)????????y=|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y=f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图:

函数图像的四种变换形式

函数图像的四种变换 1.平移变换 左加右减,上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位; ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位; a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位; a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心,则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心,则求交点。 (1)对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 (2)中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点(a,b)对称。 3伸缩变换 (1)) (x af y=的图像,可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a倍,横坐标不变。 (2)) (ax f y=(a>0)的图像,可以将) (x f y=的横坐标伸长(01)到原来的1/a倍,纵坐标不变。

4.翻折变换 (1)形如)(x f y =,将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方,去掉原来x 轴下方的部分,保留原来在x 轴上方的部分。 (2)形如)(y x f =,将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分,并保留)(x f y 轴左边部分,为)(y x f =的图像。 习题:①做出32y 2++=)(x 的图像 ②做出3+=x y 的图像

函数与方程练习题及答案 (1)

函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即__________,则α叫做这个函数的 ________. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与_______有交点?函数y=f(x)有_____. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 3. 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.[难点正本疑点清源] 1.函数的零点不是点 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的一定是一个数字,而不是一个坐标. 2.零点存在性定理的条件是充分而不必要条件 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.这就是零点存在性定理.满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图, f(a)·f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要. 1.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间 ________. 2.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_____.3.已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N*),则k的值为________.4.若函数f(x)=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围是________. 题型一判断函数在给定区间上零点的存在性 例1函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象. (1)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是() A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

函数图象的画法 教学设计

函数图象的画法 【教学目标】 1.学会用列表、描点、连线画函数图象。 2.学会观察、分析函数图象信息。 3.提高识图能力、分析函数图象信息能力。 4.体会数形结合思想,并利用它解决问题,提高解决问题能力。 【教学重点】 1.函数图象的画法。 2.观察分析图象信息。 【教学难点】 分析概括图象中的信息。 【教学过程】 一、提出问题,创设情境 我们在前面学习了函数意义,并掌握了函数关系式的确立。但有些函数问题很难用函数关系式表示出来,然而可以通过图来直观反映。例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。 即使对于能列式表示的函数关系,如果也能画图表示则会使函数关系更清晰。 我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息。 二、导入新课 问题1在前面,我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息,回答了一些问题。现在让我们来回顾一下。 先考虑一个简单的问题:你是如何从图上找到各个时刻的气温的?

分析图中,有一个直角坐标系,它的横轴是t轴,表示时间;它的纵轴是T轴,表示气温。这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t(时)的函数关系。例如,上午10时的气温是2℃,表现在气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10,2)。实质上也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.气温曲线上每一个点的坐标(t,T),表示时间为t时的气温是T。 问题2 如图,这是2004年3月23日上证指数走势图,你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的? 分析图中,有一个直角坐标系,它的横轴表示时间;它的纵轴表示上证指数。这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系。例如,下午14:30时的指数是1746.26,表现在指数曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(14:30,1746.26)。实质上也就是说,当时间是14:30时,对应的函数值是1746.26.上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子。 一般来说,函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形。图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值。 一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph)。上图中的曲线即为函数S=x2(x>0)的图象。 函数图象可以数形结合地研究函数,给我们带来便利。 [活动一] 下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息?

函数图像的三种变换

函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容,函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础,而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种: 一 、平移变换 函数图象的平移变换,表现在函数图象的形状不变,只是函数图象的相对位置在变化,其平移方式可分为以下两种: 1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ,由于两函数的对应法则相同,x a x 与-取值范围一样,函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同,只是函数的图象在水平方向的相对位置不同,如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢?因为对于函数)(x f y =上的任意一点(11,y x ),在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +,因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样,将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ,由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同,定义域和值域一样,因此两函数形状相同,如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢?因为对于函数)(x f y =上的任意一点(11,y x ),在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +,因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样,将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。 函数图象的平移变化可以概括地总结为: (1)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位,然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 (2)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位,然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 (3)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位,然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 (4)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位,然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解 例1. 为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点( ) A. 向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 分析 把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位,然后再向下平移1个单位,就得到函数123-=-x y 的图象。 故,本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位,再向下平移1个单位后,所得图象对应的函数解析式是( ). (A ) (B ) (C ) (D ) 分析 把已知函数图象向右平移1个单位, 即把其中自变量换成,得.

高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 (2)方程0)(=x f 有实根?函数()y f x = 的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一 个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根; 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根; 0?

基本初等函数、函数与方程

基本初等函数、函数与方程 一、选择题 1.(2017·吉林实验中学模拟)若f (x )是幂函数,且满足错误!=2,则f 错误!=( ) A .12B .14 C .2 D .4 解析:选B 设f (x )=x α,由错误!=错误!=3α=2,得α=log 32,∴f 错误!=错误!log 32=错误!. 2.函数f (x )=2|x -1|的图象是( ) 解析:选B f (x )=错误!故选B . 3.计算:(log 32-log 318)÷81-14=( ) A .-32 B .-6 C .32 D .6 解析:选B (log 32-log 318)÷81-14=log 3218÷(34)-14=log 319÷34×????-14=-2÷1 3=-6,故选B . 4.(2016·全国丙卷)已知a =243,b =323,c =251 3,则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .b <c <a D .c <a <b 解析:选A a =243=423,b =323,c =2513=52 3 . ∵y =x 2 3在第一象限内为增函数,又5>4>3,∴c >a >B . 5.函数f (x )=|log 2x |+x -2的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选B 函数f (x )=|log 2x |+x -2的零点个数,就是方程|log 2x |+x -2=0的根的个数. 令h (x )=|log 2x |,g (x )=2-x ,画出函数的图象,如图. 由图象得h (x )与g (x )有2个交点,∴方程|log 2x |+x -2=0的解的个数为2.故选B .

函数图象的三种变换(可编辑修改word版)

函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一,常见变换有以下 3 种: 一、平移变换 例1 设f(x)=x2,在同一坐标系中画出: (1)y=f(x),y=f(x+1)和y=f(x-1)的图象,并观察三个函数图象的关系; (2)y=f(x),y=f(x)+1 和y=f(x)-1 的图象,并观察三个函数图象的关 系.解(1)如图 (2)如图 点评观察图象得:y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到; y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到; y=f(x)+1 的图象可由y=f(x)的图象向上平移1 个单位长度得到; y=f(x)-1 的图象可由y=f(x)的图象向下平移1 个单位长度得到. 小结: 二、对称变换 例2 设f(x)=x+1,在同一坐标系中画出y=f(x)和y=f(-x)的图象,并观察两个函数图象的关系. 解画出y=f(x)=x+1 与y=f(-x)=-x+1 的图象如图所示. 由图象可得函数y=x+1 与y=-x+1 的图象关于y 轴对 称.点评函数y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y 轴 对称;函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x 轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 三、翻折变换 例 3 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=|f(x)|的图象,并观察两个函数

将x 轴下方图象翻折上去 并作其关于y 轴对称的图象 图象的关系. 解 y =f (x )的图象如图 1 所示,y =|f (x )|的图象如图 2 所示. 点评 要得到 y =|f (x )|的图象,把 y =f (x )的图象中 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方,其余部分不变. 例 4 设 f (x )=x +1,在不同的坐标系中画出 y =f (x )和 y =f (|x |)的图象,并观察两个函数图象的关系. 解 如下图所示. 点评 要得到 y =f (|x |)的图象,先把 y =f (x )图象在 y 轴左方的部分去掉,然后把 y 轴右边的对称图象补到左方即可. 小结: y = f (x ) ??保?留x ?轴上?方图?象?→ y =|f (x )|. y = f (x ) ???保留?y 轴右?侧?图象??→ y =f (|x |). 如图: 四 函数图象自身的对称性 1. 函数 y = f (x ) 的图象关于直 x = a + b 对称? f (a + x ) = f (b - x ) ? f (a + b - x ) = f (x ) 2 2. 函数 y = f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称? 2b - f (x ) = f (2a - x ) ? f (x ) = 2b - f (2a - x ) ? f (a + x ) + f (a - x ) = 2b 3.若 f (x ) = - f (-x ) ,则 f (x ) 的图象关于原点对称,若 f (x ) = f (-x ) ,则 f (x ) 的图象 关于 y 轴对称。 基础训练 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x ∈(0,+∞)时,函数 y =|f (x )|与 y =f (|x |)的图象相同. ( × ) y y=f(|x|) a o b c x y y=|f(x)| a o b c x y y=f(x) a o b c x

函数图像与函数方程(教师版)

函数图像与函数方程 【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①)(x f y =――→关于x 轴对称 )(x f y -=; ②)(x f y =――→关于y 轴对称 )(x f y -=; ③) (x f y =――→ 关于原点对称 )(x f y --=; ④)10(≠>=a a a y x 且――→ 关于y =x 对称 )10(log ≠>=a a x y a 且. (3)翻折变换 ①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像 将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像,并作其 关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换 ①)(x f y = )(ax f y =. ②)(x f y = )(x af y =. 2.函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. (2)几个等价关系 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 0)()(

初中函数解析式与图像画法

初中函数解析式及图象画法 一、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 1、一次函数:y=kx+b(k、b是常数,k 0) 说明:①k 0的常数 ②x指数为1 ③b取任意实数 ④自变量x的取值为一切实数。【x的取值范围(定义域):x € R】 ⑤函数y的取值是一切实数。【y的取值范围(值域):y€ R】 k 2、反比例函数:y (k为常数,k 0) x 说明:① 常数k不为零(也叫做比例系数k)②分母中含有自变量x,且指数为1. ③自变量X的取值为一切非零实数。【x的取值范围(定义域):{X € R I x丰0}】(反比例函数 有 意义的条件:分母工0)④函数y的取值是一切非零实数。【y的取值范围(值域):{y € R I y丰0}】 3、二次函数:一般式:y ax2bx c (a 0 , a , b ,c是常数): 说明:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a ,b ,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 、函数图象的常规画法:(描点法画函数图形的一般步骤) 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点); 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来) 1、一次函数y=kx+b图像(直线)的画法:两点法 ①计算必过点(0, b)和(-—,0)[当x=0,时,y= b,过点(0, b);当y=o,时,x=-—过点(-一,0)] k k k ②描点(有小到大的顺序) ③连线(从左到右光滑的直线) k 2、反比例函数y k图像(双曲线)的画法:---五点绘图法: x ①列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数) ②描点(有小到大的顺序) ③连线(从左到右光滑的曲线) 3、二次函数y ax2 bx c图象(抛物线)的画法---五点绘图法: 2 ①配方变形:对于二次函数y ax2 bx c经过配方变形为顶点式:y=a(x+■一)2 j4ac_—,其顶点坐标为( 2a 4a 2 ②确定三特征:开口方向(a正朝上;b负朝下);对称轴(直线x=-—);其顶点坐标为(-■一 ,4ac b) 2a 2a 4a ③然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 ④选取五点为:顶点、与y轴的交点0,c、以及0, c关于对称轴对称的点-,c、与x轴的交 a b 4ac b 2a' 4a

2021版高考数学二轮复习专题限时集训12函数的图象与性质函数与方程

专题限时集训(十二) 函数的图象与性质、函数与方程 (建议用时:40分钟) 1.已知函数f (x )=? ?? ?? x 2 ,x ≥0, -x ,x <0,则f (f (-2))=( ) A .4 B .3 C .2 D .1 2.已知函数f (x )的定义域为[3,6],则函数y = f 2x log 12 2-x 的定义域为( ) A.??????32,+∞ B.??????32,2 C.? ?? ??32,+∞ D.???? ??12,2 3.[一题多解]设函数f (x )=x 3 (a x +m ·a -x )(x ∈R ,a >0且a ≠1)是偶函数,则实数m 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .-2 4.(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e x -1,则当x <0时,f (x )=( ) A .e -x -1 B .e -x +1 C .-e -x -1 D .-e -x +1 5.已知奇函数f (x )在R 上是减函数,且a =-f ? ????log 3110,b =f (log 39.1),c =f (20.8 ), 则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a >b >c B .c >b >a C .b >a >c D .c >a >b 6.[易错题]已知函数f (x )在(-1,1)上既是奇函数,又是减函数,则满足f (1-x )+f (3x -2)<0的x 的取值范围是( ) A.? ????12,+∞ B.? ????12,1 C.? ????34,+∞ D.? ?? ??34,1 7.(2019·洛阳模拟)函数f (x )= 1 sin x -x 的图象大致为( )

函数图象的画法与解读

函数图象的画法与解读 一、选择题 1.如图是某市一天的气温随时间变化的图象,那么这天()A.最高气温是10℃,最低气温是2℃; B.最高气温是6℃,最低气温是2℃ C.最高气温是10℃,最低气温是-2℃; D.最高气温是6℃,最低气温是-2℃ 2.一根蜡烛原长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧的 速度v(cm/h)?与燃烧的时间t(h)的关系用图象表示 为() 3.甲、乙二人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图所示,?从图中可以看出,下列结论错误的是() A.这是一次100米赛跑; B.甲比乙先到达终点 C.乙跑完全程需12.5秒; D.甲的速度是8米/秒 4.已知直线y=ax+b经过一、二、四象限,则下列结论正确的 是() A.a>0,b>0;B.a>0,b<0; C.a<0,b>0;D.a<0, b<0 5.图8-4所示图形中,表示函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(mn≠0)图象的是() 6.如图,L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系的图象,设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm,乙弹簧每挂1kg?物体伸长的长度为k乙cm,则k甲与k乙的关系是() A.k甲>k乙 B.k甲=k乙 C.k甲?0,?③4a+2b+c>0,

④(a+c )20 B .y<0 C .-2y 2成立的x 的取值范围是_________.

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