2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（下）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）
1．（5分）设z=1+i（i是虚数单位），则=（）
A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i
2．（5分）设a，b，c∈R+，那么三个数a+，b+，c+（）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
3．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）
A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4
4．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）
A．y=2e（x﹣1）B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e
5．（5分）“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
6．（5分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）
A．B．C．
D．
7．（5分）函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．1 C．2 D．
8．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）
A．[1，+∞）B． C．D．[，2）
9．（5分）由曲线y=x2﹣4，直线x=0，x=4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）
A．（x2﹣4）dx B．|（x2﹣4）dx|
C．|x2﹣4|dx D．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx
10．（5分）在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一行成等差数列，每一列成等比数列，则a+b+c的值是（）
12
0.51
a
b
c
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实
数a的取值范围是（）
A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]
12．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+1）lnx（a∈R）至少存在一个x0∈（0，
+∞），使f（x0）＞x0，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．（5分）已知复数z满足（1+i）z=1+i，则|z|=．
14．（5分）设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的
切线垂直，则P的坐标为．
15．（5分）已知t＞0，若=，则t=．
16．（5分）类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：a n+a n+1=d（n≥1，n∈N+，d为常数，称为公和），已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为．这个数列的前n项和S n的计算公式为．
三、解答题（共6小题，计70分）
17．（10分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
18．（12分）用数学归纳法证明不等式
．
19．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求证：当a=0时，f（x）≥0．
20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣，x=1处都取得极值
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；
（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．
2016-2017学年广东省深圳市宝安中学高二（下）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）
1．（5分）设z=1+i（i是虚数单位），则=（）
A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．
【解答】解：==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）设a，b，c∈R+，那么三个数a+，b+，c+（）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
【分析】A．取a=3，b=1，可得＞2，可知A不正确．
B．取a=1，b=2，则＜2，即可判断出．
C．假设三个数a+，b+，c+都小于2，则a+＜6，利用基本不等式的性质可得a++2=6，得出矛盾，即可判断出．D．取a=b=c=2，则三个数都大于2，即可判断出．
【解答】解：A．取a=3，b=1，∴＞2，可知A不正确；
B．取a=1，b=2，则＜2，因此不正确；
C．假设三个数a+，b+，c+都小于2，则a+＜6，而