鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试
一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分, 共50分)
1．设函数f(x)在0x 处可导，则x
x f x x f x ?-?-→?)
()(lim
000
等于 （ C ）
A ．)('0x f
B ．)('0x f -
C ．-)('0x f
D ．-)('0x f - 2．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切 线的倾斜角为（ C ）
A ．90°
B ．0°
C ．锐角
D ．钝角 3．函数y=x 3
－3x 在[－1，2]上的最小值为 （ B ）
A 、2
B 、－2
C 、0
D 、－4
4．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2
21f x x x f '=+?，则()0f '等于 (B )
A 、0
B 、4-
C 、2-
D 、2
5．已知f(x)＝x 3＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( D ) A 、－1
6、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围 （ D ）
D 、13
k ≤
7y=f '(x) （D ）
8x '（）>0，则必有 A 1） C 1）
9x ，有
()0f x ≥，则
(1)
(0)
f f '的最小值为(C ) Ａ．3
Ｂ．
5
2
Ｃ．2
Ｄ．
32
10、f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下 列关于函数g （x ）的叙述正确的是（B ） A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.
B ．若a =－1，－2 C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根. D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根. 二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分) 11.求()3 1sin f x x =的导数 22311s i n c o s y x x x '=- 12．曲线S ：y=3x-x 3的过点A （2，-2）的切线的方程是y=-9x+16或y=-2 。 13. 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围 为04 π?? ???? ，，则点P 14．设函数()f x 是R 上以5的切线的斜率为 0 15. 已知直线x +2y －4=0与抛物线y 2=4x 是抛物线的弧 上求一点P ，当△PAB 面积最大时，P 点坐标为 P (4,－ 4) . 三、解答题（共6小题，，共75分） 16、（本题满分12分）对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义： 设()f x ''是函数()y f x =的导函数()y f x '=的导数，若()0f x ''=有实数解0x ，则 称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。现已知3 2 ()322f x x x x =-+-,请解答下列问题: （1）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标; （2）求证()f x 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）. 16、[解析]（1）2()362f x x x '=-+，()66f x x ''=-.令()660f x x ''=-=得 1x =， 3 (1)13222f =-+-=-.∴拐点(1,2)A - （2）设00(,)P x y 是()y f x =图象上任意一点，则32 0000322y x x x =-+-，因为 00(,)P x y 关于(1,2)A -的对称点为00(2,4)P x y '---，把P '代入()y f x =得 左边04y =--32 000322x x x =-+--, 右边32000(2)3(2)2(2)2x x x =---+--32 000322x x x =-+-- ∴右边=右边00(2,4)P x y '∴---在()y f x =图象上∴()y f x =关于A 对称 猜想：所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。 17. （本题满分12分）已知函数)(x f 是),0(+∞上的可导函数，若()()xf x f x '>在0>x 时恒成立. （1）求证：函数x x f x g ) ()(= 在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有1212()()()f x x f x f x +>+. 17. （1）由x x f x g )()(=得2()() (),xf x f x g x x '-'=因为()()xf x f x '>， 所以()0g x '>在0>x 时恒成立，所以函数x x f x g ) ()(=在),0(+∞上是增函数. （2）由（1）知函数x x f x g ) ()(=在),0(+∞上是增函数，所以当0,021>>x x 时， 有 2121112121) ()(,)()(x f x x x f x x f x x x x f >+>++成立， 从而()(12111x f x x x x f ++< 两式相加得()(21f x x f >+18. （本题满分12分）（Ⅰ）求()f x 的最小值； )1x ax ≥-，求实数a 的取值范围. 18. 0∞(，+)， …………1分 x . ………………3分 令f ()0f x '<，解得10e x <<. 从而()f x 在0e ???，单调递减，在1e ?? ∞ ???，+单调递增. ………………5分 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1 e -. ………………………… 6分 （Ⅱ）解法一：令()()(1)g x f x ax =--，则 ()()1ln g x f x a a x ''=-=-+， ……………………8分 ① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>-≥， 故()g x 在(1 )∞，+上为增函数， 所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-.…………………… 10分 ② 若1a >，方程()0g x '=的根为 1 0e a x -=， 此时，若0(1)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数. 所以0(1)x x ∈，时，()(1)10g x g a <=-<， 即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾. ……………………13分 综上，满足条件的a 的取值范围是(1]-∞，. ……………………………………14分 解法二：依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立， 即不等式1 ln a x x ≤+ 对于[1)x ∈+∞，恒成立 . ……………………8分 令1()ln g x x x =+， 则21111()1 g x x x x x ?? '=-=- ???. ……………………10分 当1x >时，因为11()10g x x x ?? '=-> ??? ， 故()g x 是(1)+∞，上的增函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， (13) 分 所以a 的取值范围是(1]-∞，. …………………………………………14分 19、（本题满分12分）请您设计一个帐篷。它下部 的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱19x m,则正六棱锥底面边长为3m ）。 2分 22236(9))42 x x --。 ………………4分 ()27)V x (13)x << 8分 令()0V x '=解得x=-3(不合题意，舍去),x=1。 ………………10分 当0 20. （本题满分13分）已知函数f(x)=ax 3 +bx 2 －3x 在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 20. 解：（I ）f ′(x)=3ax 2 +2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0， 即,0 3230 323?? ?=--=-+b a b a 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x 3－3x. （II ）∵f(x)=x 3 －3x,∴f ′(x)=3x 2 －3=3(x+1)(x －1)， 当－1 |f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4………………………………8分 （III ）f ′(x)=3x 2 －3=3(x+1)(x －1)， ∵曲线方程为y=x 3 －3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上. 设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.303 00x x y -= 因)1(3)(20 0-='x x f ，故切线的斜率为1 3)1(3003 020 ---=-x m x x x ， 整理得03322 030=++-m x x .∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线， ∴关于x 0方程3322 030++-m x x =0有三个实根.……………………10分 设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=602 06x x -， 由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1. ∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减. ∴函数g(x 0)= 3322 030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1………………12分 ∴关于x 0方程3322 030++-m x x =0有三个实根的充要条件是 ? ? ?<>0)1(0 )0(g g ，解得－3 x x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(= ∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2 f x g x >+ ; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 21.解：（Ⅰ） x x f )(-=，x x x x f 1 11)(-= - =' ……分 ∴当10< ()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/ ()0f x >∴()f x 的极小值为1)1(=f （Ⅱ） ()f x 的极小值为1∴ ……5分 令h x x x h ln 1)(-= '， ……6分 当0)在],0(e 上单调递增 ……7分 ∴min |)(|12 1 x f h == ∴在（1）的条件下，1 ()()2 f x g x >+ ……9分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， /1()f x a x =- x ax 1-= ……9分 ① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4 =（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a << 10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1 (e a 上单调递增 3ln 1)1 ()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ……11分 ③ 当 e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4 =（舍去） ，所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2 e a =，使得当],0(e x ∈时() f x 有最小值3.
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