X#学习目标
1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3.理解多面体的有关概念；
4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
心学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P4,找出疑惑之处）
引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽
象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！
二、新课导学
探探索新知
探究1：多面体的相关概念
问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗？平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）
试试1:你能指出探究3中的几何体它们各自的底、
侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探
究3中的棱柱分类吗？
新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.
试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢？
新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图（1）中这个棱柱表示为棱柱ABCD —ABCD .
探究4：棱锥的结构特征
问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之
一，它具有什么样的几何特征呢？
新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥（pyramid）.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S-ABCDE.
轴
问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗
有两个面互相平行，其余各面都
是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：
探究2：旋转体的相关概念
问题：仔细观察下列物体的相同点是什么?
§.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构
特征
新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的圭寸闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体：
探究5:棱台的结构特征
问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地 切掉,则切掉的部分是什么形状 ？剩余的部分呢？ 新知7:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部分形成的几何体叫做 棱台 （frustum of a pyramid ）.原棱锥的底面和截面分别叫 做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的 侧面， 相邻侧面的公共边叫 侧棱，侧面与两底面的公共点 叫顶点.两底面间的距离叫 棱台的高.棱台可以用 上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥 . 试试3:请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、 顶点,并指出其类型和用字母表示出来 .
探自我评价你完成本节导学案的情况为 （
）
.
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平
移一段距离可以形成（ ）. A .棱锥 B .棱柱 C .平面 D .长方体 2. 棱台不具有的性质是（ ）. A. 两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
3. 已知集合 A=｛正方体｝, B=｛长方体｝, C=｛正四 棱柱｝ , D=｛直四棱柱｝ , E=｛棱柱｝, F=｛直平行六 面体｝，则（ ）.
A. A - B - C - D - F - E
B. A - C - B - F 三 D 三 E
C. C 』A 』B 三D ± F 』E
D. 它们之间不都存在包含关系
4. 长方体三条棱长分别是 AA =1 AB =2, AD = 4 , 则从A 点出发，沿长方体的表面到 C '的最短矩离 是 .
5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81,高为4, 则截得这棱台的原棱锥的高为 _____________ .
反思：根据结构特征，从变化的角度想一想，棱柱、
棱台、棱锥三者之间有什么关系？ 探典型例题
例由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质 吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个 底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不 相邻的两条侧棱的
截面是平行四边形
.仿照棱柱,棱
锥、棱台有哪些几何性质呢？
―空―课后作业
1.已知正三棱锥 S-ABC 的高SO=h,斜高（侧面三角 形的高）SM=n ,求经过 SO 的中点且平行于底面的 截面△ A1B1C1的面积.
2.在边长a 为正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、 BC 的中点，现在沿 DE 、DF 及EF 把厶ADE 、△
CDF 和厶BEF 折起，使 A 、B 、C 三点重合，重合 后的点记为P .
问折起后的图形是个什么几何体？
探学习小结
1. 多面体、旋转体的有关概念；
2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质
探知识拓展
1. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；
2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影 是
底面正多边形中心的棱锥；
4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台
.
D
C
1
F
A
E
B
它每个面的面积是多少?
二、总结提升 学习评价
§.1.2圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
"学习目标
-- —LL」r—LLLL* ] 1 ] * I」_ ] 1 I
-- L f^rFiLFr'iLL'
1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3.能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；
4.能描述一些简单组合体的结构.
“ 学习过程
一、课前准备
(预习教材P5~ P7,找出疑惑之处)
复习：①_________________________________ 叫多面体，___________________________________ ___________ 叫旋转体.
②______________________ 棱柱的几何性质：
___________________________ 是对应边平行的全等
多边形，侧面都是_________ ，侧棱_____ 且___ ，平行于底面的截面是与______ 全等的多边形；棱锥的
几何性质：侧面都是_______ ，平行于底面的截面与
底面_____ ，其相似比等于 ____________ .
引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.
二、新课导学
探探索新知
探究1：圆柱的结构特征
问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？探究2：圆锥的结构特征
问题：下图的实物是一个圆锥，与圆柱一样也是平面
图形旋转而成的.仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗? 试在旁边的图中标出来.
新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.
探究3：圆台的结构特征
问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？
新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).
新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱(circular cylinder)，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为00 '.圆柱和棱柱统称为柱体.
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分也是圆台.圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来.棱台与圆台统称为台体.
反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？
探究4：球的结构特征
问题：球也是旋转体，怎么得到的？
新知4:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere ）,
简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做
球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母o表示，如球0.
探究5：简单组合体的结构特征
问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？
新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.
探典型例题
例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯（11）地球（12）—桶方便面（13）—个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；
①棱柱结构特征的有________________________ ；
②棱锥结构特征的有_________________________ ；
③圆柱结构特征的有_________________________ ；
④圆锥结构特征的有_________________________ ；
⑤棱台结构特征的有_________________________ ；
⑥圆台结构特征的有_________________________ ；
⑦球的结构特征的有________________________ ；
⑧简单组合体________________________________ .
%动手试试
练.如图，长方体被截去一部分，其中EH || AD , 剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？是矩形，圆锥的轴截面是三角形.
「学习评价
%自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
%当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.Rt ABC三边长分别为3、4、5，绕着其中一边
旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.
A.是底面半径3的圆锥
B.是底面半径为4的圆锥
C.是底面半径5的圆锥
D.是母线长为5的圆锥
2.下列命题中正确的是（）.
A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
3.一个球内有一内接长方体，其长、宽、高分别为5、
4.3,则球的直径为（）.
A. 5 2
B.2 5
C. 5
D. - 2
2
4.已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由_______________ 、 _________ 、_________ 的几何体
构成的组合体.
5.圆锥母线长为R，侧面展开图圆心角的正弦值为
也，则高等于_____________ .
2
:…课后作业
1._____________________ 如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图
形，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合
体，下面说法不正确的是____
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两
个球体
B.该组合体仍然关于轴I对称
.
c.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点￡
上
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
2.用一个平面截半径为25cm
的球，截面面积是
49二cm2,则球心到截面的距离为多少？
三、总结提升
%学习小结
1.圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念;
2.简单组合体的结构特征.
%知识拓展
圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆
柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面
§121中心投影与平行投影
§1.2.2空间几何体的三视图
"学习目标
1.了解中心投影与平行投影的区别；
2.能画出简单空间图形的三视图；
3.能识别三视图所表示的空间几何体;
心学习过程
--- *_-== - _ ___ ——— - _ - - _ —,
一、课前准备
（预习教材Pii~ P14,找出疑惑之处）
复习1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_________ 绕着、绕着、绕着、绕着旋转得到的.
二、新课导学
探探索新知
探究1：中心投影和平行投影的有关概念问题：中午在
太阳的直射下，地上会有我们的影子；晚上我们走在路
灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象
吗？为什么影子有长有短？
新知1由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以
留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.
其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面. 光
由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影
的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫
做平行投影，平行投影的投影线是平行的. 在平行投影
中，投影线正对着投影面时叫正投影,
否则叫斜投影.
思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射
是什么投影？试试：在下图中，分别作出圆在中心投影
和平行投影中正投影的影子.
探究2:柱、锥、台、球的三视图
问题：我们学过的几何体（柱、锥、台、球）,为了研
究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画
呢？能否用平行投影的方法呢？
新知2:为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几
何体作三个角度的正投影.一种是光线从几
何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几
何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正
投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧
视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到
投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视
图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下
边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示不能看
见的轮廓线和棱用虚线表示.下图是一个长
方体的三视图.
思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图你能得
出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能
归纳三视图的画法吗？
小结：
1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度
和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；
2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相
同，侧视图和俯视图宽度相同；
3.三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视
图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即
“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯
三个视图之间必须互相对齐，不能错位.
探究3：简单组合体的三视图
问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗
复习2：简单组合体构成的方式：__________________
和________________________________________ .
结论：中心投影其投影的大小随物体与投影中心间
距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个
平面图形的形状和大小是完全相同的.
小结：画简单组合体的三视图，要先观察它的结构,
口
侧视图
是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何 体的三视图，最后组合在一起 ?注意线的虚实? 探典型例题 例1画出下列物体的三视图：
实线画出；确定正视、俯视、侧视的方向，同一物 体放置的方向不同，所画的三视图可能不同 ?
探自我评价你完成本节导学案的情况为 （ ）.
A.很好
B.较好
C. 一般
探 当堂检测（时量：5分钟 满分:
1. 下列哪种光源的照射是平行投影
（ A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯
2. 左边是一个几何体的三视图，则这 个几何体是（ ）. A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台
3. 如图是个六棱柱,其三视图为（
课后作业
1.
画出下面几何体的三视图 .（箭头的方向为正前
方）
三、总结提升 探学习小结
1. 平行投影与中心投影的区别；
2. 三视图的定义及简单几何体画法： 正视图（前往
后）、侧视图（左往右）、俯视图（上往下）；画时 注意长对正、高平齐、宽相等；
3. 简单组合体画法：观察结构，各个击破 探知识拓展
画三视图时若相邻两物体表面相交
，则交线要用
2. 一个正方体的五个面展开如图所示 ，请你在图中 合适的位置补出第六个面来.（画出所有可能的情况）
§123空间几何体的直观图
空艺学习目标
1. 掌握斜二测画法及其步骤；
2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图
.
J 学习过程
A.
例2说出下列三视图表示的几何体:
rr~n n I i i
4.画出下面螺母的三视图
5.下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图,
D.较差 10分）计分： ）? 探动手试试
练作出下图中两个物体的三视图
m
I I I ，则它的立体图为 ___________
一、课前准备
（预习教材Pi6~ P19,找出疑惑之处）复习1：中心投影的投影线_________________________ ；平行投影的
投影线_______ .平行投影又分―投影和投影.
复习2：物体在正投影下的三视图是、、；画三视图的要点是、、.
引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗？
探探索新知
探究1：水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的？每条边还相等吗？该怎样把这种效果表示出来呢？
新知1上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：
（1）在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的X 轴和y轴，建立直角坐标系，两轴相交于0.画直观图时，把它们画成对应的x ?轴与y轴，两轴相交于点0；且使Z x0y'=45° （或135° ）.它们确定的平面表示水平面；
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ?轴或y ?轴的线段；
⑶ 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半；（4）图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
探典型例题
例1用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图
讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形? 它的直观图如何画？
结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭
圆模板来画.
探究2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？
例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.
新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：x轴，y轴，z轴；它们相交
于点0，且xOy = 45 ，xOz = 90 ；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x轴的线段保持长度不变，平行于y轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z轴的线段，保持长度不变.
%动手试试
练1.用斜二测画法画底面半径为4 cm，高为
3cm的圆柱.
例3如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.
小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来?
三、总结提升
探学习小结
1.斜二测画法要点①建坐标系，定水平面；②与坐标轴平行的线段保持平行；③水平线段（x轴）等长, 竖直线段（y轴）减半；④若是空间几何体，与z轴平行的线段长度也不变.
2.简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图. 请画出它的图形为________________________ .
5.等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=-、2，下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图ABCD*的面积为_____________________ .
「性「一课后作业
1. 一个正三角形的面积是10. 3cm2，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面积.
练2.由三视图画出物体的直观图
正视图侧视图俯视图图中分别画成平行于x?轴或y?轴的线段；
（3）平行于x轴或y轴的线段，长度均保持不变.
2.空间几何体的三视图与直观图有密切联系：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用
（零件图纸、建筑图纸），直观图是对空间几何体的
整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.
-rtf
心学习评价
探自我评价你完成本节导学案的情况为（
）.
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4,则画
其直观图时对应为（）.
A. 4、8、4
B. 4、4、4
C. 2、4、4
D.2、4、2
2.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三
角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（
）.
A.①②
B.①
C.③④
D.①②③④
3.一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三
角形，则它的原面积是（）.
A. 8
B. 16
C.16.2
D.32 2
探知识拓展
1.立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正等
测画法画圆的步骤为：
（1）在已知图形O O中，互相垂直的x轴和y轴画
直观图时，把它们画成对应的x轴与y ?轴，且使一x O y =120° （或60°）；
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观2.用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.
第讲空间几何体、空间中的位置关系 .()[·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() 图图 ()[·全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(),(),(),(),画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到的正视图可以为() 图 [试做] 命题角度由直观图求三视图的问题 关键一:注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向; 关键二:注意看到的轮廓线和棱是实线,看不到的轮廓线和棱是虚线. .[·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为() 图 [试做]
命题角度与三视图有关的几何体的表面积和体积问题 ()关键一:由三视图想象几何体的结构特征,并画出该几何体的空间图形; 关键二:搞清楚几何体的尺寸与三视图尺寸的关系; 关键三:利用外部补形法,将几何体补成长方体或正方体等常见几何体. ()看三视图时,需注意图中的虚实线. ()求不规则几何体的表面积和体积时,通常将所给几何体分割为基本的柱、锥、台体. .()[·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为°.若△的面积为 ,则该圆锥的侧面积为. ()[·全国卷Ⅰ]在长方体中与平面所成的角为°,则该长方体的体积为() [试做] 命题角度空间几何体的面积与体积 ()求规则几何体的体积,只需确定底面与相应的高,而求一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形思想,转化求解. ()求组合体的表面积时,需注意组合体衔接部分的面积,分清侧面积和表面积. .()[·全国卷Ⅰ]如图,在下列四个正方体中为正方体的两个顶点为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面不平行的是() 图 ()[·全国卷Ⅱ]α,β是两个平面是两条直线,有下列四个命题: ①如果⊥⊥α∥β,那么α⊥β. ②如果⊥α∥α,那么⊥. ③如果α∥β?α,那么∥β. ④如果∥,α∥β,那么与α所成的角和与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) [试做] 命题角度空间中线面位置关系的判定 关键一:逐个寻找反例作出否定的判断,逐个进行逻辑证明作出肯定的判断; 关键二:结合长方体模型或实际空间位置作出判断,但要注意准确应用定理,考虑问题全面细致.
第一章 空间几何体测试卷 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )． 主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )． A ．2＋2 B ． 2 2 1＋ C ． 2 2 ＋2 D ．2＋1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 6．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )． A ． 2 9π B ． 2 7π C ． 2 5π D ． 2 3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝ 2 3 ，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )． A ． 2 9 B ．5 C ．6 D ． 2 15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． (第10题) 二、填空题 11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O － (第8题)
第一章 空间几何体 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有： 常见的旋转体有： (2)简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 练习1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 2、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义： 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥：定义： 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似。 (3）棱台：定义： 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 练习2．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 3.空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 练习3．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 练习4．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． 练习5． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;
第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=
人教版高中数学必修2同步练习 习题课 空间几何体 【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体积与表面积计算． 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式． 2．空间几何体的表面积和体积公式． 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝________ 锥体 (棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝________ 台体 (棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝_________ ____________ 球 S ＝________ V ＝43πR 3 一、选择题 1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S ，则它的侧面积是( ) A ．1 π S B ．πS C ．2πS D ．4πS 2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．12 B ．2 3 C ．1 D ．2 3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1 2 ，则该几何体 的俯视图可以是( )
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( ) A ．280 B ．292 C ．360 D ．372 5．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ) A ．a 33 B ．a 34 C ．a 36 D ．a 312 6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π 3 ，则 这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．48 3 二、填空题 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3． 9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm ．
空间集合体 一·空间几何体结构 1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。 2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。侧面：棱柱中除底面的各个面. 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下） 底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD 底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥--- 4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。
空间几何体（讲义） ＞知识点睛 一、空间儿何体的结构特征 棱 特殊的多面体： 柱：斜棱柱、直棱柱、正棱柱、正方体 锥：正棱锥、正四面体 J正四棱柱：底面是正方形的直棱柱 1正方体（正六面体）：侧棱长与底边长相等的正四棱柱 j正三棱锥：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面中心 I正四面体：侧棱长与底边长相等的正三棱锥
正棱柱 A B 正方体 S B S 直棱柱 正四面体 正三棱锥 2.简单组合体
3.球 （1）球的截面性质： ①经过球心的截面截得的圆叫做球的大圆，不过球心的截面 截得的圆叫做球的小圆； ②球心和截得的小圆圆心的连线垂直于截面. （2）位置关系： ①外接球：多面体的各个顶点都在球面上； ②内切球：多面体的各个面都与球相 切.二、空间儿何体的表面积与体积 J 空间儿何体的表面积（也称全面积）（底面周长为C） S|畀柱= -------------- ；S閱锥= S惆台=7t(r'-+r+/-7 + rZ). 2空间儿何体的体积 DL 川/厂 T---- I ］少 1、■ I r --- A B C
心= -------------- ;%= ----------------- ; （底面积为S,高为/I） 八棱长为小 V =V =1（S'+ 辰+S）/7（上下底面积分别为S』，高为"）?梭台恻台3 3球的表面积与体积 S 球= ____________' V球= ______________ ?
有一个底面为多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三 角形，由这些 面所W 成的儿何体是棱锥 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 棱柱的侧 面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 3.下列命题： ① 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三 棱锥； ② 所有棱长都相等的直棱柱是正棱柱； ③ 若一个四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； ④ 所有棱长都相等的正三棱锥是正四面体； ⑤ 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂 直.其中正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ＞精讲精练 1.下列说法中，正确的是（ A B C. D 2.如图所示的儿何体中是棱柱的有（ C. 3个 D. ③ A ?1个 B ?2个 ? ④
第一章空间几何体 １.1 空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体: (1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. (2)由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴. ２. 棱柱： （1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底),其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. (2)侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,否则斜棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 (3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、五棱柱等．按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。 (4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体;底面为正方形的长方体叫正四棱柱;棱长都相等的正四棱柱叫正方体。 （5)棱柱的性质:①两底面是对应边平行的全等多边形;②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等； ④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3．棱锥: （1）有一个面是多边形,其余各面都是有一公共点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （２)底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。 (3)棱锥的分类:按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等． (4)棱锥的性质:①侧面、对角面都是三角形;②平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (５）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高,斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高,侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥：
空间几何体的表面积和体积练习题 题1 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面 半径之比为( ) A.49 B.94 C.427 D.274 题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长 为6，则此球的体积为________． 题3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋23 3 D ．4π＋23 3 题4 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中 点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积．( ) A ．与x ，y 都有关 B ．与x ，y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关 D ．与y 有关，与x 无关
题5 直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3 2 ，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所 成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积． 题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为( ) A ．πa 2 B.7 3 πa 2 C.11 3 πa 2 D ．5πa 2 题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求 球的表面积． 题8 正四棱台的高为12cm ，两底面的边长分别为2cm 和12cm ．（Ⅰ）求正四棱台的全面 积；（Ⅱ）求正四棱台的体积． 题9 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 题10 如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，求棱锥 C A D D ''-的体积与剩余部分的体积之比．
必修空间几何体试题及 答案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
必修2第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ） ：2：3 ：3：5 ：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) :27 B. 2:3 :9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及 体积为： πcm 2，12πcm 3 πcm 2，12πcm 3 πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm 2，则此球的体积为 （ ） A.33 4cm π B. 386cm π C. 36 1cm π D. 366cm π 8、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B ．212cm π C ．216cm π D ．220cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 A 1 B 1
第13讲空间几何体 一．选择题（共20小题） 1．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π 2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2B．4C．6D．8 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（） A．12πB．12πC．8πD．10π 5．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．12B．18C．24D．54 6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均为1，D为AA1的中点，则四面体A1BCD的体积是（）A．B．C．D． 7．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D．
8．正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是（） A．B．C．D． 9．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π 10．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（） A．4πB．C．6πD． 11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（） A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛 12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（） A．36πB．64πC．144πD．256π 13．已知三棱锥P﹣ABC的侧棱长相等，底面正三角形ABC的边长为，P A⊥平面PBC 时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（） A．B．πC．πD．3π 14．已知三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为128π，，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．B．C．D．
高一数学（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A . 3 B . 23 C . 33 D . 43 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A ．3:1 B ．3:2 C ．2:3 D ．3:3 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 （ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体： （1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 2. 棱柱： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 （3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。 （4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥： （1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。 （3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. （4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. （5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 ③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥：
【必修二】 第一章 空间几何体 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ?是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ） A ． 26 B ． 36 C ． 23 D ． 22 2 ．（2012年高考（浙江文））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所 示,则该三棱锥的体积是 （ ） A ．1cm 3 B ．2cm 3 C ．3cm 3 D ．6cm 3 3 ．（2012年高考（重庆文））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1, 2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(0,3) C ．(1,2) D ．(1,3) 4 ．4（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,2) B ．(0,3) C ．(1,2) D ．(1,3) 5 ．（2012年高考（陕西文））将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何 体,则该几何体的左视图为 6 ．（2012年高考（课标文））平面α截球O 的球面所得圆的半径为 1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 （ ）
A ．6π B ．43π C ．46π D ．63π 7 ．（2012年高考（课标文理））如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的 三视图,则几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .18 8 ．（2012年高考（江西文））若一个几何体的三视图如下左图所示,则此几何体的体积为 （ ） A ． 112 B ．5 C ．4 D ． 92 9．（2012年高考（湖南文））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视 图不可能．．． 是 D C B A 正、侧视图 10．（2012年高考（广东文））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ） A ．72π B ．48π C ．30π D ．24π 11．（2012年高考（福建文））一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 （ ） A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 、 12． 13．（2012年高考（北京文））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表 面积是 （ ） A ．2865+ B ．3065+ C ．56125+ D ．60125+ 14 ．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上 一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0 第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图 [基础题组练] 1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的 中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB， AD，AC中( ) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD 解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB 解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚 线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C. 4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( ) 解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D. 5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( ) A. 5 B．2 2 C．3 D．2 3 解析：选C.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1-MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C. X#学习目标 1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 3.理解多面体的有关概念； 4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 心学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~ P4,找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽 象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！ 二、新课导学 探探索新知 探究1：多面体的相关概念 问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗？平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 试试1:你能指出探究3中的几何体它们各自的底、 侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探 究3中的棱柱分类吗？ 新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢？ 新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图（1）中这个棱柱表示为棱柱ABCD —ABCD . 探究4：棱锥的结构特征 问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之 一，它具有什么样的几何特征呢？ 新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥（pyramid）.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S-ABCDE. 轴 问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗 有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 问题：仔细观察下列物体的相同点是什么? 空间几何体测试题 一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分） 1.小明在上海世博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是 （ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．圆台 2.一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是 （ ） A ．正五棱锥 B ．斜三棱柱 C ．正三棱柱 D ．直三棱柱 3.四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.下列5个命题中：①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形， ④如果一个三角形的平行投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的对应的中位线；⑤棱台各侧棱的延长线交于一点，正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.长方体的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的对角线长是（ ） A ．6 B ．3 C ．23 D ．32 6.若正四棱锥S-ABCD 的三视图中，正视图、侧视图都是腰为3，底边为2的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则正四棱锥S-ABCD 的侧面积为（ ） A.23 B. 43 C. 1 D.2 7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A. 33R π B. 33R π C . 35R π D.35R π 8 .如图1，一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图是周长为16的一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（ ） A.8π B.12π C.16π D.20π 9.一个圆锥放在一个底面积相等、高也相等的圆柱内，若圆锥与圆柱的体 积分别为1V 和2V ，则圆柱除圆锥外的体积与圆锥的体积之比为（ ） A. 2:3 B. 2:1 C. 1:3 D. 3:1 10．小蚂蚁的家住在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的A 处，小蚂蚁的奶奶家住在C 1处，三条棱长分别是AA 1=1，AB=2，AD=4，小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家C 1的最短矩离是 （ ） A ．5 B ．7 C ．29 D ．37 11.图3为图2所示几何体的展开图，则拼成一个棱长为６cm 的正方体如图4，需要这样的几何体（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 侧视图 图1 第1讲空间几何体 一、空间几何体 1、空间几何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 2、多面体和旋转体 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。这条定直线叫做旋转体的轴。 多面体 旋转体 圆台圆柱-圆锥 圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥 二、柱、锥、台、球的结构特征 1.棱柱 定义图形表示分类性质 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。用平行的两底面多 边形的字母表示棱 柱,如：棱柱 ABCDEF- A1B1C1D1E1F1。 棱柱的分类一(底 面）：棱柱的底面 可以是三角形、四 边形、五边 形、……我们把 这样的棱柱分别 叫做三棱柱、四棱 柱、五棱柱、…… 棱柱的分类二(根 据侧棱与底面的 关系）： 斜棱柱: 侧棱不垂 直于底面的棱柱. 直棱柱: 侧棱垂直 于底面的棱柱叫 做直棱柱 正棱柱: 底面是正 多边形的直棱柱 叫做正棱柱 (1)上下底面 平行,且是全 等的多边形。 (2)侧棱相等 且相互平行。 (3) 侧面是平 行四边形。 三棱柱四棱柱五棱柱 斜棱柱直棱柱正棱柱 2.棱锥 定义图形表示性质分类 有一个面是多边形， 其余各面是有一个公 共顶点的三角形，由 这些面所围成的几何 体叫做棱锥。 用顶点及底面各顶点 字母表示棱锥,如：棱 锥Ｓ－ＡＢＣ 侧面是三角形，底面 是多边形。 按底面多边形的边数 分类可分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等等， 其中三棱锥又叫四面 体。 特殊的棱锥－正棱锥 定义：如果一个棱锥 的底面是正多边形， 并且顶点在底面的射 影是底面中心 第十一讲空间几何体 考点一、空间几何体的三视图 1.如图所示几何体,是由哪个平面图形旋转得到的(A) 2.(四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(D) 3.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(B) A.16+2π B.8+2π C.16+π D.8+π 解析:由题图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与 一个长方体拼接而成的,因此该几何体的体积V=1×2×4+π×12×2=8+2π. 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为(A) A.72 B.66 C.60 D.30 解析:根据题目所给的三视图可知该几何体为一个侧棱与底面 垂直的三棱柱,且底面是一直角三角形,两直角边长度分别为 3,4,斜边长为5,三棱柱的高为5,所以表面积为 3×4+3×5+4×5+5×5=72. 5.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的 表面积是4(π+1). 解析:这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱的上下两个 底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个表面积是 2××π×12 +×2π×1×2+2×2+4π× 考点二、空间几何体的直观图 6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形 是(A) 7. 如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形OABC 的面积为 24 . 解析:由题意知原图形OABC 是平行四边形,且OA=BC=6,设平行四边形OABC 的高为OE , 则OE×=O'C',∵O'C'=2,∴OE=4,∴S ?OABC =6×4=24. 8. 已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△A'B'C'的面积为(D) A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 2 解析:先画出正三角形ABC ,然后再画出它的水平放置的直观图, 如图所示,由斜二测画法规则知B'C'=a ,O'A'= a.过A'作A'M ⊥x'轴, 垂足为M ,则A'M=O'A'·sin45°=a× a.∴S △A'B'C'=B'C'·A'M=a×a=a 2. 考点三、几何体的表面积公式2020高考数学大一轮复习第八章立体几何1第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图练习(理)(含解析)
必修②第一章空间几何体
必修2-空间几何体测试题及答案
高中数学必修空间几何体知识点
18.第十一讲 空间几何体(教师版)
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