§6.3定积分
【复习目标】
(1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背
景;借助几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念;会求简单的定积分。 (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基
本定理的含义。
【重点难点】
定积分的几何意义;利用定积分性质化简被积函数;求定积分值。 【知识梳理】
(1)概念
设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 I n = ∑n i f 1 =(ξ i )△x (其中△x 为小区间长度),把n →∞即△x →0时,和式I n 的极限叫做 函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作: ? b a dx x f )(。 这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数f (x )叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f (x )dx 叫做被积式。 基本的积分公式:?dx 0= ;? dx x m = (m ∈Q , m ≠-1); ?x 1dx = ;?dx e x = ;?dx a x =a a x ln +C ;?xdx cos = ; ?xdx sin = (表中C 均为常数)。 (2)定积分的性质 ①()b a kf x dx =? (k 为常数) ; ②()()b a f x g x dx ±=? ; ③ ? ??+=b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()((其中a <c <b )。 (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线x =a ,x =b (a (f (x )≥0)围成的曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1=f 1(x ),y 2=f 2(x )(不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0), 及直线x =a ,x =b (a 【课前预习】 1.已知2 ()f x x =,则与 1 ()f x dx ? 的值最接近的是( ) A .10 111()1010i i f =-?∑ B .100 1 11 ()100100i i f =-? ∑ C . 1000 1 11()10001000i i f =-?∑ D .100001 11 ()1000010000i i f =-? ∑ 2. 1 ||x dx ?= ( ) A .0 B .12 C .1 D .3 2 3. 1 -? = ( ) A .π B .2 π C .3 D .32 4.求下列定积分. (1)0 2dx π-? = ; (2)3 1 2 0x dx ?= ; (3) 18 3 1 x dx -? = ; (4)1 22 ()x x dx ---?= ; 5.求下列定积分. (1) 24 cos xdx π π-?= ; (2)36 sin xdx π π- ?= ; (3) 2 2x dx ? = ; (4)2 1 e e dx x ? = ; 【典型例题】 题型一:利用定义求定积分 例1 .利用定积分定义,求 1 ? 题型二:利用积分公式求定积分值 例2.计算下列定积分的值 (1)? --3 1 2 )4(dx x x ;(2)?-2 1 5 )1(dx x ;(3)dx x x ?+2 )sin (π ;(4)dx x ?- 22 2cos π π; 题型三:利用定积分求平面图形的面积 例3 已知直线y ax =与曲线x y e b =+相交于点(0,0),(1,)y ,求直线y ax =与x y e b =+所围成的图形的面积。 题型四:已知定积分的值,求积分限或待定系数的值 ★例4 设函数sin()(0)3 y x π ωωω=- >的周期为T ,若 3 2 T π π << ,且 66 sin()32 x dx π π πωω--=?,求ω的值. 题型五:求变速直线运动的路程及变力所做的功 ★例5 A ,B 两点在正东方向且相距100m ,质点M 从A 出发,沿东偏北30? 方向,以速度 1(/)v m s =做直线运动,同时质点N 从B 出发,沿西偏北60?方向以速度210(/)v at m s =+做直线运动.若质点M 与N 在C 点处相遇,求N 的速度 ★例6 在地面垂直向上发射火箭,设火箭质量为m ,火箭距地面高为h . 求证:h →+∞时,克服重力所做的功为mRg . 【巩固练习】 1.曲线4 y x =与曲线2 y x =所围成图形的面积是 ( ) A .1 240 ()x x dx -? B .1420 ()x x dx -? C .0241 2()x x dx --? D .0 421 2()x x dx --? 2. 曲线 dx = ( ) A .2π- B .π- C .2π D .π 3. (sin cos )x x dx π π- -?= ( ) A .1- B .0 C .1 D .2 4. 1 (1ln )e x dx +? = ( ) A .2 e B .2e C .e D .1 e - 5. 2 211 x e dx --? = . 6. 已知函数112(1),01()2),(23) x x x f x x x --?+≤≤=≤≤≤≤??,求30 ()f x dx ? ★7.求曲线213:(10)2C y x x x =---≤≤与曲线2:(10)3 x C y x x =-≤≤+所围成的图形的面积S . 【本课小结】 【课后作业】 1.一物体做变速直线运动, v t -曲线如图所示, 则物体在0~6s s 间的运动路程为 ( )B A .254 B .252 C .25 D .50 2. 2 2 2(cos sin )22 x x dx π π--=?( )B A . 2 π B .π C .32π D .2π 3.设2 11 2 log M xdx = ? ,2 11 3 log N xdx =?,则 ( )B A .M N > B .M N < C .||||M N < D .||||M N = 4. 2 2 |1|x e dx --=? 5. 已知1 220 11,()(2)a f a ax a x dx -≤≤= -? ,求()f a 的值域 ★6.设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且()22f x x '=+. (1) 求()y f x =的表达式; (2)求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积; (3)若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分, 求t 的值. §6.3定积分(简答) 【课前预习】 1.D 2.C 3.B 4. (1)2π (2) 25 (3) 92 (4)236 - 5. (1)12+ (2)122 - (3)23log e (4)1 【典型例题】 例1 (1)分割 (2)近似代替 (3)作和 (4)逼近 1 2=? 例2 (1 (2)因为5 6)1(])1(6 1[-='-x x ,所以6 1|)1(61)1(2162 1 5=-= -? x dx x ; (3) (4) 例3 1 3[(1)(1)]22 x e S e x e dx = ---= -? . ★例4 66 6 6 sin()cos()33 6x x dx x π π π π ππωωωω- - -=--==? 15sin ,22(),562666 x x k k k Z ωωππππω∴==++∈∴=或. ★例5 设质点M 与N 在0t t =时相遇. ∵100,30,60,50AB A B AC BC =∠=?∠=?∴== ∵ (10)50t t at dt =+=? ?, 22 00 03,(10)50,10,1,10(/)2t t N a t t t a v t m s =+=∴==-∴=-. ★例6 2 ()() Mm f x G R x =+ 设克服重力所做的功为W ,则20011 ()()()h h Mm Mm W G dx G GMm R x R x R R h ==-=-+++? 当0x =时,()f x mg =,∴2211 ,()R g G W mR g M R R h =∴=-+ 当h →+∞时,克服重力所做的功为W mRg =. 【巩固练习】 1.C 2.B 3.B 4.C 5. 3322e e -- 6.(222ln 2ln 233 -++- ★7.0 000232 1111311()()[3ln(3)]2322x S x x dx dx x x dx x x dx x ----''= ---=----++???? ln 27ln 81=-- 【课后作业】 1.B 2.B 3.B 4.2 2 2e e -+- 5. 1 221 22 3200 2272()(2)( ),()[,]322369a a a a f a ax a x dx x x f a =-=-=-+∴∈-?. ★6.(1)2 ()21f x x x =++ (2) 1 3 (3)由题意有 0221 (21)(21)t t x x dx x x dx ---++=++? ? ,得1t =. ) (),0, 0x x x x ≥< 高考数学常考题型的总结(必修五) 对高三理科来说,必修五是高考的必考内容,它不仅要考查基础知识点,而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中,一定要明白什么是重要,什么是难点,什么是常考知识点。对重难点要了如指掌,能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点,更重要的要对知识点理解的有深度,对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说,只有你多于一桶水的能力,在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来,否则,基本不可能考出相对理想的成绩来。 必修五主要包括三大部分内容:解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢?这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到,但是我们在复习的时候,一定要不留死角,对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解: 解三角形 解三角形是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为5-12分。考查的时候,可能是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与三角函数,平面向量等知识点进行综合考查,难度一般不是很大,如果出解答题,一般是第17题,属于拿分题。 知识点:正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。 正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为AB C ?的外接圆半径) 余弦定理:C ab c b a cos 22 2 2 =-+,B ac b c a cos 22 2 2 =-+,A bc a c b cos 22 2 2 =-+ (变形后) C ab c b a cos 2222=-+,B ac b c a cos 2222=-+,A cb a b c cos 22 22=-+ 三角形的面积的公式:A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===?。 知识点分解: (1)两边一角,求另外两角一边,可以用正弦定理,也可以用余弦定理,特别注意两种三角形的情况。 (2)两角一边,求另外一角和两边,肯定是正弦定理。 (3)等式两边都有边或通过转化等式两边都有边,用正弦定理。 (4)知道三边的关系用余弦定理。 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 高考数学最常考的几类题型 要想提高高考数学成绩必须要花一定的时间来研究历 年来高考常考题型,精准把握高考最新动态,综合分析往年高考的常规题型,我们发现这七个题型是非常常考的: 第一,函数与导数 主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用 这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。 第三,数列及其应用 这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。 第四,不等式 主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五,概率和统计 这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。 第六,空间位置关系的定性与定量分析,主要是证明平行或垂直,求角和距离。 主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。 第七,解析几何 高考的难点,运算量大,一般含参数。 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话 空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 高考对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,扎实的数学基础是成功解题的关键。 要练说,得练看。看与说是统一的,看不准就难以说得好。练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定 要全面、系统地复习高中数学的基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆,形成技能。以不变应万变。 “师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰:“师教人以道者之称也”。“师”之含义,现在泛指从事 年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标: 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分? b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x ) 与x=a ,x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x=b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=? ,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=? ,在图(3)中:dx )x (f b a ? 表示函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(,仅 当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3) ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a ,b ]上,? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 §6.3定积分 【复习目标】 (1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背 景;借助几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念;会求简单的定积分。 (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基 本定理的含义。 【重点难点】 定积分的几何意义;利用定积分性质化简被积函数;求定积分值。 【知识梳理】 (1)概念 设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据 定积分与微积分 一、知识回顾: 1.用定义求定积分的一般方法是: ①分割:n 等分区间[],a b ; ②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈; ③求和: 1 ()n i i b a f n ξ=-∑; ④取极限: () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积:()b a S f x dx =?; 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ; 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质: 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( (其中k 是不为0的常数) (定积分的线性性质) 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 (定积分的线性性质) 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中(b c a <<) 4.定积分的计算(微积分基本定理) (1)(牛顿——莱布尼兹公式)若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数,并且)()(x f x F =',那么有 二、常考题型: 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( ) A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ,y=x 3 围成的封闭图形面积为( ) A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()( 3.由曲线y=,直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于( ) A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于( ) A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于( ) A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos (a >0),则?a xdx 0cos =( ) A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是( ) A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是( ) A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ,则k 等于( ) A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是( ) ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031;②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ;③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义,?202 dx x =( ) A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t),初始t=0时所在位置为0s ,则当1t 秒末它所在的位置 为 ( ) A . ? 1 )(t dt t v B .dt t v s t ? + 1 0)( C .00 1 )(s dt t v t -? D .dt t v s t ?-1 0)( 专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A. 3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx = ∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解: . 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C. 一、函数 1、求定义域(使函数有意义) 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0,a>0且a ≠1 三角形中 060,最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型: 题型一: 1y x x =+ 法一: 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二:图像法(对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1 题型二: ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法:函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三: 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式,求出,就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四: 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式,求出,就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解:直接令,解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2,函数 -)式相减) 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称 教案6:定积分的定义与性质 一、课前检测 1. 2 21(21)x x dx ++=? ; 2. 由抛物线2y x =与直线2y x =-围成的平面图形的面积 为 . 3. 用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ,变力F 做的功W 为 J. 二、知识梳理 1.定积分的概念:设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义,将区间[,]a b 等分 成n 分小区间,每个小区间长度为x ?(x ?= ),在每个小区间上 取一点,依次为12,,,,i n x x x x ,作和n S = .如果x ?无限 趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时,n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记为S = ,其 中 称为被积函数, 称为积分区间, 称为积分下限, 称为积分上限, 2.微积分基本定理:对于被积函数()f x ,如果()()F x f x '=,则 ()b a f x dx ?= . 3.定积分的运算性质:⑴()b a kf x dx ?= ; ⑵[()()]b a f x g x dx ±=? ;⑶()b a f x dx =? .()a c b << 4.定积分的几何意义:在区间[,]a b 上曲线与x 轴所围成图形面积的 (即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积); ⑴当()f x 在区间[,]a b 上大于0时,()b a f x dx ?表示由直线 ,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积,这也是定积分的几何意义. ⑵当()f x 在区间[,]a b 上小于0时,()b a f x dx ?表示由直线 ,(),x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积的 . ⑶当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时,()b a f x dx ?表示介于直线 ,()x a x b a b ==≠之间x 轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 . 5.定积分在物理中的应用:⑴匀变速运动的路程公式,作变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数()v t 在时间区间[,]a b 上的定积分,即s = . ⑵变力做功公式,一物体在变力()F x (单位:N )的作用下作直线运动,如果物体沿着与F 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<(单位:m ),则力F 所作的功为W = . 三、典型例题分析 例1.求定积分 ⑴21 ?(2x 2 -1x )d x ; ⑵32?(x +1x )2d x ; (3)30π?(sin x -sin2x )d x ; 变式训练:求定积分:222||x x dx --?; 2015年高考数学常见题型汇总(精华资料) 不等式 题型一: 2 (0) 11332 2 x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数)x x x x +>++≥=≥ 题型二: 3 3 ( )13 ()32x (3-2x)(0 不等式法 222113y x x x x x =+ =++≥= 导数法 特殊函数法 换元法 题型: 题型一: 1 y x x =+ 法一: 111 (,2 22同号)或y x x x x x x y y =+=+≥∴≥≤- 法二:图像法(对(0) b y ax ab x =+>有效 题型二: ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法:函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三: 2sin 11sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式,求出,就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四: 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 1)1,sin()sin()11 化简变形得即又由解不等式,求出,就是要求的答案 y y y y x y x x y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++=++= +≤ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/() f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如高考数学常考题型的总结(必修五)
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