珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试
数 学
2020.9
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．设集合错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。 2．错误!未找到引用源。 A ．1
B ．2
C ．?i
D ．?2i
3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 A ．280种
B ．350种
C ．70种
D ．80种
4．一球错误!未找到引用源。内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形错误!未找到引用源。，过错误!未找到引用源。作与球错误!未找到引用源。相切的平面错误!未找到引用源。，则直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成的角为 A ．30°
B ．45°
C ．15°
D ．60°
5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A ．错误!未找到引用源。
B ．
错误!未找到引用源。
C ．
错误!未
找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
6．若定义在错误!未找到引用源。上的奇函数f (x )在错误!未找到引用源。单调递增，且错误!未找到引用源。
，则满足错误!未找到引用源。的解集是
A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。
7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则错误!未找到引用源。的最大值是
A．
错误!未找到引用源。B．2 C．错误!未找到引用源。D．
错
误!未找到引用源。
8．直线错误!未找到引用源。是曲线错误!未找到引用源。和曲线错误!未找到引用源。的公切线，则错误!未找到引用源。
A．2 B．
错误!未找到引用源。C．
错误!未找到引用源。
D．错误!未
找到引用源。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线错误!未找到引用源。的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为错误!未找到引用源。，则双曲线错误!未找到引用源。的离心率为
A．
错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．
错误!未找到引用源。
D．
错
误!未找到引用源。
10．如图是函数错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的部分图象，则
(第10题图)
A．
错误!未找到引用源。B．
错误!未找到引用源。
C．
错误!未找到引用源。D．
错误!未找到引用源。
11．已知错误!未找到引用源。，则
A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引
用源。 D ．
错误!未找到引用源。
12．已知随机变量错误!未找到引用源。的取值为不大于错误!未找到引用源。的非负整数，它的概率
分布列为
其中错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。．定义由错误!未找到引
用源。生成的函数错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。为函数错误!未找到引用源。的导函数，错误!未找到引用源。
为随机变量错误!未找到引用源。的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为错误!未找到引用源。，此时由错误!未找到引用源。生成的函数为错误!未找到引用源。
，则
A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．
错
误!未找到引用源。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．椭圆
错误!未找到引用源。
的左、右焦点分别为
错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
，过
原点的直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。交于A ，B 两点，错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。
都与错误!未找到引用源。轴垂直，则错误!未找到引用源。=________．
14．将数列错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }
的前10项和为________（用数字作答）．
15．已知错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
为锐角三角形的两个内角，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。 ．
16．一半径为错误!未找到引用源。的球的表面积为错误!未找到引用源。，球一内接长方体的过球心
的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）
在①错误!未找到引用源。， ②错误!未找到引用源。， ③错误!未找到引用源。
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角错误!未找到引用源。，它的内角错误!未找到引用源。的对边分别为错误!未找到引用源。，
且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
已知数列错误!未找到引用源。是正项等比数列，满足错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。． （1）求错误!未找到引用源。的通项公式；
（2）设错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。．
19．（12分）如图，三棱锥错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，平面PBC ⊥底面ABC ，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。的
中点．
（1）证明：PD ⊥平面ABC ；
（2）求二面角错误!未找到引用源。的正切值．
(第19题图)
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在错误!未找到引用源。内的产品为优等品，每
P
E
D
C
B
A
件售价240元；质量指标值落在错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在错误!未找到引用源。内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
(第20题图)
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润错误!未找到引用源。(元)的期望的估计值．
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为错误!未找到引用源。(单位：元)，求错误!未找到引用源。(元)的分布列．
21．（12分）已知函数错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。．
（1）讨论函数错误!未找到引用源。的单调性；
（2）讨论错误!未找到引用源。的零点的个数．
22．（12分）已知抛物线错误!未找到引用源。的顶点在原点，焦点错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。为直线错误!未找到引用源。上的点，过错误!未找到引用源。作抛物线错误!未找到引用源。的切线错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，切点为错误!未找到引用源。．
(1)求抛物线错误!未找到引用源。的方程；
(2) 若错误!未找到引用源。，求直线错误!未找到引用源。的方程;
(3)若错误!未找到引用源。为直线错误!未找到引用源。上的动点，求错误!未找到引用源。的最小值．
珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试
数学 2020.9解析及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．设集合错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
A
A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。 2．错误!未找到引用源。 B A ．1
B ．2
C ．?i
D ．?2i
3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B A ．280种
B ．350种
C ．70种
D ．80种
4．一球错误!未找到引用源。内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形错误!未找到引用源。，过错误!未找到引用源。作与球错误!未找到引用源。相切的平面错误!未找到引用源。，则直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角为 D A ．30°
B ．45°
C ．15°
D ．60°
5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A A ．错误!未找到引用源。
B ．
错误!未找到引用源。
C ．
错误!未
找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
6．若定义在错误!未找到引用源。上的奇函数f (x )在错误!未找到引用源。单调递增，且错误!未找到引用源。
，则满足错误!未找到引用源。的解集是 D A ．错误!未找到引用源。 B ．错误!未找到引用源。 C ．错误!未找到引用源。 D ．错
误!未找到引用源。
7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则错误!未找到引用源。的最大值是 C
A．
错误!未找到引用源。B．2 C．错误!未找到引用源。D．
错
误!未找到引用源。
8．直线错误!未找到引用源。是曲线错误!未找到引用源。和曲线错误!未找到引用源。的公切线，则错误!未找到引用源。 C
A．2 B．
错误!未找到引用源。C．
错误!未找到引用源。
D．错误!未
找到引用源。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线错误!未找到引用源。的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为错误!未找到引用源。，则双曲线错误!未找到引用源。的离心率为AB
A．
错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．
错误!未找到引用源。
D．
错
误!未找到引用源。
10．如图是函数错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的部分图象，则BCD
A．
错误!未找到引用源。B．
错误!未找到引用源。
C．
错误!未找到引用源。D．
错误!未找到引用源。
11．已知错误!未找到引用源。，则ACD
A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．错误!未找到引
用源。 D ．
错误!未找到引用源。
12．已知随机变量错误!未找到引用源。的取值为不大于错误!未找到引用源。的非负整数，它的概率
分布列为
其中错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。．定义由错误!未找到引
用源。生成的函数错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。为函数错误!未找到引用源。的导函数，错误!未找到引用源。
为随机变量错误!未找到引用源。的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为错误!未找到引用源。，此时由错误!未找到引用源。生成的函数为错误!未找到引用源。
，则 CD
A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．
错
误!未找到引用源。
提示：
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．椭圆
错误!未找到引用源。
的左、右焦点分别为
错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
，过
原点的直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。交于A ，B 两点，错误!未找到引用源。、
错误!未找到引用源。
都与错误!未找到引用源。轴垂直，则错误!未找到引用源。=________．错误!未
找到引用源。
14．将数列错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }
的前10项和为________（用数字作答）． 2046
15．已知错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。
为锐角三角形的两个内角，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。 ．错误!未找到引用源。
16．一半径为错误!未找到引用源。的球的表面积为错误!未找到引用源。，球一内接长方体的过球心
的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为 ．错误!未找到引用源。 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）
在①错误!未找到引用源。， ②错误!未找到引用源。， ③错误!未找到引用源。
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求错误!未找到引用源。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角错误!未找到引用源。，它的内角错误!未找到引用源。的对边分别为错误!未找到引用源。，
且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：错误!未找到引用源。中，由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 ………………………………………………………………………1分
∴错误!未找到引用源。………………………………………………………………………2分 ∵错误!未找到引用源。不是直角三角形 ∴错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。………………………………………………………………………3分 即错误!未找到引用源。………………………………………………………………………4分 ∵错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。………………………………………………………………………6分
选①：由错误!未找到引用源。，及错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。…………………………………………………7分
由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。……………………………………………………9分不合理，故错误!未找到引用源。不存在．………………………………………………………………………10分
选②：由错误!未找到引用源。
得错误!未找到引用源。………………………………………………………………………8分
∴错误!未找到引用源。………………………………………………………………………9分
∴错误!未找到引用源。为直角，不合题设，故错误!未找到引用源。不存在．…………………………………………………10分
选③：由错误!未找到引用源。
得错误!未找到引用源。．………………………………………………………10分
18．（12分）
已知数列错误!未找到引用源。是正项等比数列，满足错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。．（1）求错误!未找到引用源。的通项公式；
（2）设错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。．
解：（1）设正项等比数列错误!未找到引用源。的公比为错误!未找到引用源。
由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。………………………………2分
所以错误!未找到引用源。的通项公式错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。……………………………………………………………4分
（2）错误!未找到引用源。………………………………………………6分
故错误!未找到引用源。………………………………………………………………8分
所以错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和:
错误!未找到引用源。．……………………………………………12分
19．（12分）如图，三棱锥错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，平面PBC ⊥底面ABC ，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。的中点．
（1）证明：PD ⊥平面ABC ；
（2）求二面角错误!未找到引用源。的正切值．
（1）证明：∵错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。中点 ∴PD ⊥BC …………………………………………1分
∵平面PBC ⊥底面ABC ，PD 错误!未找到引用源。平面PBC ，平面PBC 错误!未找到引用源。底面ABC 错误!未找到引用源。
∴PD ⊥平面ABC.………………………………………………4分
（2）解：如图，取错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。，连接错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。………………………………………………5分 ∵错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点，错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。，……………………………………………………6分 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。，…………………………………………………………7分 错误!未找到引用源。 ∵PD ⊥平面ABC
∴错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 ∴
错
误
!未
找
到
引
用
源
。
平
面
错
误
!
未
找
到
引
用
P
E
D
C
B
A
P
F
E
D
C B
A
源。………………………………………………………………………8分
∴错误!未找到引用源。………………………………………………………………………9分
∴错误!未找到引用源。为二面角错误!未找到引用源。的平面角.……………………………………………………10分
在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。…………………………………………11分
∴二面角错误!未找到引用源。的正切值为2．……………………………………………………………12分
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在错误!未找到引用源。内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在错误!未找到引用源。内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润错误!未找到引用源。(元)的期望的估计值．
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为错误!未找到引用源。(单位：元)，求错误!未找到引用源。(元)的分布列．
解：(1)由题设知，错误!未找到引用源。………………………………………1分 错误!未找到引用源。的分布列为
………………………………………………………………………3分 设备升级前利润的期望值为
错误!未找到引用源。……………………4分
∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．………………………5分 (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为错误!未找到引用源。(元)
则错误!未找到引用源。………………………………………………………………………6分 患者购买一件合格品的费用错误!未找到引用源。的分布列为
……………………………8分
则错误!未找到引用源。………………………………………………10分 错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为
………………………………………………………………………12分
21．（12分）已知函数错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。．
（1）讨论函数错误!未找到引用源。的单调性；
（2）讨论错误!未找到引用源。的零点的个数．
解：（1）∵错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。…………………………………………………1分
错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。.……………………………3分
∴错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。的减区间是错误!未找到引用源。，增区间是错误!未找到引用源。．………………………4分
（2）①错误!未找到引用源。时，∵错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。的减区间是错误!未找到引用源。，增区间是错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的极小值，也是最小值…………………………………5分
错误!未找到引用源。，………………………………6分
取错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。……………………………7分
则错误!未找到引用源。…………………………8分
∴错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。上各一个零点………………………………………9分
②错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。只一个零点错误!未找到引用源。…………………………………10分
综上，错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。有两个零点；…………………………………………
11分
错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。一个零点．………………………………………………………………………12分
22．（12分）已知抛物线错误!未找到引用源。的顶点在原点，焦点错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。为直线错误!未找到引用源。上的点，过错误!未找到引用源。作抛物线错误!未找到引用源。的切线错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，切点为错误!未找到引用源。．
(1)求抛物线错误!未找到引用源。的方程；
(2) 若错误!未找到引用源。，求直线错误!未找到引用源。的方程;
(3)若错误!未找到引用源。为直线错误!未找到引用源。上的动点，求错误!未找到引用源。的最小值．解：(1)由错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引用源。
得错误!未找到引用源。
得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。………………………………………………………2分∵错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。…………………………………………………………………3分
∴抛物线错误!未找到引用源。.……………………………………………………4分
(2) 由错误!未找到引用源。知错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。…………………………………………………………………5分
设切点错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
即错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。……………………………………………………6分
∵错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。………………………………7分
∴错误!未找到引用源。．………………8分
(3)若错误!未找到引用源。为直线错误!未找到引用源。上的动点，设错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
由(2)知
∵错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。联立消错误!未找到引用源。得
错误!未找到引用源。…………“＊”……………………………………9分
则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是“＊”的二根
∴错误!未找到引用源。………………………………………………………………………10分
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。………………………………………………………………………11分
当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。得到最小值为错误!未找到引用源。．…………………………12分