第六章 微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用

§1拉格朗日中值定理和函数的单调性

例1 设函数内可导，在[a,b]上连续，且导函数严格递增，若证明，对一切均有

证人 用反证法，若在区间上分别应用拉格朗日中值定理，使得

这与为严格递增相矛盾。
例2 设函数在内可导，并且，试证：若当时，有则存在唯一的使得，又若把条件减弱为，所述结论是否成立？
分析 因为，若可以找到某点，使得则由的严格递增性，并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的，使得
证 在上应用拉格朗日中值定理，，使得

于是

由于，因此当x充分大时总可使得


不妨设，所以上严格递增；在上应用连续函数的介值定理，则,且是唯一的。
假设满足，结论可能不成立，例如函数
，
满足，，但因恒小于0，故在中不存在，使得=0
例3 下面是对函数应用值中值定理的实例，因为函数

在上满足拉朗日中值定理的条件，于是它存在。使得

在上式中令，由

可知因而，这看起来似乎与不存在相矛盾，试分析其原因。
解首先应当注意：上面应用拉格朗日中值定理中的是个中值点，是由函数f和区间[0,x]的端点而定的，具体说是与x有关。
上面的推理过程到为止都是正确。当由此得到时，必须把看作是由x而确定的中值点才是正确的；但若把作为连续趋于零的变量得到，那是错误的。
例4 证明是x的严格递增函数，而是x严格递减函数。
证 设则有


=
=
=，
其中最后等式是对函数ln y在区间上应用了拉格朗日中值定理，由此得到

于是在R上严格递增，这样也是x严格递增函数，同理可证是x的严格递减函数。
例5 设定义在上，而且n阶可导。证明：若，则，
分析 当n=1时，需证，若由解释解惑问题1中严格单调性判别法可知上述结论是对立的。对一般的n，可以从与，利用拉格朗日中值定理证得，，以此类推可以证得结论，下面例6就是它的应用。
证 ，在应用拉格朗日中值定理，，使得

因为所以，，继续上述证明步聚n-2次，可得，最后对上应用拉格朗日中值定理，有
，
于是证得

例6 证明不等式
例7
证[证法一]设



且

由范例5可知，即

[证法二]由本节例5（教材上册第124页）可知

设，

所以F（x）严格递增，于是

即

注 应用类似方法可证

请读者补写证明，本题是利用函数的单调性证明不等式的典型例子。
例7 试利用导数极限定理证明：导函数不能具有第一类间断点
分析 如果导函数具有第一类间断点，则与都存在，由于函数f（x）在点处连续，由单侧导数极限定理，有因此，不难推出点为的可去间断点和跳跃间断点都是不可能的。
证 首先用反证法证明导函数不能有可去间断点，若点为的可去间断点，则存在；而在点连续，故由导数极限定理，有

这与点为的可去间断点相矛盾。
再用反证法证明不能具有跳跃间断点。若有跳跃间断点，则存在左、右邻域在这两个邻域上连续，且存在，于是上满足单侧导数极限定理的条件，即有

由于，因此，，这与在点处可导矛盾，综上证得导函数不能有第一类间断点。
例8 设n为正整数

证明方程在（-1，1）中恰好n个相异实根。
分析 罗尔中值定理的重要应用是：当为可导函数时，可以利用方程的根本情况讨论方程的根的分布。若，是方程的根，即，由罗尔定理，，即在的两个根之间必存在的一个根，由于方程有两个n重根，因此，可以逐次应用罗尔定理证得结论。
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。

=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因

其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
若有k个不同单根


由罗尔中值定理，
，

其中次多项式，即有两个重根，当k=n-1时，正好有n个相异实根。

§2 柯西中值定理和不定式极限

例1 设函数上连续，且在（a,b）内可导，则在（a,b）内存在点，使得

分析 本命题比柯西中值定理少了不同时为零以及两个条件，而结论是以乘积形式出现的，因而应当变换辅助函数。

然后应用罗尔中值定理
证 作辅助函数

满足，




即F（a）=F(b)；F（x）在[a,b ]上连续，在（a,b）内可导，由罗尔中值定理，即

注 又若不同时为零，，则（不然将导致），于是得出

此即为柯西中值定理，这说明以前所设辅助函数不是唯一的。
例2 设上连续，在（a,b），使得

分析 这类命题是要证明存在两个中值点，，使得，不妨先找出
然后此式改写为
　

　
再由拉格朗日中值定理，使得

于是使得

例3 设函数上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在使得

分析 本题可以利用柯西中值定理证明，设两个函数F，G为


有然后在[a,b]上对F,G应用柯西中值定理，本题也可用拉格朗日中值定理证明，下面分别给出两种证法。
证[证法一]设

有


F（x），G(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，不同时为零，于是可以应用柯西中值定理，，使得

再在应用格朗日中值定理，使得

于是有

[证法二]作辅助函数

于是

在上对应用拉格朗日中值定理，，使得


=
再在上对应用拉格朗日中值定理， ，使得

=
注 所证等式在计算方法课程的差分格式中是一个基本公式
例4 求下列极限：


解（1）这是型的不定式，应用洛必达法则，有

（2）这是型的不定式，当b为正整数时，多次应用洛必达法则后，有

当b为正实数时，时有

上面已证得

由函数极限的迫敛性可得

（3）
注射器 由（1）（2）可知：当时，有


记为

这些结论在无穷大量的比较时有重要作用。
例5 证明不等式

证时，不等式是成立的。当时，设，，在上应用柯西中值定理，，使得

在上式中作变换，作为

利用不等式

得到

当时，作变换得

于是成立


§3 泰勒公式

例1 求极限：
（1）
（2）.
解 (1)利用函数带有佩亚诺型余项的麦克劳林展开,有
,

于是

(2)当充分大时,利用的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
,
,
.
这样,就可求得
.
例2 若在点的某个领域上有阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.
证 因为具有阶连续导函数,由泰勒公式,有

.
因为导函数在点的某个领域上连续,所以,当时,.由此可得
,
于是有
,
即
.
上面推导说明,当导函数在点的某个闭领域内外连续时,可以得到,这与佩亚诺型余项的结论是一致的.
例3 设s为弧长d是对应于它的弦, 是对应于半疑弧的弦(图6-1).试确定用d与表示S的近似公式
,
这里A,B是待定常数,使得误差尽可能小.
解 设r是圆半径,为对应于弧的s的圆心角.应用带有拉格朗日型余项的泰勒公式,有

;

　

;
.
由,故可利用下列方程组决定待定常数A,B:

于是有,即
.
注 一般称上述公式为惠更斯公式.





例4 用泰勒公式证明:设函数在上连续,在内二阶可导,则存在,使得
.
分析 需证等式中出现二阶导数与在,的函数值,试用展开到二阶导数的泰勒公式是一种可行的途径.问题在于选取哪些点为展开式中的和,合理的方法是取,为和.
证 把在点展开到二阶导数项:


把上面两式相加,有
.
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
.
注 在本书前一节的范例3中已应用柯西中值定理和拉格朗日中值定理证明了本题,这里应用泰勒公式和达布定理是另一种证明方法.
例5 设函数在上二阶可导,且在上,.证明在上成立
.
分析 本题是用的上界来估计的上界.可以试用展开到二阶导数的泰勒公式寻找之间的联系.
证 ,把在点处展开成带有二阶拉格朗日型余项的泰勒公式,有

,
上面两式相减后有
,
再应用,,可得


,
于是有
.
说明 本题结论有一个有趣的力学解释:在2秒时间内,哪果运行路程和运动加速度都不超过1,则在该时间段内的运动速度决不会超过2.

§4 函数的极值与最大(小值)

例1 证明
.
分析 需证的不等式等价于
,
于是可以利用验证函数,时的最大值来证明不等式.
证 设函数
,
,
.不难由极值第一充分条件可知是唯一的极(大)值点,因而是最大值点.
由于时,时,在处连续,因此是严格最大值点,即
, .
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.




图6-2

解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为

.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令

由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有

即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
例3 置一个质量为G的物体在一水平面上,若平面与物休体的摩擦系数为,力F与水平面的夹角为,且使物体开始移动(图6-3).试讨论为多少时,力F最

小?





图6-3
解 物体所受的摩擦力为
,
于是沿水平方向力的平衡方程为
,
由此解得
.
因为
, ,
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
当n为偶数时, 时,,于是在点取到严格极小值.同理可讨论,当时, 在点取到严格极大值.
例5 在顶角为,底圆半径为R的直圆锥中,嵌入一个直圆柱,使圆柱的底面在圆锥的底圆内.试求圆柱的底圆半径,使圆柱的表面积最大.





图6-4
解 设嵌入圆柱的底半径为,高为H(图6-4),则有
,
而圆柱表面积为
.
首先由


=0,
可解得

为稳定点.
当时,有.此时

于是时,上述,即.而此时对任何,恒有,故在)上递增,没有最大值.在这种情况下, 递增地趋于的极端状态,即
.

§5 函数的凸性与拐点

例1 设为正数,试证
.
证 因为

所以是严格凹函数,于是

,
即
,
这样,经左、右移项后便证得
.
例2 设是正的二次可微函数,证明是凸函数的充要条件是
.
证 由命题4°,是凸函数的充分条件是
.
因为.
于是是凸函数的充要条件为
,
即

例3 设函数是开区间I的凸函数,试用凸函数定义证明:在任何I的内闭区间上,是有界的.
证 ,使得,由凸函数的定义

于是函数是上有界的.
再证在上是下有界的.取,令
是在中关于的对称点,则由,有
，
于是

即是下有界的.
例4 设是开区间I上的凸函数,则对任何,在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在,对任何,成立
.
证 当取定后,因为I是开区间,必能在I中选取四点满足

应用凸函数充要条件,任取,,得到

现令

则有

由于上述常数L与上满足利普希茨条件:,使得
,.
注 由本例也可以推知:开区间I上的凸函数必在该区间的任一内闭区间上连续,于是是I内的连续函数.
*例5 设是上的函数,证明:如果和这两个函数中有一个是凸函数,则另一个也是凸函数.
证可验证:为I上的凸函数的充要条件是:对于I上任意三点,有

上述不等式等价于
.
设是凸函数.当,有,于是由上述充要条件得到

上式又可整理成
,
即
,
这表示亦为凸函数.
由相反方向的推理可知:若为凸函数,则也

为凸函数.

§6 函数图像的讨论与方程的近似解

例1 作函数的图形.
解 定义域为.因为这是一个周期为的周期函数,且为奇函数,所以只需讨论它在上的图像.由




解得为稳定点.极值和单调区间如表6-1所示.

表6-1
极大
极小
极大
+ 0 - 0 + 0 -
再由

可解得, 满足,于是可得凸性区间和拐点如表6-2所示.




表6-2
凹 凸 凹 - 0 + 0 -
其中在处为拐点.根据上述讨论可作出图形,其中A,B,C为极值点,D,E为拐点(图6-8).





图6-8
例2 作函数的图像.
解 函数的定义域为非零实数.由
,
解得为稳定点.极值和单调区间如表6-3所示.
表6-3
-1 2 极大
极小
+ 0 - 0 +
再由

可解得在处为拐点, 为凹区间, 为凸区间.因为
,



所以斜渐近线.又因

,




图6-9
于是轴为曲线的垂直渐近线(单侧).在图6-9中,B,E处取极值,C为拐点.
例3 作了笛卡儿叶形线

的图像.
分析 因为笛卡儿叶形线在今后的例题和习题中还会出现,所以这里用点篇幅讨论它的图形.我们所用的方法是先把它作为参量方程,设,可得曲线的参量方程为

然后讨论随变化的状况.
解 定义域为.因为交换的位置原方程不变,所以曲线关于直线对称.由

可解得为的稳定点,为的稳定点. ,的单调区间和极值点如表6-4.

表6-4
0 0 极大
+ + + 0 - - - 极小
0 极大
- - 0 + + + 0 -
下面讨论渐近线.因为当时,所以
,

这样

为曲线的渐近线.
综合以上讨论,可得曲线图6-10所示.



图6-10
注 由上面讨论可见:当参量从0上升到时,曲线点正好画出第一象限中的叶形线.而当参量从0减至时,曲线位于第二、四象限,并向渐近线无限靠近.
例4 设函数在上二阶可导,又是方程的根.在些例法中取,按迭代程序

得到严格递增数列.证明存在.且
.
证 由于递增,且,由数列极限的单调有界定理,存在在迭代公式

中令,利用的连续性,有
,
于是.因为在中存在唯一根,所以,即
.
*例5 设在上有界,证明牛顿切线法的误差估计为
,
其中为方程的根,M为在上的上界,.
证 设为切线法的初值,于是
. (6.3)
把在点处展开成速成有二次拉格朗日型余项的泰勒公式

再把(6.4)代入(6.3,)可得
.
类似地,由,有
.
同样地,把在点处作泰勒展开,可得

两式相消后又得
,
从而有
.
同理可

证为切线法初值的情形.
注 因为上述不等式右边出现平方项，当时，会很快地收敛于根.