【核心素养分析】
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
【重点知识梳理】
知识点一函数的单调性
(1)单调函数的定义
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二函数的最值
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【特别提醒】
1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝
1
f （x ）
的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋a
x (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].
【典型题分析】
高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)
例1.（2020·新课标∈）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2
+∞单调递增
B. 是奇函数，且在11(,)22
-单调递减
C. 是偶函数，且在1
(,)2
-∞-单调递增
D. 是奇函数，且在1
(,)2
-∞-单调递减
【答案】D
【解析】由
()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±????
，关于坐标原点对称，
又
()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，
()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；
当11,22x ??
∈-
??
?时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22??
- ???
上单调递增，()ln 12y x =-在11,22
??
- ???
上单调递减，
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()f x ∴在11,22??
- ???
上单调递增，排除B ；
当1,2x ??∈-∞-
?
?
?时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +?
?=----==+ ?--??
， 2121x μ=+
-在1,2?
?-∞- ??
?上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2?
?-∞- ??
?上单调递减，D 正确.
【方法技巧】确定函数单调性的方法 (1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∈”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
【变式探究】（2020·河北辛集中学模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )
A.????
??
32，＋∞ B.???
???1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和????
??32，2
D.? ??
??－∞，32和[2，＋∞) 【答案】B
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【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|＝???
x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2
－3x ＋2)，1＜x ＜2.，如图所示，函数的单调递增区间是??????1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和????
??
32，2，故选B 。
高频考点二 确定含参函数的单调性
例2.（2020·北京101中学模拟）判断并证明函数f (x )＝ax
x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．
【解析】法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ?
???
?x －1＋1x －1＝a ???
?1＋1x －1，
f (x 1)－f (x 2)＝a ????1＋1x 1－1－a ????1＋1
x 2－1
＝
a (x 2－x 1)
(x 1－1)(x 2－1)
，由于－1＜x 1＜x 2＜1，
所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，
函数f (x )在(－1,1)上递减；
当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．
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法二：(导数法)f ′(x )＝
a (x －1)－ax (x －1)2＝－a
(x －1)2
，
所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数． 【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．
(4)性质法：∈对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；
【变式探究】（2020·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1
x (其中1 【解析】函数f (x )＝ax 2＋1