思考与练习
1.基本力学性能
1-1
混凝土凝固后承受外力作用时，由于粗骨料和水泥砂浆的体积比、形状、排列的随机性，弹性模量值不同，界面接触条件各异等原因，即使作用的应力完全均匀，混凝土内也将产生不均匀的空间微观应力场。在应力的长期作用下，水泥砂浆和粗骨料的徐变差使混凝土内部发生应力重分布，粗骨料将承受更大的压应力。
在水泥的水化作用进行时，水泥浆失水收缩变形远大于粗骨料，此收缩变形差使粗骨料受压，砂浆受拉，和其它应力分布。这些应力场在截面上的合力为零，但局部应力可能很大，以至在骨料界面产生微裂缝。
粗骨料和水泥砂浆的热工性能（如线膨胀系数）的差别，使得当混凝土中水泥产生水化热或环境温度变化时，两者的温度变形差受到相互约束而形成温度应力场。由于混凝土是热惰性材料，温度梯度大而加重了温度应力。环境温度和湿度的变化，在混凝土内部形成变化的不均匀的温度场和湿度场，影响水泥水化作用的速度和水分的散发速度，产生相应的应力场和变形场，促使内部微裂缝的发展，甚至形成表面宏观裂缝。混凝土在应力的持续作用下，因水泥凝胶体的粘性流动和内部微裂缝的开展而产生的徐变与时俱增，使混凝土的变形加大，长期强度降低。
另外，混凝土内部有不可避免的初始气孔和缝隙，其尖端附近因收缩、温湿度变化、徐变或应力作用都会形成局部应力集中区，其应力分布更复杂，应力值更高。
1-2
解：若要获得受压应力-应变全曲线的下降段，试验装置的总线刚度应超过试件下降段的最大线刚度。
采用式（1-6）的分段曲线方程，则下降段的方程为：
2
0.8(1)x y x x =
-+ ，其中c y f σ= p
x εε= ，1x ≥ 混凝土的切线模量d d d d c
ct p
f y E x σεε=
=? 考虑切线模量的最大值，即
d d y
x
的最大值： 222222
d 0.8(1)(1.60.6)0.8(1) , 1d [0.8(1)][0.8(1)]y x x x x x x x x x x x -+----==≥-+-+
令22d 0d y x =，即：22322
1.6(1)(1.60.6) 1.60[0.8(1)][0.8(1)]x x x x x x x ---=-+-+ 221.6(1)(1.60.6) 1.6[0.8(1)]x x x x x ∴--=-+
整理得：30.8 2.40.60 , 1x x x -+=≥ ；解得： 1.59x ≈
222
max 1.59d d 0.8(1.591)0.35d d [0.8(1.591) 1.59]
x y y x x =-?-??
===- ??-+?? 2,max 3
max max d d 260.355687.5N/mm d d 1.610c ct p f y E x σεε-????
∴==?=?= ? ?????? 试件下降段的最大线刚度为：
22
2,max 100mm 5687.5N/mm 189.58kN/mm >150kN/mm 300mm
ct A E L ?=?= 所以试件下降段最大线刚度超过装置的总线刚度，因而不能获得受压应力-应变全曲线（下降段）。
1-3
解：计算并比较混凝土受压应力-应变全曲线的以下几种模型：( , )p c
x y f εσ
ε=
= ① Hognestad ：22 ,01
110.15 ,
11u y x x x x y x x ?=-≤≤?
??
?-=-≥ ??-???
（取2u x =） ② R üsch ：22 ,01
1 ,
1y x x x y x ?=-≤≤?=≥?
③ Kent-Park ：23
0.5
2 ,01
20.672=10 ,16.89c c y x x x f x f ε-?=-≤≤?
+??≥?-?
（取0.5 2.5p εε=） ④ Sahlin ：1x y x e -=? ⑤ Young ：sin(
)2y x π
=
⑥ Desayi ：2
21x
y x =+
⑦ 式（1-6）：222 ,01 ,10.6(1)y x x x x
y x x x ?=-≤≤?
?=≥
?-+?
令0 , 0.5 , 1 5x =… ，计算y ，结果如表1-3。
表1-3 几种混凝土受压应力-应变全曲线的计算结果
将7种曲线在同一坐标图内表示出来，进行比较，见图1-3。
图1-3 几种混凝土受压应力-应变全曲线
1-4
解：棱柱体抗压强度c f 采用不同的计算式计算结果如下：
（1）230(0.85)(0.85)3020.267N/mm 172172
cu c cu f f f =-=-?= （2）2130130303020.426N/mm 1453145330
cu c cu cu f f f f ++=
=?=++?
（3）20.84 1.620.8430 1.6223.58N/mm c cu f f =-=?-=
峰值应变p ε采用本书建议计算式，取220.267N/mm c f =：
663(70010(70017210 1.47410p ε---=+?=+?=?
受压应力-应变曲线关系采用分段式：
232(32)(2) 01 1
(1)a a a d y x x x x x y x x x αααα?=+-+-≤≤?
?
=>?-+?
对于C30混凝土，31.47410p ε-≈?，取 2.2a α=，0.4d α=
即：23
22.2 1.40.2 01 1
0.4(1)y x x x x x
y x x x ?=-+≤≤??=>?-+?
初始弹性模量4203
20.267
2.2
3.02510N/mm 1.47410
c
a p
f E αε-=?
=?
=?? 峰值割线模量42
3
20.267 1.37510N/mm 1.47410
c
p p
f E ε-=
=
=?? 轴心抗拉强度2/3
2/320.260.2630 2.510N/mm t cu f f ==?=
受拉应力-应变曲线为：6
1.71.20.2 1 1
(1)t y x x x x
y x x x α?=-≤?
?=>?-+?
，其中,t p
x εε=
，t y f σ
=。
220.3120.312 2.510 1.966t t f α==?=
即：6
1.71.20.2 1 1
1.966(1)y x x x x
y x x x ?=-≤??=>?-+?
抗剪强度0.57
0.5720.390.3930 2.710N/mm p cu f τ==?=
剪应力-剪应变曲线为：341.9 1.70.8y x x x =-+，其中p x γγ=
，p
y τ
τ=。 峰值割线剪切模量6
2106720N/mm 176.8
83.56 2.710P p p G τγ=
==+ 初始切线剪切模量20 1.9 1.9672012768N/mm p G G ==?=
2.主要因素的影响
2-1
解：①推导式2-3：
根据要求，弹性状态下，根据：c
e e
f h bh
e N bh N =?+2
1
12130，得： )6(10h
e
bh
f N c e +=
②推导式2-4：
弹性状态下，根据：e
e
e e e e x h x h
bh e N bh N h bh e N bh N -=?+?-2112
12
11213030，得：
125.0e h h x e += 2-2
解：①偏心受压：根据研究得出的结论，偏心受压试验中，应力-应变全曲线的
形状与试件偏心距或应变梯度无关，即偏心受压与轴心受压可采用相同的曲线方
程：
x ≤1时：32)2()23(x x x y a a a -+-+=ααα； x ≥1时：x
x x
y d +-=
2)1(α；
而根据我国的设计规范，采用6.0,2==d a αα。据此得到的应力-应变全曲线如图2-2a 所示：
图2-2a 偏心受压应力-应变全曲线
同时，建议采用混凝土偏心抗压强度（e c f ,）和相应的峰值应变（e p ,ε）随偏心距的（0e ）而变化的简化计算式：
)
/6(12
.02.10,,h e f f p e p c
e c +-==
εε 根据题设，此时，
1286.13
.0612
.02.1)/6(12.02.10,,=?+-=+-==
h e f f p e p c
e c εε ,,,21.1286,,2, 2.2572p e p e p e p p p
x x εεε
εεεεε=====
1
2.2572
232011
2.25722201
(32)(2)(1) (2) 1.7581
0.6(1)a a a d x
S x x x dx dx
x x
x
x x dx dx x x
αααα??=+-+-+??-+=-+=-+????
②偏心受拉：混凝土的偏心受拉仍采用轴心受拉的计算公式：
x ≤1时：y =1.2x -0.26x x ≥1时，y =
x
x x t +-7
.1)1(α，其中2
312.0t t f =α。 此处假设采用30C 混凝土，则a 1.43MP t f =，得：
638.043.1312.0312.022=?==t t f α
据此得到的应力-应变全曲线如图2-2b 所示：
图2-2b 偏心受拉应力-应变全曲线
偏心受拉的抗拉强度和峰值应变取为
)/6(11.01.10,h e f f t
e t +-
=，)
/6(13
.03.10,h e t e t +-=εε
根据题设，
1929.13
.0613
.03.1)/6(13.03.10,=?+-=+-=h e t e t εε ,,,,,,21.1929,,2, 2.3858t e t e t e t p t p t p
x x εεε
εεεεε=====
2.38581
2.3858
6 1.7
0011
2.3858
6 1.7
01() 1.20.2(1) 1.20.2 1.73330.638(1)t x
S y x dx x x dx dx x x
x
x x dx dx x x
α??==-+?
?-+??=-+=?
?-+?
????
2-3
解：混凝土的弹性模量值随龄期（t/天）的增长变化，根据模式规范CEB-FIP MC90，采用了简单的计算式：t c c E t E β=)(，则
c
c E t E )
(=t β。而)
/281(t s t e -=β，
式中，s 取决于水泥种类，
普通水泥和快硬水泥取为0.25，快硬高强水泥取为0.20。 此处假定取普通水泥，则25.0=s ；且为30C 混凝土，则a c MP f 3.14=，
a c MP E 4103?=。
故：)281(25.0)
(t
c
c e
E t E -=
时；
当90t 28,4.0)
(≤≤=
=
t
c c
c E f t E βσ
ε 时；
当90,6.0)
(≥=
=
t E f t E t
c c
c βσ
ε 作图如下图2-3：
图2-3 应变-时间变化曲线
3.多种结构混凝土
3-1
解：
（1）普通混凝土以及高强混凝土的受压峰值应变
610)172700(-?+=c p f ε；
轻质混凝土的峰值应变不仅取决于其强度等级或抗压强度，还与骨料的种类和性质有关，变化幅度较大，建议的经验公式为
3,,10)0204.0637.1(-?+=l c l p f ε
将上述p ε未知的混凝土强度值分别代入上述两类计算公式进行计算得： 普通混凝土C20：3610469.110)20172700(--?=?+=p ε 普通混凝土C40：3610788.110)40172700(--?=?+=p ε 高强混凝土C60：3610032.210)60172700(--?=?+=p ε
轻骨料混凝土CL20：33,10045.210)200204.0637.1(--?=??+=l p ε 计算结果如表3-1中所示。 （2）应力-应变全曲线（其中：c
f x σ
=；p
y εε=
）。表中混凝土的应力-应变全曲线均可采用分段式表达：
x ≤1时：32)2()23(x x x y a a a -+-+=ααα； x ≥1时：x
x x
y d +-=
2)1(α；
而根据题目要求：
1
23
1011(32)(2)d 122
a a a a x x x x αααα??Ω=+-+-=+??? 3221d (1)d x
x x x
α??Ω=??-+??
? 1）普通混凝土C20
x ≤1时：22x x y -= x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(6.0 1Ω=0.6667 2Ω=1.5558
2/2Ω=0.7779
3/)(21Ω+Ω=0.7408
图3-1a 普通C20混凝土应力-应变全曲线
2）普通混凝土C40
x ≤1时：323.04.07.1x x x y --=
x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(2
图3-1b 普通C40混凝土应力-应变全曲线
1Ω=0.6414 2Ω=1.1231
2/2Ω=0.5616
3/)(21Ω+Ω=0.5882
3）高强混凝土C60
x ≤1时：35.05.1x x y -=
x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(3
图3-1c 高强混凝土C60应力-应变全曲线
1Ω=0.625 2Ω=0.9680
2/2Ω=0.4840
3/)(21Ω+Ω=0.5310
4）轻骨料混凝土CL20
x ≤1时：323.04.07.1x x x y --= x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(4
图3-1d 轻骨料混凝土CL20应力-应变全曲线
1Ω=0.6417 2Ω=0.8624
2/2Ω=0.4312
3/)(21Ω+Ω=0.5014
5）加气混凝土
x ≤1时：329.08.01.1x x x y -+= x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(6
图3-1e 加气混凝土应力-应变全曲线
1Ω=0.5917 2Ω=0.7241
2/2Ω=0.3621
3/)(21Ω+Ω=0.4386
6）钢纤维混凝土
x ≤1时：325.025.2x x x y +-= x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(2.0 1Ω=0.7083 2Ω=1.8117
2/2Ω=0.9059
3/)(21Ω+Ω=0.8400
图3-1f 钢纤维混凝土应力-应变全曲线
3-2
解：依题意可知，应采用各混凝土在x ≥1时的应力-应变曲线方程进行计算：
（1）普通C20混凝土，x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(6.0； c f 85.0=σ时，85.0=y ，解得7090.1=x ，
331105105.27090.110469.1--?=??==x p d εε c f 5.0=σ时，5.0=y ，解得1721.3=x ，
332106598.41721.310469.1--?=??==x p d εε
（2）普通C40混凝土，x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(2； c f 85.0=σ时，85.0=y ，解得3444.1=x ，
331104038.23444.110788.1--?=??==x p d εε
c f 5.0=σ时，5.0=y ，解得2=x ，33210576.3210788.1--?=??==x p
d εε
（3）高强C60混凝土，x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(3； c f 85.0=σ时，85.0=y ，解得2737.1=x ，
331105882.22737.110032.2--?=??==x p d εε
c f 5.0=σ时，5.0=y ，解得7676.1=x ，
332105917.37676.110032.2--?=??==x p d εε
（4）轻骨料混凝土CL20，x ≥1时：x
x x
y +-=
2)1(4；
c f 85.0=σ时，85.0=y ，解得2333.1=x ，
331105221.22333.110045.2--?=??==x p d εε c f 5.0=σ时，5.0=y ，解得6404.1=x ，
332103546.36404.110045.2--?=??==x p d εε
（5）加气混凝土，x ≥1时：x
x x
y +-=
2)1(6；
c f 85.0=σ时，85.0=y ，解得1868.1=x ，
331103736.21868.1102--?=??==x p d εε c f 5.0=σ时，5.0=y ，解得5.1=x ，
3321035.1102--?=??==x p d εε
（6）钢纤维混凝土，x ≥1时：x
x x
y +-=
2
)1(2.0； c f 85.0=σ时，85.0=y ，解得4790.2=x ，
331104370.74790.2103--?=??==x p d εε c f 5.0=σ时，5.0=y ，解得8541.6=x ，
232100562.28541.6103--?=??==x p d εε
4.多轴强度和本构关系
4-1
解：由破坏准则：
3
3210f
f f f oct c ++==σσ
3
)()()(2
132322210f f f f f f f oct
c -+-+-=
=ττ oct
f f f τθ232cos 3
21--=
其中，主应力1f 、2f 和3f 分别对应于1σ、2σ和3σ。
（1）将应力状态1σ＞2σ=3σ（拉子午线）代入破坏准则计算式，得：
θcos =1，即θ≡0°
（2）将应力状态1σ=2σ＞3σ（压子午线）代入破坏准则计算式，得：
θcos =0.5，即θ≡60°
（3）将应力状态2σ=（1σ+3σ）/2或1σ-2σ=2σ-3σ（剪子午线）代入破坏准则计算式，得：
θcos =
2
3
，即θ≡30° 4-2
解：Ottosen
准则的统一表达式为：2
0001 , (1)32a b b
στ=
- 其中，1
121121cos[cos (cos3)] ,303
1cos[cos (cos3)] ,3033k k k k θθλπθθ--?≤???=??--≥???
将参数值 1.2759a =， 3.1962b =，111.7365k =，20.9801k =代入以上表达式，
再由各试件主应力计算出0τ和θ，由上式得八面体强度0σ的理论值，可与由主应力试验值计算出的八面体强度0σ的试验值比较。
过－王准则的表达式为：000
(
) , (2)d
b a
c στσ-=- 其中， 1.52(cos1.5)(sin1.5)t c c c c θθ=+
将参数值 6.9638a =，0.09b =，0.9297d =，12.2445t c =，7.3319c c =代入以上表达式，再由各试件主应力计算出0σ和θ，由上式得八面体强度0τ的理论值，可与由主应力试验值计算出的八面体强度0τ的试验值比较。
①试件
A
2
57.28N/mm oct τ=
=
=
057.28
=2.33824.5
oct
c
f ττ=
=
212340.540.5162
81N/mm 33
oct f f f σ++---=
==- 081
= 3.30624.5
oct
c
f σσ=
=-
- 由于123f f f =>，由题4-1可知，3
π
θ=
用Ottosen 准则计算多轴强度理论值如下：
11
11.7365cos(cos 0.9801) 6.531833
πλ-=?-?=
由式（1）可得，八面体强度理论值为：
201 6.5318 1.2759
2.338 2.338 2.9379.5886
3.1962 6.3924
σ=
?-?=-，比试验值偏小。
用过－王准则计算多轴强度理论值如下：
1.521
2.2445(cos1.5)7.3319(sin1.5)7.331933
c ππ
=??+??=
由式（2）可得，八面体强度理论值为：
0.9297
00.09 3.3066.9638() 2.4097.3319 3.306
τ+=?=+，比试验值偏大。
②试件
B
2
12.41N/mm oct τ=
== 012.41
=0.57321.66
oct
c
f ττ=
=
212315.230.4
15.2N/mm 33
oct f f f σ++--=
==- 015.2
=0.70221.66
oct
c
f σσ=
=-
-
cos 0.8661θ=
==
0.5235θ∴=，4cos3 2.96310θ-=?
用Ottosen 准则计算多轴强度理论值如下：
141
11.7365cos[cos (0.9801 2.96310)]10.16473
λ--=????=
由式（1）可得，八面体强度理论值为：
20110.1647 1.2759
0.5730.5730.7059.5886 3.1962 6.3924
σ=
?-?=-，
比试验值偏大。 用过－王准则计算多轴强度理论值如下：
1.521
2.2445(cos1.50.5235)7.3319(sin1.50.5235)10.9471c =??+??= 由式（2）可得，八面体强度理论值为：
0.9297
00.090.7056.9638()0.57410.94710.705
τ+=?=+，比试验值偏大。
③试件
C
2
3.33N/mm oct τ=
=
=
0 3.33
=0.17519
oct
c
f ττ=
=
2123 1.26 2.8 6.9
2.81N/mm 33
oct f f f σ++--=
==- 0 2.81
=0.14819
oct
c
f σσ=
=-
-
cos 0.8649θ=
==
0.5257θ∴=，3cos3 6.4410θ-=-?
用Ottosen 准则计算多轴强度理论值如下：
131
11.7365cos[cos (0.9801 6.4410)]10.151733
πλ--=?-???=
由式（1）可得，八面体强度理论值为：
20110.1517 1.2759
0.1750.1750.1299.5886 3.1962 6.3924
σ=
?-?=-，
比试验值偏小。 用过－王准则计算多轴强度理论值如下：
1.521
2.2445(cos1.50.5257)7.3319(sin1.50.5257)10.9352c =??+??= 由式（2）可得，八面体强度理论值为：
0.9297
00.090.1486.9638()0.19610.93520.148
τ+=?=+，比试验值偏大。
5.钢筋的力学性能
5-1
解：20.20.850.8518601581N/mm b f f ==?=
13.513.55
0.2
0.002(
)0.002()1.95101581
s
s
s
s
s s
E f σσσσ
ε=
+=
+?
5-2
钢筋在拉力重复加卸载作用下的应力-应变曲线如图5-2a ，在钢筋的屈服点Y 以前卸载和再加载，应力-应变沿原直线OY 运动，完全卸载后无残余应变。
钢筋进入屈服段（y εε>）后，卸载过程为一直线（RO’），且平行于初始加
载线（OY ），完全卸载后（=0σ）有残余应变res ε。残余应变值随卸载时的应变r ε而增大。再加载时，应变增量和应力成比例增加，顺原直线（O’R ）上升，达到原卸载点R 后，成为曲线RH’B’F’。与原拉伸曲线（YRHBF ）相比RH’段的应力提高，但明显的屈服台消失；最大应力与原极限强度值相近，但相应的应变b ε和极限延伸率5δ都减小了。
图5-2a 重复加卸载的钢筋应力-应变曲线 图5-2b 拉压反复加载的钢筋应力-应变曲线
钢材变形进入塑性阶段后，在拉、压应力反复加卸作用、且应力逐次增加的试验情况下，得到的应力-应变曲线如图5-2b 。钢材受拉进入屈服段后，从1T 点卸载至应力为零，反向加载（压应力）为11O C 曲线，再从1C 点卸载至压应力为零，得到12C O 线。第二次加载（拉）时，从2O 开始，经过与第一次加载最大拉应力相等的点1'T ，进而达到2T 。再次卸载23T O 和反向加载312'O C C ，反向卸载
24C O 等。
6.钢筋与混凝土的粘结
6-1
在光圆钢筋的拔出试验中，量测到的拉力或平均粘结应力与钢筋两端的滑移曲线，钢筋应力沿其埋长的分布和据以计算的粘结应力分布，以及钢筋滑移的分布等随荷载增长的变化如图6-1a 。当试件开始受力后，加载端的粘着力很快被破坏，即可测得加载端钢筋和混凝土的相对滑移（1S ）。此时钢筋只有靠近加载端的一部分受力（s 0σ>），粘结应力分布也限于这一段。从粘结应力（τ）的峰点至加载端之间的钢筋段都发生相对滑移，其余部分仍为无滑移的粘结区。随着荷载的增大，钢筋的受力段逐渐加长，粘结应力（τ）分布的峰点向自由端（F ）漂移，滑移段随之扩大，加载端的滑移（1S ）加快发展。
图6-1a 光圆钢筋的拔出试验结果
当荷载增大，达到ττ=-/0.40.6u 后，钢筋的受力段和滑移段继续扩展，加载端的滑移明显成曲线增长，但自由端仍无滑移。粘结应力（τ）不仅分布区段延伸，峰点加快向自由端漂移，其形状也由峰点右偏曲线转为左偏曲线。当
/u ττ≈0.8时，钢筋的自由端开始滑移，加载端的滑移发展更迅速。此时滑移
段已遍及钢筋全埋长，粘结应力的峰点很靠近自由端。加载端附近的粘结破坏严重，粘结应力已很小，钢筋的应力接近均匀。
当自由端的滑移为=-0.10.2mm f S 时，试件的荷载达最大值u N ，即得钢筋的极限粘结强度。此后，钢筋的滑移（1S 和f S ）急速增大，拉拔力由钢筋表面的摩阻力和残存的咬合力承担，周围混凝土受碾磨而破碎，阻抗力减小，形成
S τ-曲线的下降段。最终，钢筋从混凝土中被徐徐拔出，表面上带有少量磨碎
的混凝土粉渣。
图6-1b 变形钢筋的拔出试验结果
变形钢筋拔出试验中量测的粘结应力-滑移典型曲线，以及钢筋应力、粘结应力和滑移沿钢筋埋长的分布随荷载的变化过程如图6-1b 。变形钢筋和光圆钢
页眉 《钢筋混凝土原理和分析》读书笔记经过一个学期的课程学习，我在《钢筋混凝土原理和分析》教材及本科基础专业知识储备的基础上，外加查阅的其它一些相关钢筋混凝土内容的学习资料，包括教材、专著及论文等，基本掌握了书中所讲述的关于钢筋混凝土的基础知识，深化了原有的知识理论，形成较为完整的混凝土知识理论系统。由于在课程学习过程中，贺东青教授是安排我在课堂上讲解“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”的部分内容，因此，本报告后续内容也主要围绕“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”这一方面作细致展开,其他内容知识仅作一概括。 随着建筑科技的快速发展和各类工程建筑的迅速崛起，混凝土结构经历了很长时间的发展，现已经广泛应用于诸多民用和工业用建筑，为社会发展和人类生活水平提高做出了卓越贡献。在本科阶段学习的《混凝土结构设计原理》课程中，我大致了解了混凝土结构的分类、应用、构件的基本设计原理以及方法等。所涵盖的理论知识、学习方法以及思维方式都对作为结构工程方向的我们以后专业课的学习以及工作起到重要的积极的作用。 一、对《高等混凝土结构》课程的认知 在本科学习期间，有关钢筋混凝土结构的课程中，一般先简要的介绍钢筋和混凝土的材性，后以较大篇幅着重说明各种基本构件的性能、计算方法、设计和构造要求等，较多地遵循结构设计规范的体系和方法，以完成结构设计为主要目标。 《钢筋混凝土原理和分析》是以研究和分析钢筋混凝土结构的性能及一般规律，并以解决工程中出现的各种问题为目标，本书中用大量的篇幅系统地介绍主要材料—混凝土在单轴和多轴应力状态下，以及各种特殊条件下的强度和变形的一般规律，以此作为了解和分析构件性能的基础。在表述钢筋混凝土构件在各种受力条件下的性能时，强调以试验结果为依据，着重介绍其受力变形和破坏的全过程、各种因素的影响、机理分析、重要技术指标的确定、计算原则和方法等。 本书是研究和设计钢筋混凝土结构的主要理论基础和试验依据，其内容和作用如同匀质线弹性结构的“材料力学”。但是钢筋混凝土是由非线性的、且拉压强度相差悬殊的混凝土和钢筋组合而成，受力性能复杂多变，因而课程的内容更为丰富。 钢筋混凝土结构作为结构工程的一个学科分支，必定服从结构工程学科的一般规律：从工程实践中提出要求或问题，通过调查统计、实验研究、理论分析、计算对比等多种手段予以解决。总结其一般变化规律，揭示作用机理，建立物理模型和数学表达，确定计算方法和构造措施，再回到工程实践中进行验证，并加以改进和补充。一般需经过实践—研究—实践的多次反复，渐臻完善，最终为工程服务。 钢筋混凝土既然是由性质迥异的两种材料组合而成，必定具有区别于单一材料结构（如钢结构、木结构等）的特殊性。所以，钢筋混凝土的性能不仅依赖于两种材料本身的性质，还在更大程度上取决于二者的相互关系和配合。钢筋混凝土的承载力和变形性能的变化幅度很大。有时甚至可以按照所规定的性能指标设计专门的钢筋混凝土，合理选用材料和配筋构造，以满足具体工程的特定要求。 总所周知，混凝土是非匀质的、非线性的人工混合材料，力学性能复杂，且随时间而变化，性能指标的离散性又大；而钢筋和混凝土的配合又呈多样性，更使得钢筋混凝土的性能十分复杂多变。至今，钢筋混凝土构件在不同受力状态和环境条件下的性能反应已有较多的实验和理论研究结果，
第8章 非线性回归 思考与练习参考答案 8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为 e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβ ε = + 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表8.15 生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图： 5000.00 4000.003000.002000.001000.00x 12.00 10.00 8.006.00 y
从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS 输出结果如下： Model Summ ary .981 .962 .942 .651 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x. ANOVA 42.571221.28650.160.001 1.6974.424 44.269 6 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig.The independent variable is x. Coe fficients -.001.001-.449-.891.4234.47E -007.000 1.417 2.812.0485.843 1.324 4.414.012 x x ** 2 (Constant) B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. 从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线 Model Summ ary .970 .941 .929 .085 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x.
思考与练习 1.基本力学性能 1-1 混凝土凝固后承受外力作用时，由于粗骨料和水泥砂浆的体积比、形状、排列的随机性，弹性模量值不同，界面接触条件各异等原因，即使作用的应力完全均匀，混凝土也将产生不均匀的空间微观应力场。在应力的长期作用下，水泥砂浆和粗骨料的徐变差使混凝土部发生应力重分布，粗骨料将承受更大的压应力。 在水泥的水化作用进行时，水泥浆失水收缩变形远大于粗骨料，此收缩变形差使粗骨料受压，砂浆受拉，和其它应力分布。这些应力场在截面上的合力为零，但局部应力可能很大，以至在骨料界面产生微裂缝。 粗骨料和水泥砂浆的热工性能（如线膨胀系数）的差别，使得当混凝土中水泥产生水化热或环境温度变化时，两者的温度变形差受到相互约束而形成温度应力场。由于混凝土是热惰性材料，温度梯度大而加重了温度应力。环境温度和湿度的变化，在混凝土部形成变化的不均匀的温度场和湿度场，影响水泥水化作用的速度和水分的散发速度，产生相应的应力场和变形场，促使部微裂缝的发展，甚至形成表面宏观裂缝。混凝土在应力的持续作用下，因水泥凝胶体的粘性流动和部微裂缝的开展而产生的徐变与时俱增，使混凝土的变形加大，长期强度降低。 另外，混凝土部有不可避免的初始气孔和缝隙，其尖端附近因收缩、温湿度变化、徐变或应力作用都会形成局部应力集中区，其应力分布更复杂，应力值更高。 1-2 解：若要获得受压应力-应变全曲线的下降段，试验装置的总线刚度应超过试件下降段的最大线刚度。 采用式（1-6）的分段曲线方程，则下降段的方程为： 20.8(1)x y x x = -+ ，其中c y f σ= p x εε= ，1x ≥ 混凝土的切线模量d d d d c ct p f y E x σεε= =? 考虑切线模量的最大值，即 d d y x 的最大值： 222222 d 0.8(1)(1.60.6)0.8(1) , 1d [0.8(1)][0.8(1)]y x x x x x x x x x x x -+----==≥-+-+
2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定？ 答：1. 解释变量 1x , ,2x ,p x 是非随机变量，观测值,1i x ,,2 i x ip x 是常数。 2. 等方差及不相关的假定条件为 ? ? ? ? ? ? ??????≠=====j i n j i j i n i E j i i ,0),,2,1,(,),cov(,,2,1, 0)(2 σεεε 这个条件称为高斯-马尔柯夫(Gauss-Markov)条件，简称G-M 条件。在此条件下，便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差2σ估计的一些重要性质，如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。 3. 正态分布的假定条件为 ???=相互独立 n i n i N εεεσε,,,,,2,1),,0(~212 在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2σ估计的进一步结果，如它们分别是回归系数的最及2σ的最小方差无偏估计等，并且可以作回归的显著性检验及区间估计。 4. 通常为了便于数学上的处理，还要求,p n >及样本容量的个数要多于解释变量的个数。 在整个回归分析中，线性回归的统计模型最为重要。一方面是因为线性回归的应用最广泛；另一方面是只有在回归模型为线性的假设下，才能的到比较深入和一般的结果；再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回归问题进行处理。因此，线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。 1. 如何根据样本),,2,1)(;,,,(21n i y x x x i ip i i =求出p ββββ,,,,210 及方差2σ的估计; 2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验； 3. 如何根据回归方程进行预测和控制，以及如何进行实际问题的结构分析。 2.2 考虑过原点的线性回归模型 n i x y i i i ,,2,1,1 =+=εβ误差n εεε,,,21 仍满足基本假定。求1β的最小二 乘估计。 答：∑∑==-=-=n i n i i i i x y y E y Q 1 1 2112 1)())(()(ββ
《钢筋混凝土原理和分析》读书笔记 经过一个学期的课程学习，我在《钢筋混凝土原理和分析》教材及本科基础专业知识储备的基础上，外加查阅的其它一些相关钢筋混凝土容的学习资料，包括教材、专著及论文等，基本掌握了书中所讲述的关于钢筋混凝土的基础知识，深化了原有的知识理论，形成较为完整的混凝土知识理论系统。由于在课程学习过程中，贺东青教授是安排我在课堂上讲解“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”的部分容，因此，本报告后续容也主要围绕“钢筋的力学性能”与“钢筋与混凝土的粘结”这一面作细致展开,其他容知识仅作一概括。 随着建筑科技的快速发展和各类工程建筑的迅速崛起，混凝土结构经历了很长时间的发展，现已经广泛应用于诸多民用和工业用建筑，为社会发展和人类生活水平提高做出了卓越贡献。在本科阶段学习的《混凝土结构设计原理》课程中，我大致了解了混凝土结构的分类、应用、构件的基本设计原理以及法等。所涵盖的理论知识、学习法以及思维式都对作为结构工程向的我们以后专业课的学习以及工作起到重要的积极的作用。 一、对《高等混凝土结构》课程的认知 在本科学习期间，有关钢筋混凝土结构的课程中，一般先简要的介绍钢筋和混凝土的材性，后以较大篇幅着重说明各种基本构件的性能、计算法、设计和构造要求等，较多地遵循结构设计规的体系和法，以完成结构设计为主要目标。 《钢筋混凝土原理和分析》是以研究和分析钢筋混凝土结构的性能及一般规律，并以解决工程中出现的各种问题为目标，本书中用大量的篇幅系统地介绍主要材料—混凝土在单轴和多轴应力状态下，以及各种特殊条件下的强度和变形的一般规律，以此作为了解和分析构件性能的基础。在表述钢筋混凝土构件在各种受力条件下的性能时，强调以试验结果为依据，着重介绍其受力变形和破坏的全过程、各种因素的影响、机理分析、重要技术指标的确定、计算原则和法等。 本书是研究和设计钢筋混凝土结构的主要理论基础和试验依据，其容和作用如同匀质线弹性结构的“材料力学”。但是钢筋混凝土是由非线性的、且拉压强度相差悬殊的混凝土和钢筋组合而成，受力性能复杂多变，因而课程的容更为丰富。 钢筋混凝土结构作为结构工程的一个学科分支，必定服从结构工程学科的一般规律：从工程实践中提出要求或问题，通过调查统计、实验研究、理论分析、计算对比等多种手段予以解决。总结其一般变化规律，揭示作用机理，建立物理模型和数学表达，确定计算法和构造措施，再回到工程实践中进行验证，并加以改进和补充。一般需经过实践—研究—实践的多次反复，渐臻完善，最终为工程服务。 钢筋混凝土既然是由性质迥异的两种材料组合而成，必定具有区别于单一材料结构（如钢结构、木结构等）的特殊性。所以，钢筋混凝土的性能不仅依赖于两种材料本身的性质，还在更大程度上取决于二者的相互关系和配合。钢筋混凝土的承载力和变形性能的变化幅度很大。有时甚至可以按照所规定的性能指标设计专门的钢筋混凝土，合理选用材料和配筋构造，以满足具体工程的特定要求。 总所知，混凝土是非匀质的、非线性的人工混合材料，力学性能复杂，且随时间而变化，性能指标的离散性又大；而钢筋和混凝土的配合又呈多样性，更使得钢筋混凝土的性能十分复杂多变。至今，钢筋混凝土构件在不同受力状态和环境条件下的性能反应已有较多的实验和理论研究结果，建立了相应的计算法和构造措施，可以解决工程问题。但是，还缺乏一个完善的、统一的理论法来概括和解决普遍的工程问题。 考虑到混凝土材性和钢筋混凝土构件性能的这些特点，应遵循以下原则：
应用回归分析课后答案 第二章一元线性回归 解答：EXCEL结果: SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值5 方差分析 df SS MS F Significance F 回归分析125 残差3 总计410 Coefficients标准误差t Stat P-value Lower 95%Upper 95%下限%上限% Intercept X Variable 15 RESIDUAL OUTPUT 观测值预测Y残差 1 2 3 4 5 SPSS结果：（1）散点图为：
（2）x 与y 之间大致呈线性关系。 （3）设回归方程为01y x ββ∧ ∧ ∧ =+ 1β∧ = 12 2 1 7()n i i i n i i x y n x y x n x -- =- =-=-∑∑ 0120731y x ββ-∧- =-=-?=- 17y x ∧ ∴=-+可得回归方程为 （4）22 n i=1 1()n-2i i y y σ∧∧=-∑ 2 n 01i=1 1(())n-2i y x ββ∧∧=-+∑ =222 22 13???+?+???+?+??? （10-（-1+71））（10-（-1+72））（20-（-1+73））（20-（-1+74））（40-（-1+75）） []1 169049363 110/3= ++++= 1 330 6.13 σ∧=≈ （5）由于2 11(, )xx N L σββ∧ :
t σ ∧ == 服从自由度为n-2的t分布。因而 /2 |(2)1 P t n α α σ ?? ?? <-=- ?? ?? 也即： 1/211/2 (p t t αα βββ ∧∧ ∧∧ -<<+=1α - 可得 1 95% β∧的置信度为的置信区间为（7-2.3537+2.353即为：（，） 2 2 00 1() (,()) xx x N n L ββσ - ∧ + : t ∧∧ == 服从自由度为n-2的t分布。因而 /2 (2)1 P t n α α ∧ ?? ?? ?? <-=- ?? ?? ?? ?? ?? 即 0/200/2 ()1 pβσββσα ∧∧∧∧ -<<+=- 可得 1 95%7.77,5.77 β∧- 的置信度为的置信区间为（） （6）x与y的决定系数 2 21 2 1 () 490/6000.817 () n i i n i i y y r y y ∧- = - = - ==≈ - ∑ ∑ （7）
第7章岭回归 思考与练习参考答案 7.1 岭回归估计是在什么情况下提出的？ 答：当自变量间存在复共线性时，｜X’X｜≈0，回归系数估计的方差就很大，估计值就很不稳定，为解决多重共线性，并使回归得到合理的结果，70年代提出了岭回归(Ridge Regression,简记为RR)。 7.2岭回归的定义及统计思想是什么？ 答：岭回归法就是以引入偏误为代价减小参数估计量的方差的一种回归方法，其统计思想是对于（X’X）-1为奇异时，给X’X加上一个正常数矩阵 D, 那么X’X+D接近奇异的程度就会比X′X接近奇异的程度小得多，从而完成回归。但是这样的回归必定丢失了信息，不满足blue。但这样的代价有时是值得的，因为这样可以获得与专业知识相一致的结果。 7.3 选择岭参数k有哪几种方法？ 答：最优 是依赖于未知参数 和 的，几种常见的选择方法是： 岭迹法：选择 的点能使各岭估计基本稳定，岭估计符号合理，回归系数没有不合乎经济意义的绝对值，且残差平方和增大不太多；
方差扩大因子法： ，其对角线元 是岭估计的方差扩大因子。要让 ； 残差平方和：满足 成立的最大的 值。 7.4 用岭回归方法选择自变量应遵循哪些基本原则？ 答：岭回归选择变量通常的原则是： 1. 在岭回归的计算中，我们通常假定涉及矩阵已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。我们可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量； 2. 当k值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不很小，但是不稳定，随着k的增加迅速趋近于零。像这样岭回归系数不稳定、震动趋于零的自变量，我们也可以予以剔除； 3. 去掉标准化岭回归系数很不稳定的自变量。如果有若干个岭回归系数不稳定，究竟去掉几个，去掉那几个，要根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。
钢筋混凝土原理习题 第一章绪论 1.1混凝土梁破坏时有哪些特点？钢筋和混凝土是如何共同工作的？ 1.2钢筋混凝土有哪些优点和缺点？ 1.3本课程主要包括哪些内容？学习本课程要注意哪些问题？ 第二章混凝土结构材料的物理力学性能 2.1 混凝土的立方抗压强度。轴心抗压强度和抗拉强度是如何确定的？为什么低于？与有何关系？与有何关系？ 2.2 混凝土的强度等级是根据什么确定的？我国新《规范》规定的混凝土强度等级有哪些？ 2．3 某方形钢筋混凝土短柱浇筑后发现混凝土强度不足，根据约束混凝土原理如何加固该柱？ 2.4 单向受力状态下，混凝土的强度与哪些因素有关？混凝土轴心受压应力-应变曲线有何特点？常用的表示应力-应变关系的数学模型有哪几种？ 2.5 混凝土的变形模量和弹性模量是怎样确定的？ 2.6什么是混凝土的疲劳破坏？疲劳破坏时应力-应变曲线有何特点？ 2.7什么是混凝土的徐变？徐变对混凝土构件有何影响？通常认为影响徐变的主要因素有哪些？如何减少徐变？ 2.8 混凝土收缩对钢筋混凝土构件有何影响？收缩与哪些因素有关？如何减少收缩？
2.9 软钢和硬钢的应力-应变曲线有何不同？二者的强度取值有何不同？我国新规范中将钢筋按强度分为哪些类型？了解钢筋的应力-应变曲线的数学模型。 2．10 钢筋有哪些形式？钢筋冷加工的方法有哪几种？冷拉和冷拔后钢筋的力学性能有何变化？ 2.11 钢筋混凝土结构对钢筋的性能有哪些要求？ 2．12 什么是钢筋和混凝土之间的粘结力？影响钢筋和混凝土粘结强度的主要因素有哪些？为保证钢筋和混凝土之间有足够的粘结力要采取哪些措施？ 第三章按近似概率理论的极限状态设计法 3．l 结构可靠性的含义是什么？它包含哪些功能要求？结构超过极限状态会产生什么后果？建筑结构安全等级是按什么原则划分的？ 3．2 “作用”和“荷载”有什么区别？影响结构可靠性的因素有哪些？结构构件的抗力与哪些因素有关？为什么说构件的抗力是一个随机变量？ 3．3 什么是结构的极限状态？结构的极限状态分为几类，其含义各是什么？ 3．4 建筑结构应该满足哪些功能要求？结构的设计工作寿命如何确定？结构超过其设计工作寿命是否意味着不能再使用？为什么？ 3．5 正态分布概率密度曲线有哪些数字特征？这些数字特征各表示什么意义？正态分布概率密度曲线有何特点？ 3．6 材料强度是服从正态分布的随机变量，其概率密度为，怎样计算材料强度大于某一取值的概率P（＞）？ 3．7 什么是保证率？什么叫结构的可靠度和可靠指标？我国《建筑结构设计统一标准》对结构可靠度是如何定义的？
y1 1 x11 x12 x1p 0 1 3.1 y2 1 x21 x22 x2p 1 + 2 即y=x + yn 1 xn1 xn2 xnp p n 基本假定 (1) 解释变量x1,x2…,xp 是确定性变量，不是随机变量，且要求 rank(X)=p+1 n 注 tr(H) h 1 3.4不能断定这个方程一定很理想，因为样本决定系数与回归方程中 自变量的数目以及样本量n 有关，当样本量个数n 太小，而自变量又较 多，使样本量与自变量的个数接近时， R 2易接近1,其中隐藏一些虚 假成分。 3.5当接受H o 时，认定在给定的显著性水平 下，自变量x1,x2, xp 对因变量y 无显著影响，于是通过x1,x2, xp 去推断y 也就无多大意 义，在这种情况下，一方面可能这个问题本来应该用非线性模型去描 述，而误用了线性模型，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面 可能是在考虑自变量时，把影响因变量y 的自变量漏掉了，可以重新 考虑建模问题。 当拒绝H o 时，我们也不能过于相信这个检验，认为这个回归模型 已经完美了，当拒绝H o 时，我们只能认为这个模型在一定程度上说明 了自变量x1,x2, xp 与自变量y 的线性关系，这时仍不能排除排除我 们漏掉了一些重要的自变量。 3.6中心化经验回归方程的常数项为0,回归方程只包含p 个参数估计 值1, 2, p 比一般的经验回归方程减少了一个未知参数，在变量较 SSE (y y)2 e12 e22 1 2 1 E( ) E( - SSE* - n p 1 n p n 2 [D(e) (E(e ))2 ] 1 n (1 1 n 2 en n E( e 1 1 n p 1 1 n p 1 1 "1 1 n p 1 J (n D(e) 1 (p 1)) 1_ p 1 1 1 n p 1 2 2 n E(e 2 ) (1 h ) 2 1 应用回归分析课后习题 参考答案 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 第二章一元线性回归分析 思考与练习参考答案 一元线性回归有哪些基本假定 答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(ε i )=0 i=1,2, …,n Var (ε i )=2i=1,2, …,n Cov(ε i, ε j )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(X i , ε i )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 ε i ~N(0, 2) i=1,2, …,n 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β 1 X i +ε i i=1,2, …,n 误差εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计解： 得： 证明（式），e i =0 ，e i X i=0 。 证明： ∑ ∑+ - = - = n i i i n i X Y Y Y Q 1 2 1 2 1 )) ? ?( ( )? (β β 其中： 即：e i =0 ，e i X i=0 2 1 1 1 2) ? ( )? ( i n i i n i i i e X Y Y Y Qβ ∑ ∑ = = - = - = ) ? ( 2 ?1 1 1 = - - = ? ?∑ = i i n i i e X X Y Q β β ) ( ) ( ? 1 2 1 1 ∑ ∑ = = = n i i n i i i X Y X β 01 ?? ?? i i i i i Y X e Y Y ββ =+=- 01 00 ?? Q Q ββ ?? == ?? 思考与练习 1. 基本力学性能 1- 1 混凝土凝固后承受外力作用时，由于粗骨料和水泥砂浆的体积比、形状、排列的随机性，弹性模量值不同，界面接触条件各异等原因，即使作用的应力完全均匀，混凝土内也将产生不均匀的空间微观应力场。在应力的长期作用下，水泥砂浆和粗骨料的徐变差使混凝土内部发生应力重分布，粗骨料将承受更大的压应力。 在水泥的水化作用进行时，水泥浆失水收缩变形远大于粗骨料，此收缩变形差使粗骨料受压，砂浆受拉，和其它应力分布。这些应力场在截面上的合力为零，但局部应力可能很大，以至在骨料界面产生微裂缝。 粗骨料和水泥砂浆的热工性能（如线膨胀系数）的差别，使得当混凝土中水泥产生水化热或环境温度变化时，两者的温度变形差受到相互约束而形成温度应力场。由于混凝土是热惰性材料，温度梯度大而加重了温度应力。环境温度和湿度的变化，在混凝土内部形成变化的不均匀的温度场和湿度场，影响水泥水化作用的速度和水分的散发速度，产生相应的应力场和变形场，促使内部微裂缝的发展，甚至形成表面宏观裂缝。混凝土在应力的持续作用下，因水泥凝胶体的粘性流动和内部微裂缝的开展而产生的徐变与时俱增，使混凝土的变形加大，长期强度降低。 另外，混凝土内部有不可避免的初始气孔和缝隙，其尖端附近因收缩、温湿度变化、徐变或应力作用都会形成局部应力集中区，其应力分布更复杂，应力值更高。 1- 2 解：若要获得受压应力-应变全曲线的下降段，试验装置的总线刚度应超过试件 下降段的最大线刚度。 采用式（1-6 ）的分段曲线方程，贝U 下降段的方程为： y 0.8(x x 1)2 x ，其中 y 试件下降段的最大线刚度为: E -t,max - 5687.5N/mm 2 100 亦 189.58kN/mm >150kN/mm L 300mm 所以试件下降段最大线刚度超过装置的总线刚度，因而不能获得受压应力 应变全曲线（下降段）。 1-3 解：计算并比较混凝土受压应力- 应变全曲线的以下几种模型：（x ： , y f -） 混凝土的切线模量E ct - d dy f c dx p 考虑切线模量的最大值，即 月的最大值: Qdx 0.8(x 1)2 x x(1.6x 0.6) [0.8( x 1)2 x]2 0^ (x 22 1) 2 ，x 1 [0.8( x 1)2 x]2 0,即: 2 1.6(x 1)(1.6x 0.6) 2 3 [0.8( x 1)2 x]3 [0.8( x 1)2 x]2 1.6(x 2 1)(1.6x 0.6) 1.6x[0.8(x 1)2 x] 整理得: 0.8x 3 2.4x 0.6 0 , x 1 ;解得：x 1.59 dy dx max dy dx x 1.59 E ct,max d_ d max 0.8 (1.592 1) [0.8 (1.5于 1) 1.59]2 0.35 dy dx max p - 0.35 5687.5N/mm 2 1.6 10 3 1、 变量间统计关系和函数关系的区别是什么 答：函数关系是一种确定性的关系，一个变量的变化能完全决定另一个变量的变化；统计关系是非确定的，尽管变量间的关系密切，但是变量不能由另一个或另一些变量唯一确定。 2、 回归分析与相关分析的区别和联系是什么 答：联系：刻画变量间的密切联系； 区别：一、回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，而在相关分析中，变量y 与x 处于平等地位；二、相关分析中y 与x 都是随机变量，而回归分析中y 是随机的，x 是非随机变量。三、回归分析不仅可以刻画线性关系的密切程度，还可以由回归方程进行预测和控制。 3、 回归模型中随机误差项ε的意义是什么主要包括哪些因素 答：随机误差项ε的引入，才能将变量间的关系描述为一个随机方程。主要包括：时间、费用、数据质量等的制约；数据采集过程中变量观测值的观测误差；理论模型设定的误差；其他随机误差。 4、 线性回归模型的基本假设是什么 答：1、解释变量非随机；2、样本量个数要多于解释变量(自变量)个数；3、高斯-马尔科夫条件；4、随机误差项相互独立，同分布于2(0,)N σ。 5、 回归变量设置的理论根据在设置回归变量时应注意哪些问题 答：因变量与自变量之间的因果关系。需注意问题：一、对所研究的问题背景要有足够了解；二、解释变量之间要求不相关；三、若某个重要的变量在实际中没有相应的统计数据，应考虑用相近的变量代替，或者由其他几个指标复合成一个新的指标；四、解释变量并非越多越好。 6、 收集、整理数据包括哪些内容 答：一、收集数据的类型（时间序列、截面数据）；二、数据应注意可比性和数据统计口径问题（统计范围）；三、整理数据时要注意出现“序列相关”和“异 钢筋混凝土原理和分析 读书报告 强度和变形的一般规律 钢筋混凝土原理和分析读书报告混凝土的多轴强度是指试件破坏时三向主应力的最大值: 用 f1， f2，f3 表示，相应的峰值主应变为：ε1p，ε2p，ε3p。符号规则为： 0000 国内外发表的混凝土多轴试验资料已为数不少，但由于所用的三轴试验装置、试验方法、试件的形状和材料等都有很大差异，混凝土多轴性能的试验数据有较大离散性。尽管如此，混凝土的多轴强度和变形随应力状态的变化仍有规律可循，且得到普遍的认同。 4.3.1二轴应力状态 1.二轴受压(C/C, σ1 =0) 混凝土在二轴拉／压应力不同组合下的强度试验结果如图。 混凝土二轴抗压强度对比图。 混凝土的二轴抗压强度（ f3 ）均超过其单轴抗压强度（ fc ）：C/C 随应力比例的变化规律为： σ2 /σ3 =0～0. 2 f3随应力比的增大而提高较快； σ2 /σ3 =0. 2 - 0. 7 f3变化平缓，最大抗压强度为(1. 25～1. 60) fc，发生在σ2 /σ3 ＝0.3～0.6之间，σ2 /σ3 =0. 7～1. 0 f3随应力比的增大而降低。 σ2 /σ3 = 1 (二轴等压) fcc=(1.15～1.35) fc 1混凝土二轴受压的应力-应变曲线为抛物线形，有峰点和下降段，与单轴受压的应力-应变全曲线相似。 2试件破坏时，最大主压应力方向的强度f3和峰值应变ε3p，大于单轴受压的相应值(f c,εp ）； 3初始斜率随应力比σ 2 / σ3增大；双轴压状态下的抗拉延性比单轴压状态下大得多； 1两个受力方向的峰值应变ε2p，ε3p随应力比例(σ2/σ3 )而变化； 2ε3p的变化曲线与二轴抗压强度的曲线相似，最大应变值发生在σ2/σ3≈0.25处，应变ε3p在数值上最大； 因为：σ2/σ3 =0.5～1.0σ2/σ3 =0～0.2 3只有σ2/σ3≈0.25左右，由于σ2值适中，限制了该方向的拉断，又不致引起σ3方向的突然崩碎，从而使σ3方向的峰值应变值ε3p最大。 4而ε2p由单轴受压（σ2/σ3=0)时的拉伸逐渐转为压缩变形，至二轴等压（σ2/σ3 =1)时达最大压应变ε2p= ε3p，近似直线变化。 1混凝土二轴受压的体积应变（εv≈ε1+ε2+ε3）曲线也与单轴 第4章违背基本假设的情况 思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。 答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。 由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。 例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？ 答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想 总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差 的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。 加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或 钢筋混凝土原理和分析 钢筋混凝土是由钢筋和混凝土两种物理—力学性能完全不同的材料所组成。混凝土的抗压能力较强而抗拉能力却很弱。钢材的抗拉和抗压能力都很强。为了充分利用材料的件能，把混凝土和钢筋这两种材料结合在一起共同工作，使混凝土主要承受压力，钢筋上要承受拉力，以满足工程结构的使用要求。 一混凝土结构的发展简况及其应用 钢筋混凝土是在19世纪中叶开始得到应用的，由于当时水泥和混凝土的质量都很差，同时设计计算理论尚未建立，所以发展比较缓慢。直到19世纪末，随着生产及建设的发展需要．钢筋混凝土的试验工作、计算理论、材料及施工技术均得到了较快的发展。目前已成为现代工程建设中应用最广泛的建筑材料之一。在工程应用方面，钢筋混凝土最初仅在最简单的结构物如拱、板等中使用，随着水泥和钢铁工业的发展．混凝土和钢材的质量不断改进，强度逐步提高。20世纪20年代以后，混凝土和钢筋的强度有了提高，出现了装配式钢筋混凝土结构、预应力混凝土结构和壳体空间结构，构件承载力开始按破坏阶段计算，计算理论开始考虑材料的塑性。20世纪50年代以后，高强混凝土和高强钢筋的出现使钢筋混凝土结构有了飞速的发展。装配式混凝土、泵送商品混凝土等工业化的生产结构，使钢筋混凝土结构的应用范围不断扩大。 近20年来，随着生产水平的提高，试验的深入，计算理论研究的发展，材料及施工技术的改进，新型结构的开发研究，混凝土结构的应用范围在不断的扩大，已经从工业与民用建筑、交通设施、水利水电建筑和基础工程扩大到近海工程、海底建筑、地下建筑、核电站安全壳等领域，并已开始构思和实验用于月面建筑。随着轻质高强材料的使用，在大跨度、高层建筑中的混凝土结构越来越多。近年来，随着高强度钢筋、高强度高性能混凝土以及高性能外加剂和混合材料的研制使用，高强高性能混凝土的应用范围不断扩大，钢纤维混凝土和聚合物混凝土的研究和应用有了很大的发展。还有，轻质混凝土、加气混凝土、陶粒混凝土以及利用工业废渣的“绿色混凝土”，不但改善了混凝土的性能而且对节能和保护环境具有重要的意义。此外，防射线、耐磨、耐腐蚀、防渗透、保温等特殊的混凝土以及智能型混凝土及结构也正在研究中。 第9章 含定性变量的回归模型 思考与练习参考答案 9.1 一个学生使用含有季节定性自变量的回归模型，对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，用SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个自变量，他为此感到困惑不解。出现这种情况的原因是什么？ 答：假如这个含有季节定性自变量的回归模型为： t t t t kt k t t D D D X X Y μαααβββ++++++=332211110 其中含有k 个定量变量，记为x i 。对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，记为D i ，只取了6个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则样本设计矩阵为： ????? ? ?? ?? ? ?=00011001011000101001 0010100011 )(6 165154143 132121 11k k k k k k X X X X X X X X X X X X D X, 显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。这就是所谓的“虚拟变量陷井”，应避免。 当某自变量x j 对其余p-1个自变量的复判定系数2j R 超过一定界限时，SPSS 软件将拒绝这个自变量x j 进入回归模型。称Tol j =1-2 j R 为自变量x j 的容忍度（Tolerance ），SPSS 软件的默认容忍度为0.0001。也就是说，当2j R ＞0.9999时，自变量x j 将被自动拒绝在回归方程之外，除非我们修改容忍度的默认值。 ??? ??? ? ??=k βββ 10β??? ??? ? ??=4321ααααα 第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=?2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n 误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。求 β1的最小二乘估计 解： 得： 证明（式），?e i =0 ，?e i X i =0 。 证明：∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ 其中： 即： ?e i =0 ，?e i X i =0 211 1 2)?()?(i n i i n i i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=0)?(2?11 1 =--=??∑=i i n i i e X X Y Q ββ) () (?1 2 1 1 ∑∑===n i i n i i i X Y X β01????i i i i i Y X e Y Y ββ=+=-0 1 00??Q Q β β ??==?? 回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。 答：由于εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , ?2 ) 最大似然函数： 使得Ln （L ）最大的0 ?β，1?β就是β0，β1的最大似然估计值。 同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小， ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 21021 ))??(()?(ββ 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, ?2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi ~N(0, ?2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。 证明0 ?β是β0的无偏估计。 证明：)1[)?()?(1 110∑∑==--=-=n i i xx i n i i Y L X X X Y n E X Y E E ββ )] )(1 ([])1([1011i i xx i n i i xx i n i X L X X X n E Y L X X X n E εββ++--=--=∑∑== 1010)()1 (])1([βεβεβ=--+=--+=∑∑==i xx i n i i xx i n i E L X X X n L X X X n E 证明 证明： )] ()1([])1([)?(102110i i xx i n i i xx i n i X Var L X X X n Y L X X X n Var Var εβββ++--=--=∑∑== () ) 1()1()?(2 2 2 1 2 2 xx n i i L X n X X X n Var +=-+=∑=σσβ应用回归分析课后习题参考答案
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