基于
MATLAB 的圆孔夫朗和费衍射现象
(陈群 20092301069 华南师范大学 物理与电信工程学院)
摘要：本文首先回顾了单圆孔的夫朗和费衍射的特点，进而分析了双圆孔的夫朗和费衍射现象，双圆孔的夫朗和费衍射可以看成是两个单圆孔之和的夫朗和费衍射的叠加，所得结果对分析和理解圆孔夫朗和费衍射现象以及圆孔夫朗和费衍射演示实验的设计有参考价值。
关键词： MATLAB ，圆孔，双圆孔，夫朗和费衍射
Abstract: The paper first reviews the characteristics of the Fraunhofer diffraction of a single hole and then analyzes the Fraunhofer diffraction phenomenon of the double-hole, the double holes Fraunhofer diffraction can be seen as the superposition of two single-hole Fraunhofer diffraction. The results is valuable to analyzing and understanding the hole Fraunhofer diffraction phenomenon and designing the hole Fraunhofer diffraction
Key word: MATLAB, hole, double hole, Fraunhofer diffraction 引言
实际应用中许多光学元件的边缘都是圆形的，所以圆孔衍射是光学系统中常见的衍射现象。它也是基础光学的重要教学环节，而圆孔衍射现象的实验演示是重要的教学环节。由衍射理论知，当圆孔直径由大变小时，衍射条纹会由密变疏，同时衍射场强度会逐渐变弱，为了在接收屏上获得易于观察的条纹分布，条纹的疏密程度和衍射场的强度都需要达到适于肉眼观察的程度，这就对衍射屏提出了较高的要求。
1、 单圆孔夫朗和费衍射的数学模型 1、1 夫朗和费衍射的理论基础
夫朗和费衍射装置的光路图如图1所示，其中分别在孔径平面和透镜焦平面建立坐标系11CY x 和y xP 0 ，两坐标原点C 和P0 在透镜光轴上。假设光在衍射屏上
某某一波前点Q和观察屏P点的坐标分别是(x1,y1)和（x,y）。在远场条件下满足夫朗和费近似，即：
，则：
其中：r为QP的距离；z1为CP0的距离，k为波矢量。
假设衍射孔受平面波垂直照射，即是常数，设为A'，则光强复振幅的分布满足以下夫朗和费衍射公式：
式中：
因此，观察屏上任意一点的光强为：
对于不同情况的衍射屏，只要对衍射孔积分，理论上是可以求出观察屏上任意一点的光强的。
1、2 单圆孔夫朗和费衍射的数学模型
如上图所示，当衍射孔是半径为a的圆孔时，圆孔的中心C位于光轴上，根据圆的对称性计算圆的光强分布的时候用极坐标比较方便。
y1；用极坐标表示为r1， 1，两种圆孔中任意点Q的位置，用直角坐标表示x1
，
坐标的关系为
，根据夫朗和费衍射的
光强公式，则积分域是圆孔面积，式中的面
，而
所以，P 点的复振幅为
其中
因此，可以推出
，
其中，
是
的一阶贝塞尔公式。则有：
，
其中f
y x a a
ka z λπθλπθ2
^2^2sin 2+≈
=
=，为轴上点处的光强，a 为圆孔
的半径，f 为透镜L 2 焦距，λ为入射光的波长。
1、3 MATLAB 仿真程序
1、3、1 建立了单圆孔夫朗和费衍射现象的数学模型后，依据所建立的数学模型很容易在MATLAB 环境下编制可以直接执行的m 文件。在程序中，输入圆孔的半径a=0.0005;光的波长lam=632.8e-9，透镜L 2 焦距f=1，I 0 =1 单圆孔夫朗和费衍射现象的MATLAB 仿真程序的m 文件如下： %单圆孔的夫琅禾费衍射
clear all
close all
clc
%%
lam=632.8e-9;
a=0.0005;
f=1;
m=300;
ym=4000*lam*f;
ys=linspace(-ym,ym,m);
xs=ys;
n=200;
for i=1:m
r=xs(i)^2+ys.^2;
sinth=sqrt(r./(r+f^2));
x=2*pi*a*sinth./lam;
hh=(2*BESSELJ(1,x)).^2./x.^2;
b(:,i)=(hh)'.*5000;
B=b/max(b);
end
image(xs,ys,b)
colormap(gray(n))
figure
plot(xs,B)
colormap(green);
1、3、2 模拟结果
改变圆孔半径a 的大小，观察艾里斑的半径大小，由下面的计算机模拟结果可知：
随着圆孔半径的增加，艾里斑的半径会逐渐变小，条纹密度变大，人的肉眼能分辨出的条纹越来越少。
计算机模拟结果为：
圆孔半径为a=0.0005
圆孔半径a=0.0010
圆孔半径为a=0.0020
2、双圆孔夫朗和费衍射
2、1 双圆孔夫朗和费衍射的数学模型
对于单圆孔衍射屏，观察屏上的圆形衍射条纹的中心与透镜的焦点重合，与衍射屏上圆孔的位置无关，当圆孔在衍射屏上平移时，观察屏上的条纹半径和条纹位置均不发生变化。所以，当衍射屏上开两个直径相同的圆孔时，这两个圆孔在观察屏上分别产生的衍射条纹的中心均与透镜的焦点重合，两套条纹是重合的，总场是这两套圆条纹的相干叠加，以沿x 方向分开放置的两个圆孔为例，其衍射光强可由双光束干涉的公式写出：
2)]^2[cos(41?
?=I I ，
其中f
xd
λπ?2=
?，I 为单圆孔夫朗和费衍射光强，d 为两个圆孔中心之间的距离，x 为观察屏上P 点沿x 方向的坐标。
2、2 双圆孔夫朗和费衍射MATLAB 仿真
2、2、1 双圆孔夫朗和费衍射现象的MATLAB 仿真程序的m 文件如下： %双圆孔夫琅禾费衍射
clear all close all clc %%
lam=632.8e-9; a=0.0005; f=1; m=300;
ym=4000*lam*f;
ys=linspace(-ym,ym,m); xs=ys; n=200; for i=1:m
r=xs(i)^2+ys.^2;
sinth=sqrt(r./(r+f^2)); x=2*pi*a*sinth./lam;
h=(2*BESSELJ(1,x)).^2./x.^2; d=10*a
deltaphi=2*pi*d*xs(i)/lam; hh=4*h*(cos(deltaphi/2))^2; b(:,i)=(hh)'.*5000; end
image(xs,ys,b)
colormap(gray(n))
2、2、2 模拟结果
由下图的计算机模拟结果可以看出：各级圆形条纹的半径与弹孔时完全相同，竖直方向的直条纹的间隔由d决定，中央极大的光强是单孔衍射时的4倍。
计算机模拟结果为：
d=10a
d=15a
d=20a
3 结束语
随着计算机运算能力的飞速发展，计算机仿真技术作为虚拟实验的手段已经成为计算机应用的一个重要分支，在光学领域，基于Matlab 的仿真技术正发挥着愈来愈重要的作用，特别是在光学教学过程中，对光学现象的理解离不开光学实验。采用Matlab 编程对其进行仿真设计，可以得到满足各种条件的光学实验结果的图像，有助于学生更好的理解和掌握光学原理和现象。
基于Matlab的光学衍射实验仿真 摘要 光学试验中衍射实验是非常重要的实验. 光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时能够绕过障碍物的边缘前进的现象, 光的衍射现象为光的波动说提供了有力的证据. 衍射系统一般有光源、衍射屏和接受屏组成, 按照它们相互距离的大小可将衍射分为两大类, 一类是衍射屏与光源和接受屏的距离都是无穷远时的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 一类是衍射屏与光源或接受屏的距离为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。 本文用Matlab软件对典型的衍射现象建立了数学模型，对衍射光强分布进行了编程运算，对衍射实验进行了仿真。最后创建了交互式GUI界面，用户可以通过改变输入参数模拟不同条件下的衍射条纹。 本文对于衍射概念、区别、原理及光强分布编程做了详细全面的介绍 关键字：Matlab；衍射；仿真;GUI界面;光学实验
Matlab-based Simulation of Optical Diffraction Experiment Abstract Optical diffraction experiment is a very important experiment. is the diffraction of light propagation of light in the obstacles encountered in the process to bypass the obstacles when the forward edge of the phenomenon of light diffraction phenomenon of the wave theory of light provides a strong Evidence. diffraction systems generally have light, diffraction screen and accept the screen composition, size according to their distance from each other diffraction can be divided into two categories, one is the diffraction screen and the light source and the receiving screen is infinity when the distance between the diffraction Known as Fraunhofer diffraction, one is diffraction screen and the light source or accept a limited away from the screen when the diffraction is called Fresnel diffraction. In this paper, Matlab software on a typical phenomenon of a mathematical model of diffraction, the diffraction intensity distribution of the programming operation, the diffraction experiment is simulated. Finally, create an interactive GUI interface, users can change the input parameters to simulate different conditions of the diffraction pattern. This concept of the diffraction, difference, intensity distribution of programming principles and a detailed comprehensive description Key word: matlab；diffraction; simulation; gui interface; optical experiment
圆孔的夫朗和费衍射 1 、 圆 孔 的 夫 朗 和 费 衍射 ： 根据几何光学，平行光经过球面凸透镜后将会聚于透镜焦平面上一点。但实际上，由于光的波动性，平行光经过小圆孔后也会产生衍射现象，称为圆孔的夫朗和费衍射。圆孔的夫朗和费衍射图样为一个圆形的亮斑（称为爱里斑），在爱里斑的周围还有一组明暗相间的同心圆环。由于光学仪器中所用的孔径光阑、透镜的边框等都相当于一个透光的圆孔，所以圆孔的夫朗和费衍射对光学系统的成像质量有直接影响。 爱里斑光强约占总光强的84% 。而其1级暗环的角宽度（即爱里斑半角宽度）满足 D 22 .1R 610 .0sin 1λ λ θ== 式中R 、D 为小圆孔的半径和直径。 2、光学仪器的分辨本领： 由于圆孔衍射现象的限制，光学仪器的分辨能力有一个最高的极限。下面通过光学仪器分辨本领的讨论，说明为什么有一个分辨极限，并给出分辨极限的大小。 当两个物点S 1、S 2很靠近时（设S 1、S 2光强相等），两个爱里斑将互相重叠而无法分辨。
对一个光学仪器来说，若一个点光源产生的爱里斑的中央刚好与另一个点光源产生的爱里斑瑞的1级暗环相重合，这时两个爱里斑重合部分的光强约为单个爱里斑中央光强的80%左右，一般人眼刚好能分辨出这是两个光点的像。因此，满足上述条件的两个点光源恰好能被该光学仪器所分辨。这一条件称为瑞利分辨判据。（见下图） 恰能分辨时两光源发出的光线对透镜光心的夹角Δθ 称为最小分辨角，用δθ表示。由上讨论可知，最小分辨角δθ等于爱里斑的半角宽度θ1： 尤其当θ1 ~ 0 （或称分辨率），用R 表示： 讨论： ⑴ 增大透镜的直径D 可提高镜头的分辨率。光学天文望远镜的镜头孔径可达数米！ ⑵ 设r 、d 为爱里斑的半径和直径，则： 即： f D 称为镜头的相对孔径（越大越好）。 如照相机镜头上所标示的 502 :1字样，即表示镜头的焦距mm 50f =，而镜头的孔
单缝衍射实验 一、实验目的 1.观察单缝衍射现象，了解其特点。 2.测量单缝衍射时的相对光强分布。 3.利用光强分布图形计算单缝宽度。 二、实验仪器 He-Ne激光器、衍射狭缝、光具座、白屏、光电探头、光功率计。 三、实验原理 波长为λ的单色平行光垂直照射到单缝上，在接收屏上，将得到单缝衍射图样，即一组平行于狭缝的明暗相间条纹。单缝衍射图样的暗纹中心满足条件： (1) 式中，x为暗纹中心在接收屏上的x轴坐标，f为单缝到接收屏的距离；a为单缝的宽度，k为暗纹级数。在±1级暗纹间为中央明条纹。中间明条纹最亮，其宽度约为其他明纹宽度的两倍。 实验装置示意图如图1所示。 图1 实验装置示意图 光电探头（即硅光电池探测器）是光电转换元件。当光照射到光电探头表面时在光电探头的上下两表面产生电势差ΔU，ΔU的大小与入射光强成线性关系。光电探头与光电流放大器连接形成回路，回路中电流的大小与ΔU成正比。因此，通过电流的大小就可以反映出入射到光电探头的光强大小。 四、实验内容 1.观察单缝衍射的衍射图形；
2.测定单缝衍射的光强分布； 3.利用光强分布图形计算单缝宽度。 五、数据处理 ★(1)原始测量数据 将光电探头接收口移动到超过衍射图样一侧的第3级暗纹处，记录此处的位置读数X（此处的位置读数定义为0.000）及光功率计的读数P。转动鼓轮，每转半圈（即光电探头每移动0.5mm），记录光功率测试仪读数，直到光电探头移动到超过另一侧第3级衍射暗纹处为止。实验数据记录如下： 将表格数据由matlab拟合曲线如下：
★ (2)根据记录的数据，计算单缝的宽度。 衍射狭缝在光具座上的位置 L1=21.20cm. 光电探测头测量底架座 L2=92.00cm. 千分尺测得狭缝宽度 d’=0.091mm. 光电探头接收口到测量座底座的距离△f=6.00cm. 则单缝到光电探头接收口距离为f= L2 - L1+△f=92.00cm21.20cm+6.00cm=76.80cm. 由拟合曲线可读得下表各级暗纹距离： 各级暗纹±1级暗纹±2级暗纹±3级暗纹 距离/mm 10.500 21.500 31.200 单缝宽度/mm 0.093 0.090 0.093 单缝宽度计算过程： 因为λ=632.8nm.由d =2kfλ/△Xi，得 d1=(2*1*768*632.8*10^-6)/10.500 mm=0.093mm. d2=(2*2*768*632.8*10^-6)/21.500 mm=0.090mm.
课程设计说明书（论文） 基于matlab的单缝衍射计算机模拟研究 学院：数理学院 专业班级： 学生姓名： 学生学号： 指导老师： 2014年月号
摘要：美国Mathworks公司推出的MATLAB，是一种集数值计算、符号预算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能于一体的优秀图形化软件。本文将会通过MATLAB软件编程用衍射积分的方法对单缝衍射进行计算机模拟。计算机模拟为衍射实验的验证提供一条简捷、直观的途径。从而可以加深我们对物理原理、概念和图像的理解。 关键词：MATLAB；衍射积分；单缝衍射；计算机模拟 一、单缝衍射原理 惠更斯原理表明，波源发出的波阵面上的每一点都可视为一个新的子波源。这些子波源发出次级子波，其后任一时刻次级子波的包迹决定新的波阵面。惠更斯原理用光波能确定光波的传播方向，但不能确定沿不同方向传播的光振动的振幅。 菲涅尔在次级子波概念的基础上，提出的“子波相干叠加”理论，又称为惠更斯-菲涅尔原理。这个原理表述为：同一波面上的每一微小面元都可以看作是新的振动中心，它们发出次级子波。这些次级子波经传播而在空间某点相遇时，该点的振动是所有这些次级子波在该点的相干叠加。 二、编程原理 把单缝看作是np个分立的相干光源，屏幕上任意一点复振幅为np个光源照射结果的合成，对每个光源，光程差Δ=ypsinΦ,sinΦ=ys/D,光强I=I0(Σcosα)2+(Σsinα)2，其中α=2Δ/λ=πypys/λD 三、程序的编写 编写程序如下： clear lam=500e-9; a=1e-3;D=1; ym=3*lam*D/a; ny=51; ys=linspace(-ym,ym,ny); np=51; yp=linspace(0,a,np); for i=1:ny sinphi=ys(i)/D; alpha=2*pi*yp*sinphi/lam; sumcos=sum(cos(alpha)); sumsin=sum(sin(alpha)); B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2; end N=255; Br=(B/max(B))*N;
单缝衍射光强分布的测定 光的衍射现象是光的波动性又一重要特征。单缝衍射是衍射现象中最简单的也是最典型的例子。在近代光学技术中，如光谱分析、晶体分析、光信息处理等到领域，光的衍射已成为一种重要的研究手段和方法。所以，研究衍射现象及其规律，在理论和实践上都有重要意义。 实验目的 1. 观察单缝衍射现象及特点。 2. 测定单缝衍射时的相对光强分布 3. 应用单缝衍射的光强分布规律计算缝的宽度α。 实验仪器 光具导轨座，He-Ne 激光管及电源，二维调节架，光强分布测定仪，可调狭缝，狭缝A 、B 。扩束镜与起偏听偏器，分划板，光电探头，小孔屏，数字式检流计（全套）等。 实验原理 光在传播过程中遇到障碍时将绕过障碍物，改变光的直线传播，称为光的衍射。光的衍射分为夫琅和费衍射与菲涅耳衍射，亦称为远场衍射与近场衍射。本实验只研究夫琅和费衍 射。理想的夫琅和费衍射，其入射光束和衍射光束均是平行光。单缝的夫琅和费衍射如图二 所示。 当处于夫琅和费衍射区域，式中α是狭缝宽度，L 是狭缝与屏之间的距离，λ是入射光的波长。 实验时，若取α≤10-4m, L ≥1.00m ，入射光是 He-Ne 激光，其波长是632.8nm,就可满足上述条件。所以，实验时就可以采用如图一装置。 λ< 根据惠更斯-菲涅耳原理，可导出单缝衍射的光强分布规律为 当衍射角?等于或趋于零时，即?=0（或?→0），按式，有 故I=I 0，衍射花样中心点P 0的光强达到最大值（亮条纹），称为主极大。 当衍射角?满足 时，ｕ=k π 则I=0，对应点的光强为极小（暗条纹）， k 称为极小值级次。若用X k 表示光强极小值点到中心点P 0的距离，因衍射角ψ甚小，则 故X k =L ?=k λL/α,当λ、L 固定时，X k 与α成反比。缝宽α变大，衍射条纹变密；缝宽α变小，衍射条纹变疏。同时可推导出中央主极大的角度（即±1级暗纹的间距）??=2λ/α，两相邻暗纹的衍射角之差为??= λ/α。两相邻暗纹间的亮纹称为次极大。 sin ? 0 ±1.43λ/α ±2.46λ/α ±3.47λ/α … I I 0 0.47 I 0 0.017 I 0 0.008 I 0 … 各极极大的位置和相应的光强如下图三所示： 实验内容和步骤 实验装置如图一所示，按图搭好实验仪器。实验采用发散度甚小的He-Ne 激光作为光源，满足入射光为平行光的条件。为满足夫琅和费衍射条件，应尽量将显示衍射图像的屏远 ? ?? ? ?=?? ? ??=λ?πsin sin 2 0αu u u I I 1sin lim =u u () ±±±==,2,1sin k k α λ ?α λ ??k ≈≈sin 图三 单缝衍射的相对光强分布曲线 南京航空航天大学 高等光学期末报告 题目：基于Matlab的单缝菲涅尔衍射实验仿真 学院 专业 姓名 学号 2014 年12 月30 日 基于Matlab的菲涅尔衍射仿真 摘要 光学试验中衍射实验是非常重要的实验. 光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时能够绕过障碍物的边缘前进的现象, 光的衍射现象为光的波动说提供了有力的证据. 衍射系统一般有光源、衍射屏和接受屏组成, 按照它们相互距离的大小可将衍射分为两大类, 一类是衍射屏与光源和接受屏的距离都是无穷远时的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 一类是衍射屏与光源或接受屏的距离为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。 本文用Matlab软件主要针对单缝菲涅尔衍射现象建立了数学模型，对衍射光强分布进行了编程运算，对衍射实验进行了仿真。 关键字：Matlab；单缝菲涅尔衍射；仿真;光学实验 Abstract Optical diffraction experiment is a very important experiment. is the diffraction of light propagation of light in the obstacles encountered in the process to bypass the obstacles when the forward edge of the phenomenon of light diffraction phenomenon of the wave theory of light provides a strong Evidence. diffraction systems generally have light, diffraction screen and accept the screen composition, size according to their distance from each other diffraction can be divided into two categories, one is the diffraction screen and the light source and the receiving screen is infinity when the distance between the diffraction Known as Fraunhofer diffraction, one is diffraction screen and the light source or accept a limited away from the screen when the diffraction is called Fresnel diffraction. In this paper, Matlab software on a typical phenomenon of a mathematical model of single slit Fresnel diffraction, the diffraction intensity distribution of the programming operation, the diffraction experiment is simulated. Key word: matlab；single slit Fresnel diffraction; simulation; optical experiment 届．别．2012届 学号200814060106 毕业设计 光栅衍射实验的MATLAB仿真 姓名吴帅 系别、专业物理与电子信息工程系 应用物理专业 导师姓名、职称姚敏教授 完成时间2012年5月16日 目录 摘要................................................... I ABSTRACT................................................ II 1 引言 (1) 1.1 国内外研究动态 (1) 2理论依据 (2) 2.1 平面光栅衍射实验装置 (2) 2.2 原理分析 (3) 2.3 MATLAB主程序的编写 (6) 2.4 仿真图形的用户界面设计 (7) 3 光栅衍射现象的分析 (8) 3.1 缝数N对衍射条纹的影响 (8) 3.2 波长λ对衍射条纹的影响 (10) 3.3 光栅常数d对衍射光强的影响 (12) 3.4 条纹缺级现象 (13) 4 总结 (14) 参考文献 (16) 致谢 (17) 附录 (18) 摘要 平面光栅衍射实验是大学物理中非常重要的实验，实验装置虽然简单，但实验现象却是受很多因素的影响，例如波长λ，缝数N，以及光栅常数d。本文利用惠更斯一菲涅耳原理，获得了衍射光栅光强的解析表达式，再运用Matlab软件，将模拟的界面设计成实验参数可调gui界面,能够连续地改变波长λ，缝数N，光栅常数d，从而从这 3个层面对衍射光栅的光强分布和谱线特征进行了数值模拟，并讨论了光栅衍射的缺级现象，不仅有利于克服试验中物理仪器和其他偶然情况等因素给实验带来的限制和误差.并而且通过实验现象的对比，能够加深对光栅衍射特征及规律的理解,这些都很有意义。 关键词：平面光栅衍射；惠更斯-菲涅尔原理；gui；光强分布；Matlab 菲涅尔圆孔衍射光强测定的实验分析 xx （xx学院物理系 10级物理2班云南玉溪 653100） 指导教师：xx 摘要：本文主要分析了菲涅尔圆孔衍射图样的特点，设计实验对光强分布规律进行验证，通过对比证明理论值与实际值之间存在一定偏差。 关键词：菲涅尔圆孔衍射；光强 1.引言 “衍射”是生活中一种普遍的光学现象，但不常被人们发现和熟知。光的衍射现象是光的波动性的重要体现。姚启钧先生在第四版《光学教程》中指出，衍射是指光在传播过程中遇到障碍物，会绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，这种现象我们就将其称为光的衍射[1]。衍射又可根据障碍物到光源和考察点到障碍物的距离的不同分为两种，障碍物到光源和考察点的距离都是有限的，或其中之一为有限，这就称为菲涅尔衍射，又称近场衍射，另一种是障碍物到光源和考察点的距离可以认为是无限远的，则称为夫琅禾费衍射，又称远场衍射[1]。 衍射实验大多集中在夫琅禾费衍射的研究，直到近些年对菲涅尔衍射光强测定的探究才日益多了起来。顾永建曾对菲涅尔圆孔衍射中心场点光强的表示方法和分布特点做出过研究，其分别从矢量图解法和积分法推导出菲涅尔圆孔衍射中心场点的光强的表示方法和分布特点[2]。侯秀梅，郭茂田，郭洪三人曾对菲涅尔圆孔衍射的轴上光强分布做出过研究，其从惠更斯——菲涅尔原理出发，在球面波入射的情况下，导出菲涅尔圆孔衍射时轴上光强分布的解析表达式，并对轴上光强分布进行定量分析讨论[3]。陈修斌也曾对平行光的菲涅尔圆孔衍射实验进行过探究，他通过实验观察到衍射图样的中心可亮可暗，并用“菲涅尔半周期带”原理加以分析，解释，通过分析总结出圆孔衍射图像的中心光强的变化规律[4]。范体贵，吕立君利用计算机对菲涅尔衍射问题进行了数值模拟，给出了接收屏上完整的衍射图样，计算结果 单缝衍射的MATLAB分析 学院：精密仪器与光电子工程学院专业：生物医学工程 班级：1班 姓名： 单缝衍射的MATLAB分析 摘要:在光的衍射概述和发展历史的基础上，说明了单缝衍射的图样特点，介绍了夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强、条纹分布特点。并利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。 关键字：单缝衍射夫琅禾费单缝衍射光强分布条纹分布 一、光的衍射概述 1.光的衍射现象 物理光学中，光的衍射现象是指光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。通常将观察屏上的不均匀的光强分布称为衍射图样。光的衍射是光的波动性的主要标志之一。 光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。 1.1衍射现象的基本问题 1.已知照明光场和衍射屏的特征，求屏幕上衍射光场的分布； 2.已知衍射屏及屏幕上衍射光场的发布，去探索照明光场的某些特性； 3.已知照明光场及屏幕上所需的衍射光场发布，设计、计算衍射屏的结构和制造衍射光学元件。 1.2衍射现象的分类 根据光源、衍射物（衍射屏）和衍射场（观察屏）三者之间的位置确定 1．夫琅和费衍射：(远场衍射) 光源和衍射场都在衍射物无限远处的衍射。 2．菲涅耳衍射：（近场衍射） 光的干涉和衍射 一、实验目的 ①学习用用模拟实验方法探究光的干涉和衍射问题. ②进一步熟悉MA TLAB编程. 二、实验内容和要求 1. 双缝干涉模拟实验 杨氏双缝干涉实验是利用分波前法获得相干光束的典型例子. 如图2.24所示，单色光通过两个窄缝s1，s2射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象. P O 图2.24 双缝干涉示意图 考虑两个相干光源到屏幕上任意点P的距离差为 1 2 21 r r r r r = ?=- （2.19）引起的相位差为 2π r ? λ ? = 设两束相干光在屏幕上P点产生的幅度相同，均为A0，则夹角为φ的两个矢量A0的合成矢量的幅度为 A=2A0 cos(φ/2) 第二章 数理探究试验 135 光强B 正比于振幅的平方，故P 点光强为 B =4B 0cos 2(φ/2) （2.20） 运行sy211.m 程序得到干涉条纹如图2.27所示. clear all %sy211.m lam=500e-9; %输入波长 a=2e-3; D=1; ym=5*lam*D/a; xs=ym; %设定光屏的范围 n=101;ys=linspace(-ym,ym,n); % 把光屏的y 方向分成101点 for i=1:n r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2); r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2); phi=2*pi*(r2-r1)/lam; B(i,:)=4*cos(phi/2).^2; end N=255; % 确定用的灰度等级为255级 Br=(B/4.0)*N; %使最大光强对应于最大灰度级（白色） subplot(1,2,1) image(xs,ys,Br); %画干涉条纹 colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(B,ys) %画出光强变化曲线 图2.25中左图是光屏上的干涉条纹，右图是光屏上沿y 轴方向光强的变化曲线. 从图中也不难看出，干涉条纹是以点o 所对应的水平线为对称，沿上下两侧交替，等距离 排列，相邻亮条纹中心间距为2.5×10－4m. -0.4-0.200.20.4-1.5 -1-0.500.511.5x 10图2.25 单色光的干涉条纹 这与理论推导和实验结果基本一致. 下面我们从理论上加以推导，由上面的式（2.19）可得 22212121()()2d r r r r r r y -=+-= -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.4 -0.2 0 0.4 0.2 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/1517178426.html, 圆孔衍射图样的中央一定是亮斑吗 作者：张晓娟 王文涛 来源：《中学物理·初中》2015年第12期 高中物理新课标教科书选修3-4中介绍了光的衍射，光的衍射现象能够有效的揭示光的波动性.圆孔衍射是一种典型的衍射现象.根据光源和观察点到障碍物的距离，可以把圆孔衍射分为两类：一类称为夫琅禾费圆孔衍射，即障碍物到光源和观察点的距离可认为是无限远的，如图1所示.夫琅禾费圆孔衍射图样的中央是个明亮的圆斑，外面分布着几圈很淡的亮环， [TP12CW03.TIF，Y#]中央亮斑的光强约占整个入射光光强的84%，这就是著名的“艾里斑”.夫琅禾费圆孔衍射的图样符合我们大多数人对圆孔衍射的认识；另一类称为菲涅耳圆孔衍射，是近场衍射的一种，即障碍物到光源和观察点的距离都是有限的，或其中之一是有限的，而菲涅耳圆孔衍射图样中央不一定都是亮斑，下面我们来做具体的分析。 1菲涅耳半波带 在菲涅耳圆孔衍射中，根据惠更斯-菲涅耳原理，我们用振幅矢量叠加的方法来近似得到观察点P处的光强。 在进行振幅矢量叠加之前，需要介绍菲涅耳半波带，如图2所示.O为一点光源，S为任一时刻的波面，R是其半径。 [TP12CW04.TIF，BP#] 为了确定光波到对称轴上任一点P（衍射图样的中央）时的振动情况，连接OP，交S于A0.设想将波面分为许多环形带，使从任意两个相邻带的相应点到P点的光程差为λ/2，如（1）式所示，同时到达点P的相位差为π.也就是说相邻带在P点产生的振动方向相反.这种带称为菲涅耳半波带。 A1P-A0P=A2P-A1P=…=AkP-Ak-1P=λ/2（1） 其中[JZ]AkP=rk=r0+k[SX（]λ[]2[SX）]。 设次波在P点叠加的合振幅为A，a1、a2、a3、…ak分别表示各半波带发出的次波在P点产生的振幅.则有 A=a1-a2+a3-a4+…+（-1）k+1ak（2） 根据惠更斯-菲涅耳原理，ak随k的增大而单调减小 A=[SX（]1[]2[SX）]（a1±ak）.（3） 基于Matlab的夫琅禾费衍射光学仿真 摘要计算机仿真技术是以多种学科和理论为基础，以计算机及其相应的软件为工具，通过虚拟试验的方法来分析和解决问题的一门综合性技术。计算机仿真早期称为蒙特卡罗方法，是一门利用随机数实验求解随机问题的方法。 关键词：计算机仿真夫琅禾费衍射Matlab Fraunhofer Diffraction Optical Simulation Based on Matlab Abstract The computer simulation technology is based on a variety of disciplines and theoretical, with the computer and the corresponding software tools, we can analyze the virtual experimentation and solve the problem of a comprehensive technology. Computer simulation of early known as the Monte Carlo method, is a random problem solved using the method of random number test. Key words:Computer simulation Fraunhofer diffraction Matlab 一、引言 计算机仿真技术是以多种学科和理论为基础，以计算机及其相应的软件为工具，通过虚拟试验的方法来分析和解决问题的一门综合性技术。计算机仿真早期称为蒙特卡罗方法，是一门利用随机数实验求解随机问题的方法。根据仿真过程中所采用计算机类型的不同，计算机仿真大致经历了模拟机仿真、模拟－数字混合机仿真和数字机仿真三个大的阶段。20世纪50年代计算机仿真主要采用模拟机；60年代后串行处理数字机逐渐应用到仿真之中。到了70年代模拟－数字混合机曾一度应用于飞行仿真、卫星仿真和核反应堆仿真等众多高技术研究领域；80年代后由于并行处理技术的发展，数字机才最终成为计算机仿真的主流。现在，计算机仿真技术已经在机械制造、航空航天、交通运输、船舶工程、经济管理、工程建设、军事模拟以及医疗卫生等领域得到了广泛的应用。 计算机仿真的三个基本活动： 1. 数学模型建立：实际上是一个模型辩识的过程。所建模型常常是忽略了一些次要因素的简化模型。 2. 仿真模型建立：即是设计一种算法，以使系统模型能被计算机接受并能在计算机上运行。显然，由于在算法设计上存在着误差，所以仿真模型对于实际系统将是一个二次简化模型。 3. 仿真实验：即是对模型的运算。需要设计一个合理的、服务于系统研究的仿真软件。 二、本文的主要工作 本文主要使用matlab语言进行光学实验仿真，通过Matlab软 基于MATLAB的光学实验模拟 摘要： 利用MATLAB软件编程实现了用衍射积分的方法对单缝衍射、杨氏双缝干涉、黑白 光栅衍射的计算机模拟；以及用傅立叶变换方法对简单孔径衍射、黑白光栅及正弦光栅夫 琅和费衍射的模拟。 关键词： MATLAB；衍射积分；傅立叶变换；计算机模拟 引言： 美国Mathworks公司推出的MA TLAB，是一种集数值计算、符号预算、可视化建模、 仿真和图形处理等多种功能于一体的优秀图形化软件。本文介绍了通过MA TLAB软件编 程实现用衍射积分和傅立叶变换实现夫琅和费衍射计算机模拟的方法。 计算机模拟为衍射实验的验证提供一条简捷、直观的途径。从而加深了对物理原理、 概念和图像的理解。 正文： 大学教学课程中引入计算机模拟技术正日益受到重视，与Basic、C和Fortran相比，用MA TLAB软件做光学试验的模拟，只需要用数学方式表达和描述，省去了大量繁琐的编 程过程。下面来介绍利用MATLAB进行光学模拟的两种方法。 （一）衍射积分方法： 该方法首先是由衍射积分算出接收屏上的光强分布，然后根据该分布调制色彩作图，从而得到衍射图案。 1．单缝衍射。 把单缝看作是np个分立的相干光源，屏幕上任意一点复振幅为np个光源照射结果 的合成，对每个光源，光程差Δ=ypsinΦ,sinΦ=ys/D,光强I=I0(Σcosα)2+(Σsinα)2，其中α=2Δ/λ=πypys/λD 编写程序如下，得到图1 lam=500e-9; a=1e-3;D=1; ym=3*lam*D/a; ny=51; ys=linspace(-ym,ym,ny); np=51; yp=linspace(0,a,np); for i=1:ny sinphi=ys(i)/D; alpha=2*pi*yp*sinphi/lam; 图1 单缝衍射的光强分布 sumcos=sum(cos(alpha)); sumsin=sum(sin(alpha)); B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2; end N=255; Br=(B/max(B))*N; subplot(1,2,1) 单缝衍射实验 一、实验目得 1、观察单缝衍射现象，了解其特点。 ２、测量单缝衍射时得相对光强分布。 3、利用光强分布图形计算单缝宽度。 二、实验仪器 Hｅ-Ne激光器、衍射狭缝、光具座、白屏、光电探头、光功率计。 三、实验原理 波长为λ得单色平行光垂直照射到单缝上,在接收屏上，将得到单缝衍射图样，即一组平行于狭缝得明暗相间条纹。单缝衍射图样得暗纹中心满足条件： （1) 式中,x为暗纹中心在接收屏上得ｘ轴坐标,ｆ为单缝到接收屏得距离；a为单缝得宽度，k为暗纹级数。在±1级暗纹间为中央明条纹。中间明条纹最亮，其宽度约为其她明纹宽度得两倍。实验装置示意图如图1所示。 图1 实验装置示意图 光电探头(即硅光电池探测器）就是光电转换元件。当光照射到光电探头表面时在光电探头得上下两表面产生电势差ΔU，ΔU得大小与入射光强成线性关系。光电探头与光电流放大器连接形成回路，回路中电流得大小与ΔU成正比。因此,通过电流得大小就可以反映出入射到光电探头得光强大小。 四、实验内容 １、观察单缝衍射得衍射图形; 2、测定单缝衍射得光强分布； 3、利用光强分布图形计算单缝宽度。 五、数据处理 ?★(1)原始测量数据 将光电探头接收口移动到超过衍射图样一侧得第3级暗纹处,记录此处得位置读数X(此处得位置读数定义为0、０00)及光功率计得读数Ｐ。转动鼓轮,每转半圈（即光电探头每移动0、 5mm),记录光功率测试仪读数,直到光电探头移动到超过另一侧第3级衍射暗纹处为止。实验数据记录如下: 将表格数据由matlaｂ拟合曲线如下: ?★ (2）根据记录得数据,计算单缝得宽度。 衍射狭缝在光具座上得位置 L1=21、20ｃｍ、 MATLAB的课程报告 项目名称：基于MATLAB光学衍射之 矩型孔的夫琅和费衍射 一，MATLAB 基础： MatlaB是功能强大的科学及工程计算软件，它不但表现具有以矩阵计算为基础的强大数学计算和分析功能，而且还具有丰富的可视化图形表现功能和方便的程序设计能力。Matlab是一款集数值分析、符号运算、图形处理、系统仿真等功能于一体的科学与工程计算软件，它具有编程效率高、简单易学、人机交互好、可视化功能、拓展性强等优点。MatlAB是面向21世纪的计算机程序设计及科学计算语言。 MatlAB系统包括5个部分：开发环境，MAtlAB数学函数库，MAtlAB语言，图形功能，应用程序接口。 二，光的衍射的原理： 光的衍射是光波在物质或空间里传播的基本发式，实际上，光波在传播的过程中，只要光波波面受到某种限制，光波会绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，称为光的衍射。根据障碍物到光源和考察点的距离，把衍射现象分为两类：菲涅尔衍射和夫琅和费衍射。 此次课程报告主要是围绕夫琅和费衍射展开的。在光学上，夫琅和费衍射在场波通过圆孔或狭缝时发生，导致观测到的成像大小有所改变，成因是观测点的远场位置，及通过圆孔向外的衍射波有渐趋平面波的性质。 1，惠更斯原理： 根据惠更斯-菲涅耳原理，单缝后面空间任一点P 的光振动是单缝处波阵面上所有子波波源发出的子波传到P 点的振动的相干叠加。 2. 菲涅耳-基尔霍夫衍射公式： 由于菲涅耳理论本身的缺陷，所以从波动微分方程出发，利用场论中的Green 定理及电磁场的边值条件，其中倾斜因子为()k θ和常数C 均在下面所设。 ~exp()exp()cos(,)cos(,)()[]2 A ikl ikr n r n l E P d i l r σλ-=∑?? 若设 1C i λ=； ~exp()()A ikl E Q l = ；cos(,)cos(,)()2n r n l K θ-= 则上式可化为： ~~exp ikr E()()()P C E Q K d θσ=∑??（）r 3. 基尔霍夫衍射公式的近似 菲涅耳衍射近似满足： 2222221111111121111 ()()11[]222x x y y xx yy x y x y r z z z z z z ??-+-+++=+=+-+???? 当上式中1z 很大而使得第四项相对相位的贡献远小于π时，即满足： 221 ()2x y k z π+<< 随着1z 的逐渐增大，从而可推得夫琅和费衍射公式如下: ~~2211,1111111 exp()(,)exp[()]()exp[()]2ikz ik ik E x y x y E x y xx yy dx dy i z z z λ=+-+∑ ?? 以上是矩孔的矩孔夫琅和费衍射复振幅计算公式的推导过程。 三，实验操作以及现象： 1，课程里假设： 波长λ=550nm ，孔的长宽a=0.008,b=0.008，聚焦凸透镜 工程光学综合练习-----圆孔、矩孔的菲涅尔衍射模拟 圆孔和矩孔的菲涅尔衍射模拟 一、原理 由惠更斯-菲涅尔原理可知接收屏上的P点的复振幅可以表示为 其中为衍射屏上的复振幅分布，为倾斜因子。根据基尔霍夫对此公式的完善，有 设衍射屏上点的坐标为（x1, y1），接收屏上点的坐标为（x, y），衍射屏与接收屏间距离为z1，当满足菲涅尔近似条件时，即 此时可得到菲涅尔衍射的计算公式 把上式指数项中的二次项展开，并改写成傅里叶变换的形式，可以写成 上式为菲涅尔衍射的傅里叶变换表达式，它表明除了积分号前面的一个与x1、y1无关的振幅和相位因子外，菲涅尔衍射的复振幅分布是孔径平面的复振幅分布和一个二次相位因子乘积的傅里叶变换。 相对于夫琅和费衍射而言，菲涅尔衍射的观察屏距衍射屏不太远。在菲涅尔衍射中，输入变量和输出变量分别为衍射孔径平面的光场分布和观察平面的光场以及光强分布，考虑到这三个量都是二维分布,而且Matlab主要应用于矩阵数值运算,所以本程序选择用二维矩阵来存储衍射孔径平面和观察平面的场分布,并分别以矩阵的列数和行数来对应平面的直角坐标值(x, y)以及(x1, y1)。 二、圆孔菲涅尔衍射 用MATLAB分别构造表示衍射屏和接收屏的二维矩阵。注意使两矩阵阶次相同，考虑到运算量的要求，采样点数不能过多，所以每个屏的x和y方向各取200到300点进行运算。根据式（4），选取合适的衍射屏和接收屏尺寸和相距的距离，模拟结果如下： 取典型的He-Ne激光器波长λ=632.8nm，固定衍射屏和接收屏尺寸和相距的距离，分别取不同的圆孔半径，得到以下三组衍射图样，其圆孔半径分别为12mm，20mm，50mm 图1（r=12mm） 2、用MATLAB仿真平行光束的衍射强度分布图样。（夫朗和费矩形孔衍射、夫朗和费圆孔衍射、夫朗和费单缝和多缝衍射。） 理论推导部分 2.（1）夫朗和费矩形孔衍射 若衍射孔为矩形则在透镜焦平面上得到的衍射图样如图，衍射图样的主要特征为衍射亮斑集中分布在两个相互垂直的方向上，并且x轴上的亮斑宽度与y轴亮斑宽度之比，恰与矩形孔在两个轴上的宽度相反。 其中的θ为θx,同样的β中的θ为θy,利用θx=x/f,θy=y/f进行求解。（2）夫朗和费圆形孔衍射 夫朗和费圆孔衍射的讨论方法和矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔的几何对称性，采用极坐标更为方便。 Ф=kaθ 2.（1）夫朗和费矩形孔衍射 clear all; lamda=500e-9; a=1e-3; b=1e-3; f=1; m=500; ym=8000*lamda*f; ys=linspace(-ym,ym,m) xs=ys; n=255; for i=1:m sinth2=ys./sqrt(ys.^2+f^2);%相当于x/f sinth1=xs(i)/sqrt(xs(i).^2+f^2);%xs(i）作用每给一个ys值，要遍历到所有的x值 angleA=pi*a*sinth1/lamda;%相当于书上的alfa=kax/2f k=2*pi/lamda angleB=pi*b*sinth2./lamda; B(:,i)=(sin(angleA).^2.*sin(angleB).^2.*5000./(angleA.^2.*a ngleB.^2));%光强度公式 end subplot(1,2,1) image(xs,ys,B) colormap(gray(n)) subplot(1,2,2) plot(B(m/2,:),ys) （2）夫朗和费圆孔衍射 clear lam=500e-9 a=1e-3 基于matlab的光学现象仿真 宇鸿张科学学院 天津商业大学 天津,300134,中国的公关 电子邮件:lxyzhyh@https://www.doczj.com/doc/1517178426.html, 摘要:在大学物理课程，Matlab 方法模拟光学物理现象被使用。利用matlab 仿真的方法，学生可以在电脑上做实验，在短的时间里结果表明它是对学生理解基本概念很有帮助，用 Matlab 进行了仿真结果和实验结果比较,开发了低级别的算法和解决了高级别的问题。仿真模拟示例在课堂教学和研究的光学现象中被提出。 关键字:模拟,光学现象,干涉,夫琅和费衍射,快速傅里叶变换 1.引言 计算机视觉是目前世界上公认的在工程和仿真程序的重要方法[1]。对于现代化教育，我们已经涉及MATLAB作为多媒体支持可视化的物理现象在大学物理课程中出现。我们通过尝试用Matlab模拟的物理现象大学本科物理课程中的科学和工程，可以描述许多物理现象并在Matlab软件中绘制仿真图样。这些仿真模拟使学生更容易，更直接领悟光学原理。 Matlab所代表的矩阵实验室是软件围绕向量和矩阵建立起来的。它于1984年由Mathworks公司[2]发行的推出的。从那时起，它广泛适用于应用科学、大学教育和科学研究等各大领域。选择matlab在大学物理课程中使用，因为它是一个有很多演示和帮助主题的互动环境，学生可以得到即时的视觉强化和矩阵的编程语言以及技术计算。它整合了计算、数学符号、可视化和编程集一体的易于使用的平台。此外，Matlab的语言已被证明是容易让学生理解，为他们提供方便和访问复杂算法及实现图像处理的功能[3]。 本文作者根据自己在课堂教育的模拟仿真演示，以及在该领域研究将本文组织如下。上述部分显示利用Matlab作为实验工具，本科理工科学生解决实际的问题出发。我们引入例子来说明问题，第二部分用matlab来模拟仿真牛顿环干涉实验的现象。第三部分通过快速傅立叶变换的Matlab的（FFT）功能，设计程序模拟夫琅和费衍射实验现象。 2.模拟牛顿环 A．分振幅干涉 圆形干涉图样可观察到，如果一个球形表面被放置在一个平面上[4]。环形模式被称为“牛顿环”，这可以被用来确定的球形表面的曲率半径。实验装置如图2-1所示。基于Matlab的菲涅尔衍射仿真
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