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函数的单调性 知识点与题型归纳

函数的单调性 知识点与题型归纳
函数的单调性 知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用.

2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15

注意:

研究函数单调性必须先求函数的定义域,

函数的单调区间是定义域的子集

单调区间不能并!

知识点一函数的单调性

1.单调函数的定义

1

2

2.单调性、单调区间的定义

若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.

注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题?

(1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式:

设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1

1212

()()

0->-f x f x x x ?

f (x )在[a ,b ]上是增函数;

3

1212

()()

0-<-f x f x x x ?

f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数.

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2

单调区间的表示注意哪些问题?

单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法:

利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1

(“分解因式”、配方成同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性. (2) 导数法:

设函数y =f (x )在某区间D 内可导.如果f ′(x )>0,则f (x )在区间D 内为增函数;如果f ′(x )<0,则f (x )在区间D 内为减函数. 注意:(补充)

(1)若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个,

4

则如果f ′(x )0≥,则f (x )在区间D 内为增函数; 如果f ′(x ) 0≤,则f (x )在区间D 内为减函数. (2)单调性的判断方法:

《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论

1.若f (x ),g (x )均为增(减)函数, 则f (x )+g (x )仍为增(减)函数. 2.若f (x )为增(减)函数,

则-f (x )为减(增)函数,如果同时有f (x )>0, 则

()

1

f x 为减(增)

(减)函数.

3.互为反函数的两个函数有相同的单调性. 4.y =f [g (x )]是定义在M 上的函数, 若f (x )与g (x )的单调性相同,

则其复合函数f [g (x )]为增函数; 若f (x )、g (x )的单调性相反,

则其复合函数f [g (x )]为减函数. 简称”同增异减”

5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.

函数单调性的应用

《名师一号》P17 特色专题

(1)求某些函数的值域或最值.

(2)比较函数值或自变量值的大小.

(3)解、证不等式.

(4)求参数的取值范围或值.

(5)作函数图象.

二、例题分析:

(一)函数单调性的判断与证明

例1.(1)《名师一号》P16 对点自测 1

判断下列说法是否正确

(1)函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数.()

(2)函数f(x)=1

x在其定义域上是减函数.()

(3)已知f(x)=x,g(x)=-2x,则y=f(x)-g(x)在定义域上是增函数.()

答案:√×√

例1.(2)《名师一号》P16 高频考点例1(1)

5

(2014·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()

A.y=x+1 B.y=(x-1)2

C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)

答案:A.

例2.(1)《名师一号》P16 高频考点例1(2)

判断函数f(x)=ax

x+1

在(-1,+∞)上的单调性,并证明.

法一:定义法

设-1

则f(x1)-f(x2)=

ax1

x1+1

ax2

x2+1

=ax 1x2+-ax 2x1

x1+x2

a x1-x 2

x1+x2

∵-1

∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.

6

7

∴当a >0时,f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)

∴函数y =f (x )在(-1,+∞)上单调递增. 同理当a <0时,f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),

∴函数y =f (x )在(-1,+∞)上单调递减.

法二:导数法

注意:《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法 1.判断函数的单调性应先求定义域;

2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为: 取值—作差—变形—判号—定论, 其中变形为关键,而变形的方法有因式分解、配方法等;

3.用导数判断函数的单调性简单快捷,应引起足够的重视

(二)求复合函数、分段函数的单调性区间 例1.《名师一号》P16 高频考点 例2(1) 求函数y =x -|1-x |的单调增区间;

y =x -|1-x |=?

??

1,x ≥1,

2x -1,x <1.

作出该函数的图象如图所示.

8

由图象可知,该函数的单调增区间是(-∞,1].

例2.(1)《名师一号》P16 高频考点 例2(2) 求函数y =log13

(x 2-4x +3)的单调区间.

解析:令u =x 2-4x +3,

原函数可以看作y =log13

u 与u =x 2-4x +3的复合函数.

令u =x 2

-4x +3>0.则x <1或x >3.

∴函数y =log13

(x 2-4x +3)的定义域为

(-∞,1)∪(3,+∞).

又u =x 2-4x +3的图象的对称轴为x =2,且开口向上, ∴u =x 2-4x +3在(-∞,1)上是减函数, 在(3,+∞)上是增函数.

而函数y =log13

u 在(0,+∞)上是减函数,

9

∴y =log13

(x 2-4x +3)的单调递减区间为(3,+∞),

单调递增区间为(-∞,1).

注意:《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,

即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.

(3)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的 图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间. 例2.(2)(补充)2

1122

log 4log ??=- ??

?

y x x

答案:增区间:1,4

??+∞ ???;减区间:10,4?? ??

?

练习:()2

22log log y x x =-

答案:增区间:

)+∞

;减区间:(

10

(三)利用单调性解(证)不等式及比较大小 例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(1)

已知函数f (x )=log 2x +1

1-x

,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),

则( )

A .f (x 1)<0,f (x 2)<0

B .f (x 1)<0,f (x 2)>0

C .f (x 1)>0,f (x 2)<0

D .f (x 1)>0,f (x 2)>0

【规范解答】 ∵函数f (x )=log 2x +1

1-x

在(1,+∞)上为

增函数,且f (2)=0,

∴当x 1∈(1,2)时,f (x 1)f (2)=0, 即f (x 1)<0,f (x 2)>0.

例1.(2)《名师一号》P17 特色专题 典例(2)

已知函数f (x )=?

??

x 2

-4x +3,x ≤0,

-x 2

-2x +3,x >0,则不等式 f (a 2-4)>f (3a )的解集为( )

A .(2,6)

B .(-1,4)

C .(1,4)

D .(-3,5)

11

【规范解答】作出函数f (x )的图象, 如图所示,则函数f (x )在R 上是 单调递减的.由f (a 2-4)>f (3a ),

可得a 2-4<3a ,整理得a 2-3a -4<0, 即(a +1)(a -4)<0,解得-1

注意:本例分段函数的单调区间可以并!

(四)已知单调性求参数的值或取值范围

例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)

已知函数()()2,211,22x a x x f x x ?-≥?

=???-

x 1≠x 2,都有1212

()()

0-<-f x f x x x 成立,则实数a 的取值范

围为( )

A .(-∞,2) B.? ????-∞,138 C .(-∞,2] D.????

??

138,2

12

【规范解答】函数f (x )是R 上的减函数,

于是有?????

a -2<0,a -? ??

??122-1,由此解得a ≤13

8, 即实数a 的取值范围是? ?

?

??-∞,138.

例2.(1) (补充)如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间 (-∞,4)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.

[答案] [-1

4

,0]

[解析] (1)当a =0时,f (x )=2x -3,在定义域R 上单调递增,故在(-∞,4)上单调递增;

(2)当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为直线x =-1

a ,

因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1

a ≥4,解

得-1

4

≤a<0.综上所述-

1

4

≤a≤0.

例2.(2)(补充)若f(x)=x3-6ax的单调递减区间是(-2,2),则a的取值范围是()

A.(-∞,0]B.[-2,2] C.{2} D.[2,+∞)

[答案] C

[解析]f′(x)=3x2-6a,

若a≤0,则f′(x)≥0,∴f(x)单调增,排除A;

若a>0,则由f′(x)=0得x=±2a,当x<-2a和x>2a 时,f′(x)>0,f(x)单调增,当-2a

∴a=2.

变式:若f(x)=x3-6ax在区间(-2,2)单调递减,

则a的取值范围是?

13

14

[点评] f (x )的单调递减区间是(-2,2)

和f (x )在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分. 本例亦可用x =±2是方程f ′(x )=3x 2-6a =0的两根 解得a =2.

例2.(3) (补充)

若函数

)2,3()(log )(3

2

1---=在ax x x f 上单调递减, 则实数a 的取值范围是 ( )

A .[9,12]

B .[4,12]

C .[4,27]

D .[9,27]

答案:A

温故知新P23 第9题

若函数()()

212

log 3=-+f x x ax a 在区间

[)2,+∞上单调递减,则实数a 的取值范围是

《计时双基练》P217 基础7

《计时双基练》P217 基础8、10

15

8、设函数()1

2+=

+ax f x x a

在区间()2,-+∞上是增函数,

那么a 的取值范围是

答案: [

)1,+∞

10、设函数()()=≠-x

f x x a x a

(2)若0>a 且()f x 在区间()1,+∞内单调递减, 求a 的取值范围.

答案: [

)1,+∞

(五)抽象函数的单调性

例1.(补充)已知f (x )为R 上的减函数,那么满足 f (|

1

x

|)

C .(-1,0)∪(0,1)

D .(-∞,-1)∪(1,+∞)

答案:C

16

解析:因为f (x )为减函数,f (|

1x |)

x

|>1,则|x |<1且x ≠0,即x ∈(-1,0)∪(0,1).

练习:()y f x =是定义在[]

1,1-上的增函数, 解不等式2

(1)(1)f x f x -<-

答案:()0,1

温故知新 P12 第8题 注意:

解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解

例2. 《计时双基练》P216 培优4

函数()f x 的定义域为()0,+∞,且对一切0,0>>x y

都有()()()=-x

f f x f y y

,当1>x 时,有()0>f x 。

(1) 求(1)f 的值;

17

(2) 判断()f x 的单调性并加以证明; (3) 若(4)2=f ,求()f x 在[]

1,16上的值域.

答案:单调增; []

0,4

注意:有关抽象函数单调性的证明通常立足定义

练习: 《计时双基练》P218 培优4

函数()f x 的定义域为()0,+∞,且对一切,∈x y R 都有()()()+=+f x f y f x y ,当0>x 时,有

()2

()0,13

<=-f x f .

(1)求证: ()f x 在R 上是减函数;

(2)求()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值.

答案: 2;2-

课后作业

一、 计时双基练P217 基础1-10

课本P16-17变式思考1、2;

18

二、 计时双基练P217 基础11、培优1-4

课本P18对应训练1、2、3

预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 补充: 练习1:

函数f (x )=?

??

-x +3a , x <0

a x , x ≥0(a >0且a ≠1)

是R 上的减函数,则a 的取值范围是( )

A .(0,1)

B .[13,1)

C .(0,13]

D .(0,2

3

]

分析:f (x )在R 上为减函数,故f (x )=a x (x ≥0)为减函数,可知0

解析:∵f (x )在R 上单调递减, ∴?????

0

∴13≤a <1.

答案:B

19

练习2:

已知f (x )=???

(3-a )x -4a (x <1)

log a x (x ≥1)

是(-∞,+∞)上

的增函数,那么a 的取值范围是( )

A .(1,+∞)

B .(-∞,3)

C .[3

5,3) D .(1,3)

[答案] D

[解析] 解法1:由f (x )在R 上是增函数,∴f (x )在[1,+∞)上单增,由对数函数单调性知a >1 ①,又由f (x )在(-∞,1)上单增,∴3-a >0,∴a <3 ②,又由于f (x )在R 上是增函数,为了满足单调区间的定义,f (x )在(-∞,1]上的最大值3-5a 要小于等于f (x )在[1,+∞)上的最小值

0,才能保证单调区间的要求,∴3-5a ≤0,即a ≥3

5 ③,

由①②③可得1

解法2:令a 分别等于3

5、0、1,即可排除A 、B 、C ,

故选D.

[点评] f (x )在R 上是增函数,a 的取值不仅要保证f (x )

20

在(-∞,1)上和[1,+∞)上都是增函数,还要保证x 1<1,x 2≥1时,有f (x 1)

练习3:

若函数f (x )=2x 2-ln x 在其定义域内的一个子区间(k -1,k +1)内不是..单调函数,则实数k 的取值范围是( )

A .[1,+∞)

B .[1,3

2)

C .[1,2)

D .[3

2

,2)

[答案] B

[解析] 因为f (x )定义域为(0,+∞),f ′(x )=4x -1x ,由f ′(x )=0,得x =12

.

据题意,?????

k -1<12

高考复习函数知识点总结

高考复习 函数知识点总结 一.函数概念的理解以及函数的三要素 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则(函数关系式)也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ; 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ; 满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [,)a b ,(,]a b ; 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b < . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① 分式的分母不为0; ② 偶次根式下被开方数大于0; ③ 0y x = ,则有0x ≠ ; ④ 对数函数的真数大于0,底数大于0切不等于1 注意:①解析式为整式的函数定义域为R ; ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则

其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集; ③对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出. f g x的定义域应由不等式() a b,其复合函数[()] (4)求函数的值域或最值 常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=,则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时,由于,x y为实数,故必须有 2()4()()0 ?=-?≥,从而确定函数的值域或最值. b y a y c y ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (5)函数解析式 ①换元法;(用于求复合函数的解析式) ②配凑法;(用于求复合函数的解析式)

函数的单调性知识点总结与题型归纳

函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地,设函数()f x 的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数; (2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (2)定义法步骤; ①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >); ②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性. (3)复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间. 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图. (1)从左向右看,图形是如何变化的? (2)在哪些区间上升哪些区间下降? 解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降; (2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?

导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率:()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义:()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000;. 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率. 4、常见函数的导数公式: ①'C 0=; ②1')(-=n n nx x ;③x x cos )(sin '=; ④x x sin )(cos '-=; ⑤a a a x x ln )('=;⑥x x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则: ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????; ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????; ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????. 6、在某个区间(),a b 内,若()0f x '>,则函数()y f x =在这个区间内单调递增; 若()0f x '<,则函数()y f x =在这个区间内单调递减. 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤: (1)确定函数()y f x =的定义域; (2)求导数'' ()y f x =; (3)解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间. 8、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 9、求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f ’(x) (3)求方程f ’(x)=0的根 (4)用方程f ’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是: ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值; ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数

人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型

单调性与最大(小)值 要点一、函数的单调性 1.增函数、减函数的概念 一般地,设函数f(x)的定义域为A ,区间D A ?: 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是减函数. 要点诠释: (1)属于定义域A 内某个区间上; (2)任意两个自变量12,x x 且12x x <; (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或; 2.单调性与单调区间 (1)单调区间的定义 如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性,D 称为函数f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释: ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集; ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的; ③不能随意合并两个单调区间; ④有的函数不具有单调性. (2)已知解析式,如何判断一个函数在所给区间上的单调性? 基本方法:观察图形或依据定义. 3.函数的最大(小)值 一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤(或()f x M ≥); (2) 存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么,我们称M 是函数的最大值(或最小值). 要点诠释: ①最值首先是一个函数值,即存在一个自变量0x ,使0()f x 等于最值; ②对于定义域内的任意元素x ,都有0()()f x f x ≤(或0()()f x f x ≥),“任意”两字不可省; ③使函数()f x 取得最值的自变量的值有时可能不止一个; ④函数()f x 在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标;最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.

指数函数知识点总结

指数函数知识总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作00=n 。 ③当n 是奇数时,a a n n =, 当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. 题型一、计算 1.44 等于( ) A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算(1 + 2048 21)(1 + 1024 21)…(1 + 421)(1 + 2 21)(1 + 21 ). 5. 计算(0.0081)4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -.

题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?(a >0). 3.化简: 3 32 b a a b b a (a >0,b >0). 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3,求下列各式的值: ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2(常数),求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9,且x <y ,求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根,且a >b >0,求b a b a +-的值。

集合与函数知识点归纳

集合与函数板块公式 1.集合的运算: (1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:?U ∈=x x A |{U 且}A x ?,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系: (1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或?) (2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ?.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n 2个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f (3))()(x g x f y = ,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2 )(π π)Z 5.函数的单调性 (1)定义法: ①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1>--?>--x f x f x x x f x f x x ②)(x f 减函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1<--?<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法: ①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('a 为增函数; ②0

1.3.1函数的单调性例题

1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间 (1)12-=x y ; (2)322++-=x x y ; (3)2 )2(1-++=x x y ; (4)969622++++-=x x x x y 相应作业1:课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤:取值 作差变形 定号 下结论 ?取值,即_____________________________; ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等; ?定号,即____________________________________________________________; ④下结论,即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 (1)证明:1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.

▲定义法证明单调性的等价形式: 设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数; [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明:x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数; (3)证明:21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数; 法一: 作差 法二:作商

指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)

指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ,a 的负的n 次方根,记作: n a -;(例如:8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±) ③若n 是偶数,且0a <则n a 没意义,即负数没有偶次方根; ④( )* ∈>=N n n n ,100 0=; ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)( )33 8- (2)() 2 10- (3)()44 3π- (4) 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. (二)分数指数幂

高中数学第一章集合与函数概念知识点

高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,N表示自然数集,N*或N + R表示实数集. (3)集合与元素间的关系 ?,两者必居其一. ∈,或者a M 对象a与集合M的关系是a M (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等

(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. (8)交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法 (2)一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念

①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域

函数的单调性 知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是增函数;

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 10,则f (x )在区间D 内为增函数;如果f ′(x )<0,则f (x )在区间D 内为减函数. 注意:(补充) (1)若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个,

高中数学集合与函数的概念知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学集合与函数的概念 知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点: 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 (1)元素的确定性;(2)元素的互异性;(3)元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A,如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集记作:N*或N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记作:R 4、集合的表示法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(Venn图) 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说 这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B A B B A 且 ??? 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算

(完整word版)高考导数题型归纳

高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x );

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数1.(定理柯西留数定理): 2.(定理):设a为f(z)的m阶极点, 其中在点a解析,,则 3.(推论):设a为f(z)的一阶极点, 则 4.(推论):设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数:可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数:

即,等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.(定理)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注:虽然f(z)在有限可去奇点a处,必有,但是,如果点为f(z)的可去奇点(或解析点),则可以不为零。 8.计算留数的另一公式: §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注:注意偶函数 二.型积分 1.(引理大弧引理):上 则 2.(定理)设

为互质多项式,且符合条件: (1)n-m≥2; (2)Q(z)没有实零点 于是有 注:可记为 三.型积分 3.(引理若尔当引理):设函数g(z)沿半圆周 上连续,且 在上一致成立。则 4.(定理):设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式,且符合条件:(1)Q的次数比P高; (2)Q无实数解; (3)m>0 则有 特别的,上式可拆分成:

及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.(引理小弧引理): 于上一致成立,则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为:求解析函数零点个数 1.对数留数: 2.(引理):(1)设a为f(z)的n阶零点,则a必为函数的一阶极点,并且 (2)设b为f(z)的m阶极点,则b必为函数的一阶极点,并且 3.(定理对数留数定理):设C是一条周线,f(z)满足条件: (1)f(z)在C的内部是亚纯的;

指数函数知识点汇总

指数函数知识点汇总

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指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自 变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a >1 0

高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)

导数题型分类解析(中等难度) 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+,表 示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1:若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为( ) A .'0()f x B .'02()f x C .' 02()f x - D .0 例2:若' 0()3f x =-,则000 ()(3) lim h f x h f x h h →+--=( ) A.3- B .6- C .9- D .12- 例3:求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导,代入0x 进行求值。 例1:已知()()232 f x x x f '+=,则()='2f 例2:已知函数()x x f x f sin cos 4+?? ? ??'=π,则??? ??4πf 的值为 . 例3:已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ,则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为( ) A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s (t ),那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′(t )。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v (t ),则该物体在时刻t 的加速度a=v′(t )。 例1:一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,求物体在3秒末的瞬时速度。 例2:汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( )

基本初等函数和函数的应用知识点总结

基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根, 其中n >1,且n ∈N * . ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 因为负数对一些分数次方无意义,0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0

指数函数知识点总结

指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 《 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; ' 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321x x 、 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 ? 练习:(1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d | B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),

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