江西省宜春市奉新县第一中学2020-2021学年高二第二次月
考（11月）数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）
A ．123p p p =<
B ．231p p p =<
C ．132p p p =<
D ．123p p p ==
2．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A ．57.2，3.6
B ．57.2，56.4
C ．62.8，63.6
D ．62.8，3.6
3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
A ．02
B ．01
C ．07
D ．06
4．已知命题:,p x R ?∈使得12,x x
+
<命题2:,10q x R x x ?∈++>，下列命题为真的是（ ） A ．（)p q ?∧ B ．()p q ∧? C ． p ∧q D ．()()p q ?∧? 5．已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），00(,)x y 的线性回归方程为2y x ∧
=+，则00x y -的值为（ ）
A ．-3
B ．-5
C ．-2
D ．-1
6．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ?是q ?的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤
B ．3a ≤-
C ．1a ≥-
D ．1a ≥ 7．若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）
A ．7?k <
B ．6?k <
C ．9?k <
D ．8?k <
8．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）
A ．16
B ．18
C ．24
D ．32
9．在)5
611x y ??+ ???的展开式中，42x y 项的系数为（ ） A ．200 B ．180 C ．150 D ．120
10．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“红色骰子点数为3”，事件B 为“蓝色骰子出现的点数是奇数”，则()P B A =（ ）
A ．12
B ．16
C ．536
D ．112
11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是
12
，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A ．116
B ．316
C ．14
D ．1316
12．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ）
A ．35
B ．13
C ．415
D ．15
二、填空题
13．已知命题P ：至少有一个实数x ，使310x +=.写出命题P 的否定______.
14．小王做某个试验，成功的概率为23，失败的概率为13
，成功一次得2分，失败一次得-1分，求100次独立重复试验的总得分的期望______.
15．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.
16．下列命题正确的有_________（填序号）
①已知p ：3x ≠或7y ≠-，q ：4x y +≠-，则p 是q 的必要不充分条件；
②“1a =”是“函数()22
cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件； ③ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，(),m a b =，()cos ,cos n B A =，则“//m n ”是“ABC ?为等腰三角形”的必要不充分条件；
④若命题p ：“函数20.59log 4y x ax ?
?=++ ???
的值域为R ”为真命题，则实数a 的取值范围是33a -<<.
三、解答题
17．已知p ：531
x x ≤+，q ：12x -≥，若命题p ?且q 是真命题，求x 的范围. 18．
在二项式n 的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．
（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和。
19．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:
（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；
（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).
参考公式及数据:回归直线方程???y
bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)???,(x x)n
i i
i n i
i b a y bx ==--==--∑∑，其中7
2193,9.3,()()9.9i i i x y x x y y ===--=∑. 20．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：
“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
附：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 21．某地汽车站在6：00～6：10内任何时刻发出第1班车，在6：10～6：20任何时刻发出第2班车，某人在6：00～6：20的任何时刻到达车站是等可能的，求此人乘坐前2班车的概率.
22．某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29
； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3
5
、
1
3
和
1
15
.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的.
考点：随机抽样
2．D
【解析】
平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．
3．B
【分析】
根据题意得到选取的数字依次为16,08,02,14,07,01,04，得到答案.
【详解】
根据题意得选取的数字依次为：16,08,02,14,07,01,04，故第6个个体的编号为01. 故选：B .
【点睛】
本题考查了随机数表，意在考查学生的应用能力.
4．C
【解析】
试题分析：命题p 中当0x <时成立，因此命题是真命题；命题q 中
2
2131024x x x ??++=++> ??
?恒成立，所以命题是真命题，所以p ∧q 是真命题 考点：不等式性质及复合命题的判定
5．A
【分析】
利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得结论.
【详解】
由题意知()()001110,1544
x x y y =+=+， 样本中心点的坐标为()()001110,1544x y ??++ ???
， 线性回归方程为2y x =+，
()()00111510244
y x ∴+=++， 解得003x y -=-，故选A.
【点睛】
本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心()
,x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
6．D
【分析】
“p ?是q ?的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集.
【详解】
由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >，
所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥.
【点睛】
利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ?是q ?的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.
7．D
【分析】
根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．
【详解】
根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环 log 23 3
第二次循环 log 23?log 34 4
第三次循环 log 23?log 34?log 45 5
第四次循环 log 23?log 34?log 45?log 56 6
第五次循环 log 23?log 34?log 45?log 56?log 67 7
第六次循环 log 23?log 34?log 45?log 56?log 67?log 78=log 28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k ＜8．
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.
8．C
【分析】
把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.
【详解】
由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法， 再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，
其中四个元素的排列共有4424A =种，故选C.
【点睛】
本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．C
【解析】
)6
x 展开式的通项公式为662166r r r r r r T C x C x +-+==， 令642
r +=可得：2r ，则62
242216=15T C x x ++=， 511y ??+ ???展开式的通项公式为515511r r r r r r P C C y y --+??=??= ???
， 令2r 可得：22221510P C y y --+==，
据此可得：4
2x y
项的系数为1510150?=. 本题选择C 选项.
10．A
【解析】
分析：先求出P （AB ）的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可
详解：抛掷红、蓝两枚骰子，则“红色骰子点数为3”的概率为()16
P A =
． “红色骰子出现点数3”且“蓝色骰子出现的点数是奇数”的概率为()1316612
P AB ?==?， 所以P （B |A ）=()()111212
6
P AB P A ==． 故选A ．
点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，
再由P (B |A )＝()()
P AB P A ,求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝
()()n AB n A .
11．D
【详解】
由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为
111111111322222222216
111222?+???+????=?， 所以灯泡亮的概率为31311616-=，故选D ． 12．C
【分析】
题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.
【详解】
题目包含两种情况： 第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615
C p C ==； 第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115
C p C ==； 故12415
p p p =+=
. 故选：C .
【点睛】 本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.
13．任意的x ∈R ，310x +≠
【分析】
直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.
【详解】
题P ：至少有一个实数x ，使310x +=，命题P 的否定为：任意的x ∈R ，310x +≠. 故答案为：任意的x ∈R ，310x +≠.
【点睛】
本题考查了特称命题的否定，属于简单题.
14．100
【分析】
计算()2121133E X =
?-?=，得到答案. 【详解】
设一次实验得分为X ，根据题意：()2121133
E X =?-?=， 故100次独立重复试验的总得分的期望为()100100E X =.
故答案为：100.
【点睛】
本题考查了数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
15．6
【分析】
直接利用隔板法计算得到答案.
【详解】
5个相同的小球产生4个空，插入两块隔板，共有246C =种投放方法.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了隔板法，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．①②
【分析】
根据必要不充分，充分不必要条件，命题的真假判断，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
①若3x ≠或7y ≠-，取0,4x y ==-，则4x y +=-，故不充分；
当4x y +≠-时，3x ≠或7y ≠-，必要性；故则p 是q 的必要不充分条件，①正确； ②函数()22
cos sin cos2f x ax ax ax =-=的最小正周期为π，则1a =±，故②正确； ③由//m n ，故cos cos a A b B =，即sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，A B =或2A B π
+=，所以ABC ?为等腰三角形或直角三角形，不满足充分条件；又当ABC ?为
等腰三角形时，不一定A B =，比如可能A C =，∴不能得到//m n ，
故“//m n ”是“ABC ?为等腰三角形”的既不充分也不必要条件，③错误； ④函数20.59log 4y x ax ?
?=++ ???
的值域为R ，290a ?=-≥，即3a ≥或3a ≤-，④错误； 故答案为：①②.
【点睛】
本题考查了充分必要条件，命题的真假判断，意在考查学生的计算能力和推断能力. 17．3x ≥或1x ≤-
【分析】
计算p ?：1x ≤-或1x >，q ：3x ≥或1x ≤-，得到答案.
【详解】
p ：531
x x ≤+，解得11x -<≤，p ?：1x ≤-或1x >，q ：3x ≥或1x ≤-，
命题p ?且q 是真命题，故3x ≥或1x ≤-.
【点睛】 本题考查了根据命题的真假求范围，意在考查学生的计算能力.
18．（1）52
-
;（2）1256 . 【解析】 试题分析：（1）由所有二项式系数之和为64，264n = 6n ∴=，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令
1x =
计算n
的大小，即可得答案. 试题解析：（1）由已知得0164n n n n C C C +++=，264n = 6n ∴=， 展开式中二项式系数最大的项是6331
130334611520282T C x x x --??????=-=?-?=- ? ? ?????
?? （2）展开式的通项为23112r n r r r n T C x -+??=- ???
，()0,1,
,r n = 由已知：02012111,,222n n n C C C ??????- ? ? ???????成等差数列，12112124n n C C ?=+∴n=8,
在n
中令x=1，得各项系数和为1256 19．(1) ?0.12 1.93y
x =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心．因此关爱忠者的考核分数也会稳定提高；他的关爱患者考核分数约为9.5分.
【解析】
分析：（1）由题意结合线性回归方程计算公式可得?0.12b
≈，? 1.93a ≈- ，则线性回归方程为0.1213?.9y
x =-. （2）由(1)知0.20?1b
=>.则随着医护专业知识的提高，关爱忠者的考核分数也会稳定提高.
结合回归方程计算可得当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数约为9.5分，
详解：（1）由题意知93,9.3,x y ==
()()()()()()()()7222222221=989388939693919390939293969382
i i x x =--+-+-+-+-+-+-=∑
()()19.9n
i i
i x x y y =--=∑ 所以()()()12
19.90.128?2n
i i
i n i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 9.99.393 1.938?2
a =-?≈- ， 所以线性回归方程为0.1213?.9y
x =-. （2）由(1)知0.20?1b
=>.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心.因此关爱忠者的考核分数也会稳定提高.
当95x =时，0.1295 1.93?9.5y
=?-≈ 所以当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，
他的关爱患者考核分数约为9.5分，
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
20．（1）0.4092；（2）填表见解析；有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）()52.35kg ．
【分析】
（1）由频率分布直方图分别估计旧养殖法的箱产量低于50kg 和新养殖法的箱产量不低于50kg 的概率，再由相互独立事件的概率公式即可得解；
（2）由题意完成列联表，代入公式计算出2K ，与6.635比较即可得解；
（3）由题意结合频率分布直方图中中位数两侧的面积均为0.5，列方程即可得解.
【详解】
（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于
50kg ”，
由题意知()()()()P A P BC P B P C ==，
旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为()0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++?， 故()P B 的估计值为0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为
()0.0680.0460.0100.0085=0.66+++?，
故()P C 的估计值为0.66，
因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?=；
（2）由题意旧养殖法箱产量低于50kg 箱数为62，新养殖法的箱产量不低于50kg 的箱数为66，
则可得列联表
则()
222006266343815.70510010096104 6.635K ??-?=≈?>??，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，
箱产量低于50kg 的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++?=<，
箱产量低于55kg 的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++?=>， 设新养殖法箱产量的中位数为x ，
则()0.34+500.0680.5x -?=，解得52.35x ≈，
所以新养殖法箱产量的中位数的估计值为()52.35kg .
本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.
21．3 4
【分析】
图中阴影部分为该乘客没有赶上前2班车，根据几何概型计算得到答案. 【详解】
设x为乘客到达时间，y为车辆出发时间，考虑010
~，1020两部分.
图中阴影部分为该乘客没有赶上前2班车，据几何概型可得：
503
1
2004 P=-=.
【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22．选择项目一，理由见解析.
【分析】
首先根据题意写出两个项目获利的分布列，根据分布列求出数学期望以及方差值，结合数学期望和方差值选择合适的项目.
对于项目一，该项目年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29
，设按该项目投资，获利为ξ万元， 则随机变量ξ的分布列为
所以，()7230015020099
E ξ=?-?=（万元）， ()()()22723002001502003500099
D ξ=-?+--?=. 对于项目二，该项目年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
35、13和115，设按该项目投资，获利为η万元， 则随机变量η的分布列为
()31150003002005153
E η∴=?+?-?=（万元）， ()()()()22231150020002003002001400005153
D η=-?+-?+--?=. ()()
E E ξη=，()()D D ξη<，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该公司选择项目一投资.
【点睛】
本题考查离散型随机变量分布列、数学期望与方差的计算，同时也考查了利用数学期望和方差解决实际问题，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.