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2008年中考数学“二次函数”压轴题精选16题(含答案)

2008年中考数学“二次函数”压轴题精选16题

1、（08广东茂名25题）（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－3

+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2

，0）三点，且x

-x 1=5．

（1）求b 、c 的值；（4分）

（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对

角线的菱形；（3分）

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）

解：

（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－

+b x +c 经过点A （0，－4），

∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2

是方程－3

+b x +c =0的两个根，

∴x 1+x

3b ， x

=－

3c =6

·········································································· 2分由已知得（x 2

-x 1）2

=25

又（x 2-x 1

）2

=（x

+x 1）2

－4x 1

－24

∴

－24=25

解得b =±3

14 ···················································································································· 3分

当b =

14时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．

∴b =－3

14． ··················································································································· 4分

解法二：∵x 1、x

是方程－

+b x +c=0的两个根，

即方程2x

－3b x +12=0的两个根．

（第25题图）

∴x =

9b 32

-±b ， ·················································································· 2分

∴x

－x

-=5，

解得 b =±

14 ········································································································ 3分

（以下与解法一相同．）

（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的

对称轴上， ··········································································································· 5分

又∵y =－

－

14x －4=－

2（x +

7）2

25 ····································· 6分

∴抛物线的顶点（－2

7，

25）即为所求的点D ． ·········································· 7分

（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），

根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－

14x -4的交点， ·

································································· 8分 ∴当x =－3时，y =－3

2×（－3）2

－

14×（－3）－4=4，

∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··················· 9分四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标

只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ························································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）

已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252

+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）

解：（1）由5x x 122

+=0， ····················································································· （1分）得01=x ，5

122-

=x ． ························································································· （2分）

∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（5

12-，0）． ·········································· （3分）

（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ································· （4分）

分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有

ABC S ?=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ························································ （5分） =

)8117(?+-

1)4417(?+-

)8144(?+ ······································· （6分）

=5（个单位面积） ·············································································· （7分）

（3）如：)(3123y y y -=． ················································································ （8分）

事实上，)3(12)3(52

3a a y ?+?= =45a 2+36a ．

3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ．·············· （9分） ∴)(3123y y y -=． ··························································································· （10分） 3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =

，O B =

，矩形

ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60

后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B

的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2

y ax bx c =++过点A E D ，，．

（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点E 在y 轴上························································ 1分理由如下：

连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =

，BO =

，2AO ∴=

1sin 2

A O

B ∴∠=

，30AO B ∴∠=

由题意可知：60AO E ∠=

306090BO E AO B AO E ∴∠=∠+∠=+=

点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ··············································································· 3分

（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M

第26题图

1OD = ，30D O M ∠=

∴在Rt DOM △中，12

D M =

，2

O M =

点D 在第一象限，

∴点D

的坐标为1

22?? ? ???

，

·································································································· 5分由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上

∴点E 的坐标为(02)，

∴点A

的坐标为( ···································································································· 6分抛物线2

y ax bx c =++经过点E ，

2c ∴=

由题意，将(A

，1

22D ?? ? ??

，

代入2

2y ax bx =++中得

32131

2422a a ?-+=??++=??

解得899a b ?

=-??

??=-??

∴

所求抛物线表达式为：2

829

y x x =--

+····························································· 9分

（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ················································································ 10分理由如下：矩形ABOC

的面积AB BO ==

∴以O B P Q ，，，

为顶点的平行四边形面积为

由题意可知OB 为此平行四边形一边，

又OB =

OB ∴边上的高为2 ·

·········································································································· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，

点P

在抛物线2

829

y x x =-

+上

8229

m m ∴-

解得，10m =

，28

m =-

1(02)P ∴，

，228P ??

? ??

以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，

PQ O B ∴∥

，P Q O B ==

∴当点1P 的坐标为(02)，时，

点Q

的坐标分别为1(Q

，22)Q ；

当点2P

的坐标为28??

- ? ???

时，

点Q

的坐标分别为328

Q ?

，4

28Q ??

? ?

． ···················································· 14分

4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，

直线y =-

与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，

抛物线2

(0)

y ax x c a =-

+≠经过A B C ，，三点．

（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

（08辽宁12市26题解析）

解：（1）

直线y =-

x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．

(10)A ∴-，

，(0C -

， ································································································· 1分

点A C ，都在抛物线上，

03a c c ?=++?

∴??

3a c ?=?∴??=?

∴

抛物线的解析式为2

y x x =

-······························································ 3分

∴

顶点13F ?-

， ······································································································· 4分（2）存在 ························································································································· 5分

1(0P -，·

······················································································································ 7分

2(2P -

， ·

····················································································································· 9分（3）存在 ······················································································································· 10分理由：解法一：

延长BC 到点B '，使BC B C '=，

连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ····························································································· 11分过点B '作B H AB '⊥于点H ．

点在抛物线2

y x x =

-(30)B ∴，

在Rt BOC △

中，tan 3

O B C ∠=

，

30O BC ∴∠=

，BC =，

在Rt BB H '△

中，12

B H BB ''=

6BH H '=

=，3OH ∴=

，(3B '∴--，

···················································· 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+

33k b k b ?-=-+?∴?-=+??

解得62

k b ?=????=-??

y x ∴=-········································································································· 13分

62y y x ?=-?∴?=-??

解得377x y ?

=????=-??

377M ?∴- ??

， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △

的周长最小，此时377M ??

- ? ???

，． ··· 14分 5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1

O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，

，二次函数2

y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求切线OM 的函数解析式；

（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1O O M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（08青海西宁28题解析）解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1

O 半径为1，(10)A ∴，

，(30)B ，……1分二次函数2

y x bx c =-++的图象经过点A B ，，

∴可得方程组10

930b c b c -++=??-++=?

······················································································· 2分

解得：43

b c =??

=-?∴二次函数解析式为2

43y x x =-+- ················································· 3分

（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ····································································· 4分 OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M O M ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在1R t OO M △中，111

1sin 2

O M O O M O O ∠=

1O O M ∠ 为锐角，130O O M ∴∠=

······························ 5分

1cos 3022

O M O O ∴==?

，

在Rt MOF △

中，3cos 302

O F O M ==

．

图14

sin 302

M F O M ==

．

∴点M 坐标为322??

? ???

， ································································································· 6分

设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠，由题意可知

k =

，3

k ∴=

······ 7分

∴切线OM 的函数解析式为3

y x =

·········································································· 8分

（3）存在． ····················································································································· 9分 ①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt AP O M O O △∽△（两角对应相等两三角形相似）

11tan tan 303

P A O A A O P =∠==

，113P ?

∴ ?

，

··············································· 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ．可得21Rt Rt AP O O M O △∽△（两角对应相等两三角开相似）

在2Rt OP A △中，1OA = ，2cos 302

O P O A ∴==

在2Rt OP H △中，223cos 2

O H O P A O P =∠=

，

2221sin 2

P H O P A O P =∠=

，23

4P ?∴

·········································· 11分

∴符合条件的P 点坐标有13? ??，344? ??

··························································· 12分 6、（08山东济宁26题）（12分）

ABC △中，90C ∠=

，60A ∠=

，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的

边A B 上沿A B 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作A B 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间

为t s ．

（1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写

出自变量t 的取值范围）；

（2）线段MN 运动过程中，四边形M N Q P 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；

（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？

（08山东济宁26题解析）解：（1）当点P 在AC 上时，A M t =

，

tg 60PM AM ∴==

．

1(01)2

y t t ∴=

≤≤． ·············································································· 2分

当点P 在BC

上时，tan 30)3

PM BM t ==

．

1)(13)2

y t t t =

-=-

≤≤． ······················································· 4分

（2）2AC = ，4A B ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．

tan 30)3

Q N B N t ∴==

． ··············································································· 6分

由条件知，若四边形M N Q P 为矩形，需PM Q N =

t =

-，

t ∴=．

∴当34

t =s 时，四边形M N Q P 为矩形． ······································································ 8分

（3）由（2）知，当34

t =s 时，四边形M N Q P 为矩形，此时PQ AB ∥，

PQ C ABC ∴△∽△． ··································································································· 9分

除此之外，当30CPQ B ∠=∠=

时，Q PC ABC △∽△

，此时

tan 303

C Q C P

．

1cos 602

A M A P

，22AP AM t ∴==．22CP t ∴=-． ······························· 10分

cos 302

BN BQ

，)3

BQ t ∴==-．

又BC =

C Q t ∴=-=

············································ 11分

3223

t ∴

=-，12t =．

∴当12

t =s 或

s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ···················· 12分

7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线2

334

y x =-

+与x 轴交于点A ，点B ，与直线

y x b =-

+相交于点B ，

点C ，直线34

y x b =-+与y

轴交于点E ．

（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．

（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线

BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．

设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？

（08四川巴中30题解析）解：（1）在2

334

y x =-

+中，令0y =

3304

x ∴-

12x ∴=，22x =-

(20)A ∴-，，(20)B ， ··················································· 1分

又点B 在34

y x b =-

+上

302b ∴=-+

b =

BC ∴的解析式为3342

y x =-+

····················································································· 2分

（2）由2334

y x y x ?

=-+????=-+??，得1119

x y =-???=?? 2220x y =??=? ························································· 4分

914C ?

?∴- ???，，(20)B ，

4A B ∴=，94

C D =

······································································································· 5分

942

A B C S ∴=

=△ ································································································· 6分

（3）过点N 作NP MB ⊥于点P

EO MB ⊥ NP EO ∴∥

BNP BEO ∴△∽△ ·

······································································································· 7分 BN N P BE

∴= ···················································································································· 8分

由直线334

y x =-+

可得：302E ?? ??

，

∴在BEO △中，2BO =，32

E O =，则52

B E =

253

t N P ∴

，65

N P t ∴=

······························································································· 9分

(4)25

S t t ∴=-

2312(04)55S t t t =-+<< ··························································································· 10分

312(2)55

S t =--+ ····································································································· 11分

此抛物线开口向下，∴当2t =时，12

S =最大

∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为12

． ······························ 12分

8、（08新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批

抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m ，抛物线拱高为5.6m ．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．

（2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5m ，高1.6m ，相邻窗户之间的间距均为0.8m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？

（08新疆自治区24题解析）24．（10分）解：（1）设抛物线的表达式为2y ax = 1分

点(6 5.6)B -，

在抛物线的图象上． ∴ 5.636a -=

745

a =-

··································································· 3分

∴抛物线的表达式为2

745

y x =- ·

··················································································· 4分（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点，D 点坐标为（k ，t ）

已知窗户高1.6m ，∴ 5.6( 1.6)4t =---=- ································································ 5分

7445k --=

125.07 5.07k k -≈，≈（舍去）

··················································································· 6分 ∴ 5.07210.14CD =?≈（m ） ····················································································· 7分

又设最多可安装n 扇窗户

∴1.50.8(1)10.14n n ++≤ ····························································································· 9分 4.06n ≤．

答：最多可安装4扇窗户． ··························································································· 10分（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）

9、（08广东梅州23题）23．本题满分11分．

如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；

（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使?PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）

（08广东梅州23题解答）解：（1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ，

∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ， ······················································································ 0.5分 ∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ， ·············· 1分

∠DAB +∠DBA =90 ， ∴∠DAB =60 ， ··········· 1.5分 ∠DBA =30 ， AB =4， ∴DC =AD =2， ·········· 2分 R t ?AOD ，OA =1，OD =3， ····························· 2.5分

∴A （-1，0），D （0，

3），C （2， 3）

． · 4分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物

线必过点A （－1，0），B （3，0），故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） ··································································· 6分将点D （0，

3）的坐标代入上式得， a =3

．

所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(3

3-+-

x x ·············································· 7分

其对称轴L 为直线x =1． ····························································································· 8分（3） ?PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ， ?P 1DB 为等腰三角形； ························································································· 9分 ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ?P 2DB ， ?P 3DB 为等腰三角形；

③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5． ······················· 10分由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使?PDB 为等腰三角形的点P 有5个．

10、（08广东中山22题）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们

的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的

平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.

图

图10

（08广东中山22题解析）解：（1

）

1分

等腰；…………………………2分

（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）

①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)

②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分

（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ，

又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB ＝∠2＝30°, ∴ FP ＝BP (6)

过点

P 作PK ⊥FB 于点K ，则FK BK =∵ AF ＝t ，AB ＝8， ∴ FB ＝8－t ，1(8)2

B K t =

在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)2

P K B K t t =?∠=-?=

-. ……………………7分

∴ △FBP 的面积11(8))2

S F B P K t t =

??=

?-?

-，

∴ S 与t 之间的函数关系式为： 2

8)12

S t =

-，或2

412

S t =

…………………………………8分

t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分 11、（08湖北十堰25题）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

（08湖北十堰25题解析）解：⑴对称轴是直线：1=x ，点B 的坐标是(3,0)． ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC ，∵点A 、B 的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，

∴AB ＝4．∴．AB PC 242

121=?=

在Rt △POC 中，∵OP ＝PA －OA ＝2－1＝1， ∴．PO

OC 3122

-=-=

∴b ＝．3 ………………………………3分当01=-=，y x 时，，a a 032=+

∴．a 33= ………………………………4分

∴．x x y 33

323

-= ………………5分

⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．

①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ．由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，3=

=OC y ．

∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分

说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方．过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．

∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．

∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO ∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．

∴点M 的坐标为(2,M ． ……………………………12分

说明：求点M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M 的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边

形．其坐标为123((2,M M M -．

说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，

不扣分。

12、（08四川达州23题）如图，将AOB △置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，

点A 的坐标为(30)，

，60ABO ∠=

．（1）若AOB △的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．

（2）若点C 的坐标为(10)-，

，试猜想过D C ，的直线与AOB △的外接圆的位置关系，并加以说明．

（3）二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，

求此函数的解析式．

（08四川达州23题解析）解：（1）连结AD ，则∠

ADO ＝∠B ＝600

在Rt △ADO 中，∠ADO ＝600

所以OD ＝OA ÷3＝3÷3＝3 所以D 点的坐标是（0，3）

（2）猜想是CD 与圆相切

∵ ∠AOD 是直角，所以AD 是圆的直径

又∵ Tan ∠CDO=CO/OD=1/3=3, ∠CDO ＝300

∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt ∠ 即CD ⊥AD ∴ CD 切外接圆于点D

（3）依题意可设二次函数的解析式为：

y=α（x －0）(x －3)

由此得顶点坐标的横坐标为：x=a

a 23-

即顶点在OA 的垂直平分线上，作OA 的垂直平分线EF ，则得∠EFA ＝2

1∠B ＝300

得到EF ＝3EA ＝

3 可得一个顶点坐标为（

3，

3）

同理可得另一个顶点坐标为（2

3，32

）

分别将两顶点代入y=α（x －0）(x －3)可解得α的值分别为3

32-，9

则得到二次函数的解析式是y=3

32-

x(x －3)或y=

32 x(x －3)

13、（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ,O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点B 坐标为（2，23），∠BCO = 60°，BC OH ⊥于点H .动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿

线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P 运动的时间为t 秒.

（1）求OH 的长；

（2）若OPQ ?的面积为S （平方单位）. 求S 与t 之间的函数关系式.并求t 为何

值时，OPQ ?的面积最大，最大值是多少？

（3）设PQ 与OB 交于点M .①当△OPM 为等腰三角形时，求（2）中S 的值. ②探究线段OM 长度的最大值是多少，直接写出结论.

（08湖北仙桃等4市25题解析）解：（1）∵AB ∥OC ∴ 0

90=∠=∠AOC OAB 在OAB Rt ?中，2=AB ,32=AO ∴4=OB ， 0

60=∠ABO ∴0

60=∠BOC 而0

60=∠BCO ∴BOC ?为等边三角形

∴3223430

cos 0

==OB OH …（3分）

（2）∵t PH OH OP -=-=32

∴t OP x p 2

3330cos 0

-== 2

330sin 0

t OP y p -

∴)233(2

1t t x OQ S p -

??=??=

=t t 2

3432

（320<

即4

33)3(4

-=t S

∴当3=

t 时，=

最大S 43

（3）①若OPM ?为等腰三角形，则：

（i ）若PM OM =，MOP MPO ∠=∠=

∠ ∴PQ ∥OC

∴p y OQ = 即2

3t t -

解得：332=

此时3

233

223

)33

2(43

=?+?-=S （ii ）若OM OP =，0

75=∠=∠OMP OPM

∴045=∠OQP

过P 点作OA PE ⊥，垂足为E ，则有：

EP EQ = 即t t t 233)213(-

解得：2=t 此时3322

2432

-=?+

=S ……………………………………（9分）

（iii ）若PM OP =，AOB PMO POM ∠=∠=∠

∴PQ ∥OA

此时Q 在AB 上，不满足题意.……………………………………………（10分）

②线段OM 长的最大值为

3……………………………………………………(12分)

14、（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．

（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿A D 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E

，两点的坐标；

（2）如图19-2，若A E 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿A E 方向向E 点匀

速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作E D 的平行线交A D 于点M ，过点M 作A E 的平行线交D E 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．

（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）解：（1）依题意可知，折痕A D 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．

3BE ∴=

=．2CE ∴=．

E ∴点坐标为（2，4）． ········································································································· 2分

在Rt DCE △中，222

D C C

E D E +=，又DE OD = ．

(4)2OD OD ∴-+= ．解得：52

C D =．

D ∴点坐标为502

?? ???

，

············································································································· 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．

P M A P

E D

A E ∴=，又知AP t =，5

2E D =

，5AE =

5522t t

PM ∴=?=，又5PE t =- ．

而显然四边形PMNE 为矩形．

15(5)2

PM N E t S PM PE t t t ∴==

?-=-

矩形 ······························································· 5分

1525

228

PM N E S t ??∴=--+ ???四边形，又5052<<

∴当52

t =

时，PM NE S 矩形有最大值

258

． ··············································································· 6分

（3）（i ）若以A E 为等腰三角形的底，则M E M A =（如图①）

在Rt AED △中，M E M A =，PM AE ⊥ ，P ∴为A E

t A P A E ∴==

．

又PM ED ∥，M ∴为A D 的中点．

过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则M F 是OAD △的中位线，

1524

M F O D ∴=

，152

O F O A =

，

∴当52

t =

时，5

052??

< ??

，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524??

???

，． ··································································································· 8分

（ii ）若以A E 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）在Rt AOD △

中，AD =

过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ． PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．

A P A M

A E

A D

∴=．

A M A E t A P A D

?∴====

，12P M t ∴==

．

M F M P ∴==

5OF OA AF OA AP =-=-=-，

∴

当t =

（05<<），此时M

点坐标为(5-． ···························· 11分

综合（i ）（ii ）可知，52

t =

或t =时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相

应M 点的坐标为5524?? ???

，

或(5-． ······································································ 12分 15、（08天津市卷26题）（本小题10分）已知抛物线c bx ax y ++=232，

（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；

（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当1

12=

x ．

∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和1

?? ???

，． ···················································· 2分

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题(包含答案)

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．

2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

二次函数压轴题专题及答案

2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

(新)中考数学--选择题压轴题(含答案)

题型一选择题压轴题类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3

4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交

矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8

2016年中考数学压轴题精选及详解

2020年中考数学压轴题精选解析中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。三、中点公式：四、已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。五、任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为边时（2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直

精选中考二次函数压轴题[附答案解析]

精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EF BC ；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图

中考数学二次函数压轴题(含答案)

20１7年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类 1.如图,已知抛物线经过点A（﹣1，０）、B(3,０)、Ｃ（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式． (２)点Ｍ是线段BC上的点(不与Ｂ，Ｃ重合），过Ｍ作MＮ∥y轴交抛物线于Ｎ,若点M的横坐标为ｍ，请用m的代数式表示MＮ的长. (3）在(2）的条件下,连接NＢ、NC，是否存在m，使△ＢNC的面积最大?若存在，求m的值;若不存在,说明理由. 考点：二次函数综合题．专题:压轴题;数形结合. 分析: （1）已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式. （2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到Ｍ、N点的坐标，N、Ｍ纵坐标的差的绝对值即为MN的长. （3)设ＭN交x轴于D，那么△ＢNC的面积可表示为:Ｓ△BNC=S△MNC＋S△ＭNＢ=MＮ（OD+DB)＝MN?OＢ,MN的表达式在（2）中已求得,OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BＮC是否具有最大值. 解答: 解：（1)设抛物线的解析式为:ｙ=ａ(x+１)（x﹣3），则： a（０+1)（０﹣3）=3,a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+１）(x﹣3）=﹣x２+2x＋３． (2）设直线ＢＣ的解析式为：y=kｘ+b，则有：

，解得；故直线ＢC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+３)、N（ｍ，﹣m2+2ｍ+3）； ∴故MN=﹣m2+2m＋３﹣（﹣m＋３)=﹣m2+３ｍ(０＜ｍ<３）． (3）如图； ∵Ｓ△ＢNC=S△MＮC+Ｓ△MNＢ＝MＮ（OＤ+ＤB）=MＮ?OB， ∴S△BNC＝(﹣m２+３m)?3=﹣（m﹣）2+(0

中考数学压轴题(选择填空)

中考数学压轴题解题技巧数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

二次函数压轴题(含答案)

面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

中考数学选择题压轴题汇编

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1）去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A，【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键．由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18．故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m

2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

2020中考数学压轴题100题精选（附答案解析）【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

数学中考数学压轴题(讲义及答案)附解析

一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ．（1）a ＝______cm ，b ＝______cm ；（2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？（3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．

中考二次函数压轴试题分类汇编及答案(1)

中考二次函数压轴题分类汇编一．极值问题 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． ∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，则当x=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．

点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题． 2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2 =2， ∴A（﹣4，0），S △ABC =ABOC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x． ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△ABC， ∴，即，化简得：S △PBE =（2﹣x）2．

中考数学二次函数压轴题精编(含答案)

（2010湖北咸宁）16．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数k y x =的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论： ①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）（2010江苏徐州）25．(本题8分)如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y= x m 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-x m <0的解集(直接写出答案)． 1. （2009遂宁）把二次函数34 12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2 的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 3212 12 +??? ??-=x y 2. （2009嘉兴）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ▲ ） 3. （2009烟台）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（） 4. （2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（） O y x 1 -1A x y O 1 -1 B x y O 1 -1 C x y O 1 -1 D 1- 1 O x y （第11题图） y x O y x O B ． C ． y x O A ． y x O D ． A B O x y （第21题） 2 1 2 3 －3 －1 －2 1 3 －3 －1 －2 y x D C A B O F E （第16题）

中考数学选择题压轴题汇编

年中考数学选择题压轴题汇编

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3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1）去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-；解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ，【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键．由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）

中考数学二轮复习中考数学压轴题知识点及练习题附解析(1)

一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ．（1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动

点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2，将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置，点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、，将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''，是否存在点E ，使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点．（1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ；（2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ；（3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________；（2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：