解题技巧专题：勾股定理与面积问题
——全方位求面积，一网搜罗
◆类型一直角三角形中，利用面积求斜边上的高
1．(郴州桂阳县期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则C点到AB的距离为【方法1】()
A.
5
36 B.
36
5 C.
33
4 D.
12
25
2．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A，B，C都在网格点上，则AB 边上的高为()
A.
35
5 B.
25
5 C.
35
10 D.
32
2
第2题图第6题图
◆类型二结合乘法公式巧求面积或周长
3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为()
A．96 B．49 C．24 D．48
4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm
C．(5＋37)cm D．12cm
◆类型三巧妙分割求面积
5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
◆类型四“勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为()
A.14cm B．4cm C.15cm D．3cm
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为()
A．4 B．36 C．16 D．55
第7题图第8题图
8．(青海中考)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S9的值为()
A.????
1
2
6
B.????
1
2
7
C.????
2
2
6
D.????
2
2
7
◆类型五“赵爽弦图”中有关面积的计算
9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34
第9题图第10题图
10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是()
A．①②B．①②③
C．①②④D．①②③④
参考答案与解析
1．B
2．A解析：过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC＝22－
1
2×1×2－
1
2×1×1－
1
2×1×2＝
3
2，又∵S△ABC＝
1
2AB·CD，∴
1
2AB·CD＝
3
2.∵AB＝1
2＋22＝5，∴CD＝
35
5.故选A.
3．C解析：设该直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有a＋b＝14①，a2＋b2＝102②.①两边同时平方，得a2＋b2＋2ab＝142，所以2ab＝96，所以ab＝48，
1
2ab＝24.故选C.
4．D
5．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝52＋122＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝
1
2AD＝
1
2×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝AC2－AE2＝132－52＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝
1
2AB·BC＋
1
2AD·CE＝
1
2(12×5＋10×12)＝90.
6．A7.C
8．A解析：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2＋CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2＋S2＝S1.观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝
1
2S1＝2，S3＝
1
2S2＝1，S4＝
1
2S3＝
1
2，…，∴S n＝?
?
?
?1
2
n－3
.当n＝9时，S9＝????
1
2
9－3
＝????
1
2
6
.故选A.
9．B解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.故选B.
10．B解析：由题意得
??
?
??x2＋y2＝49①，
（x－y）2＝4②，
①－②得2xy＝45③，∴2xy＋4＝49，①＋③得x2＋2xy＋y2＝94，∴x＋y＝94，∴①②③正确，④错误．故选B.
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2. 参考答案与解析 1．D 2. 3 55解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC ＝3×3－ 1 2×2×1－ 1 2×2×1－ 1 2×3×3－1＝9－1－1－ 9 2－1＝ 3 2，AB＝1 2＋22＝5，∴ 1 2×5h＝ 3 2，∴h＝ 35 5.故答案为 35 5.
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图
１．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为2 2 2 ()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于 直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90 C ∠=?，则c =，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理:如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边. ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>， 时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
图14.1.3G F E D C B A 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直 角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关 系吗请说明 理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗你能得出什么结论吗 2.如图（2）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗请说明理由 3. 如图（3）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边 的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以Rt ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 （2） （3） (41 242334图14.1.4 B 8题图
5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的面积为64cm2，则正形7的边长为。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，求（a+b）= 。 8. 有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三 角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面 积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三： 1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠= ?，则c = b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量 关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长 边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠ A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边长为9cm，则正方形A ，B，C，D的面积之和为________cm2. 9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．
17.1 勾股定理 技巧1利用勾股定理计算线段的长 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3． (1)求DE 的长； (2)求AB 的长及△ADB 的面积． 解析：(1)根据角平分线的性质得出CD ＝DE ，从而DE ＝3； (2)首先利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积． 解：(1)∵ AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴ CD ＝DE ． ∵ CD ＝3，∴ DE ＝3． (2)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AB 10， ∴ △ADB 的面积为 S △ADB ＝12AB DE ＝1103152 ××＝． 技巧2利用勾股定理解决折叠问题 如图所示，将长方形ABCD 沿着BD 折叠，使点C 落在 C'处，BC'交AD 于点E ，若AD ＝8．AB ＝4． (1)求△BDE 的周长； (2)求△BDE 的面积． 解析：(1)由将长方形ABCD 沿BD 折叠，知C'D ＝CD ， ∠C ＝∠C'，∠1＝∠2，可证BE ＝DE ，即AE ＋BE ＝AD ．在Rt △ABE 和Rt △BCD 中，利用勾股定理求出BE ，BD 的长，进而求出△BDE 的周长； (2)由题意，知C'＝90°，即DC'⊥BC'，则S △BDE ＝ 12 BD ·C'D ． 解：(l )∵ 将长方形ABCD 沿着BD 折叠， ∴ CD ＝C'D ，∠C ＝∠C'，∠1＝∠2． 又∵ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ BE ＝DE ． 设BE ＝DE ＝x ，则AE ＝8－x ． 在Rt △ABE 中，BE 2－AE 2＝AB 2， 即x 2一(8一x )2＝42， 解得x ＝5，即BE ＝DE ＝5． 在Rt △BCD 中， BD ∴ △BDE 的周长为BE ＋DE ＋BD ＝10＋ (2)∵ ∠C'＝90°，∴ DC'⊥BC'．
《勾股定理》方法学习 【例1】 在△ABC 中，已知∠B=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=5，b=12，求c 2． 【分析】 由∠B=90°,知b 才是斜边（如图） ，所以a 2＋c 2= b 2,注意不要受思维定势（勾 股定理的表达式：）的影响而误认为c 是斜边 【解答】 由∠B=90°,则知b 是Rt △ABC 的斜边， 由勾股定理，得c 2=2 2 b a -=22 125-=119． 【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解． 【例2】如图，在△ABC 中，AB = 25，AC = 30，BC 边上的高AD = 24，求BC 的长. 【分析】本例不能直接求出BC 的长，但通过观察图形可以发现BC 边上的高AD 把△ABC 分成了两个直角三角形，可以分别在两个直角三角形中救出BD 、DC 的长，从而救出BC 的长。 【解答】在直角三角形ABD 中，由勾股定理，得 BD 2=AB 2－AD 2=252－242=49，所以BD=7 ； 在直角三角形ADC 中，由勾股定理，得 CD 2=AC 2－AD 2=302－242=324，所以CD=18. 所以，BC = BD + DC = 7 + 18 = 25. 【总结】在直角三角形中已知两条边可以应用勾股定理救出第三条边，要注意发现题 目中的直角三角形，从而找到解题的思路。 【例1】用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称 例1图 例2图 直角三角形中有关边的计算 数形结合 例1图
为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的． 观察，你能验证222c a b =+吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流． 【分析】仔细观察图形，可以看出图中以c 为边的正方形面积有两种不同表示形式：即可以利用边长为C 来表示也可以用四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积来表示。 【解答】由图可知 S 正方形 =21 4()2 ab b a ?+- =222222ab b a ab a b ++-=+． S 正方形 =2c ，所以222a b c +=． 【总结】本例通过拼图来验证勾股定理，体现了“数形结合”的思想，需要对图形进行细致观察、分析，如图形中小正方形的边长为()b a -． 【例2】如图如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…己知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为n Sn S S (,32 为正整数），那么第8个正方形的面积8S = 【分析】求解这类题目的关键策略是：从特殊到一般，即先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得到一般规律，再利用其一般规律求解所要解决的问题． 2212223411,24,8 S S AC S AE S HE ======== 照此规律可知：16425==S 观察数1、2、4、8、16得4 3 2 1 216,28,24,22,21=====于是可得12-=n n S 因此128227188===-S 【解答】填：128. 【总结】本题利用了正方形是由两个全等的等腰直角三角形构成这个特点，在解题时要注意分析图形的构成。 【例1】在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而 例2图 勾股定理的综合应用
面积法与勾股定理 例.如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD ⊥AB 与D,求： （1），AC 的长；（2）⊿ABC 的面积；（3）CD 的长。 （7分） 解：在Rt △ABC 中，4352222=-=-=BC AB AC 6342 121=??=?=?BC AC S ABC 面积法： 652121=??=?= ?CD CD AB S ABC ∴512=CD 练习1.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，若AC=12，BC=5，则CD= . 解：在Rt △ABC 中，135122222=+=+=BC AC AB CD AB BC AC S ABC ?=?=?2 121 面积法：∴CD 13512=? ∴1360= CD 练习2、如图，长方形长AB=24，宽AD=10。（1）求BD 的长；（2）求点C 到BD 的距离。 解：在Rt △DAB 中，2624102222=+=+= AB AD BD 根据△DCB 中，CE DB CD BC ?=?2121,CE ?=?262410,13 120=CE 练习3.等腰三角形底边长为８cm,腰长为５ cm,则腰上的高为 .
解:求得底边上的高为3，面积法h 52 13821?=??，8.4=h 例2．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm 面积法 10862222=+=+=BC AC AB OD BC OF AB OE AC BC AC ?+?+?=?2 1212121 x x x 810686++=?，2=x 练习2、如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7,BC=24,三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ） （A ）1 (B)3 (C)4 (D)5 C O A B D E F 第18题图 A B P C
一、方程思想 例1 如图1，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长． 分析 设EC x =，则8DE x =-，由于折叠矩形的边AD 且D 落在点F 处，故AFE △和ADE △完全重合，则8EF x =-，10AF AD ==，在Rt EFC △中运用勾股定理，即可得到关于x 的方程，即可求出x 的值． 解 因为D ，E 关于AE 对称，所以AFE △和ADE △完全重合，即10AF AD BC ===，DE EF =，设EC x =，则8DE x =-， 所以在Rt ABF △ 中，由勾股定理，得6BF = =， 所以4FC BC BF =-=， 在Rt EFC △中，由勾股定理，得2224(8)x x +=-，解得3x =， 所以EC 的长为3cm ． 说明 折叠问题和轴对称紧密相关，要注意分清对称轴，在求解这类问题时可以根据题意引进未知数，利用勾股定理来布列方程即能简易求解． 例2 如图2，ABC △中，22.5B ∠=，60C ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD =AE BC ⊥于E ，求EC 的长． 分析 由条件22.5B ∠=和AB 的垂直平分线交BC 于D 可想到连结AD ，这样就可以充分运用条件，构造方程求解． 解 连接AD ，则AD BD =， 因为22.5B ∠=，所以45ADE ∠=，所以AE DE =， 因为BD = 222AE =，即6AE =． 在Rt AEC △中，60C ∠=，则2AC EC =， 设EC x =，则2A C x =， 由勾股定理，得2226(2)x x +=， 得x = 即EC = 说明 遇到含30的直角三角形时一定要注意：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的使用．即含30的直角三角形中三边之比是 图1 F 图2 C
勾股定理典型练习题 1、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由 边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ） A 、90 B 、100 C 、110 D 、 121 2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94 3、如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E ，F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A 、34 B 、33 C 、32 D 、3 4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） A 、 4 B 、6 C 、16 D 、55 5、如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S1=S2 B ．S1＜S2 C ．S1＞S2 D ．无法确定 6.已知：如图，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为_____。 7.如图，以AB 为直径画一个大半圆，BC=2AC ，分别以AC ，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于 ______。 8.如图，直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，以AB 为直径画半圆，若阴影部分的面积S1-S2= 2 π ，则BC= _____。 9、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°．在AB 的同侧分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2． （1）求证：S1+S2=S△ABC； （2）若Rt△ABC 的周长是 62+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和． 10、（1）如图4，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD ，分别以AB 、CD 、AD 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为 ________。请说明理由。 （2）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB ，分别以DA 、BC 、DC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间数量的关系是（ ） A ．S 1+S 2=S 3 B 、S 1+S 2= 2 1S 3 C 、S 1+S 2= 31S 3 D 、S 1 +S 2 =4 1S 3 11、（a ）如图（1）分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示 S1、S2、S3则它们有 _________ 2题 3题 4题
专题复习一 勾股定理 常见勾股数如下： 3、常见平方数： 121112=； 144122=； 169 132=； 196142=； 225152 =；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400 202=；441212 =； 484222= 529232=； 576 242=； 625252=； 676262=；729272 = 4、已知斜边和一条直角边求另一条直角边 由a 2+b 2=c 2可得 a 2= c 2- b 2=(c+b) (c-b) （平方差公式） 例如，已知c=61, b=60, 则 a 2= c 2- b 2 = (61+60) (61-60) =121, 则 a=11 已知c=41, b=40, 则 a 2= c 2- b 2 = (41+40) (41-40) =81, 则 a=9 已知c=17, b=8, 则 a 2= c 2- b 2 = (17+8) (17-8) =25 x 9=52 x 32= (5 x 3)2 则 a = 5 x 3 =15 5、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 如图，CD 为斜边AB 的中线，过D 作D E ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F 在RT ▲ADE 和RT ▲DBF 中， ∠DAE=∠BDF , AD=DB ∠ADE=∠DBF RT ▲ADE ≌RT ▲DBF ∴ EA=FD, 有因CEDF 为矩形， ∴FD=CE=EA=1/2 CA RT ▲ADE ≌RT ▲CDE ∴ CD=AD=DB=1/2 AB 6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半 7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等 8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。该点称三角形的内心（内切圆圆心）。 9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点。该点称三角形的垂心 10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。该点称三角形的重心。 11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点。该点称三角形的外心（外接圆圆心）。 12、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，︱a-b ︱﹤c ﹤a+b 13、三角形面积计算公式：S=2 1 底边长 x 高 14、垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分 线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 15、点A 沿某一条线段（EF ）折叠至点B ，折线EF 。则折线EF 垂直平分线段AB 。 16、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形判断 ：根据勾股定理a 2+b 2=c 2可判断c 边的对角 C 是否为直角。 若a 2 +b 2 >c 2 ， 则∠C 为锐角； 若 a 2 +b 2 =c 2 则∠C 为直角； 若a 2 +b 2 17 16 C A B D 勾股定理与面积法 学习目标：熟练应用勾股定理和面积法列方程解决求值问题。培养化归思想和方程思想。 学习过程： 例1学习：如图，Rt △ABC 的两直角边为3，4。求斜边上的高CD 。 3 4 A B D 归纳：我们有Rt △ABC 的两种面积表示方法 BC AC ?2 1 和 。 像这样，用两种面积表示方法表示同一图形的面积，从而建立方程来解决问题的方法叫面积法．．．.． 练习：如图，Rt △ABC 的一直角边为5，斜边长13。求斜边上的高CD 。 5 C A B D 例2学习：如图，等腰三角形的三边为17㎝，17㎝，16㎝。求腰上的高CD 。 分析：由CD 为高想到此三角形的面积可以表示为CD AB ?21 ，如果知道BC 边上的高，就可以用面积法建立方程求出CD 。 解:作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） ∴CE= 练习：如图，等腰三角形的腰长为17㎝，底边上的高AE 为15㎝。求腰上的高CD 。 C B B C A B 例3学习：等腰三角形的腰长为5，面积为12。求它的底边BC 的长。 首先我们想到：根据面积可以求出腰上的高，但是腰上的高是在三角形的内部还是外部呢？看来我们要分两种情况。先求出CD=4.8，然后求出AD= 再求出BD= 或 最后求出BC= 或 接下来我们想一想等腰三角形三线合一的性质，我们可以作底边的高构造直角三角形，就不需要分类了。 我们可以根据面积列一个方程，还可以根据勾股定理列一个方程。由方程组可以解决这个问题。 解：作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） 设BE=x=CE,AE=y. (注意2x 的值才是要 求的答案) 由Rt △AEC 得 =+22y x 由三角形面积得 =xy 练习： 1.设直角三角形的三边为a ，b ，c ，斜边c 上的高为h 。 （1）a=6，b=8，求h （2）a=5，c=13，求h （3）b=24，c=25，求h 2.三角形的三边长如图所示，求BC 边上的高。 3.三角形ABC 中，AB=24，AC=13，∠B=30度。求BC 的长。（先把图形画出来） B C E 4 A C B 精品文档 精品文档 例1 如图1，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长． 分析 折叠问题和轴对称紧密相关，要注意分清对称轴，在求解这类问题时可以根据题意引进未知数，利用勾股定理来布列方程即能简易求解． 例2 如图2，ABC △中，22.5B ∠=o ， 60C ∠=o ，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD =AE BC ⊥于E ，求EC 的长． 分析 由条件22.5B ∠=o 和AB 的垂直平分线交BC 于D 可想到连结AD ，这样就可以充分运用条件，构造方程求解．遇到含30o 的直角三角形时一定要注意：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的使用． 例3 已知一个直角三角形的两边长是3cm 和4cm ，求第三边的长． 分析 已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论． 例4 一个等腰三角形的周长为14cm ，一边长4cm ，求底边上的高． 分析 一边长4cm ，并没有指明是底边还是腰，所以应分类讨论．这里对等腰三角形的分类讨论，实际上就是对直角三角形的边的讨论． 例5 在一棵树的10米高处有两只猴子，其中 一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 分析 根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解．勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联． 例6 如图4，长方体的长为15cm ，宽为 10cm ，高为20cm ，点B 距点C 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？ 分析 由于蚂蚁是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体转化展开成平面图形，根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的路线有两种可能（如图5、图6）利用勾股定理容易求出图5、图6中AB 的长度，比较后即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 说明 这里原本是求最短距离，却转化成研究长方体的展开图问题， 但最终还是利用勾股定理求两点间的距离问题． 图 3 B 图1 F 图2 C 图5 B A 图6 A B 图4 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期： 勾股定理与面积问题 一、知识回顾 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2+ b2= c2。 公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2。 二、典型试题 类型一：求出相应边长度，利用公式求面积 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 类型二：巧妙分割，构造直角三角形求面积 2、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积。 类型三：求“勾股树”形图形的面积 3、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ ABC 的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，则图中空白部分的面积是 . 小结: 勾股定理与三角形面积 ?求出相应边长度，利用公式求面积 ?巧妙分割，构造直角三角形求面积 ?求“勾股树”形图形的面积 勾股定理与折叠问题 一、解题步骤归纳： 1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。 二、典型试题 类型一：折叠直角三角形 类型二：折叠长方形 如图所示，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，点D 落在BC 边的F 处。已知AB=CD=8cm ，BC=AD=10cm ，求EC 的长。 E F D C B A 勾股定理与分类讨论 一、 典型试题 类型一：直角边、斜边不明求长度 1、如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x 等于__________. 2、已知一个直角三角形的两边长为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的周长为__________________. 类型二：动点位置不明求长度 1、在Rt △ABC 中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P 在直线AC 上（不与A 、C 重合），且∠ABP=30°，则CP 的长为_________________. 类型三：腰不明，与勾股定理结合求长度 1、在等腰三角形ABC 中，已知其中两边长为6cm 和8cm ，则等腰三角形ABC 中高的 16C B 勾股定理与面积法 学习目标：熟练应用勾股定理和面积法列方程解决求值问题。培养化归思想和方程思想。 学习过程： 例1学习：如图，Rt △ABC 的两直角边为3，4。求斜边上的高CD 。 A B D 归纳：我们有Rt △ABC 的两种面积表示方法BC AC ?21和 。 像这样，用两种面积表示方法表示同一图形的面积，从而建立方程来解决问题的方法叫面积法．．．.． 练习：如图，Rt △ABC 的一直角边为5，斜边长13。求斜边上的高CD 。 C A B D 例2学习：如图，等腰三角形的三边为17㎝，17㎝，16㎝。求腰上的高CD 。 分析：由CD 为高想到此三角形的面积可以表示为CD AB ?21，如果知道BC 边上的高，就可以用面积法建立方程求出CD 。 解:作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） ∴CE= 练习：如图，等腰三角形的腰长为17㎝，底边上的高AE 为15㎝。求腰上的高CD 。 C B B C A B 例3学习：等腰三角形的腰长为5，面积为12。求它的底边BC 的长。 首先我们想到：根据面积可以求出腰上的高，但是腰上的高是在三角形的内部还是外部呢？看 来我们要分两种情况。先求出CD=4.8，然后求出AD= 再求出BD= 或 最后求出BC= 或 接下来我们想一想等腰三角形三线合一的性质，我们可以作底边的高构造直角三角形，就不需要分类了。 我们可以根据面积列一个方程，还可以根据勾股定理列一个方程。由方程组可以解决这个问题。 解：作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） 设BE=x=CE,AE=y. (注意2x 的值才是要 求的答案) 由Rt △AEC 得 =+22y x 由三角形面积得 =xy 练习： 1.设直角三角形的三边为a ，b ，c ，斜边c 上的高为h 。 （1）a=6，b=8，求h （2）a=5，c=13，求h （3）b=24，c=25，求h 2.三角形的三边长如图所示，求BC 边上的高。 3.三角形ABC 中，AB=24，AC=13，∠B=30度。求BC 的长。（先把图形画出来） B C E 4A C B勾股定理与面积法
勾股定理解题技巧知识讲解
{word试卷}北师大版八年级数学上册勾股定理与面积问题(仅供参考)
勾股定理与面积法
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