三视图的介绍
能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图（主视图，俯视图，左视图三个基本视图）为三视图，这是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式。
一、概述
三视图能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图（主视图，俯视图，左视图三个基本视图）为三视图，这是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式。二、定义
三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图（侧视图）——能反映物体的左面形状，还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图（侧视图）的总称。
三、特点
一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
名师精编优秀资料 投影与视图； 一．投影： 1.光源 点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源。 平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源 2.概念 定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （1）平行投影： 由平行光线（太阳的光线是平行光线）形成的投影。 （2）中心投影： 由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。 （3）两者区别与联系： 区别 光线物体与投影面平行 联系 时的投影 平行投影平行的投射线全等都是物体在光 线的照射下，在某中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换) 个平面内形成的影 子。(即都是投影) 3.投影知识点： 测量同一时刻物体的高度和影长时： ①若两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是平行投影。 ②若两物体的高度之比不等于影长之比时，则这两个物体的影子是中心投影 4.投影的性质： ①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。 ②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。5．易错题整理： 1）直线的平行投影一定是直线（×）原因： 2）矩形的投影一定是矩形（×）原因： 3）一个圆在平面上的投影一定是圆。（×）原因： 二．视图： 1.概念： 用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。 2.分类： 视图有：主视图、左视图、俯视图 3.正方体的主要视图及展开： 正方体的展开图有11种： 1）1-4-1型：6种 2）2-3-1型：3种 3）2-2-2型：1种 4） 3-3 型：1种 4.看视图确定物体有多少正方体组成：在俯视图中画圈标注法，取较小数值的和。
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结 知识精讲 一、空间几何体的直观图 1.斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下: (1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,Ox Oy ,建立直角坐标系. (2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在 直观图中画成平行于'','',O x O y 使'''45x O y ∠=o (或135o ), 它们确定的平面表示水平平面. (3)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于'x 轴的线段, 且长度保 持不变; 在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于'y 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”. (4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚 线. 注: 直观图和平面图形的面积比为2:4. 2.平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点. 二、空间几何体的三视图 1.三视图的概念 将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度. 2.作、看三视图的三原则 (1)位置原则: 度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽 虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚 俯视图 几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度 口诀 正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等 三、常见几何体的直观图与三视图 常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.
三视图还原解读 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学(包括一些空间想象能力挺强的同学)造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道5分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．本文就三视图还原总结为“三线交汇得顶点”现从这道高考题入手． 2014年高考全国I 卷理科第12题：如图，网格纸上小正方形 的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各 条棱中，最长的棱的长度是（） A．B．6 C．D．4 正确答案是B． 解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正 方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）： 第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在 的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图 中红线上的点投影而成的． 第二步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段， 用蓝线表示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段， 用绿线表示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不 行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至 此，易知哪条棱是最长棱，求出即可 大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以七字真言扫天下了． 此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合。 由三视图画直观图的方法 由立体图形的三视图想象直观图一向是诸多考试的必考项目，而这也 恰好是很多空间想象能力不足的同学的噩梦．其实利用三视图的原理可以 很有效的帮助直观图的建立，下面结合一例说明这一方法， 三视图选自2015年北京市东城区高三一模理科数学选择第7小题．
中考数学三视图知识点分享 我们为大家收集整理了关于中考数学三视图，以方便大家参考。能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图（主视图，俯视图，左视图三个基本视图）为三视图，这是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式（1）三视图： 是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的 左面形状。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （2）特点： 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进
行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且
1.下列三视图中与立体图相对应的是那一个。( B ) 2.已知物体的主、左视图，选择正确的俯视图（ B ）。 3.已知物体的主、左视图，选择正确的俯视图（ B ）。 4.已知物体的主、左视图，选择正确的俯视图（ B ）。 5.已知物体的主、俯视图，选择正确的左视图（ D ）。
6.已知物体的主、俯视图，选择正确的左视图（ B ）。 7.已知三视图，选择正确的轴测图。（ D ） 8.已知三视图，选择正确的轴测图。（ B ） 9.已知三视图，选择正确的轴测图。（ A ）
10.已知三视图，选择正确的轴测图。（ C ） 11.已知轴测图，选择正确的三视图。（ D ） 12.已知轴测图，选择正确的三视图。( C ) 13.已知轴测图，选择正确的三视图。( B )
14.已知轴测图，选择正确的三视图。( D ) 15.P平面于投影面，在正立投影面上的投影反映实。（ D ） a、平行、侧立 b、垂直、水平 c、垂直、正立 d、平行、正立 16.Q平面于投影面，在该正立投影面上的投影具有积聚性。( C ) a、平行、侧立 b、垂直、水平 c、垂直、正立 d、平行、正立 17.AB直线于投影面，在正立投影面上的投影反映实长。（ D ） a、平行、侧立 b、垂直、水平
c、垂直、正立 d、平行、正立 18.P平面于投影面，在正立投影面上的投影为类似形。（ A ） a、倾斜、正立。 b、平行、水平。 c、垂直、正立。 d、倾斜、侧立。 19.Q平面于投影面，在正立投影面上的投影积聚成直线。（ B ） a、倾斜、正立。 b、平行、水平。 c、平行、正立。 d、倾斜、侧立。 20.Q平面于投影面，在正立投影面上的投影反映实形。（B ） a、倾斜、正立。 b、平行、正立。 c、垂直、正立。 d、倾斜、侧立。 21.P平面____于______投影面，在正立投影面上的投影为类似形。（ A ） a、倾斜、正立。 b、平行、正立。 c、垂直、正立。 d、倾斜、侧立。
高中数学 | 三视图还原——七字真言闯天下 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧． 2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）： 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（） A． B． C． D． 正确答案是 B． 解由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原． 先画出一个正方体，如图（1）： 第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．
第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可． 大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以七字真言扫天下了． 注一此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合．注二参考文章： 下面给出一道练习． 如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为______． 答案是． 提示如图．
知识点：三视图，展开图 （1）（2008年四川宜宾）下面几何的主视图是( B ) （2）（2008年浙江衢州）下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一下直三棱柱的是( ) （3）(08浙江温州)由4个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，它的左视图是（） （4）（2008淅江金华）在生活和生产实践中，我们经常需要运用三视图来描述物体的形状 和大小。小亮在观察左边的热水瓶时，得到的左视图是（B ）
（5）(2008浙江义乌)下列四个几何体中，主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是( C ) Ａ．正方体Ｂ．圆锥Ｃ．球D．圆柱 （6）（2008山东威海）下图的几何体是由三个同样大小的立方体搭成的，其左视图为（） （7）（2008湖南益阳）一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（） A. 4cm~5cm之间 B. 5cm~6cm之间 C. 6cm~7cm之间 D. 7cm~8cm之间 （8）（2008湖南益阳）如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是（B） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 （9）（2008年山东滨州）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ D ） A、B、C、D、 （10）（2008年山东临沂）如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（ C ）A．1000π㎝3B．1500π㎝3 C．2000π㎝3D．4000π㎝3
（11）(2008年辽宁十二市)图2是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ D ） （12）(2008年浙江绍兴)将如右图所示的绕直角边旋转一周，所得几何体的 主视图是（ A ） （13）(2008年天津市)下面的三视图所对应的物体是（ A ） （14）(2008年沈阳市)如图所示的几何体的左视图是（ A ）
高中数学立体几何知识 点归纳总结 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正 棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱
底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形 底面为正方形 棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
俯视图 主（正）视图左视图“三视图”考点归纳 江苏 庄亿农 由于近年来中考越来越注重能力的考查，因而几何体的三视图成为考试的一个热点，这类题不仅考查了同学们的空间想象能力，同时更注重动手操作能力的考查．现对考点归纳如下，供同学们参考． 一、由几何体，识别其视图 例1（2006年泰州市）下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是 ( ) 析 解：这 道题主要考查 的是由几何体来识别其视图．从上面看，共有2行，第一行只能看到3个小正方体，第二行2个小正方体，所以俯视图是D ，故应选D ． 点评：我们从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同方向观察同一物体，描绘三次所看到的图，即为三视图．从正面看到的图形叫做主视图；从左边看到的图形叫做左视图；从上面看到的图形叫做俯视图． 二、由视图，确定几何体 例2（2006年眉山市）一个物体的三视图如图所 示，该物体是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 析解：由正（主）视图可知，此几何体是锥体，可排除A 、D ；再结合俯视图和左视图可知，此几何体是圆锥，故应选B ． 点评：由三视图确定几何体的形状要借助三个视图进行综合分析、想象，同时合理的猜想、结合生活经验进行估测也非常重要． 三、由视图，确定小立方块个数 例3（2006年成都市）右图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 析解：观察主视图，从左到右每列中小立方块的个数依次为1、2、2；将数字填入俯视图中从左到右的每列小正方形中（每个小正方形中左边的数字）；观察左视图，从左到右每 行小立方块的个数依次为1、2、1，将数字填入俯视图中从上到下的每行小正方形中（每个小正方形中右边的数字）；取图中每个小正方形中一对数字中较小的一个数（两数相等则任取一个），于是可求得搭成的几何体所用的小立方块的个数是1+1+1+2+2+1=8，故应选D ． 点评： 解这类问题的一般思路是先根据主视图和左视图确定出俯视图中每个小正方形相应位置上的小立方块的个数，再求出组成这个几何体所用的小立方块的个数． 四、由俯视图及小立方块个数，识别其它视图 例 4（2006年常州市）下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图， 小正 B C D A
投影与三视图 一、视角与盲区 如图,小明眼睛的位置称为视点 由视点出发的线称为视线, 两条视线的夹角称为视角. 小明看不到的地方称为盲区。 哪个区域是盲区？ 小丽坐在哪里,小明就可以看到明她？ 二、投影： 1、定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （1）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影。 （2）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。 （3）两者区别与联系： 区 别 联系 光线 物体与投影面平行时的投影 平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影) 中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换) 例1. 有两根木棒AB 、CD 在同一平面上竖着，其中AB 这根木棒在太阳光下的影子BE 如下图所示，则CD 这根木棒的影子DF 应如何画？ 分析：利用平行投影的相关性质。 解析：画法： （1）连接AE 小明 小丽
（2）过点C作CF//AE （3）过点D作DF//BE，交CF于F，则DF即为所求。 点评：要解决此题首先要知道这两个物体都是竖直在地面上，而且是由太阳光即平行光所照射，则可知连接AE，过C点作CF平行AE，作DF//BE，交点为F，则DF为所求CD的影子。通过本题理解平行投影的性质。 三、简单物体的三视图： 1、正投影：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面产生的投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。 如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。 2、三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （1）从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状。（2）从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状。（3）从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。 三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 3.投影规则：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等。（图2） 4. 三视图-画法： 根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规
必修2 第一章 空间几何体知识点总结 一.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 二.空间几何体的直观图 斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450 （或1350 ） ③画对应图形 在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变； 在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：4 2S ?=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 h S V ?=柱体h S V ?=3 1锥体 () 1 3 V h S S S S =+?+下下 台体上上 球的表面积和体积 3 2 3 44R V R S ππ= =球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 一. 平面基本性质即三条公理 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线 在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号 语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈????∈∈? ,,,,A B C A B C α ?不共线确定平面 ,l P P P l αβαβ=?∈∈??∈? 作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线 公理2的三条推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 二．直线与直线的位置关系 共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交） 三．直线与平面的位置关系有三种情况： 在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α 说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 1．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： ////a b a a b ααα?? ?????? 2．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: a a a b b α βαβ??=? ?? ??
一．方法综述 三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据. 还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法： （1）三视图为三个三角形，对应三棱锥； （2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； （3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥； （4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥； （5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱. 对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体. 二．解题策略 类型一构造正方体（长方体）求解 【例1】【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【指点迷津】正视图、侧视图是三角形，考虑底面顶点数是四，是四棱锥． 【举一反三】 1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
专题13 三视图与展开图 1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。 2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 （1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。 （2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。 （3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图 在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。 3.展开图： 平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。 【例题1】（2019?四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形． 专题知识回顾 专题典型题考法及解析
【例题2】（2019?甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为． 【答案】（18+2）cm2． 【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）． 【例题3】（2019?江苏连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形． 由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
数学高考题型专题讲解33 ---复杂的三视图问题 一．方法综述 三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据. 还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法： （1）三视图为三个三角形，对应三棱锥； （2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； （3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥； （4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥； （5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱. 对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体. 二．解题策略 类型一构造正方体（长方体）求解 【例1】【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有： 共三个，故选C. 【指点迷津】正视图、侧视图是三角形，考虑底面顶点数是四，是四棱锥． 【举一反三】 1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A.16 B.13 C. 12 D.1 【答案】 B 【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC ，其中点A 为中点，所以6 11112131V ABC -P =????=.故选B. 2、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
投影与视图 知识梳理 【知识网络】 【考点梳理】 一、投影 1．投影 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面． 2．平行投影和中心投影 由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．（1）平行投影：平行光线照射形成的投影（如太阳光线）。当平行光线垂直投影面时叫正投影。 投影三视图都是正投影。 （2）中心投影：一点出发的光线形成的投影（如手电筒，路灯，台灯） 3．正投影 投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影． 要点诠释：正投影是平行投影的一种． 二、物体的三视图 1．物体的视图 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图． 我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图． 要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象． 2．画三视图的要求 (1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图． (2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。三个图的位置展示： 要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．（1）主视图： 三视图（2）左视图： （3）俯视图：
投影与视图专题练习 类型一：平行投影 1.有两根木棒AB、CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图（1）所示，则CD这根木棒的影子DF应如何画 2.如图所示，某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=米.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光若影响，挡住该住户窗户多高若不影响，请说明理由.（参考数据：2≈，3≈，5≈） 3.如图所示，在一天的某一时刻，李明同学站在旗杆附近某一位置，其头部的影子正好落在旗杆脚处，那么你能在图中画出此时的太阳光线及旗杆的影子吗 4.已知，如图所示，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.
三视图还原 ——七字真言闯天下 一、首先要掌握简单几何体的三视图。 正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。 二、掌握简单组合体的组合形式。 简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。 三、三视图之间的关系。 几何体的长：正视图、俯视图的长； 几何体的宽：俯视图的高、侧视图的长； 几何体的高：正视图、侧视图的高。 （口诀：主俯定长，俯左定宽，主左定高）（下面） 左视左侧（后面）正视左侧 （左面）正视右侧 （右面）左视右侧（前面） （下面） 四、清楚三视图各个线段说表示几何体位置，如上图所表示。 五、由三视图画出直观图的步骤和思考方法。 1、组合类题型，往往很简单，基本可以通过简单想象直接还原； 2、有两个视角为三角形，为椎体特征。选择底面还原（求体积可不用还原）； 3、凡是想不出来的，可用七字真言还原。（不到万不得已，不用此法） 前面 俯视左侧 （左面）
【类型一】：（三线交汇得顶点，四顶相连无悬念）
例2： 练习1练习2 类型二】： （三线交汇得顶点，各顶必在其中选、多顶可能用不完，个中取舍是关键。）例3：
连接这五个点的四棱锥，不满足俯视图。 而顶点又必须在这五点交点中， 所以当点数超过4个，可能不需要全部连接， 则这些点有所取舍。 第一取舍法：俯视图看到的面不可以为上面四个点构成的整个四边形，而是中间有一条折痕，故只能说左半边三角形乡下折。即舍弃前面左上方的点。 故得， 第二取舍法：正视图看，已标记下面的点必不可少； 从俯视图看，上面有3个点必不可少； 又不能全部连接，故只能舍弃前面左上方的点。 第三取舍法：口诀：实线两端的点保留，虚线两端的点待定。 从俯视图一看，便知道答案了。 第四取舍法：见下文。 【类型三】：（八点齐飞，直观图不唯一） 例4 此题八点齐飞，通过类型二中的第三取舍法，我们很容易就能还原出来。 答案见下一页，先试试再翻页吧
投影与视图知识点总结 知识点一：中心投影 有关概念 1.投影现象：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这 就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。 2.手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成 的投影称为中心投影 3.作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的 交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。 例：路灯下站着小赵、小明、小刚三人，小明和小刚的影长如下图，确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子． 知识点2：视点、视线和盲区 观测点的位置称为视点 由视点发出的观测线称为视线 视线不能穿过障碍物，若视线遇到障碍物，则会有观测不到的地方，就称为 盲区。 例：如图所示，现有m、n两堵墙，两个同学分别站在A和B处，请问在哪个区域内活动才不会被两个同学发现(用阴影表示该区域)． n
知识点三：平行投影及应用 1.平行投影的定义 太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影 当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影 2.平行投影的应用： （1）等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。 （2）等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。 3.作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子 的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。 例1：如图,小华(线段CD)在观察某建筑物AB （1）请你根据小华在阳关下的影长（线段DF），画出此时建筑物AB在阳光下的影子。 （2）已知小华身高1.65m,在同一时刻，测得小华和建筑物AB的影长分别为1.2m 和8m，求建筑物AB的高。 例2：小明在公园游玩，想利用太阳光下的影子测量一颗大树AB的高，他发现大树的影子恰好落在假山坡面CD和地面BC上，如图所示，经测量CD=4m，BC=10m，CD与地面成30度的角，此时量得1m标杆的影长为2m，请你帮助小明求出大树AB的高度？
三视图的画法及技巧 贵州省遵义市新蒲新区虾子镇中学：康成舜（563125） 三视图：我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的 图形。其中，把从正面看到的图叫做正视图，从左面看到的图叫做侧 视图，从上面看到的图叫做俯视图。三者统称三视图。本节内容是学 生从平面图形过渡到立体图形的一个关键之处。从概念上看很简单, 但让学生动手操作，学生就感到为难了，现在就本人从事数学科教学 十几年的经验与大家一起分享。 一、三视图分为主视图、左视图、俯视图 从上面看到的图 从正面看到的图 从左边看到的图 体的三视图时 左视图侧视图，俯视俯所画1的位
如图所示,且要符合如下原则： 主俯长对正、主左咼齐平、左俯宽相等 长对正 J 咼 1 k A F 1 _____________ 1 :正视冬 : : 侧视图 1 正视图方向 宽相等 俯视图方向 侧视图方向 f / ---- 长
三、作图步骤 俯视图方向 侧视图方向 正视图方向 1.确定正视图方向 2. 布置视图 3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图（一般为正视图） 4. 运用长对正、高平齐、宽相等1 原则画出其它视图 5.检查 要求：俯视图安排在正视图的正侧视图安排在正视图的正右方。
正视图 侧视图 俯视图 四、例题解析。 例1由一些大小相同的小正方体组成简单的几何体的主视图和俯视图(1)请画出这几何体一种左视图, (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n,请写出n的 所有可能值。 ①左视图有五种情况 例2、如图是小正方体搭成的几何体俯视图，小正方形中的数字
表示该小正方体的个数，请画出它的主视图和左视图。 例 3、已知某棱柱的俯视图如图所示，请试着画出它的主视图和 本文都是教学中的一些经验之谈，在具体的解题过程中，还需 要同学习视具体情况而定。只要同学们在学习过程中多动手、勤动脑, 就没有做不好的题目。一定要相信自己哦。 2 4 1 2 3 左视图。 （左视图）
投影与三视图 一、视角与盲区 如图,小明眼睛的位置称为视匚| 由视点出发的线称为视厂|,两条视线的夹 小明看不到的地方称为盲区。 二、投影： 1、定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫 做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （1） 平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光 中的光线。由平行光线形成的投影。 （2） 中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。 （3） 两者区别与联系： 区 另U 联系 光线 物体与投影面平行 时的 投影 平行投影 平行的投射线 全等 都疋物体在光 线的照射下，在某 个 平面内形成的影 子。 （即都是投影） 中心投影 从一点出发的投射线 放大（位似变换） 例1.有两根木棒 AB CD 在同一平面上竖着，其中 AB 这根木棒在太阳光下的影子 BE 如 下图所示，则 CD 这根木棒的影子 DF 应如何画？ 分析：利用平行投影的相关性质。 解析：画法： （1） 连接AE （2） 过点 C 作 CF//AE 哪个区域是盲区？ 小丽坐在哪里，小明就可以看到明她? 称为视角 小 明
（3）过点D作DF//BE，交CF于F,贝U DF即为所求。 点评：要解决此题首先要知道这两个物体都是竖直在地面上，而且是由太阳光即平行光 所照射，则可知连接AE,过C点作CF平行AE,作DF//BE，交点为F,则DF为所求CD的影子。通过本题理解平行投影的性质。 三、简单物体的三视图： 1、正投影：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面产生的投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。 如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。 2.三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （1）从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状。 （2）从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状。 （3）从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。 三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 3.投影规则：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等。（图2） 4.三视图-画法： 根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体） 后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个 形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。 例2:如下图所示的组合体是由圆柱体和长方体两个基本几何体组成，可分别作出三视图再依情况组合。