届导数一轮复习教学与建议

2018届导数一轮复习教学与建议

导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减性、变化快慢、最大（小)值问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率,以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力工具。

本章内容概念、公式较多，知识比较系统,综合性较强,导数的应用(单调性、极值、最值)是高考的重点和热点,理解概念,熟记公式并灵活运用公式进行运算是复习本板块的基础。

一、考纲解读

从上表中可以看出，函数与导数在高考中多为B级要求，虽没有出现C级要求,但在近年高考中其地位依然不减，复习中应引起足够的重视.

二、高考统计

分析近几年高考试题，从分值来看,约20分左右;从题型来看,一般一道填空题.一道解答题，在填空题中主要考查了导数的几何意义(切线问题）和导数的应用,解答题是作为压轴题出现，体现了函数和导数的综合运用。基础题、中档题、难题都有涉及。在试题难度上，小题主考双基，兼顾能力,大题主考能力,应用题、综合题仍会成为考点和重点.

三、学情分析

历年高考题中的导数大都是以压轴题为主,尤其对于解答题大部分学生感到恐惧，直接放弃。即便是优秀的学生对导数还是没有把握。存在的问题主要如下:

(１)概念不清：对导数定义、对利用导数研究函数性质的原理不能正确理解；

（2)抢分意识不够，有的题就算不会完整的解不出来，但有时也可尽可能的得分；

(3）运算能力不过关，对复杂类型的函数求导变形不熟练；

（4）综合应用能力差,方法过死,不会变通;

（5）思维不严谨,用数形结合代替严密的证明；

(6）对字母的讨论恐惧,或者分类的依据把握不准。

四、复习建议

在复习导数问题时,许多教师会这样的想法：导数作为压轴题太难了，讲了学生也掌握不了不如不讲，在考试时把时间花在导数上不划算，还不如把基础题中档题做好……,因此平时教学时对复杂的问题有意的回避，确保学生能在导数题得分就行了,或者只讲第一问，把答案贴在教室里，让有兴趣的学生自己研究。

在一轮复习时,一味的回避难题也不是办法，其实导数的难题也并非“无迹可寻”。作为应试的策略,先易后难，有选择的“放弃”导数是可以的，但是在直接放弃则不可取。如果教师把这类问题抓在手上加强研究，注重一题多解、多题一解、一题多变,对学生分析、点拨到位，经常帮助学生总结、归类,慢慢学生就会对导数问题有“有法可依”，这样不仅可以提高学生的数学思维水平，更可以提升学生的信心。建议一轮复习时从以下几个方面入手。

1、体系建构很重要

２、基础知识要记牢

(１）函数)(x f y =在0x x = 处的导数)(0x f '就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜

率，即)(0x f k '=；曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为

))(()(000x x x f x f y -'=-

（2)研究函数单调性一般步骤:

①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '

③若求单调区间(或者证明单调区间),只需在函数)(x f 的定义域内解（或证明)不等式

0)(>'x f 或0)(<'x f 即可

(３)若在0x 附近左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ,则称)(0x f 为函数)(x f 的极大值；

若在0x 附近左侧0)(0<'x f ,右侧0)(0>'x f ,则称)(0x f 为函数)(x f 的极大值； （4)设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小

值且在极值点或端点处取得。

３、概念辨析领悟好

（１)研究函数问题都要优先考虑定义域,导数也是如此，尤其要关注求导前后自变量的范围发生改变的函数如x ln y =,x

x

y ++

-=

1111；

（2）解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点： ①切点是交点；

②在切点处的导数是切线的斜率，因此解决此类问题,一般要设出切点，建立关系—方程组. ③求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异:过点P 的切线中,点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，这样的切线可能有多条;在点P 处的切线，点Ｐ是切点，切线也只有一条

④切线是一个局部概念,切线和曲线不一定只有一个公共点；在切点附近的曲线不一定只在切线的同侧。

(３)①“函数)(x f y =在给定区间上0)(>'x f ”是“函数在该区间上单调递增”的什么条件？

②“函数)(x f y =在给定区间上0)(≥'x f ”是“函数在该区间上单调递增”的什么条件? ③使0)x (f 0='的离散点不影响函数的单调性；

④与求函数单调区间不同,若已知函数)(x f 的在给定区间单调性，一般情况下转化为不等式

0)(≥'x f 或0)(≤'x f 在该区间上恒成立。

(4）①“)(0x f 为函数)(x f 的极值”是“0)(0='x f ”的什么条件?

如果函数在给定的区间上处处可导则是什么条件?

②“)(x f y =在给定区间存在极值”与“0)(='x f 在给定区间有解”不等价，需验证。 （５）导数不可以“滥用”,比如求函数x

2x

a

a 21y --=的值域、函数)6

x 2sin(y π

-

=的单调期间、函数)2

1

x (1

x 21

x x 2y 2>-+-=

的值域等没有必要用导数。

(6)研究数列的单调性时，不可以直接求导,即便借助导数求解也需要构造函数进行说明。

4、规范书写要做到

(１)单调期间最好用开区间,“慎用”并集;

（2）题目中涉及到极值（包括求极值、利用极值)都要进行检验，检验需要列出表格,切不可让检验流于形式；

（3)与导数相关的应用题中要做到:有设、有答、有定义域、有单位; (5）函数零点个数的判断要依据零点存在定理,严谨证明；

5、反复训练不可少

（1)通过练习熟记导数公式、求导法则,并进行适应性训练，这是解决导数问题的基础。 (2）对于导数综合题要从多渠道多角度进行剖析，总结出其中的解题方法和解题规律，培养学生应用知识解决实际问题的能力。

(３）要有意识地与解析几何、函数的单调性、函数的极值、最值、二次函数、方程、不等式、代数不等式的证明等进行知识交汇，综合运用。

（4）导数的压轴题不可能一蹴而就，需要反复总结,鼓励学生用错题集或者纠错本的形式做好收集、整理、分类、归纳。

6、常用结论要知晓

（1)常用的不等式:

①1x x ln -≤(0x >)（当且仅当x=1时取等)进一步有：

21x 1x )x 1x (21x ln x 112-≤-≤-≤≤-，（1x >)e

x

x ln ex 1≤≤-（0x >)等；

②1x e x +≥，ex e x

≥等；

③已知a 、b 是两个不等的正数,则有2

b

a b ln a ln b a ab +≤

--≤

(对数平均不等式）； ④在③中，设n

m e b ,e a ==，则有2

e e n m e e e n m n m 2

n m +≤--≤+（指数平均不等式）. （2）常用函数图象:①x x

ln )x (f =

；②x ln .x )x (g =; ③x e

x )x (h =;④x

e .x )x (=?.

五、实战演练

例题：已知函数ax x x f -=ln )(,

1、若函数)(x f y =在1=x 处的切线与圆2)1(2

2

=++y x 相切，求a 的值． 答案: a ＝0

２、若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； 答案: a =-2

3、若函数)(x f y =的切线过点(1，1），求a 的最小值． 答案: a =-1

４、若函数)(x f y =的增区间为(０,1）,求a 的值． 答案： a ＝１

5、若)(x f y =在（1,2)上单调递增,求a 的取值范围.(若单调、不单调、存在递减区间呢?） 答案：]21

,(-∞、),1[]21,(+∞-∞ 、),1,21(、),2

1(+∞ 6、讨论)(x f 的单调性．

答案:当0≤a 时)(x f 为),0(+∞上增函数，当0>a 时)(x f 在)1,0(a 增，在),1(+∞a

减

７、若2

1

=

x 是函数)(x f 的极值点，求)(x f 在1=x 处的切线方程;. 答案： 1x y --= ８、若函数x

1

)x (f y +=既有极大值又有极小值，求a 的取值范围. 答案: )4

1,0(

9、已知函数)(x f y =是奇函数，当)2,0(x ∈时ax x x f -=ln )(，当)0,2(x -∈时)(x f 的最

小值为１，求ａ的值. 答案： a =１

１0、求)(x f 在区间[1,２]上的最大值．(若求最小值呢?）

答案：

????

?

????

≥-<<--≤

-=1

a a 1a 21

1a ln 2

1a a 22ln )x (f max

??

???≤->-=2

ln a a 2ln a a 22ln )x (f min

1１、若函数()f x 在21,e ????上的最大值为1ae -（e 为自然对数的底数),求实数a 的值；

答案：e

1

a =

12、当1=a 时,求证: 01)(≤+x f .

提示：即证明1x x ln -≤ 13、当e

1

a =

时,求证:0)x (f ≤, 提示：即证明e

x x ln ≤

１4、若函数)(x xf y =有两个极值点，求a 的取值范围.

答案：)2

1,0(

15、若0)x (f =在]e ,1[2

上有解,求实数a 的取值范围. 答案:]e

1,0[

１6、若关于x 的方程()

()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根, 求实数t 的取值范围.

答案：方程()

()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为

()()()()2211

ln 2323ln 22

x x t x x t x t x t --+

--=-+-, 令()1

ln 2

h x x x =+

，故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-, 由(2）可知()h x 在()0,+∞上单调递增，故2230

x x t x t

x t ?--=-?->?有且仅有唯一实数根，

即方程2

0x x t --=（※)在(),t +∞上有且仅有唯一实数根

①当410t ?=+=,即14t =-时,方程（※）的实数根为11

24

x =>-，满足题意; ②当0?>,即1

4

t >-

时，方程（※）有两个不等实数根,记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ）若1,x t =2,x t >代入方程(※）得2

20t t -=，得0t =或2t =,

当0t =时方程(※)的两根为0,1，符合题意; 当2t =时方程(※)的两根为2,1-,不合题意，舍去;

Ⅱ)若12,,x t x t <>设()2

x x x t ?=--,则()0t ?<，得02t <<；

综合①②，实数t 的取值范围为02t ≤<或14

t =-

. 17、若曲线)x (f y =，),1(x +∞∈上任意两点的连线的斜率都小于４，求实数a 的最小值。

答案:-3

１8、当0a =时，比较

2)m (f )n (f -与m n m

n +-的大小,其中0m ,n >

解:由对数平均不等式可得

≥-2)m (f )n (f

m

n m

n +- 19、若0)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围.

答案:),1

[+∞e

２0、若

1)(1

>-x f x 在区间],[2e e 上恒成立，求a 的取值范围. 答案:)e

2,

1e

23(

2- 21、若对于任意的)2,1(∈a ,存在]2,1[0∈x ,使得不等式a m x x f ln )(2

00>+恒成立，

求实数m 的取值范围． 答案：m ≤1．

?

22、设a x ln x )x (g --=，若)x (g )x (f >在),1(+∞上恒成立,求实数a 的取值范围。

答案：2a ≤

23、设函数f(ｘ)的图象C １与二次函数g （x)=

2

1

b ｘ2图象交于点P 、Ｑ，过线段ＰＱ的中点作x 轴的垂线分别交C 1，Ｃ2于点Ｍ、N ，证明C 1在点M 处的切线与Ｃ2在点N 处的切线不平

行．

（20０5年湖南高考试21题第二问）

证：设点Ｐ、Q 的坐标分别是()()1,12,2,x y x y 120x x <<，则点M 、Ｎ的横坐标为122

x x x +=，C 1

在点Ｍ处的切线切线斜率为121

12

2

12x x x K x x x +===+，Ｃ2

在点N 处的切线切线斜率为

()

121222

2

x x x a x x K ax b b +=+=+=

+。假设C 1在点M 处切线与C 2在点Ｎ处的切线平行，则12k k =. ()()()21222221212211212222x x a a a x x b x x x bx x bx x x -????

=-+-=+-+ ? ?+????

2121ln ln y y x x =-=-.所以

212211

21ln 1x x x

x x x ??

- ?

??=+,设21x t x =，则()21ln ,11t t t t -=

>+① 令()()21ln ,11t r t t t t -=->+,则()()()

2

'22

114()11t r t t t t t -=-=++.因为1t >时,()'

0r t >.所以()r t 在[)1,+∞上单调递增,故()()10r t r >=,则()

21ln 1t t t

->

+,这与①矛盾.,假设不成立. 故C 1

在点M 处切线与Ｃ2在点Ｎ处的切线不平行. 24、设1=a ，x x x g ln )(-

=,求证：当(]0,x e ∈时,2

1

)()(+

()0f x >得：01,x <<

()f x ∴在（０,１)上单调增，在（1,e)上单调减,故f(x)在(0,]e 上1)1()(max -==f x f

而(]0,x e ∈,

'

2

ln 1()0x g x x -=

≤，∴g(x ） 在(]0,x e ∈上单调减，e e g x g 1

)()(min

-== 显然max )(x f 21)(min +

1

)()(+

25、(1)试求)x (f 的零点个数，并证明你的结论.

（2）若存在两个实数x １，x ２且x 1≠x ２，满足f(x 1)=０，ｆ(ｘ２)＝０,求证x 1x ２＞e 2． 答案:（1)2013年江苏高考试２0题第二问 当e 1a 0a =

≤或时1解;当e 1a 0<<时２解；当e

1

a >时无解。 （2）由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,

所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=, 所以

12122121

ln ln ln x x x x

x x x x +=--，不妨设x 1＜x 2,

要证212x x e > , 只需要证12

122121

ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-. 即证2121212()ln ln x x x x x x -->

+，设21

(1)x

t t x =>,

则2(1)4

()ln ln 211

t F t t t t t -=-=+-++，所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-

=>++, 所以函数()F t 在(1,+∞)上单调增,而(1)0F =， 所以()0F t >即2(1)

ln 1

t t t ->

+,所以212x x e > .