第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理
对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。
有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。
变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理
设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。
（1）力的平衡方程
0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1）
式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。
（2）应变位移关系式（几何关系）
)(2
1
,,i j j i ij u u +=
ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系）
kl ijkl ij a ε=σ （5-3）
kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）
式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。
（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即
u S S S +=σ （5-4）
在力的边界σS 上，
i j ij T n =σ （5-5）
式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。
在位移边界u S 上，
i i u u = （5-6）
式中i u 为已知边界位移。（5-5）式和（5-6）式统称为“边界条件”。
上述的诸方程共有15个，即3个平衡方程，6个应变位移关系方程，6个物理关系方程。而未知变量也共计15个：6个应力分量ij σ，6个应变分量ij ε和3个位移分量i u 。因此该问题是可以求解的。
小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）A 和余应变能泛函（余应变能密度）B 可表示为
kl ij ijkl ij a A εε=
ε21
)( （5-9） kl ij ijkl ij b B σσ=σ21
)( （5-10）
不难看出，)(ij A ε和)(ij B σ有以下关系，
)()(ij ij ij ij B A σ+ε=σε （5-11）
并且容易证明
ij ij ij B σ?σ?=ε)( （5-12）
ij
ij ij A ε?ε?=
σ)(
（5-13）
（一）虚功原理与总位能原理
这里用ij εδ和i u δ分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。则由虚功原理可写出虚功方程为
0dS δdV δd δV
i =--εσ?
??
σ
S i i i V
ij ij u T u F V （5-14）
(5-14)式成立是有条件的，要求ij εδ和i u δ在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给定位移边界条件，即
)δδ(2
1
δ,,i j j i ij u u +=
ε （在V 内） （5-15a ） 0δ=i u （在u S 上） （5-15b ）
虚功原理表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边界条件所容许的任意虚位移，（5-14）式成立。反过来，如果（5-14）式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。值得提出的是，不管材料的应力应变关系是线性还是非线性，虚功原理都成立。
如果用下面泛函表示弹性体的总位能P ∏，
??σ
--ε=∏S i i V
i i ij S u T V u F A d d ])([p （5-16）
对（5-16）式取驻值，即一阶变分等于零，
??σ
=--εσ=∏S i i V
i i ij ij S u T V u F 0d δd ]δδ[δP （5-17）
将（5-14）式与（5-17）式比较，显然，（5-17）式就是（5-14）式。所以，可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。
由于
???
σ=+σ=εσV j i ij i j j i V
ij
V
ij ij V u V u u V d δd )δδ(2
1
d δ,,, （5-18）
利用格林公式，上式等号右边积分可变换为
???σ-σ=σV
i j ij S
i j ij V
j i ij V u S u n V u d δd δd δ,, 并引用（5-15b ）式，则（5-17）式可化为
0d δ)(d δ)(,=σ-++σ??
σ
S i j ij i V
i i j ij S u n T V u F
因为i u δ为独立量，则由总位能驻值条件可导出：平衡方程（5-1）即0,=+σi j ij F （在V 内）及力的边界条件（5-5）即i j ij T n =σ（在σS 上）。
（5-16）式表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变位移关系（5-2）和位移边界条件
（5-6）的所有容许的i u 中，实际的i u 使弹性体的总位能取最小值。
（二）余虚功原理与总余能原理
余虚功原理中，可取ij σδ表示弹性体内的应力变分，即虚应力。另外，i T δ表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分。与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为
0d δd δ=-σε??
u
S i i V
ij ij S u T V （5-19）
余虚功原理是在满足平衡方程（5-1）式及力的边界条件（5-5）式的条件下成立，即满足（5-1）式和（5-5）式的变分形式的条件为
0δ,=σj ij （在V 内） （5-20）
0δ=i T （在σS 上） （5-21）
现在定义下面的泛函为弹性体的总余能c ∏
??-σ=∏u
S i i V
ij S u T V B d d )(c （5-22）
现在对（5-22）式取驻值，即0δc =∏，则有
0d δd )(δδc =-σ=∏??u
S i i V
ij S T u V B (5-23)
利用格林公式，上式中的体积分项可化为
?????
σ-σ=σ=σε=σV
j ij i S
ij j i V
ij j i ij V
ij V
ij V u S n u V u V V B d δd δd δd δd )(δ,,
考虑到（5-21）式后，（5-23）式可写成
0d δd δ)(,=σ-σ-??
V
j ij i S j ij i i V u S n u u u
(5-24)
再考虑到ij σδ应满足（5-20）式，且ij σδ为独立量，则由c ∏的驻值条件可以导出位移边界u
S 上的协调条件为
0=-i i u u （5-25）
（5-22）式表达了弹性体的最小余能原理：在满足平衡方程（5-1）和力的边界条件（5-5）的所有容许的应力ij σ中，实际的应力ij σ使弹性体的总余能取最小值。
上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函 P ∏应满足的条件是（5-2）式和（5-6）式，而最小余能原理的泛函c ∏应满足的条件是（5-1）式和（5-5）式。这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。
§5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理
§5.2.1 完全广义变分原理
现在，让我们利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。在§5.1节的讨论中，不论是总位能原理或总余能原理，其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。如果我们利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。于是形成了下面的完全广义变分原理。
（1） 基于总位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理
现在，让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式（5-2）和位移边界条件（5-6），分别乘以定义在体积V 内的和位移边界u S 上的拉格朗日乘子ij λ和j μ，并与总位能泛函p ∏相加组成新的泛函Gp ∏，
-+-ελ+-ε=∏??V i j j i ij ij V i i i ij V u u V u F A d )](2
1
[]d )([,,Gp
??-μ+σ
u
S i i i S i i S u u S u T d )(d （5-26）
式中经受变分的独立量是ij ε，i u ，ij λ及i μ，而不需要附加任何条件。对这些独立量进行变分，有
??????σ
-μ-+μ+
-+λ-
λ+-ε+ελ+ε??=∏S i i S i i i i i V i i V
i j j i ij V ij i j j i ij V
ij ij ij S
u T S u u u V u F V u u V u u V A u
d δd ]δ)(δ[d δd )δδ(21
d δ)](2
1
[d δ)(
δ,,,,Gp
引用（5-18）式及格林公式，上式第三个积分可化为
????λ-λ=λ=+λS V i j ij i j ij V j i ij V
i j j i ij V u S u n V u V u u d δd δd δd )δδ(21
,,,,
将上式代入Gp δ∏式中，得
???σ
+λ-μ-+λ-μ+
-λ+λ+-ε+ελ+σ=∏S i i j ij S i i i i j ij i V i i j ij ij i j j i ij ij ij ij S
u T n S u u u n V u F u u u
d δ)(d ]δ)(δ)[(d ]}δ)(δ)(21
[δ){(δ,,,Gp 由0δGp =∏可以导出以下各式
ij ij σ-=λ，)(2
1
,,i j j i ij u u +=
ε，0,=-λi j ij F （在V 内） （5-27a,b,c ） j ij i n λμ=，i i u u = (在u S 上) （5-27d,e ）
0=+λi j ij T n （在σS 上） （5-27f ）
显然，（5-27c ）式表示平衡方程，（5-27b ）式表示应变与位移的关系式，将（5-27a ）式代入（5-27d ）式中，则得j ij i n σ-=μ，将（5-27a ）式带入（5-27f ）式得j ij n T σ=，表示力边界上的给定条件。
从以上的推导中，清楚地看到完全广义变分原理可导出平衡关系（5-1）、应变位移关系（5-2）、力的边界上的给定表面力（5-5）式及位移边界上的指定位移（5-6）式。
将乘子ij λ、j μ分别用ij σ-、j ij n σ-代替，则泛函Gp ∏可写成下列形式
--σ+-ε-ε=∏?V i i ij i j j i ij ij V u F u u A }d )](2
1
[)({,,Gp
??-σ-σ
u
S i i j ij S i i S u u n dS u T d )( （5-28）
该式中经受变分的独立量是三类共15个，即ij ε、i u 和ij σ，而没有约束条件。
于是，（5-28）式表示的完全广义变分原理可叙述为：满足（5-1）式~（5-6）式的解i u 、
ij ε、ij σ，必使得泛函Gp ∏有驻值。
（5-26）式和（5-28）式表示的广义原理，也称为胡海昌-鹫津原理。
现在再讨论另一种形式的完全广义变分原理，即Hellinger-Reissner 变分原理，同属于无约束条件的广义变分。Hellinger-Reissner 泛函由下式定义，
???μ-+--σ-σ=∏σ
u
S i i i S i i V
i i ij j i ij S u u dS u T V u F B u d )(d ])([,R
式中经受变分的独立量是ij σ、i u 和拉格朗日乘子i μ，而没有约束条件。
对上式泛函取一阶变分，由驻值条件，可得
--σσ?σ?-σ=∏??
?V i i V
ij ij
ij V
j i ij V u F V B V u d δd δ)
(d δδ,R
0d δd δ)(d δ=μ+μ-+???
σ
u
u
S i i S i i i S i i S u S u u S u T （5-29）
上式等号右边第一个积分，可以进一步用分部积分展开，可得
????+-=V
V
ij j i i V
j ij S
i j ij j i ij V u V u S u n V u d δd δd δd δ,,,σσσσ （5-30）
将（5-30）式代回（5-29）式，经过整理后，可得下式
+σ+-σ?σ?-+σ-=∏??V
ij V
i j j i ij
ij i i j ij V u u B V u F d δ)](2
1
)([
d δ)(δ,,,R 0d δμ)(d δ)μ(d δ)(=-+σ++-σ??
?σ
u
u
S i i i S S i j ij i i i j ij S u u S u n S u T n
从上式中可以导出以下条件
0=+σi ij F （在V 内） 平衡方程 0=-σi j ij T n （在σS 上） 力边界条件 0=-i i u u （在u S 上） 位移边界条件
并且可以得到拉格朗日乘子的涵意，
j ij i i n T σ-=-=μ
如果引入关系式（5-12），即ij ij ij B σ?σ?=ε)(，则还可以得到
0)(2
1
,,=+-εi j j i ij u u （在V 内） 应变位移关系
从而验证了在泛函R ∏极值条件下，导出了弹性力学各类基本方程。
将乘子i μ用j ij n σ-代替，泛函R ∏可以写为下列形式
--σ-σ=∏?V
i i ij j i ij V u F B u d ])([,R ??σ--σ
u
S j ij i i S i i S n u u dS u T d )(
（5-31）
式中经受变分的独立量共9个，即ij σ和i u ，而没有约束条件。从泛函R ∏中不难看出，此种广义变分属于二类自变量的广义变分，ij σ和i u 是独立假设的。Hellinger-Reissener 泛函在构造弯曲板有限元模型得到广泛的应用（参阅本书第六章§6.3节）。
实际上，将物理关系引入（5-28）式消去应变分量ij ε，也可以得到（5-31）式。
通过分部积分，泛函（5-31）也可以写成另一形式如下：
-
+σ+σ=∏-?V i i j ij ij V u F B d ])()([,*R ??
σ--σσ
u
S i j ij S i i j ij S u n dS u T n d )(
（5-31’）
（2） 基于总余能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理
现在我们从总余能泛函c ∏出发，将弹性体内的平衡条件（5-1）及力的边界条件（5-5）分别用定义在V 内和σS 上的拉格朗日乘子i λ和i μ引入，并形成下面的泛函
???σ-μ-σ+λ+σ+ε-εσ=∏σ
u
S i j ij S i i j ij V
i i j ij ij ij ij S u n S T n V F A d d )(d ])()([,Gc
式中ij σ、ij ε、i λ和i μ均作为独立变量。对上式进行一阶变分，得
+λ+σ+σλ-ε+εε-σ=∏?V F a i i j ij V
ij j i ij ij kl ijkl ij d )δ(δ)(δ)[(δ,,Gc
+σλ+μ+μ-σ?
σ
S ij j i i i i j ij S n T n d ]δ)(δ)[(
?
σ-λu
S ij j i i S n u d δ)( （5-32）
上式中
d δ)(,=σλ-ε?
V
ij j i ij V ?
σλ+λ-
εV
ij i j j i ij V d δ)](2
1
[,, （5-33） 将（5-33）式代入（5-32）式，则由（5-32）式可以得到以下驻值条件：
kl ijkl ij a ε=σ，)(2
1
,,i j j i ij u u +=
ε，0,=+σi j ij F (在V 内) （5-34a,b,c ） j ij i n T σ=， i i λ-=μ (在σS 上) （5-34d,e ）
i i u =λ (在u S 上) （5-34f ） 如果将上式得到的i μ和i λ代入Gc ∏式，则泛函Gc ∏可以写为下列形式
???σ--σ-+σ+ε-εσ=∏σ
u
S i j ij S i i j ij V
i i j ij ij ij ij S u n S u T n V u F A d d )(d ])()([,Gc
（5-35）
式中经受变分的独立量是三类共15个，即ij ε、i u 和ij σ，而没有约束条件。
于是，（5-35）式表示的完全广义变分原理可叙述为：满足（5-1）式~（5-6）式的解i u 、
ij ε、ij σ，必使得泛函Gc ∏有驻值。
如果将平衡条件（5-1）及力的边界条件（5-5）分别用定义在V 内和σS 上的拉格朗日乘子i λ和i μ引入总余能泛函c ∏，并形成下面的泛函
?
??σ
μ-σ+
σ-λ+σ+σ=∏S i i j ij S i j ij V
i i j ij ij S T n S u n V F B u
d )(d d ])()([,Gc1
式中经受独立变分的量是ij σ、i λ和i μ。可以证明，上述的泛函与（5-31’）式的泛函是相同的，即
-+σ+σ=∏?V
i i j ij ij V u F B d ])()([,Gc1??σ--σσ
u
S i j ij S i i j ij S u n dS u T n d )(
（5-36）
这是一个属于二类自变量的广义变分，其中的ij σ和i u 是独立假设的。
实际上，将物理关系引入（5-35）式消去应变分量ij ε，也可以得到（5-36）式。
下面我们将进一步证明（5-28）式与（5-35）式的等价性。将（5-28）式与（5-35）式相加，得到
???σ-σ-σ+σ+=∏+∏σu
S i j ij S i j ij V i j ij ij i j j i S u n S u n V u u u d d d ])(21
[,,,Gc Gp
利用分部积分，
????σ
σ+σ=σ+σ=σ+σ+S S i j ij i j ij V i j ij ij j i V i j ij ij i j j i u
S
u n S u n V
u u V u u u d d d )(d ])(21[,,,,,
从而得
0G c G p =∏+∏，或 G c G p ∏-=∏ （5-37）
(5-37)式证明了两种泛函的等价性。所以，完全变分原理的两种泛函即Gp ∏与Gc ∏是等
价的，只是有正、负之差，但这对取驻值没有关系。从物理意义上也比较易于理解，由于小位移线性弹性系统的完全变分原理，在泛函中全部地概括了所有的条件，因此而构成其等价性。而对于一般总位能泛函p ∏与总余能泛函c ∏，这一等价性并不成立，读者可以自行验证。
§5.2.2 有条件的不完全广义变分原理
在§5.2.1节中，我们讨论了不附带任何条件的完全变分原理，对泛函取驻值，导出了所有的需要满足的条件。但实际情况也并非如此，譬如我们可以不要求完全变分原理的泛函，而只是在满足部分的条件（即放松提出泛函的某些条件的要求），再引用拉格朗日乘子法，组成不完全变分原理的泛函。不完全变分原理较多用于有限元素法中，如混合模型、基于位能原理的位移杂交模型或基于余能原理的应力杂交模型等。
对于基于总位能原理的不完全广义变分原理列举几例，概述如下。
（1）在满足位移边界条件（5-6）的所有允许变量ij σ、ij ε、i u 中，只有当ij σ、ij ε、i u 为真实解时，使下面的泛函为驻值，
d d }]λ)(2
1
[)({,,mp1??--+-
+=∏σ
εεS i i V
i i ij i j j i ij ij S u T V u F u u A （5-38）
式中ij σ、ij ε、i u 均为独立变量。当对（5-38）式取驻值，有
?-λ--ε+ελ+ε??=∏V
ij i j j i ij ij ij ij u u A δ)2
1
21(δ)[(
δ,,mp1
?=-λu
S i i i j i ij S u T V u F u 0d δ]d δ-δi , （5-39）
利用格林公式，并引入ij ij A σ=ε??，可以得到
?
??λ-λ=λV
V
i j ij S
i j ij j i ij V u S u n V u d δd δd δ,,
将上式代入（5-39）式，同时注意到泛函是在满足位移边界（5-6）的条件下提出的，故上式等号右边第一项中的表面S 只包含力的边界，（5-39）式变为
?+λ--ε+ελ+σ=∏V ij i j j i ij ij ij ij u u δ)2
1
21(δ)[(δ,,mp1
?σ
=+λ--λs i i j ij i i j ij S u T n V u F 0d δ)(d ]δ)(, （5-40）
因为ij εδ、ij λδ、i u δ均为独立变量，由（5-40）式可导出
在体积V 内
ij ij σ-=λ，)(2
1
,,i j j i ij u u +=
ε，0,=+σi j ij F （5-41a,b,c ） 在力的边界σS 上
j ij i n T λ-= （5-41d ）
将（5-41a ）式代入（5-41d ）式中，得
j ij i n T σ= （5-41d’）
将式（5-41a ）式代入（5-38）式，则得泛函mp1∏为
??σ
--σ+-
ε-ε=∏S i i V
i i ij i j j i ij ij S u T V u F u u A d d }])(2
1
[)({,,mp1 (5-38’)
（2）在满足应变位移关系式（5-2）的所有容许的变量中，只有真实解使下面的泛函取驻值
?-ε=∏V
i i ij V u F A d ])([mp2?σ-S i i S u T d ?μ-+u
S i i i S u u d )( （5-42）
现在对mp2∏取驻值，即0δmp2=∏，有
+
--εε??=∏??σ
S i i V
i i ij ij
S u T V u F A
d δd ]δδ[
δmp20d ]δ)(δ[=μ-+μ?
u
S i i i i S u u u
（5-43）
引入（5-13）式，再利用格林公式，上式等号右边第一个积分中的第一项可化为
????
-==V
i j ij S i j ij V
j i ij V
ij ij V u S u n V u V u
d δd δd δd δ,,σσσεσ
将上式代入（5-43）式，得
+-σ++σ-=∏??σ
S i i j ij V
i i j ij S u T n V u F d δ)(d δ)(δ,mp2
0d ]δ)(δ)[(=μ-+μ+σ?
S u u u n u
S i i i i i j ij
因为i u δ、i μδ为独立变量，故由上式可以导出以下条件，
在体积V 内： 0,=+σi j ij F （5-44a ） 在力的边界σS 上： j ij i n T σ= （5-44b ）
在位移u S 边界上： j ij i n σ-=μ，i i u u = （5-44c,d ）
现在将（5-44c ）代入（5-42）式，可得泛函mp2∏为
?-ε=∏V
i i ij V u F A d ])([mp2?σ-S i i S u T d ?μ-+u
S i i i S u u d )( （5-42’）
（3）设位移边界条件为)3,2,1(==i u u i i 。在满足其中一个位移边界条件如11u u =的所有容许的i u 、ij ε、ij σ中，只有当i u 、ij ε、ij σ为真实解时，使下面的泛函有驻值
?--σ+-
ε-ε=∏V
i i ij i j j i ij ij V u F u u A d })](21
[)({,,mp3
?
σ
S i i S u T d ?
σ-+σ--u
S j j j j S n u u n u u d ])()[(333222 （5-45）
这种不完全满足位移边界的泛函，可以只满足其中一部分位移边界条件，如式（5-45）那样，也可以满足其中的两个位移边界条件，而形成相应的泛函。具体推导读者可自行完成。
（4）在满足一个应变位移关系01,111=-εu 的所有容许的位移i u 、应变ij ε及应力ij σ中，真实的i u 、ij ε、ij σ必使下列泛函为驻值
--σ-ε+σ+-
ε-ε=∏?V
i i ij i j j i ij ij V u F u u u A d })()](2
1
[)({111,111,,mp4 ?
?
σ
σ--S S j ij i i i i u
S n u u S u T d )(d （5-46）
基于总余能原理的不完全广义变分原理，其基本处理方法与上面类似，仍是利用拉格朗日乘子法，使一部分条件乘以拉格朗日乘子作为泛函的一部分，参与到泛函中去，而将另一部分条件作为泛函提出的条件。按泛函提出满足不同的条件，也可以划分为以下几种。
（1/
）在满足力的边界条件（5-5）的所有容许的位移i u 、应变ij ε及应力ij σ中，只有真实的i u 、ij ε、ij σ使下面的泛函有驻值
??σ-λ+σ+ε-σε=∏u
S i j ij V
i i j ij ij ij ij S u n V F A d d ])()([,mc1 (5-47)
式中ij σ，ij ε和拉格朗日乘子i λ均作为独立变量。在引用了（5-13）式和（5-3）式，即
ij kl ijkl ij ij
ij ij a A A εε=εε?ε?=
εδδ)()(δ
及格林公式，使
???
σλ-σλ=σλV
ij j i S
ij j i V
j ij i V S n V d δd δd δ,,
后，对（5-47）式取驻值，可得到下式
?
?=σ-λ-
λ+σ+σλ-ε+εε-σ=∏u
S ij j i i V
i i j ij ij j i ij ij kl ijkl ij S n u V F a 0
d δ)(d ]δ)(δ)(δ)[(δ,,mc1
因为ij εδ、λδ、ij σδ都是独立变量，故由上式可导出以下驻值条件，
在体积V 内：
kL ijkL ij a ε=σ， 0,=+σi j ij F （5-48a,b ）
由
?
?=σλ-=σλ-εV
V
ij j i i ij j i ij V u V 0d δ)(d δ)(,,
可知，在体积V 内，
i i u λ= （5-48c ）
而在位移边界u S 上，
i i u =λ （5-48d ）
将（5-48c ）及(5-48d)代入（5-47）式中，得
??σ-+σ+ε-σε=∏u
S i j ij V
i i j ij ij ij ij S u n V u F A d d ])()([,mc1 （5-47’）
（2/
）在满足平衡方程式（5-1）的所有容许的i u 、ij ε、ij σ中，只有当i u 、ij ε、ij σ为真实解时，使下面泛函有驻值
???σ-μ-σ+ε-σε=∏σ
u
S i j ij S i i j ij V
ij ij ij S u n S T n V A d d )(d )]([mc2 （5-49）
式中应力ij σ，应变ij ε，乘子i μ是作为独立变量。对泛函（5-49）取驻值，
??
?=σ-+δσ+μ+μ-σ+
σ-εε-σ=∏σ
u
S ij j i i S ij j i i i i j ij V
j ij i ij kl ijkl ij S n u u S n u T n V u a 0
d δ)(d ])(δ)[(d ]δδ)[(δ,mc2
推导上式，我们用了格林公式，使
????
σ-σ=σ=σεV
j ij i V
ij j i V
ij j i V
ij ij V u S n u V u V d δd δd δd δ,,
由此可导出以下各式
0,=ε-σkl ijkl j ij a （在V 内）
j ij i n T σ=，i i u -=μ （在σS 上）
i i u u = （在u S 上） （5-50a,b,c,d ）
现在将（5-50c ）式代入（5-49）式中，可得出泛函mc2∏为
???σ--σ-ε-σε=∏σ
u
S i j ij S i i j ij V
ij ij ij S u n S u T n V A d d )(d )]([mc2 （5-49’）
（3/
）在满足一个（譬如全部共有三个）给定力边界条件如j j n T 11σ=的所有容许的i u 、
ij ε、ij σ中，只有真实的i u 、ij ε、ij σ使下列泛函为驻值
-σ-+σ+ε-σε=∏??u
S i j ij V
i i j ij ij ij ij S u n V u F A d d ])()([,mc3
?
σ
-σ+-σS j j j j S u T n u T n d ])()[(333222 （5-51）
同样，如果要求的泛函满足二个以上给定力边界条件时，可以参考（5-51）式，也不难求出其泛函表达式。读者可以自行推导。
§5.3 小位移弹性理论的分区变分原理
传统变分原理采用整体插值，而有限元素法是把整体分割为有限个元素的集合体，采用的是分区插值。将分区概念引入变分原理，用分区插值代替整体插值，并且放松各个分区交界面上的连续性要求，就得到所谓的分区变分原理。分区变分原理是变分原理与分区概念相结合的产物，为建立新型的有限元模型提供了坚实的理论基础。
设一个连续的弹性体被划分为若干个分区或单元（如图5-1所示），其体积分别为
),,3,2,1(N e V e =。任一分区e 的体积力为e i F ，表面为e S ，e S 一般由三部分组成：
*
e e e ue e S S S S 'σ∑++=
其中，ue S 为e S 中包含给定位移i u 的边界面，e S σ为e S 中
包含给定表面力i T 的边界面，*
e e S '为e S 与相邻分区
e '的交接面。
在分区变分原理中，各个分区按需要可任意定为位能区（如图5-1中的分区（p1V ,p2V , p3V ）或余能区（如图5-1中的分区c3c2c1,,V V V ）。各个分区中独立变分的量可以任意定为三类变量（位移i u ，应力ij σ，应变ij ε）或两类变量（i u 和ij σ）或一类变量（i u 或ij σ）。相邻分区的交
接面分为pp S 、cc S 、pc S 三类，pp S 表示其两侧都是位能区，cc S 的两侧都是余能区，pc S 的一侧是位能区，另一侧是余能区。各个分区的各类变量不仅可以独立变分，而且在边界面上可以要求或不要求满足给定的位移或面力边界条件，在分区的交接面上也可以要求或不要求满足交接面上位移或面力的连接条件（即位移相容条件和力平衡条件）。
小位移弹性理论的分区变分原理的泛函一般可写成下面形式
∑∑∑∑∑---∏-∏=∏pc
cc
pp
c
p
pc cc pp c p S S S V V H H H （5-52）
上式等式右边各项的涵义为，第一项为各位能区p V 的总位能p ∏或广义的总位能Gp ∏之和，第二项为各余能区c V 的总余能c ∏或广义的总余能Gc ∏之和，第三、四、五项分别表示相邻分区交接面处的附加能量之和，取决于交接面的类型。
根据分区的性质，我们可以把分区变分原理归结为以下三类，
（1）位能分区变分原理。弹性体在整体上被分割成有限个位能区的集合体，并基于最小位能原理导出的修正变分原理。
（2）余能分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个余能区的集合体，并基于最小余能原理导出的修正变分原理。
（3）混合分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个位能区和余能区的集合体，是上述两类修正变分原理的混合。
分区变分原理是基于传统变分原理的一种修正变分原理，与§5.2节的完全与不完全变分原理不同的是，后者可以看作是在单元水平上进行修正与混合，而分区变分原理则是在弹性体整体水平上进行修正与混合。下面我们将在传统变分原理的基础上，为有限元素的集合体进行分区变分原理的公式推导。
§5.3.1 位能分区变分原理
为了以后方便，现在用a V 和b V 表示两个任意的相邻元素，用ab S 表示a V 和b V 的交接面，如图5-2所示。另外引
用两个符号}{*a ab ab V S S ?∈=和}{*
b ab ba V S S ?∈=来区别
交接面属于a V 的还是属于b V 的（这里a V ?表示a V 的整个边界）。
（1）修正最小位能原理
设每个元素的广义位移表示为
)1(i u ，)2(i u ，…，)(a i u ，)(b i u ，…，)(N i u ； 3,2,1=i
图
5-1
分区示意图
图5-2 a V 、b V 、ab S
如果选择的每一个元素的位移函数满足下列要求： （ⅰ）在元素内，是连续的和单值的；
（ⅱ）在元素的交接面上，满足位移相容条件，即
在ab S 上，)()(b i a i u u = （5-53）
（ⅲ）如若元素的边界包含有u S ，则该元素的位移函数应满足位移边界条件（5-6）。 则这些位移函数的集合可以作为最小位能原理泛函的容许位移函数，那么，元素集合体的最小位能原理的泛函就由下式给出
∑?
?∑--=∏=∏}d ]d )([{p Imp a
a
S i i V i i i S u T V u F u A σ （5-54）
式中经受变分的独立量是)(a i u ，p ∏是由（5-16）式确定的元素a V 的总位能泛函。
（2）修正位能原理
如果我们放松元素交接面上的位移相容条件（5-53）式，将约束条件（5-53）利用定义在ab S 上的拉格朗日乘子i λ引入到（5-54）式的泛函表达式中，则形成下面的泛函：
∑?∑--∏=∏ab
S i b i a i S u u d λ)()()(p Imp1 （5-55）
式中的)(a i u 和i λ是经受变分的独立变量，并带有约束条件（5-6）。
对（5-55）式取驻值，
+
-++-=∏?
∑?}d δ)(d δ)({δ,Imp1a
a
S i i j ij V i i j ij S u T n V u F σσσ
∑?
?-
++-*
*d δ)λ(d δ)λ({)()()()
()()(ba
ab
S b i i b j b ij S a i
i a j
a ij S u n
S u n σσ
?=-ab
S i b i
a i
S u
u
}d δλ)()()
(
由以上的驻值条件，可导出下列的关系式，
0,=+σi j ij F （在a V 内） （5-56a ）
j ij i n T σ= （在a S σ上） （5-56b ）
)()(a j a ij i n σ=λ（在*ab
S 上），)()(λb j b ij i n σ-=（在*ba S 上） （5-56c ） 0)()(=-b i a i u u （ab S 上） （5-56d ）
式中)(a i n 与)(b i n 分别表示沿*
ab S 与*
ba S 上外法线方向的方向余弦，对同一点来说，有
)()(b j a j n n -=
显然，（5-56a ）为平衡方程（5-1）式，（5-56b ）为力的边界（5-5）式，（5-56c ）为乘子i λ，（5-56d ）为位移相容条件。
令)(a i T 和)(b i T 分别等于)()(a j a ij n σ及)
()(b j b ij n σ，即有
)()()(a j a ij a i n T σ= ， )
()()(b j b ij b i n T σ= （5-57）
（5-57）式指明了拉格朗日乘子i λ的物理意义，即i λ就等于ab S 上的表面力)(a i T （注意)(a i T 是)(a i u 的函数，和记作)()()()(a i a i a i u T T =）
。 将)(a i i T =λ代入（5-55）式，得到
∑∑-∏=∏1
pp p Imp1H （5-58）
而
?-=ab
S b i a i a i S u u T H d )()()()(1pp 或?-ab
S a i b i b i S u u T d )()()()( （5-59）
（5-58）式给出的原理称为放松连续性要求的第一修正位能原理，因为在1Imp ∏中放松了（5-53）式的要求，每一个元素的位移函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的位移相容条件的要求。这里要指出的是，这个修正原理不再是最小原理了，而仅仅保持其驻值性质。
泛函1Imp ∏还可以作进一步的处理。若我们引进两个函数)(a i λ与)(b i λ，它们分别定义在*
ab S 与*ba S 上，且服从下列关系式：
0)()(=λ+λb i a i （A ）
由（A ）式的条件，可见：
)(a i i λ=λ ， )(b i i λ=λ- （B ）
现在将（B ）式代入（5-55）式中，等号右边末项积分的被积函数就变为以下形式
)()()()(b i b i a i a i u u λ+λ （C ） 并附带约束条件（A ）。因此，可以引入一个定义在ab S 上新的拉格朗日乘子i μ将约束条件（A ）
加入到泛函（5-55）中，于是（5-55）式可改写为下面等价形式：
∑∑-∏=∏2pp p 2Imp H （5-60）
而
?+-+=ab
S b i a i i b i b i a i a i S u u H d )]λλ(μλλ[)()()()()()(2pp
??-+-=**d )μ(λd )μ(λ)()()()(ba
ab
S i b i b i S i a i a i S u S u （D ）
（5-60）式称为放松连续性要求的第二修正位能原理，式中经受变分的独立量是)(a i u 、)(a i λ和
i μ，
带有约束条件（5-6）式。其中，在元素a V 中的)(a i u 及在*
ab S 上的)(a i λ与在元素b V 中的)(b i u 及在*
ba S 上的)(b i λ都可以独立选取，但必须在元素交接面ab S 上有共同的i μ，以保证交接面处位移的协调性。
取（5-60）式的驻值，可得
+-+--=∏?∑?}d δ)(d ]δ)[({δ,2Imp a
a
S i i j ij V i i j ij S u T n V u F σσσ
∑??--+-**d δ)λ(d δ)λ({)()()()()()(ba
ab
S b i b i b i S a i a i a i S u T S u T
+---??**d δλ)μ(d δλ)μ()()()()(ba
ab
S b i i b i S a i i a i
S u S u
}d δμ)λλ
()()(?+ab
S i b i a i S （E ）
由此得到在ab S 上的下列驻值条件：
)()(a i a
i T =λ，)()(b i b i T =λ （5-61a,b ）
)(a i i u =μ， )(b i i u =μ （5-61c,d ）
及
0)()(=λ+λb i a i （5-61e ）
（5-61）式的物理意义十分明显。将（5-61a,b ）代入（5-61e ），得
0)()(=+b i a i T T （5-61f ）
（5-61f ）表示在交接面ab S 上，力是平衡的。
如果将驻值条件（5-61a,b ）引入2ab H 中消去)(a i λ和)(b i λ，就可以把2pp H 改写成另一形式如下
??-+-=**d )μ(d )μ()()()()(3pp ba
ab
S i b i b i S i a i a i S u T S u T H （F ）
并得到
∑∑-∏=∏3pp p Imp3H （5-62）
这个原理称为放松连续性要求的第三修正位能原理，式中经受变分的独立量是)(a i u 和i μ，带有约束条件（5-6）式。在这些变分的量中，a V 内的)(a i u 与b V 内的)(b i u 都可以独立选择，但
是i μ对于*ab S 和*
ba S 必须是共同的。
（3）修正广义位能原理
下面我们将从Imp2∏出发，导出一种修正广义变分原理。即满足平衡方程（5-1）、应变位移关系式（5-2）、物理关系式（5-3）、位移边界条件（5-5）及力的边界条件（5-6）及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值：
-+-εσ--ε=∏∑?a
V j i j i ij ij i i ij V u u u F A d )]}(2
1
[)({{,,ImGp1
∑??
--σ-σ2pp }d )(d H S u u n S u T ua
a
S i i j ij S i i （5-63）
式中经受变分的独立量是)
(a ij ε、)
(a ij σ、)(a i u 、)(a i λ和i μ，而不带约束条件。
可以证明，在ab S 上，mGp1∏的驻值条件也给出（5-61a,b,c,d,e ）式表示的方程。因此，我们可以把ImGp1∏写成另一等价形式如下：
-+-εσ--ε=∏∑?a
V j i j i ij ij i i ij V u u u F A d )]}(2
1
[)({{,,ImGp2
∑??
--σ-σ4pp }d )(d H S u u n S u T ua
a
S i i j ij S i i （5-64）
式中
??-+-=**d )μ(d )μ()()()()(4pp ba
ab
S i b i b i S i a i a i S u T S u T H （G ）
（5-64）式中经受变分的独立量是)(a ij ε、)
(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。
（4）修正Hellinger-Reissner 原理 利用应变位移关系式（5-2），从泛函ImGp2∏中消去应变分量ij ε就导致修正Hellinger- Reissner 泛函：
--σ---σ-σ=∏?
?
∑?σ}d )(d ])([{,ImR ua
a
a
S i i j ij S i i V i i ij j i ij S u u n dS u T V u F B u
∑?
+-+ab
S b i a i i b i b i a i a i S T T u T u T d )](μ[)()()()()()( （5-65）
式中经受变分的独立量是)
(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。
利用分部积分，可以得到修正Hellinger-Reissner 泛函的另一表达式如下：
--σ-σ+σ=∏-?
∑?σa
a
S i i j ij V i i j ij ij dS u T n V u F B )(d ])()([{,*ImR
∑??
+-ab
ua
S i b i a i S i j ij S T T S u n d μ)(}d )()(σ （5-66）
式中经受变分的独立量是)
(a ij σ、)(a i u 和i μ，没有约束条件。
§5.3.2 余能分区变分原理
我们也可以从最小余能原理出发，导出有限元集合体的最小余能原理、修正余能原理以及修正广义变分原理等。用下列记号来表示每个元素中的应力：
)1(ij
σ，)2(ij σ，…，)(a ij σ，)(b ij σ，…，)(N ij σ； 3,2,1=j i ， 如果选择的每一个元素的应力函数满足下列要求：
（ⅰ）在元素中，是连续的和单值的，并且满足平衡方程（5-1）； （ⅱ）在元素的交接面上，满足平衡条件，即
在ab S 上， 0)()(=+b i a i T T （5-67）
式中)(a i T 和)(b i T 是由（5-57）式定义的；
（ⅲ）如若元素的边界包含有σS ，则该元素的应力函数应满足力边界条件（5-5）。 这些满足上述条件的应力函数的集合可以作为最小余能原理泛函的容许函数，那么，元素集合体的最小余能原理的泛函就可以由下式给出
∑?
?∑-=∏=∏}d d )({c Ic ua
a
S i i V ij S u T V B σ （5-68）
式中经受变分的独立量是)
(a ij σ，c ∏是由（5-22）式确定的元素a V 的总余能泛函。
如果我们放松元素交接面ab S 上的平衡条件（5-67）式，将约束条件（5-67）利用定义在
ab S 上的拉格朗日乘子i μ引入到（5-68）式的泛函表达式中，则得到如下的修正余能原理的
泛函：
∑?∑+-∏=∏ab
S b i a i i S T T d )(μ)()(c Imc1 （5-69）
式中经受变分的独立量是)
(a ii σ和i μ，并带有约束条件（5-1）和（5-5）。关于泛函Imc1∏的原
理称为放松连续性要求的修正余能原理，因为在Imc1∏中放松了（ⅱ）的要求，每一个元素内关于应力的函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的力的平衡条件的要求。这里要指出，这个修正原理不再是最小原理了，而仅仅保持其驻值性质。
对（5-69）式的泛函进行一阶变分，可得到下列驻值条件：
0=-i i u u （在ua S 上） （5-70a ）
)(μa i i u =（在*ab
S 上），)(μb i i u =（在*ba S 上） （5-70b,c ） 将（5-70 b ）或（5-70c ）代入（5-69）式，并将Imc1∏写成以下形式
∑∑-∏=∏1cc c Imc1H （5-71）
式中cc1∏由下式给出
?+=ab
S a i b i a i S u T T H d )()()()(cc1 或?+ab
S b i b i a i S u T T d )()()()( （5-72）
如若将（5-71）式中的c ∏替换为广义余能泛函Gc ∏（即（5-35）式），同样可以得到一种修正广义余能原理，即满足平衡方程（5-1）、应变位移关系式（5-2）、物理关系式（5-3）、位移边界条件（5-5）及力的边界条件（5-6）及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值：
-+σ+ε-εσ=∏∑?a
V i i j ij ij ij ij V u F A d ])()([{,ImGc
∑?
?
-σ--σσcc1}d d )(H S u n S u T n ua
a
S i j ij S i i j ij （5-73）
式中经受变分的独立量是)
(a ij ε、)(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。
或下面的两类自变量的修正广义原理
--σ-+σ+σ=∏?
∑?σa
a
S i i j ij V i i j ij ij S u T n V u F B d )(d ])()([{,ImGc1
∑?
-σcc1}d H S u n ua
S i j ij （5-74）
式中经受变分的独立量是)(a ij σ、)(a i u 和i μ，而不带约束条件。
以上变分过程，读者可自行进行。
§5.3.3 混合分区变分原理
如果弹性体在整体上被分割为位能区和余能区的混合分区（如图5-1所示的），则形成混合分区变分原理。混合分区变分原理在解决一些特殊结构问题（如裂纹问题）时是非常有效的。
在混合分区时，我们用p V 表示所有位能区的集合，c V 表示所有余能区的集合，如对图5-1所示的分区，有
}
,,{321p p p p V V V V =，}
,,{321c c c c
V V V V = 同时用pp S 表示交接面两侧都是位能区，cc S 表示两侧都是余能区，pc S 表示一侧是位能区另
一侧是余能区。
考虑两个任意的相邻分区a V 和b V ，如果p a V V ∈和p b V V ∈，或c a V V ∈和c b V V ∈，则其交接面ab S =pp S ，或ab S =cc S 。交接面pp S 处的附加能量已由§5.3.1节给出，交接面cc S 处的附加能量已由§5.3.2节给出。
当相邻分区a V 和b V ，一个是位能区如p a V V ∈，一个是余能区如c b V V ∈
时，则其交接面ab S =pc S 。而交接面pc S 处的附加能量由下式给出：
??-=-=ab
ab
S a i b j b ij S a i b i S u n S u T H d d )
()()()()(pc σ （5-75a ）
因为)()(b i a i n n -=，上式又可写成
?=ab
S a i a j b ij S u n H d )
()()(pc σ （5-75b ）
证明（5-75）式是很容易的。不失一般性，假设全域由a V 和b V 组成，即=V a V +b V ，且p a V V ∈，c b V V ∈。在a V 内选择位移)(a i u ，并且在a V 内满足应变位移关系式（5-2），在ua S 上满足位移边界条件（5-6），在b V 内选择应力)
(b ij σ，并且在b V 内应力满足平衡方程（5-1），在b S σ上满足力的边界条件（5-5）
，则全域的能量泛函为 pc )
(c )(p H b a -∏-∏=∏ （5-76）
其中
??--=∏a
a
S a i i V a i i a i a S u T V u F u A σd d ])([)()()()(p （即（5-16）式） （A1）
??-=∏ub
b
S i j b ij V b ij b S u n V B d d )()
()()(c σσ （即（5-22）式） （A2）
?-=ab
S a i b j b ij S u n H d )
()()(pc σ （A3）
我们要证明的是，在所有容许的位移)(a i u 及所有容许的应力)
(b ij σ中，只有真实的)(a i u 及真实的)(b ij σ使（5-76）式的泛函有驻值。
对（5-76）式的泛函取一阶变分，注意的是)(p a ∏所经受变分的量是位移)(a i u ，)
(c b ∏所经受变分的量是应力)(b ij σ，而pc H 所经受变分的量是)(a i u 和)(b ij σ。依据泛函提出的条件，则有
pc )
(c )(p δδδδH b a -∏-∏=∏ （B1） +-σ++σ=∏?
?σa
a
S a i i j a ij V a i i a j ij a S u T n V u F d δ)(d δ)(δ)()
()()(,)(p
?
σ*d δ)()()(ab
S a i a j a ij S u n （B2） ?
?σ+σ-=∏*d δd δ)(δ)
()()()()()
(c
ba
ub
S b j b ij b i S j b ij i b i b S n u S n u u （B3）
??
σ-σ-=∏**
d δd δδ)()()()()()(pc
ba
ab
S b j b ij a i S a i b j b ij S n u S u n （B4）
从而导出下列驻值条件：
0)(,=+F a j ij σ （在a V 内） （C1） i j a ij T n =)(σ （在a S σ上） （C2）
0)(=-i b i u u （在ub S 上） （C3）
0)
()()()(=+b j b ij a j a ij n n σσ （在*ab S 上） （C4） )()(a i b i u u = （在*
ba
S 上） （C5） 显然，上式中的（C4）式和（C5）式就是在交接面ab S 上的连续性要求。如果)(a i u 及)
(b ij σ是真实解，则（C ）式的条件都成立，从而有0δ=∏，即使（5-76）式的泛函取驻值。
（5-76）式表示的能量原理是有条件的。如果我们对位能区a V 和余能区b V 分别采用完全或不完全广义变分原理的泛函形式，同样可以得到混合分区的完全与不完全广义变分原理。如：
（1）真实解i u 、ij ε、ij σ，使下面的泛函有驻值：
pc )
(c )(p H b a -∏-∏=∏ （5-77）
式中)
(p a ∏由（5-28）式给出，)
(c b ∏由（5-35）式给出。
（2）真实解i u 、ij σ，使下面的泛函有驻值：
pc )
(c )(p H b a -∏-∏=∏ （5-78）
式中)
(p a ∏由（5-31）式给出，)
(c b ∏由（5-36）式给出。
§5.4 对应于不同变分原理的元素刚度特性
有限元素法是采用离散化的方法，借助于数值计算，以决定其近似解。当然，随着离散化数学模型的改善与数值计算技能的提高，计算结果更逼近于精确解。改善有限元素法计算的措施之一，是获得性能良好的元素刚度矩阵，而变分原理是有限元素法的基础。为此目的，本节准备利用以上几节所讨论过的一些变分原理，进一步说明有限元素法中的元素刚度矩阵或柔度矩阵特性及其形成的一般过程。
§5.4.1 基于最小位能原理的元素刚度矩阵特性
最小位能原理的基本变量是位移及应变。有限元素法是以元素节点上的位移自由度来表示这些分量的，如下面的我们在有限元素法中所熟悉的一些关系式。
元素的内位移}{u 与节点位移}{?之间的关系式为
}]{[}{?=N u （A ）
式中][N 为联系节点位移与元素内位移的转换矩阵，称为形函数矩阵。
元素的广义应变与节点位移之间的关系为
}]{[}{?=εB （B ） 式中：}{ε为元素广义应变列阵；}{?为节点位移列阵；][B 为元素几何矩阵。
如果考虑到有初应变}{0ε的影响，则元素应力列阵{}σ为
}){}]({[}{0ε-ε=σD （C ）
式中][D 为弹性矩阵。
将（A ）、（B ）、（C ）三式代入（5-16）式表示的总位能泛函中，可得
∑???---ε=∏σ
i i S i i V
i i ij F S u T V u F A d d ])([p
}){}{}({}{}]{[}{2
1
d 0F F F K T T ++?-??= （D ） 其中
V B D B K V
T d ]][[}{][?=
?ε=V
T V D B F d }]{[][}{00
?σ
=S T S T N F d }{][}{d （5-79a,b,c ）
现在对总位能取驻值，即0}{p =?∏?，得
}{}{}{}]{[d 0F F F K ++=? （5-80）
由（5-80）式可知，由最小位能原理可导出元素的刚度矩阵，所以最小位能原理导致“位移法”。
不难证明，若我们对总位能取二次变分，即p 2
δ∏，则有
}δ]{[}δ{δp 2??=∏K T （E ）
对于}0{}δ{≠?的位移增量，能量总为正值，即0δp 2
>∏。表明总位能p ∏为极小，且元素刚度矩阵是正定的。
从虚功原理，也可以得出（5-80）式。假设元素的节点虚位移为}{δ?，相应的元素的虚应变和虚内位移为
}δ{][}δ{?=εB
}{δ][}{δ?=N u
则由元素的虚功方程
∑??
?+=σεσ
i T i S T V
T F S T u V )δ(d }{}){δ(d }{)}δ{(
并考虑到}{δ?的任意性，可得
}{d }{][d }]{[][}){d ]][[][(0F V T N V D B V B D B S T V
T V
T ++=????σ
ε
上式即为（5-80）式。
【例5-1】 试求图5-3所示变截面杆元素的刚度矩阵。设该杆元1和2端的横截面积分别为1A 和
2A ，断面沿杆轴线的变化为线性的。
此杆沿x 轴方向的断面面积)(x A 可写为
?
??
????????
?
-=21)
1()(A A L x L x x A （F ） 杆的内位移为
?
??
????????
?
-=21)
1(}{u u L x L x u 元素应变}{ε为
[]?
?????-=
ε21111
}{u u L （G ） 因而
[]111
][-=
L
B （H ） 将（H ）式代入（5-79a ）式中，可得
[]??
?
???--+=+--??
????-=
=?
?11112)(d ])1[(1111d ]][[][][210
212
L A A E x A L x
A L x L E V
B D B K L V
T
§5.4.2 基于最小余能原理的元素柔度矩阵特性
与基于位能原理的节点位移相对应的，在基于余能原理的离散化方法中，引入节点力
}{f F ，这时元素的内应力}{σ应该用节点力表示，并可表示为下面形式
}]{[}{f F z =σ （A ）
这里应该指出的是，这些节点力}{f F 应去掉静定基的支反力，以保证}{f F 中各分量的独立性。元素边界上的边界应力也同样用节点力}{f F 表示之，就是说（A ）式也适用于边界上的应力。为方便起见，我们这里引用下式表示边界上的边界力
}{][}{f F L T = （B ） 现在引用（5-22）式的总余能泛函，并将（A ）式和（B ）式代入，可得
}{}{}]{[}{2
1
c ?-=∏T f f T f F F f F （5-81）
式中：
V z D z f V
T d ][][][][1-?= （5-82a ）
?=?u
S T S u L d }{][}{ （5-82b ）
（5-82a ）式为元素柔度矩阵，（5-82b ）为元素给定的位移向量。
图5-3 变截面杆元素
对（5-81）式取驻值，即0}{c =?∏?f F ，则得
}{}]{[?=f F f （5-83）
显然，对总余能取驻值，将导出变形方程，并表现出元素的柔度矩阵][f 。所以，总余能原
理将导致“力法”的计算公式。
【例5-2】 求图5-4所示的悬臂梁的柔度矩阵。设梁的长度为L ，断面面积不变。 梁自由端的节点力为
?
??
???=11}{M F F f （D ）
元素的节点位移为
?
??
???θ=?11}{w （E ）
梁的另一端为固定端，它提供了最小数目的约束，即静定基约束。梁的广义应力为
[]}]{[1}{1111f F z M F x M xF M =?
??
???=+==σ （F ）
显然，式中的][z 等于
]1 [][x z = （G ）
梁的广义弹性模量矩阵][][EJ D =，则由（5-22）式，可得
{}??
?????θ-=∏L T
w M F x M EJ 1111
2c d 21
{}[]{}?
??
???θ-??????=
∏11111111c 2
1w M F M F f M F T T
其中，柔度矩阵为
[][]??
?
?
??=??????=?63326d 1112
L L L EJ L x x x EJ f L §5.4.3 基于Reissner 变分原理（5-31）式的元素刚度特性
如果略去体力，（5-31）式给出的泛函R ∏可写为
??
?---
σ-σ=∏σ
u
S i i i S i i V ij j i ij S T u u S u T V B u d )(d d )]([,R （5-84）
这里我们取两种独立变量，即节点位移}{?与节点力}{f F ，元素的内应力和内应变与节点力和节点位移的关系为
应力： }]{[}{f F z =σ （B ） 应变： }]{[}{?=εB （C ）
式中的节点力}{f F 仍是指对应于静定基自由点上的节点力。
元素边界上的位移与边界力，同样，也可以用节点位移与节点力表示如下
边界上的位移： }]{[}{?=y u （D ）
边界上的力： }]{[}{f F L T = （E ）
将（B ）、（C ）、（D ）、（E ）代入（5-84）式中，可得
13．虚位移原理及分析力学基础 自由质点系：运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的起始条件的质点系。 非自由质点系：运动状态受到某些预先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些限制条件）的质点系。 约束：非自由质点系所受到的预先给定的限制。 约束方程：用解析表达式表示的限制条件。 几何约束：只限制质点或质点系在空间位置的约束。 运动约束：对于质点或质点系不仅有位移方面的限制，还有速度或角速度方面的限制的约束。 定常约束：约束方程中不显含时间的约束。 非定常约束：约束方程中显含时间的约束。 完整约束：约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但是它可以积分，转换为有限形式的约束。 非完整约束：约束方程包含质点速度、且不可积分不能转换为有限形式的约束。 双面约束：不仅能限制质点在某一方向的运动，还能限制其在相反方向的运动的约束。 单面约束：只能限制质点沿某一方向运动的约束。 自由度数：在具有完整约束的质点系中，唯一地确定系统在空间的位形或构形的独立坐标的数目数。 广义坐标：用来确定质点系位置的独立参数。 虚位移：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。 虚功：作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功，用δW 表示。若用F ，δr 分别代表力和虚位移，则虚功的表达式为F W δδ=?F r 。 理想约束：约束力虚功之和等于零的约束。
虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是,所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。 作用于质点系上的主动力对应于广义坐标q h 的广义力： 1 n i Qh i i h r F F q ? ? = =? ∑。 平衡稳定性：在保守系统中，(1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡；(2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种平衡状态称为不稳定平衡；(3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随遇平衡。 动力学普遍方程：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任意虚位移上所作虚功之和等于零。
课程编号：05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时：3/48 先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学 一、课程教学目标 《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。 二、教学内容及基本要求 1. 绪论（2学时） 弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。 2. 应力理论（4学时） 内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。 3. 应变理论（4学时） 位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。 4. 本构关系（2学时） 热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时） 弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。 6.柱形杆问题（4学时） 圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题（12学时） 平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。 8. 空间问题（2学时） 基本方程及求解方法；空间轴对称和球对称问题的基本方程；半空间体受重力及均布压力；半空间体在边界上受法向集中力；空心球受内压作用问题。 9．能量原理与变分法（6学时） 弹性体的变形比能与形变势能；变分法；位移变分方程；位移变分法；位移变分法应用于平面问题；应力变分方程与极小余能原理；应力变分法；应力变分法应用于平面问题；应力变分法应用于扭转问题。 10．复变函数解法或薄板弯曲（4学时）
变分原理在物理学中的应用 [摘要]从变分法出发，简述了变分原理的建立和发展;并就变分原理在各个学科的应用予以列举，为变分原理的初学者作以引导。 [关键字] 变分法；变分原理；发展历程；应用。 引言 变分原理愈来愈引起重视。固体力学变分原理的发展最为成熟,流体力学变分原理近年来也获得突破, 电磁学、传热学等领域变分原理在不断应用和发展。这是因为变分原理与有限元结合起来使古典的变分原理焕发青春[1]。本文就变分原理的发展历程和变分原理在物理学中的应用予以概括, 以形成一个了解变分原理的脉络，为更好的应用变分原理打下基础。 1.变分原理发展简史 年份历史事件 1696年约翰·伯努利提出最速曲线问题开始出现 1733年欧拉首先详尽的阐述了这个问题. 他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字。 1786年拉格朗日确定了变分法, 但在对极大和极小的区别不完全令人满意。 1810~1831年Vincenzo Brunacci, Carl Friedrich Gauss, Simeon Poisson，Mikhail Ostrogradsky和Carl Jacobi对于这两者的区别都曾做出过贡献。 1842年柯西Cauchy浓缩和修改了变分法，建立了一套严格的理论。 1849~1885年Strauch, Jellett, Otto Hesse, Alfred Clebsch和Carll写了一些其他有价值的论文和研究报告。 1872年Weierstrass系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。 1900年希尔伯特(Hilbert)发表的第20和23个数学问题促进了变分思想更深远的发展。 20世纪初David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。 20世纪30年代Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中。
弹性力学学习心得 孙敬龙S4 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编着的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17
世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从 1822～1828年间，在?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
达朗贝尔原理 知识总结 1.质点的惯性力。 ?设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为 2.质点的达朗贝尔原理。 ?质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如 果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即 3.质点系的达朗贝尔原理。 ?质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯 性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为 4.刚体惯性力系的简化结果 （1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为 （2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为 其中
如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为 （3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为 式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。 5.消除动约束力的条件。 刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。 常见问题 问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。 问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。惯性力系的主失是与简化中心无关的。 问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。 问题四物体系问题。每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。 虚位移原理 知识点总结 1.虚位移·虚功·理想约束。 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人所假想的任何无限小位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 力在虚位移中所作的功称为虚功。
第十一章弹性力学的变分原理 一.内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二.重点 1. 几何可能的位移和静力可能的应力； 2. 弹性体的虚功原理； 3. 最小势能原理及其应用； 4. 最小余能原理及其应用； 5. 有限元原理的基本概念。 知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力
应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有限元整体分析 几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析 附录3 变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。
第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹
性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示
弹性力学学习心得 孙敬龙S201201024 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编著的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求
第十四章 虚位移原理 答 案 14-1 (1)若认为B处虚位移正确，则A，C处虚位移有错：A处位移应垂直于 O1A向左上方，C处虚位移应垂直向下。若认为C处虚位移正确，则B，A处虚位移有错：B处虚位移应反向，A处虚位移应垂直于O1A向右下方。C处虚位移可沿力的作用线，A处虚位移不能沿力的作用线。 (2)三处虚位移均有错，此种情况下虚位移均不能沿力的作用线。杆 AB，DE若运动应作定轴转动，B，D点的虚位移应垂直于杆AB，DE；杆BC，DE作平面运动，应按刚体平面运动的方法确定点C虚位移。 14-2 （1）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法；对此例几何法与虚速度法比坐标（解析）法简单，几何法与虚速度法难易程度相同。 （2）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法。几何法与虚速度法相似，比较简单。用坐标法也不难，但要注意δθ的正负号。
（3）同（2） （4）用几何法或虚速度法比较简单，可以用坐标法，但比较难。 （5）同（4） 14-3 （1）不需要。 （2）需要。内力投影，取矩之和为零，但内力作功之和可以不为零。 14-4 弹性力作功可用坐标法计算，也可用弹性力作功公式略去高阶小量计算；摩擦力在此虚位移中作正功。 14-5 在平面力系所在的刚体平面内建立一任意的平面直角坐标系，在此刚体平面内任选一点作为基点，写出此平面图形的运动方程。设任一力 的作用点为（x i， y i），且把此坐标以平面图形运动方程表示，设此点产生虚位移，把力 投影到坐标轴上，且写出此点直角坐标的变分，用解析法形式的虚位移表达式，把力的投影与直角坐标变分代入，运算整理之后便可得。
也可以在平面力系所在的刚体平面内任选一点O（简化中心），把平面力系向此点简化得一主矢与主矩，把主矢以 表示，分别给刚体以虚位移 ，由虚位移原理也可得平衡方程。
弹性力学 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 弹性力学的发展简史 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。 在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力
学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。 在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利──里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。 弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
解：如图（a ），应用虚位移原理： F 1 ?術 F 2 ? 8r 2 = 0 书鹵 / 、 8r 1 8r 2 tan P 如图（b ）： 8 廿y ； 8 厂乔 8r i 能的任意角度B 下处于平衡时，求 M 1和M 2之间的关系 第12章 虚位移原理及其应用 12-1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。 试求平衡时, 解：应用解析法，如图(a )，设0D = y A = 2l sin v ； y^ 61 sin v S y A =21 cos ：心； 溉=61 COST 心 应用虚位移原理： F 2 S y B - R ? S y A =0 6F 2 —2R =0 ; F i =3F 2 习题12-1图 F 2之值。已知：AC = BC 12-2图示的平面机构中, D 点作用一水平力F t ，求保持机构平衡时主动力 =EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： y A =lcos ) ； x D =3lsin v S y A - -l sin^ 心；S x D =3I COS ^ & 应用虚 位移原理： —F 2 ? S y A - F I 8x^0 F 2sin J - 3F t cos ^ - 0 ； F 2 = 3F t cot^ 12-3图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为 小关系 习题12-3 B 和3不计楔块自重与摩擦。求竖向力 F 1与F 2的大 F i F 2| (a ) (b) F i 8i - F 2 12-4图示摇杆机构位于水平面上，已知 OO i = OA 。机构上受到力偶矩 M 1和M 2的作用。机构在可
第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a ），设OD = l θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ；213F F = 12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3 δl x D = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F = 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=?+? r F r F 如图（b ）： β θt a n δδt a n δ2 a 1r r r == ；12 δtan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ；θ β tan tan 21?=F F 12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 （a ） 习题12-2解图 习题12－3 （a ） r a （b ）
弹性力学的广义变分原理 摘要：研究了在弹性力学的三类变量广义变分原理中，变量三个变量是否独立，是否包含了应力应变关系。指出了在应用广义变分原理时应满足下列条件：泛函 中的应变能用应变表示、应变余能用应力表示：在用广义变分原理求实际问题的 近似解时。三类变量的试探函数可以独立选择，但各类变量之间应不违背力学基 本关系。为了解除应力应变关系的变分约束，我们提出了一个高阶拉格朗日乘子法。用这个高阶拉氏乘子法，我们从胡鹭原理和海赖原理分别导出了前所未知的 更普遍的广义变分原理。我们也证明了在这两类变分原理之间，有等价定理和相 关的等价关系存在。 关键词：弹性力学；广义变分原理 前言：弹性力学广义变分原理是弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能 原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。 1.广义变分原理Ⅰ 1.1广义函数及其构造。 弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式 中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。在弹性力学空间问题中，最 一般的广义变分原理可叙述为：弹性力学空间问题的解必须满足弹性体的广义势 能变分为零的条件，该条件又称为驻值条件，即 方程，包括应变-位移关系，应力-应变关系、平衡方程和边界条件。上述变分原理的独立变量有位移、应变、应力三类，因此称为三类变量广义变分原理。它 是中国力学家胡海昌于1954年首先提出的，日本的鹫津久一郎于1955年也独立 地得到这一原理，所以又称胡-鹫津原理。 弹性力学广义变分原理有一种稍弱的形式，即二类变量广义变分原理，又称 为赫林格-瑞斯纳原理。它由E．赫林格于1914年和E．瑞斯纳于1950年分别独 立提出，其数学表达式为： 在有限元法和工程弹性理论中，广义变分原理有广泛的应用。例如，在板壳 弯曲的有限元计算中，用它处理变形的不协调性，可得到较好的结果。对于解决 几何非线性问题，胡-鹫津原理是一个有力的工具。在工程弹性理论中，广义变分原理可用于推导各种近似理论；在弹性振动和稳定理论中，可用于求固有频率和 临界载荷，并能获得较好的结果。 用拉氏乘子法建立广义变分原理的广义泛雨的方法，这样就使构造广义泛雨 的方法建立在严格的数学方法的基础上，使深入分析广义变分原理及促使它们进 一步发展建立了理论基础。利用变分问题描述弹性力学问题，各类广义变分原理 实质上是旅于势能密度与余能密度的数学形式的展础上，在各种变分约束条件， 变分条件和一般约束条件下的匹配问题。由于已知的广义变分原理中的广义泛雨，都是基于势能声度和余能密度基础上构造的，这样应力应变的关系式对广义泛雨 万而言是一般约束条件，因此无法利用（线性）拉氏乘子法解除一般约束条件， 所以实质上为二类内变雨数的广义变分原理。 1.2广义函数的规一化。 考虑到历史的原因，我们称势能极值原理与余能极值原理为标准型变分原理. 对各类广义变分原理而言，当把变分条件还原为变分约束条件时，通过自变雨数
习 题 4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B 上作用水平力F ，此力位于平面ABC 内，作用线平分∠ABC 。设 AB =BC ，∠ABC =θ2，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压 力。 图4-19 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ )90cos(δ)902cos(δθθ-?=?-C B s s θθsin δ2sin δC B s s = 虚位移原理 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ 0δsin δN =-C B s F s F θ θ θθθtan 2 )2sin(sin sin δδ2N F F s s F F C B === 4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M 。手轮轴的两端各有螺距同为h ，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母A 和B ，这两个螺母分别与长为l 的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D 固定不动，而点C 连接在压缩机的水平压板上。试求当棱形
框的顶角等于2f 时，压缩机对被压物体的压力。 图4-20 ??cos δ)290cos(δC A s s =-? C A s s δsin δ2=? 而 θ?δπ 2c o s δP s A = ?θ?θ?tan δπ sin δcos π22 δP P s C == 虚位移原理 0δδδN =-=∑C F s F M W θ 0tan δπ δN =?-?θθP F M ?cot π N P M F = 4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F 的值，摩擦力及绳索质量不计。 图4-21 虚位移原理 0δδδ=+-=∑A B F s G s F W (a) A B s s δ2δ= 2 G F = (b) A B s s δ8δ= 8 G F = (c) A B s s δ6δ= 6 G F = (d) A B s s δ5δ= 5 G F =
第十一章 弹性力学的变分原理 几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz) 法 伽辽金(Γa∏epκuH )法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小 势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困 难，因此对于弹性力学问题， 只能采用半逆解方法得到个别问题解答。 一般问题的求解是十分困难的， 甚至是 不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基 本方程的定解问题， 转换为求解泛函的极值或者驻值问题， 这样就将基本方程由 偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。 变分原理不仅是弹性力学近似解 法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理， 并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习 附录3或者查阅参考资料。 知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方 程 最小余能原理的近似解 法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有 限元整体分析
、重点 1几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。 §11.1弹性变形体的功能原理 学习思路： 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 (Tt UJ C 首先建立静力可能的应力「：，和几何可能的位移’概念；静力可能的应力 和几何可能的位移；可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u;另外一部分是表面积的面力给定，称为S O如图所示
变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③
特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x =
《广义变分原理》课程报告 题目：变分原理与数值计算方法 年级：2013级工程力学 姓名：顾鑫 学号：130810040001 时间：2014年5月6日
变分原理与数值计算方法 河海大学2013级工程力学 摘要：本文从变分法的发展出发，阐释泛函理论中变分原理的定义，说明了由一般微分方程构造泛函的方法；具体分析了弹塑性理论中的各种变分原理，说明由变分原理建立有限元模型的方法；最后，详细阐释了以变分原理为基础的数值方法的建立与改进方法。 关键词：变分法、变分原理、泛函、弹塑性、有限元、数值方法的改进 1.变分法及变分原理 1.1.变分法 1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题；1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。 变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理” 1.2.变分原理 泛函中定义的变分原理：设A为Hilbert空间H0上的自伴正算子(对称的正算子)，考虑H0上的非线性泛函 J(u)?